(共26张PPT)
4.4.1平行四边形的判定
第4章 平行四边形
浙版数学八年级下册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
探究二次根式乘法法则
计算下列各式，观察计算结果，你能发现什么规律？
= ，，所以。
= ，，所以。
= ，，所以。
引导学生观察上述等式，归纳出二次根式的乘法法则：（，）。
用文字语言表述为：两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变。
法则的证明
对于（，），设，，则，。
那么，而。
所以，即（，），证明了二次根式乘法法则的正确性。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：计算
（1）
解：根据二次根式乘法法则。
（2）
解：。
（3）（）
解：。
在讲解例题过程中，强调：
运用法则时要注意被开方数的取值范围，确保，。
计算结果要化为最简二次根式。
（四）课堂练习（10 分钟）
计算
（1）
（2）
（3）（）
比较大小：与。
让学生在练习本上完成，教师巡视，及时发现学生存在的问题并进行指导。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾二次根式的乘法法则：（，）。
总结运用法则进行计算时的注意事项，如被开方数的取值范围、结果要化为最简二次根式等。
强调从特殊到一般的探究方法以及类比思想在数学学习中的应用。
（六）布置作业（5 分钟）
基础作业
课本课后练习题中关于二次根式乘法运算的题目。
拓展作业
已知，求的取值范围。
若与都有意义，且，请你比较与的大小。
五、教学反思
在本节课的教学过程中，通过复习旧知引入新课，让学生从熟悉的内容过渡到新知识的学习，降低了学习难度。在探究二次根式乘法法则时，让学生通过计算具体式子，观察结果，自己归纳出法则，培养了学生的自主探究能力。在例题讲解和课堂练习环节，大部分学生能够掌握二次根式乘法法则的基本运算，但仍有部分学生在化简结果和处理含有字母的二次根式运算时存在困难，需要在后续的教学中加强辅导和练习。同时，在教学方法上，可以进一步增加一些互动环节，让更多的学生参与到课堂讨论中来，提高课堂的活跃度和学生的学习积极性。
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
平行四边形有哪些性质？
1.边:
2.角:
3. 对角线:
平行四边形两组对边分别平行.
平行四边形两组对边分别相等.
平行四边形两组对角分别相等.
平行四边形对角线互相平分.
温故知新
A
B
C
D
o
(1)
C
A
B
D
(2)
∥
∥
AB∥CD、AD∥BC
⑵如图（2）,当四边形ABCD满足 时它是一个平行四边形
温故知新
⑴如图（1）,若四边形ABCD是平行四边形,则AB CD，
AD BC，你还能得出哪些结论
根据平行四边形的定义可以判定一个四边形是不是平行四边形，还有其它判定方法吗？
两个全等三角形纸片，在平面上把它拼在一起，使一
组对应边互相重合所得的图形一定是平行四边形吗？
这些四边形有什么共同特点（从边关系角度考虑）
合作学习
证明:如图,连接BD.
∵AD∥BC∴∠ADB=∠CBD（两直线平行，内错角相等）
又∵AD=BC,BD=BD∴△ADB≌△CBD (SAS)
∴∠ABD=∠CDB（全等三角形的对应角相等）
∴AB∥DC（内错角相等，两直线平行）
∴四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）
A
B
C
D
验证猜想
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
已知：在四边形ABCD中，AD＝BC，AD∥BC。
求证：四边形ABCD是平行四边形。
已知AD=BC，AB=CD，求证:四边形ABCD是平行四边形
（内错角相等，两直线平行）
(两组对边分别平行的四边形是平行四边形)
两组对边分别相等的四边形是平行四边形
验证猜想
证明：如图，连结AC，
∵ AB=CD，AD=BC （已知）
又∵ AC=AC （公共边）
∴△ABC≌△CDA（SSS）
∴∠BAC=∠DCA，∠DAC=∠BCA
∴ AB∥CD，AD∥BC
∴四边形ABCD是平行四边形
C
B
D
A
（全等三角形的对应角相等）
A
D
B
C
两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
平行四边形判定定理1：
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
平行四边形判定定理2：
∵ AB∥CD且AB=CD
∴四边形ABCD是平行四边形
∵ AB=CD且AD=BC
∴四边形ABCD是平行四边形
或AB CD
一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形吗？
两组对边分别平行
两组对边分别相等
一组对边平行且相等
的四边形是平行四边形
平行四边形的三个判定方法
知识整理
从边看:
1.AB=CD，AB∥CD （ ）
2.AB=CD，AD=BC （ ）
3.AB=BC，AD=DC （ ）
4.AB ∥ CD，AD ∥ BC （ ）
5.AB ∥ CD，AD=BC （ ）
6.∠A+∠B=180°,AD=BC ( )
满足下列条件的四边形ABCD是不是平行四边形，若是，在括号内打“√”，若不是，则打“×”。
√
√
√
×
×
√
A
B
C
D
判断
A
B
C
D
已知：如图，E,F分别是平行四边形ABCD 的边AD,BC的中点。求证：BE=DF.
