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5.2.1 菱形的性质
第5章 特殊平行四边形
浙版数学八年级下册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
探究二次根式乘法法则
计算下列各式，观察计算结果，你能发现什么规律？
= ，，所以。
= ，，所以。
= ，，所以。
引导学生观察上述等式，归纳出二次根式的乘法法则：（，）。
用文字语言表述为：两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变。
法则的证明
对于（，），设，，则，。
那么，而。
所以，即（，），证明了二次根式乘法法则的正确性。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：计算
（1）
解：根据二次根式乘法法则。
（2）
解：。
（3）（）
解：。
在讲解例题过程中，强调：
运用法则时要注意被开方数的取值范围，确保，。
计算结果要化为最简二次根式。
（四）课堂练习（10 分钟）
计算
（1）
（2）
（3）（）
比较大小：与。
让学生在练习本上完成，教师巡视，及时发现学生存在的问题并进行指导。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾二次根式的乘法法则：（，）。
总结运用法则进行计算时的注意事项，如被开方数的取值范围、结果要化为最简二次根式等。
强调从特殊到一般的探究方法以及类比思想在数学学习中的应用。
（六）布置作业（5 分钟）
基础作业
课本课后练习题中关于二次根式乘法运算的题目。
拓展作业
已知，求的取值范围。
若与都有意义，且，请你比较与的大小。
五、教学反思
在本节课的教学过程中，通过复习旧知引入新课，让学生从熟悉的内容过渡到新知识的学习，降低了学习难度。在探究二次根式乘法法则时，让学生通过计算具体式子，观察结果，自己归纳出法则，培养了学生的自主探究能力。在例题讲解和课堂练习环节，大部分学生能够掌握二次根式乘法法则的基本运算，但仍有部分学生在化简结果和处理含有字母的二次根式运算时存在困难，需要在后续的教学中加强辅导和练习。同时，在教学方法上，可以进一步增加一些互动环节，让更多的学生参与到课堂讨论中来，提高课堂的活跃度和学生的学习积极性。
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
新知导入
生活中美丽的菱形图案
研究图形的一般思路
类 比
一般
特殊
定义
性质
判定
矩形
一个角是直角
定义
性质
判定
平行四边形
边 角 对角线
菱形的定义
平行四边形
菱形
菱形：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
探究: 观察上图中的这些平行四边形，你能发现它们有什么样的共同特征？
菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质.
对边平行、对边相等
对角相等、邻角互补
对角线互相平分
菱形还有什么特殊的性质吗？
度量
折纸
菱形具有工整,匀称,美观等许多优点,常被人们用在图案设计上.
图片欣赏
探索性质
1.菱形是特殊的平行四边形,具有一般平行四边形的一切性质.
2.特殊的性质:
定理2. 菱形的对角线相互垂直,并且每条对角线平分一组对角。
定理1. 菱形的四条边都相等.
菱形的对角线互相垂直,并且每条对角线平分一组对角.
已知:在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O.
求证:AC⊥BD,AC平分∠BAD和∠BCD,
BD平分∠ABC和∠ADC.
定理2
证明: ∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=AD(菱形的定义) BO=DO
同理, AC平分∠BCD,BD平分∠ABC和∠ADC.
∴AC⊥BD， AC平分∠BAD
由定理2可以得出：
菱形是轴对称图形,它的对称轴是对角线所在的直线.
小试牛刀
（2）已知：菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，且 AC=12，BD=16，则菱形ABCD的面积为 ，边长为 ，周长为 。
（1）在菱形ABCD中，∠A=2∠ABC，则∠ABD的度数为________ 。
30 °
96
10
40
（3）在菱形ABCD中∠BAC=30°，BD=6㎝，则
∠BAD= ,
∠ABD= ,
AB= .
60 °
60 °
6㎝
例1. 如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O, ∠OAB=30度, BD=6,求菱形的边长和对角线AC的长.
你能求出菱形ABCD的面积吗？
解: ∵四边形ABCD是菱形,∴AB=AD(菱形的定义)
AC平分∠BAD(菱形的每条对角线平分一组对角)
∵∠BAC=30°∴∠BAD=60°
∴△ABD是等边三角形.∴ AB=BD=6
又∵OB=OD=3(平行四边形的对角线互相平分)
AC⊥BD(菱形的对角线互相垂直)
由勾股定理,得AO=
∴AC=2AO=
菱形的面积： S=底×高=对角线乘积的一半
菱形ABCD的周长为16，相邻两角的度数比为1：2．
例1变形
⑴求菱形ABCD的对角线的长；
⑵求菱形ABCD的面积．
D
O
A
C
B
C
如图，在一种可伸缩的衣帽架中，每个菱形的周长都为100厘米，固定在墙上的两点A、B之间的距离为25厘米，则∠ACB= .
A
B
学以致用
60 °
知识点1 菱形的概念
1.如图，在四边形中， ，
， ，求证：四边形
是菱形.
