(共25张PPT)
5.3.1 正方形的性质
第5章 特殊平行四边形
浙版数学八年级下册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
探究二次根式乘法法则
计算下列各式，观察计算结果，你能发现什么规律？
= ，，所以。
= ，，所以。
= ，，所以。
引导学生观察上述等式，归纳出二次根式的乘法法则：（，）。
用文字语言表述为：两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变。
法则的证明
对于（，），设，，则，。
那么，而。
所以，即（，），证明了二次根式乘法法则的正确性。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：计算
（1）
解：根据二次根式乘法法则。
（2）
解：。
（3）（）
解：。
在讲解例题过程中，强调：
运用法则时要注意被开方数的取值范围，确保，。
计算结果要化为最简二次根式。
（四）课堂练习（10 分钟）
计算
（1）
（2）
（3）（）
比较大小：与。
让学生在练习本上完成，教师巡视，及时发现学生存在的问题并进行指导。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾二次根式的乘法法则：（，）。
总结运用法则进行计算时的注意事项，如被开方数的取值范围、结果要化为最简二次根式等。
强调从特殊到一般的探究方法以及类比思想在数学学习中的应用。
（六）布置作业（5 分钟）
基础作业
课本课后练习题中关于二次根式乘法运算的题目。
拓展作业
已知，求的取值范围。
若与都有意义，且，请你比较与的大小。
五、教学反思
在本节课的教学过程中，通过复习旧知引入新课，让学生从熟悉的内容过渡到新知识的学习，降低了学习难度。在探究二次根式乘法法则时，让学生通过计算具体式子，观察结果，自己归纳出法则，培养了学生的自主探究能力。在例题讲解和课堂练习环节，大部分学生能够掌握二次根式乘法法则的基本运算，但仍有部分学生在化简结果和处理含有字母的二次根式运算时存在困难，需要在后续的教学中加强辅导和练习。同时，在教学方法上，可以进一步增加一些互动环节，让更多的学生参与到课堂讨论中来，提高课堂的活跃度和学生的学习积极性。
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
知识回顾:
定义 边 角 对 角 线 对 称 性
平行 四边形
矩 形
菱 形
几种特殊四边形的定义及性质
对边平行
且相等
对边平行 且相等
对边平行，四边都相等
对角相等，
邻角互补
四个角
都是直角
对角相等，邻角互补
对角线
互相平分
对角线相等
且互相平分
对角线互相垂直平分，每条对角线平分一组对角
中心对
称图形
轴对称图形、中心对称图形
轴对称图形、中心对称图形
两组对边
分别平行
的四边形
有一个角是直角的平行四边形
有一组邻边相等的平行四边形
四边形
两组对边分别平行
平行四边形
矩 形
菱 形
有一个角是直角
一组邻边相等
想一想
矩 形
正方形
〃
〃
矩形怎样变化后就成了正方形呢
探究（一）
探 究（二）
菱形怎样变化后就成了正方形呢
正方形
探究小结
矩 形
〃
〃
正方形
邻边
相等
〃
〃
我发现：
一组邻边相等的矩形 叫正方形
菱 形
一个角
是直角
正方形
∟
我发现：
有一个角是直角的菱形叫正方形
正方形定义
有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形
如何判定一个图形是正方形呢
(可从平行四边形、矩形、菱形入手判别）
有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。
定义法
菱形法
矩形法
有一个角是直角的菱形是正方形。
有一组邻边相等的矩形是正方形。
拓展讨论
讨论总结:正方形有那些性质
平行四边形
矩形
菱形
正
方
形
正方形、菱形、矩形、平行四边形四者之间有什么关系？
----下列说法对吗
（1）四个角都相等的四边形是正方形
（2）四条边都相等的四边形是正方形
（3）对角线相等的菱形是正方形
（4）对角线互相垂直的矩形是正方形
（5）对角线垂直且相等的四边形是正方形
（6）四边相等，有一角是直角的四边形是正方形
辨一辨
X
X
X
(7) 正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形
(8) 正方形是轴对称图形,一共有2条对称轴
X
学以致用，我好棒
我来试一试
比一比，看谁解答下列问题更快！
1.下列说法正确的是（ ）
A.四边相等的四边形是正方形
B.四个角都是直角的四边形是正方形
C.有一个角是直角的平行四边形是正方形
D.四个角都是直角且有一组邻边相等的四边形是正方形
D
2.下列说法错误的是（ ）
A.平行四边形是轴对称图形
B.菱形有两条对称轴
C.矩形的对角线交点是它的对称中心
D.正方形有四条对称轴
A
思考：正方形的判定方法有哪些？
例3：已知：分别延长等腰直角三角形OAB的两条直角边AO和BO ，使OC=OA，OD=OB.