D
F
E
C
B
A
证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC
AD=BC
∵E,F分别是AD,BC的中点，
∴ED=BF,即ED BF.
∥
﹦
∴四边形EBFD是平行四边形
∴BE=DF
(平行四边形的对边平行且相等)
(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)
(平行四边形的对边相等)
例 1
已知，如图，在 ABCD中，点E、F分别是边AB、CD的中点。
求证：EF//AD//BC
A
B
C
D
E
F
∵四边形ABCD是平行四边形∴AB∥CD且AB=CD
∵点E、F分别是边AB、CD的中点
∴AE∥DF 且AE=DF
∴ 四边形AEFD是平行四边形
∴ AD∥EF ∴EF//AD//BC
证明：
（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）
例2
A
E
B
C
D
F
1、已知，四边形ABCD和AEFD都是平行四边形
求证：四边形BCFE是平行四边形
证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD∥BC且 AD=BC ；
同理AD∥EF且AD=EF
∴ BC∥EF且BC=EF
∴四边形BCFE是平行四边形
练一练
2.已知，如图，AD∥BC，且AB=CD=5，AC=4，BC=3；
求证：AB∥CD.
C
D
A
B
温馨提示：可利用勾股定理及其逆定理解题
证明：∵在△ABC中AB=5，AC=4，BC=3
∴∠ACB=90o
∵ AD∥BC ∴∠DAC=∠ACB=90o
∵CD=5， AC=4，∴AD=3
∴AD∥BC 且AD=BC
∴四边形ABCD是平行四边形∴ AB∥CD.
3、在 ABCD中，已知 AE＝CF， BG＝DH．EB与AH、GC分别交于M、N，DF分别与AH、GC交于Q、P。你能在图中找出所有除ABCD外的平行四边形吗？
答: AGCH BFDE MNPQ
D
A
B
C
E
F
已知：E、F是平行四边形ABCD对角线AC上的两点，并且AE=CF。求证：四边形BFDE是平行四边形
∴AD∥ BC且AD =BC
∴△AED ≌ △CFB(SAS)
∴ DE=BF
∴ 四边形BFDE是平行四边形
同理可证：BE=DF
∵四边形ABCD是平行四边形
证明：
∵AE=FC
∴∠EAD=∠FCB
例 3
知识点1 两组对边分别平行的四边形是平行四边形
（第1题）
1. 小军不慎将一块平行四边形玻
璃打碎成如图所示的四块，他带了两块碎玻
璃到商店配成了一块与原来相同的平行四边
形玻璃，他带的碎玻璃编号是( )
B
A. ①② B. ③④ C. ②③ D. ①④
返回
2. 如图，在四边形中， ，若添加一个条件，
使四边形 为平行四边形，则下列正确的是( )
D
（第2题）
A.
B.
C.
D.
返回
知识点2 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
3. 如图给出了四边形
的部分数据，要使四边形
为平行四边形，还需要添加的条件可以
是( )
A
A. B. C. D.
返回
4.如图,在四边形中,,延长到点,使 ,
连结交于点,点是的中点.求证:四边形 是平
行四边形.
【证明】, .
点是的中点, .
在与中,
.
, .
又, 四边形 是平行四边形.
返回
知识点3 两组对边分别相等的四边形是平行四边形
5. 如图，已知，用尺规进行如下操作：①以点 为圆
心，长为半径画弧；②以点为圆心， 长为半径画弧；
③两弧交于点，连结，.可直接判定四边形 为平
行四边形的依据是 ( )
A
A. 两组对边分别相等
B. 两组对边分别平行
C. 对角线互相平分
D. 一组对边平行且相等
返回
6. 如图，在四边形
中，，， 分别是
，上的点，且 ，
.求证：四边形 是平行
四边形.
【证明】，， .
又， 四边形 是平行四边形.
