(共27张PPT)
6.2.1 反比例函数的图像和性质
第6章 反比例函数
浙版数学八年级下册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
探究二次根式乘法法则
计算下列各式，观察计算结果，你能发现什么规律？
= ，，所以。
= ，，所以。
= ，，所以。
引导学生观察上述等式，归纳出二次根式的乘法法则：（，）。
用文字语言表述为：两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变。
法则的证明
对于（，），设，，则，。
那么，而。
所以，即（，），证明了二次根式乘法法则的正确性。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：计算
（1）
解：根据二次根式乘法法则。
（2）
解：。
（3）（）
解：。
在讲解例题过程中，强调：
运用法则时要注意被开方数的取值范围，确保，。
计算结果要化为最简二次根式。
（四）课堂练习（10 分钟）
计算
（1）
（2）
（3）（）
比较大小：与。
让学生在练习本上完成，教师巡视，及时发现学生存在的问题并进行指导。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾二次根式的乘法法则：（，）。
总结运用法则进行计算时的注意事项，如被开方数的取值范围、结果要化为最简二次根式等。
强调从特殊到一般的探究方法以及类比思想在数学学习中的应用。
（六）布置作业（5 分钟）
基础作业
课本课后练习题中关于二次根式乘法运算的题目。
拓展作业
已知，求的取值范围。
若与都有意义，且，请你比较与的大小。
五、教学反思
在本节课的教学过程中，通过复习旧知引入新课，让学生从熟悉的内容过渡到新知识的学习，降低了学习难度。在探究二次根式乘法法则时，让学生通过计算具体式子，观察结果，自己归纳出法则，培养了学生的自主探究能力。在例题讲解和课堂练习环节，大部分学生能够掌握二次根式乘法法则的基本运算，但仍有部分学生在化简结果和处理含有字母的二次根式运算时存在困难，需要在后续的教学中加强辅导和练习。同时，在教学方法上，可以进一步增加一些互动环节，让更多的学生参与到课堂讨论中来，提高课堂的活跃度和学生的学习积极性。
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
反比例函数的图像是什么样的呢？我们按照反比例系数的正负来区分讲解吧：
同学们能在直角坐标系中画出反比例函数 与 的图象吗？
提示：画函数的图象步骤一般分为：列表→描点→连线. 需要注意的是在反比例函数中自变量 .
探究一:反比例函数 (k＞0)的图像和性质
知识点
反比例函数的图象
1
x … －6 －5 －4 －3 －2 －1 1 2 3 4 5 6 …
… …
… …
－1
－2
－1.2
－2.4
－1.5
－3
－2
－4
－3
－6
－6
6
3
6
2
4
1.5
3
1.2
2.4
1
2
－12
12
(1)列表--让取一些正实数和负实数并计算出相应的函数值y
(2)描点--以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系内描绘出相应的点．
－1
1
2
3
4
5
6
x
－2
－3
－4
－5
1
2
3
4
5
6
－1
－2
－3
－4
－5
(3)连线：用平滑的曲线顺次连接各点，即可得 的图象．
*同样
－1
1
2
3
4
5
6
x
－2
－3
－4
－5
1
2
3
4
5
6
－1
－2
－3
－4
－5
x 增大
y
减
小
观察这两个函数图象，回答问题：
思考2：
(1) 每个函数图象分别位于哪些象限？
(2) 在每一个象限内，
随着x的增大，y 如何
变化？你能由它们的
解析式说明理由吗？
★由两条曲线组成，且分别位于第一、三象限，它们与 x 轴、y 轴都不相交；
★在每个象限内，y 随 x 的增大而减小.
★由两条曲线组成，且分别位于第一、三象限，它们与 x 轴、y 轴都不相交；
★在每个象限内，y 随 x 的增大而减小.
O
x
y
学完了k>0的反比例函数的图像，我们一起来画k<0的反比例函数图像吧！以 为例：
同样按照 列表→描点→连线
我们可以得到图像
O
-1
1
1
-1
同学们，根据画出的反比例图像来分析下它们的性质吧！
k > 0 k < 0
y
x
O
y
x
O
y
x
O
y
x
O
*虚线非图像线，
表明增减关系用
归纳反比例函数的图象性质。
k k > 0 k < 0
共同 双曲线，即由两支曲线组成
象限 分别位于一、三象限 分别位于二、四象限
增减性 每个象限内，y 随x 的增大而减小 每个象限内，y 随x 的增大而增大
其他特点 1.轴对称图形，也是以原点为对称中心的中心对称图形 2.曲线的发展趋势靠近坐标轴，但不能和坐标轴相交
k 的正负决定反比例函数所在的象限和增减性哟
知1－讲
例 1
知1－讲
知1－练
知1－练
知2－讲
知识点
反比例函数y＝中比例系数k的几何意义
2
例 2
知2－练
知识点1 反比例函数的图象
1. [2024·台州月考] 函数 的图象大致是( )