【证明】， ，
四边形 是平行四边形.
， .
四边形 是菱形.
返回
知识点2 菱形的边的性质
2. 一个菱形的边长是4，则该菱形的周长是( )
B
A. 8 B. 16 C. 24 D. 32
（第3题）
3. [2024·杭州文澜中学模拟] 如图，在菱
形中， ，则 的度数
为( )
D
A. B. C. D.
返回
4.如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在 轴上，
且 ，，则点 的坐标为______________.
（第4题）
返回
知识点3 菱形的对角线的性质
5. 菱形不一定具有的性质是( )
A
A. 对角线相等
B. 每条对角线平分一组对角
C. 对角线互相平分
D. 对角线互相垂直
返回
（第6题）
6. 如图，菱形中，连结 ，
，若 ，则 的度数为
( )
C
A. B. C. D.
返回
（第7题）
7.如图，在菱形 中，若
，的长为2，则 的长
是_____.
返回
知识点4 菱形的面积
（第8题）
8. 某校举行风筝节活动，
小明做了一个菱形风筝（如图），他用
两个木条沿着菱形的对角线做支架. 经
测量， ，则这个
风筝的面积是( )
B
A. B. C. D.
返回
（第9题）
9. 如图，四边形 是菱
形，，，于点 ，则
的长是( )
A
A. B. 6 C. D. 12
菱形 边 对称性 角 对角线
性 质
面积
对边
平行
四条边都相等
中心对称图形
轴对称图形
对角相等
对角线互相垂直
对角线互相平分
每一条对角线平分一组对角
2、 （a，b表示两条对角线的长度）
用列表形式小结出菱形的性质
归纳小结,提炼知识
1、底乘以高
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5.2.2 菱形的判定
第5章 特殊平行四边形
浙版数学八年级下册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
探究二次根式乘法法则
计算下列各式，观察计算结果，你能发现什么规律？
= ，，所以。
= ，，所以。
= ，，所以。
引导学生观察上述等式，归纳出二次根式的乘法法则：（，）。
用文字语言表述为：两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变。
法则的证明
对于（，），设，，则，。
那么，而。
所以，即（，），证明了二次根式乘法法则的正确性。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：计算
（1）
解：根据二次根式乘法法则。
（2）
解：。
（3）（）
解：。
在讲解例题过程中，强调：
运用法则时要注意被开方数的取值范围，确保，。
计算结果要化为最简二次根式。
（四）课堂练习（10 分钟）
计算
（1）
（2）
（3）（）
比较大小：与。
让学生在练习本上完成，教师巡视，及时发现学生存在的问题并进行指导。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾二次根式的乘法法则：（，）。
总结运用法则进行计算时的注意事项，如被开方数的取值范围、结果要化为最简二次根式等。
强调从特殊到一般的探究方法以及类比思想在数学学习中的应用。
（六）布置作业（5 分钟）
基础作业
课本课后练习题中关于二次根式乘法运算的题目。
拓展作业
已知，求的取值范围。
若与都有意义，且，请你比较与的大小。
五、教学反思
在本节课的教学过程中，通过复习旧知引入新课，让学生从熟悉的内容过渡到新知识的学习，降低了学习难度。在探究二次根式乘法法则时，让学生通过计算具体式子，观察结果，自己归纳出法则，培养了学生的自主探究能力。在例题讲解和课堂练习环节，大部分学生能够掌握二次根式乘法法则的基本运算，但仍有部分学生在化简结果和处理含有字母的二次根式运算时存在困难，需要在后续的教学中加强辅导和练习。同时，在教学方法上，可以进一步增加一些互动环节，让更多的学生参与到课堂讨论中来，提高课堂的活跃度和学生的学习积极性。
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
复习回顾
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
菱形的定义：
一组邻边相等
平行四边形
菱形
边
对角线
角
菱形的性质
菱形的两条对角线互相平分.
菱形的两组对边平行.
菱形的四条边相等.
菱形的两组对角分别相等.
菱形的邻角互补.
菱形的两条对角线互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角.
取一张长方形纸片,按下图的方法对折两次,并沿图(3)中的斜线剪开,把剪下的1这部分展开,平铺在桌面上.
(1)
(2)
(3)
1
合作学习
议一议:
(1)剪出的这个图形是哪一种四边形 一定是菱形吗
(2)根据折叠, 剪裁的过程,这个四边形的边和对角线分别具有什么性质
(3)一个平行四边形具备怎样的条件,就可以判定它是菱形
菱形判定定理:
定理1.四条边相等的四边形是菱形.
定理2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
A
B
C
D
O
已知:在平行四边形ABCD中,BD⊥AC,O为垂足.
求证:平行四边形ABCD是菱形.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AO=OC
∵BD⊥AC ∴AD=CD
∴平行四边形ABCD是菱形
菱形的判定：
四条边都相等的四边形是菱形.