返回
7. 已知四边形 ，从下列四个条件中任意选取两个，能
使四边形 是平行四边形的选法有( )
； ；
； .
B
A. 3种 B. 4种 C. 5种 D. 6种
1.本节课知识点归纳：判定平行四边形的三种方法：
判定定理1：一组对边平行而且相等的四边形是平行四边形.
判定定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形
课堂小结
2)碰到平行四边形的问题常转化为三角形来解决.
1)解决一个数学问题,常要通过”动手实践”-----”
大胆猜想”-----”验证猜想(证明)”-----”得出结论”
2.本节课所学的解决问题的思路是:
谢谢观看！(共28张PPT)
4.4.2平行四边形的判定
第4章 平行四边形
浙版数学八年级下册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
探究二次根式乘法法则
计算下列各式，观察计算结果，你能发现什么规律？
= ，，所以。
= ，，所以。
= ，，所以。
引导学生观察上述等式，归纳出二次根式的乘法法则：（，）。
用文字语言表述为：两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变。
法则的证明
对于（，），设，，则，。
那么，而。
所以，即（，），证明了二次根式乘法法则的正确性。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：计算
（1）
解：根据二次根式乘法法则。
（2）
解：。
（3）（）
解：。
在讲解例题过程中，强调：
运用法则时要注意被开方数的取值范围，确保，。
计算结果要化为最简二次根式。
（四）课堂练习（10 分钟）
计算
（1）
（2）
（3）（）
比较大小：与。
让学生在练习本上完成，教师巡视，及时发现学生存在的问题并进行指导。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾二次根式的乘法法则：（，）。
总结运用法则进行计算时的注意事项，如被开方数的取值范围、结果要化为最简二次根式等。
强调从特殊到一般的探究方法以及类比思想在数学学习中的应用。
（六）布置作业（5 分钟）
基础作业
课本课后练习题中关于二次根式乘法运算的题目。
拓展作业
已知，求的取值范围。
若与都有意义，且，请你比较与的大小。
五、教学反思
在本节课的教学过程中，通过复习旧知引入新课，让学生从熟悉的内容过渡到新知识的学习，降低了学习难度。在探究二次根式乘法法则时，让学生通过计算具体式子，观察结果，自己归纳出法则，培养了学生的自主探究能力。在例题讲解和课堂练习环节，大部分学生能够掌握二次根式乘法法则的基本运算，但仍有部分学生在化简结果和处理含有字母的二次根式运算时存在困难，需要在后续的教学中加强辅导和练习。同时，在教学方法上，可以进一步增加一些互动环节，让更多的学生参与到课堂讨论中来，提高课堂的活跃度和学生的学习积极性。
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
平行四边形有哪些性质？
Ⅰ.边:
Ⅱ.角:
Ⅲ. 对角线:
a.平行四边形两组对边分别平行.
b.平行四边形两组对边分别相等.
平行四边形两组对角分别相等.
平行四边形对角线互相平分.
D
A
C
B
温顾知新
我们学过平行四边形有哪些判定方法？
从边看:
两组对边分别平行
两组对边分别相等
一组对边平行且相等
的四边形是平行四边形
从角看:
两组对角分别相等
问题：判定一个四边形是平行四边形是否还有其它的方法？
合作探究
对角线互相平分的四边形是平行四边形
A
C
O
B
D
已知：在四边形ABCD中,对角线ＡＣ，ＢＤ交于点Ｏ，
且ＯＡ＝ＯＣ，ＯＢ＝ＯＤ,
求证：四边形ABCD是平行四边形
证明：在△AOD与△COB中
∵ AO=CO，DO=BO，∠AOD=∠COB
∴△AOD≌△COB
∴ AD=CB
同理：AB=CD
∴四边形ABCD是平行四边形
（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）
定理3：
两条对角线互相平分的四边形是平行四边形.