求证：四边形ABCD是正方形。
变式训练：
已知：如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD平分∠ACB，DE⊥BC于E，DF⊥AC于F．求证：四边形CFDE是正方形．
知识点1 一组邻边相等的平行四边形是菱形
1. 如图所示，若要使平行四边形 成为菱形，则需要添
加的条件是( )
C
（第1题）
A. B.
C. D.
返回
（第2题）
2. [2024·广州番禺区一模] 如图，在
中，， ，将线段
水平向右平移个单位得到线段 ，
若四边形为菱形，则 的值可以为
( )
A
A. 2 B. 3 C. D.
返回
3.如图，在中，为边上的一点，连结， ，
若，，求证：四边形 是菱形.
【证明】 在平行四边形 中，
,
.
, .
, .
,
.
四边形 是菱形.
返回
知识点2 四条边相等的四边形是菱形
4. [2024·上海] 四边形为矩形，过，作对角线 的
垂线，过，作对角线 的垂线，如果四个垂线拼成一个
四边形，那这个四边形为( )
A
A. 菱形 B. 矩形 C. 直角梯形 D. 等腰梯形
【点拨】如图所示.
四边形为矩形， ,
.
过点,作对角线的垂线，过点,作对角线 的垂线，
.
.
如果四个垂线拼成一个四边形，那这个四边形为菱形，
故选A.
返回
5. 顺次连接矩形 各边中点，所得
的四边形一定是( )
D
A. 梯形 B. 矩形 C. 正方形 D. 菱形
返回
正方形的性质
定理： 正方形的四个角都是直角，四条边相等.
定理： 正方形的对角线相等且互相垂直平分
A
B
C
D
A
B
C
D
O
∵四边形ABCD是正方形
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°
AB=BC=CD=AD
谢谢观看！(共27张PPT)
5.3.2 正方形的判定
第5章 特殊平行四边形
浙版数学八年级下册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
探究二次根式乘法法则
计算下列各式，观察计算结果，你能发现什么规律？
= ，，所以。
= ，，所以。
= ，，所以。
引导学生观察上述等式，归纳出二次根式的乘法法则：（，）。
用文字语言表述为：两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变。
法则的证明
对于（，），设，，则，。
那么，而。
所以，即（，），证明了二次根式乘法法则的正确性。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：计算
（1）
解：根据二次根式乘法法则。
（2）
解：。
（3）（）
解：。
在讲解例题过程中，强调：
运用法则时要注意被开方数的取值范围，确保，。
计算结果要化为最简二次根式。
（四）课堂练习（10 分钟）
计算
（1）
（2）
（3）（）
比较大小：与。
让学生在练习本上完成，教师巡视，及时发现学生存在的问题并进行指导。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾二次根式的乘法法则：（，）。
总结运用法则进行计算时的注意事项，如被开方数的取值范围、结果要化为最简二次根式等。
强调从特殊到一般的探究方法以及类比思想在数学学习中的应用。
（六）布置作业（5 分钟）
基础作业
课本课后练习题中关于二次根式乘法运算的题目。
拓展作业
已知，求的取值范围。
若与都有意义，且，请你比较与的大小。
五、教学反思
在本节课的教学过程中，通过复习旧知引入新课，让学生从熟悉的内容过渡到新知识的学习，降低了学习难度。在探究二次根式乘法法则时，让学生通过计算具体式子，观察结果，自己归纳出法则，培养了学生的自主探究能力。在例题讲解和课堂练习环节，大部分学生能够掌握二次根式乘法法则的基本运算，但仍有部分学生在化简结果和处理含有字母的二次根式运算时存在困难，需要在后续的教学中加强辅导和练习。同时，在教学方法上，可以进一步增加一些互动环节，让更多的学生参与到课堂讨论中来，提高课堂的活跃度和学生的学习积极性。
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
装修房子铺地板的砖（如下图）大都是正方形的形状，它是什么样的四边形呢？它与平行四边形、矩形、菱形有什么关系？矩形呢？
观察
复习回顾
边
对角线
角
正方形的性质
对角线相等且互相垂直平分.
正方形的两组对边平行.
正方形的四条边相等.
正方形的四个角都是直角.
每一条对角线平分一组对角.
有一个角是直角且一组邻边相等的平行四边形叫做正方形
一个角是直角
且一组邻边相等
平行四边形
正方形
复习回顾
平行四边形
矩形
菱形
四边形
三个角是直角
四条边相等
定义
四个判定定理
定义
对角线相等
定义
对角线垂直
探究新知
菱形
探究1：满足怎样条件的矩形是正方形？
矩形
正方形
一组邻边相等
对角线互相垂直
探究2：满足怎样条件的菱形是正方形？
正方形
一个角是直角
对角线相等
探究新知
1.对角线相等的菱形是正方形.
2.有一个角是直角的菱形是正方形.
3.对角线垂直的矩形是正方形.
4.有一组邻边相等的矩形是正方形.