AB=BC=CD=DA
A
B
C
D
菱形ABCD
∵AB=BC=CD=DA
∴四边形ABCD是菱形
四边形ABCD
A
B
C
D
对角线互相垂直的平行四边形是菱形
AC⊥BD
A
B
C
D
菱形ABCD
A
B
C
D
□ABCD
∵□ABCD，AC⊥BD
∴ □ABCD是菱形
一组邻边相等
对角线互相垂直
四条边相等
四种判定方法
四边形
平行四边形
菱形
菱形的判定方法：
1、画一个菱形，使它的两条对角线的长分别为4cm和6cm。
o
A
C
D
B
6cm
4cm
练一练
（1）两条对角线互相垂直的四边形是菱形. ( )
2、辨一辨
（2）两条对角线互相垂直平分的四边形是菱形. ( )
A
B
C
D
O
错
对
判断下列说法是否正确？为什么？
(3)对角线互相垂直,且有一组邻边相等的四边形是菱形；
(4)两条邻边相等，且一条对角线平分一组对角的四边形是菱形．
例、求证：有一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形
A
B
C
D
1
2
已知：四边形ABCD是平行四边形，对角线AC平分∠DAB
求证：四边形ABCD是菱形
A
B
C
D
1
2
证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形
∴ AB∥CD
（平行四边形的定义）
∴ ∠2=∠ACD
（两直线平行，内错角相等）
∵ AC平分∠DAB
∴ ∠1=∠2
∴ ∠1=∠ACD
∴ AD=AC
（在一个三角形中，等角对等边）
∴ 四边形ABCD是菱形
（邻边相等的平行四边形是菱形）
□ABCD的对角线AC与BD相交于点O，
（1）若AB=AD，则□ABCD是 形；
（2）若AC=BD，则□ABCD是 形；
（3）若∠ABC是直角，则
□ABCD是 形；
（4）若∠BAO=∠DAO，
则□ABCD是 形。
A
B
C
D
O
矩
菱
矩
菱
A
D
C
B
例2、如图，在 矩形ABCD中，对角线AC垂直平分与AD，BC分别交于E，F.求证：四边形AFCE是菱形
O
E
F
证明:∵四边形ABCD是矩形,
∴AE//FC(矩形的定义)∴∠EAC=∠ACF
又∵∠AOE=∠COF,AO=CO,∴△AOE≌△COF,∴EO=FO.
∴四边形是平行四边形
(对角线相互平分的四边形是平行四边形).
∵EF⊥AC ∴四边形AFCE是菱形
(对角线互相垂直的平行四边形是菱形).
知识点1 一组邻边相等的平行四边形是菱形
1. 如图所示，若要使平行四边形 成为菱形，则需要添
加的条件是( )
C
（第1题）
A. B.
C. D.
返回
（第2题）
2. [2024·广州番禺区一模] 如图，在
中，， ，将线段
水平向右平移个单位得到线段 ，
若四边形为菱形，则 的值可以为
( )
A
A. 2 B. 3 C. D.
返回
3.如图，在中，为边上的一点，连结， ，
若，，求证：四边形 是菱形.
【证明】 在平行四边形 中，
,
.
, .
, .
,
.
四边形 是菱形.
返回
知识点2 四条边相等的四边形是菱形
4. [2024·上海] 四边形为矩形，过，作对角线 的
垂线，过，作对角线 的垂线，如果四个垂线拼成一个
四边形，那这个四边形为( )
A
A. 菱形 B. 矩形 C. 直角梯形 D. 等腰梯形
【点拨】如图所示.
四边形为矩形， ,
.
过点,作对角线的垂线，过点,作对角线 的垂线，
.
.
如果四个垂线拼成一个四边形，那这个四边形为菱形，
故选A.
返回
5. 顺次连接矩形 各边中点，所得
的四边形一定是( )
D
A. 梯形 B. 矩形 C. 正方形 D. 菱形
返回
6.如图，四边形中，平分 ，
，，求证：四边形 是
菱形.
【证明】平分, .
又, ,
.
， .
又, .
四边形 是菱形.
返回
知识点3 对角线互相垂直的平行四边形是菱形
7. 已知四边形 的对角线互相垂直，若适当添加一个条
件，就能判定该四边形是菱形，则这个条件可以是( )
D
A. B.
C. D. ， 互相平分
返回
文字语言 图形语言 符号语言
判定法一
判定 法二
判定法三
全课小结——菱形的判定
A
B
C
D
∵AB=BC=CD=DA
∴四边形ABCD是菱形
∵□ABCD
AC⊥BD
∴四边形ABCD是菱形
∵□ABCD
AB=AD
∴四边形ABCD是菱形
A
B
C
D
O
A
B
C
D
四边相等的四边形是菱形
对角线互相垂直的平行四边形是菱形
一组邻边相等的平行四边形是菱形
谢谢观看！