∴四边形ＡＢＣＤ是平行四边形
平行四边形判定定理3：
几何语言：
如图∵OA=OC，OB=OD
（对角线互相平分的四边形是平行四边形）
A
B
C
D
O
从边看:
平行四边形的五个判定方法
两组对边分别平行
两组对边分别相等
一组对边平行且相等
的四边形是平行四边形
从角看:
从对角线看:
两组对角线互相平分
两组对角分别相等
已知：如图，E，F是 ABCD的对角线BD上的两点，且∠BAE=∠DCF
求证：四边形AECF是平行四边形。
A
B
C
D
E
F
O
例 1
A
B
C
D
E
F
O
证明:
连结AC,交BD于点O
∵AB∥CD
在 ABCD中，BO=DO，
AO=CO
∴∠ABE=∠CDF
又∵∠BAE=∠CDF，AB=CD
∴△ABE≌△CDF
∴BE=DF
∴BO-BE=DO-DF，即EO=FO
∴四边形AECF是平行四边形
（平行四边形的对角线互相平分）
（平行四边形的定义）
（对角线互相平分的四边形是平行四边形）
变1:已知：如图，在 ABCD中，Ｅ，Ｆ是对角线ＢＤ上的两点，且BＥ＝ＤＦ．求证：四边形AECF是平行四边
F
E
D
C
B
A
O
讨论：根据现有条件，说说你准备选用哪种方法证明？
大概的步骤是怎样的？
变2:已知：如图,在 ABCD中，∠BAD和∠BCD的平分线AE、CF分别与对角线BD相交于点E，F。
求证：四边形AECF是平行四边形。
A
B
C
D
E
F
变3:已知：如图,在 ABCD中，E,F是对角线BD上的两点,且BE=DF.M,N分别是AD和BC边上的中点.
求证：四边形ENFM是平行四边形。
A
B
C
D
E
F
M
N
已知在直角坐标系中，四边形ABCD四个顶点的坐标分别为：
四边形ABCD是不是平行四边形？请给出证明.
A
B
C
D
x
y
o
-1
-1
1
1
∴Ｏ平分ＡＣ，Ｏ平分ＢＤ
连接对角线ＡＣ，ＢＤ则有
ＯＡ＝ＯＣ，ＯＢ＝ＯＤ
∴四边形ＡＢＣＤ是平行四边形
解：四边形ABCD是平行四边形，证明如下：
例2
发现：三角形一条边上的中线的2倍小于另两条边的和。
E
已知：如图，AD是⊿ABC的中线，
求证：2AD
证明：
如图，延长AD至E,使ED=AD.连结BE,EC.
∵BD=CD,
∴四边形ABEC是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）。
∴AB=CE(平行四边形的两组对边分别相等)。
∵AC+CE>AE,
∴AB+AC>2AD,
即2ADD
C
B
A
①对角线__________的四边形是平行四边形.
互相平分
知识点1 对角线互相平分的四边形是平行四边形
1. 如图，在下列给出的条件中，能判定四边形 是平行
四边形的是( )
C
（第1题）
A. ,
B. ,
C. ,
D. ,
返回
（第2题）
2. 小玲的爸爸在钉制平
行四边形框架时，采用了一种方法：如
图，将两根木条， 的中点重叠并
用钉子固定，则四边形 就是平行
四边形，其依据是( )
A
A. 对角线互相平分的四边形是平行四边形
B. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
C. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形
D. 两组对边分别平行的四边形是平行四边形
返回
（第3题）
3. 如图，在四边形 中，
， ，
，则此四边形的面积为
( )
C
A. 14 B. 18 C. 24 D. 16
返回
4. 如图，， ，则当
___时，四边形 是平行四边形.
8
（第4题）
返回
5. 如图，的对角线相交于点 ，直
线经过点，分别与，的延长线交于点， .求证：
四边形 是平行四边形.
【证明】 四边形 是平行四边形，
，， .
， .
在和 中，
.
.
又， 四边形 是平行四边
形.
返回
知识点2 平行四边形判定的综合应用
（第6题）
6. [2024·乐山] 如图，下列条件中，不
能判定四边形 是平行四边形的是
( )
D
A. ， B. ，
C. ， D. ，
返回
7. 如图，四边形的对角线， 相
交于点， ，请补充一个条件：_________________
________，使四边形 是平行四边形.
（答案不唯一）
（第7题）
返回
8.如图，线段，相交于点 ，
且，于点 .
（1）尺规作图：过点作的垂线，垂足为点，连结 ，
；（不写作法，保留作图痕迹，并标明相应的字母）
【解】如图，，， 即为所作.
（2）若，请判断四边形 的形状，
并说明理由.
【解】四边形 是平行四边形.理由如下：
，， ，
， .
在和中，
.
又， 四边形 是平行四边形.
返回
从边看:
平行四边形的五个判定方法
两组对边分别平行
两组对边分别相等
一组对边平行且相等
的四边形是平行四边形
从角看:
两组对角分别相等
从对角线看:
两组对角线互相平分
谈谈这节课的体会
谢谢观看！