定理
正方形判定的两条途径：
正方形
正方形
+
+
先判定菱形
先判定矩形
矩形条件
菱形条件
(1)
(2)
一个直角
对角线相等
一组邻边相等
对角线垂直
结论
正方形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心.
正方形是轴对称图形，两条对角线所在直线，以及过每一组对边中点的直线都是它的对称轴.
由于正方形既是菱形，又是矩形，因此：
如图2-59，点E是正方形ABCD的边AB上任意一点，过点D作DF⊥DE交BC的延长线于点F.求证：DE = DF.
举
例
例1
∴ AD = CD， ∠A =∠DCF = 90°.
证明
∵ 四边形ABCD为正方形，
∵ DF⊥DE，
∴ ∠EDF = 90°， 即∠1 +∠3 = 90°，
图2-59
又 ∵ ∠2 +∠3 = 90°，
∴ ∠1 =∠2.
∴ △AED≌△CFD （ASA）.
∴ DE = DF.
图2-59
观察示意图2-58，说一说如何判断一个四边形是正方形？
可以先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等.
也可以先判定四边形是
菱形，再判定这个菱形有一
个角是直角.
说一说
举
例
例2
如图2-60， 已知点A′，B′， C′， D′分别是正方形ABCD 四条边上的点， 并且AA′= BB′= CC′= DD′.
求证：四边形 是正方形.
图2-60
证明
∵ 四边形ABCD为正方形，
∴ AB = BC = CD = DA.
又∵ AA′ = BB′ = CC′ = DD′，
∴ D′A = A′B = B′C = C′D.
又∵ ∠A =∠B =∠C =∠D = 90°，
∴ △AA′D′≌△BB′A′
≌△CC′B′≌△DD′C′.
图2-60
∴ A′D′= B′A′= C′B′= D′C′.
∴ 四边形 是菱形.
又∵ ∠1 =∠3， ∠1 +∠2 = 90°，
∴ ∠2 +∠3 = 90°.
∴ ∠D′A′B′= 90°.
∴ 四边形 是正方形.
图2-60
1. 已知正方形的一条对角线长为4cm，
求它的边长和面积.
答：边长为
面积为 8 cm2.
练习
2. 如果一个矩形的两条对角线互相垂直，那么这个
矩形一定是正方形吗？为什么？
答：一定是.
由两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形可得
此矩形的四条边都相等，即为正方形.
中考 试题
例1
如图，将边长为8cm的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在BC边中点E处，点A落在点F处，
折痕为MN，则线段CN的长是 （ ）
A. 3cm B.4cm
C.5cm D.6cm
A
解析
因为四边形MFEN是由四边形AMND翻折得到，
故DN=EN.
又因为E是BC的中点，所以
设CN=x，则DN=EN=8-x.
在Rt△ECN中，
由勾股定理得EN2=CN2+CE2，
即(8-x)2=x2+42，解得x=3，故选A.
x
中考 试题
例2
如图，ABCD是正方形，点G是BC上的任意一点，DE⊥AG于E，BF∥DE，交AG于F.
求证：AF=BF+EF.
解析
∵ABCD是正方形，∴AD=AB，∠BAD=90°.
∵ DE⊥AG，∴ ∠DEG=∠AED=90°.
∴ ∠ADE+∠DAE=90°.
又∵∠BAF+∠DAE=∠BAD=90°，
∴ ∠ADE=∠BAF. ∵BF∥DE，
∴ ∠AFB=∠DEG=∠AED.
在△ABF和△DAE中，
∴ △ABF≌△DAE(AAS).
∴ BF=AE. ∵ AF=AE+EF，∴ AF=BF+EF.
知识点1 有一组邻边相等的矩形是正方形
1. [2024·上海青浦区期末] 已知四边形 中，
，如果添加一个条件，即可推出该四
边形是正方形，那么这个条件可以是( )
D
A. B.
C. D.
返回
2. 如图，将长方形纸片折叠，使点落在 上
的点处，折痕为，若将纸片沿 剪下后展开，则折叠部
分是一个正方形，其数学原理是( )
A
A. 有一组邻边相等的矩形是正方形
B. 对角线相等的菱形是正方形
C. 两个全等的直角三角形构成正方形
D. 轴对称图形是正方形
返回
3.如图,在矩形中,，分别是边， 上的点,
,且 .
求证:四边形 是正方形.
【证明】 四边形 是矩形，
，
.
又， ，
.又 ，
， ，
四边形 是正方形.
返回
知识点2 有一个角是直角的菱形是正方形
4. 下列四个菱形中分别标注了部分数据，根据所标数据，可
以判断菱形是正方形的是( )
B
A. B. C. D.
返回
5. 如图，在菱形中，对角线， 相
交于点 ，不添加任何辅助线，请添加一个条件:
____________________________，使得四边形 是正方形.
（答案不唯一）
返回
谢谢观看！