B
A. B. C. D.
2. 当时，函数 的图象在
( )
A
A. 第四象限 B. 第三象限 C. 第二象限 D. 第一象限
返回
3. 如图，反比例
函数的图象经过点 ，则此反比例函
数的表达式为( )
C
A. B. C. D.
返回
4. 下列对于反比例函数 的图象的对称性叙述错误的是
( )
D
A. 关于原点成中心对称 B. 关于直线 对称
C. 关于直线对称 D. 关于 轴对称
5.若反比例函数的图象在第二、四象限，则 的取值
范围是______.
6.已知点与点 关于原点对称,且都在反比例函
数的图象上,则 ____.
16
返回
7.反比例函数的图象经过点 .
（1）求出这个反比例函数的表达式；
【解】 反比例函数的图象经过点 ，
.
这个反比例函数的表达式为 .
（2）请判断点和点 是否在这个反比例函数的
图象上.
当时， ，
点 在这个反比例函数的图象上.
当时， ，
点 不在这个反比例函数的图象上.
返回
知识点2 反比例函数的比例系数 的意义
8. 若下图均是反比例函数 的图象,则图中阴影部分的面
积为2的是( )
D
A. B. C. D.
返回
9. 如图,，两点在双曲线
上,分别经过，两点向轴、 轴作垂线
段,已知,则 ( )
D
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
返回
.该选项的图象要求中， ，
则，对要求 ，两图象不存在矛盾，
当时，对于函数的图象与 轴交点的横
坐标为 与图象不存在矛盾，不符合题意；
.该选项的图象要求中， ，
则，对要求 ，两图象不存在矛盾，
当时，对于函数的图象与 轴交点的横
k k > 0 k < 0
共同 双曲线，即由两支曲线组成
象限 分别位于一、三象限 分别位于二、四象限
增减性 每个象限内，y 随x 的增大而减小 每个象限内，y 随x 的增大而增大
其他特点 1.轴对称图形，也是以原点为对称中心的中心对称图形 2.曲线的发展趋势靠近坐标轴，但不能和坐标轴相交
课堂小结
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6.2.2 反比例函数k的几何意义
第6章 反比例函数
浙版数学八年级下册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
探究二次根式乘法法则
计算下列各式，观察计算结果，你能发现什么规律？
= ，，所以。
= ，，所以。
= ，，所以。
引导学生观察上述等式，归纳出二次根式的乘法法则：（，）。
用文字语言表述为：两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变。
法则的证明
对于（，），设，，则，。
那么，而。
所以，即（，），证明了二次根式乘法法则的正确性。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：计算
（1）
解：根据二次根式乘法法则。
（2）
解：。
（3）（）
解：。
在讲解例题过程中，强调：
运用法则时要注意被开方数的取值范围，确保，。
计算结果要化为最简二次根式。
（四）课堂练习（10 分钟）
计算
（1）
（2）
（3）（）
比较大小：与。
让学生在练习本上完成，教师巡视，及时发现学生存在的问题并进行指导。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾二次根式的乘法法则：（，）。
总结运用法则进行计算时的注意事项，如被开方数的取值范围、结果要化为最简二次根式等。
强调从特殊到一般的探究方法以及类比思想在数学学习中的应用。
（六）布置作业（5 分钟）
基础作业
课本课后练习题中关于二次根式乘法运算的题目。
拓展作业
已知，求的取值范围。
若与都有意义，且，请你比较与的大小。
五、教学反思
在本节课的教学过程中，通过复习旧知引入新课，让学生从熟悉的内容过渡到新知识的学习，降低了学习难度。在探究二次根式乘法法则时，让学生通过计算具体式子，观察结果，自己归纳出法则，培养了学生的自主探究能力。在例题讲解和课堂练习环节，大部分学生能够掌握二次根式乘法法则的基本运算，但仍有部分学生在化简结果和处理含有字母的二次根式运算时存在困难，需要在后续的教学中加强辅导和练习。同时，在教学方法上，可以进一步增加一些互动环节，让更多的学生参与到课堂讨论中来，提高课堂的活跃度和学生的学习积极性。
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
函数 大致 图象 图象 位置 函数性质 （增减性） 函数性质
（对称性）
k > 0
k < 0
y
O
x
y
O
x
一、三象限
二、四象限
当x>0(或x<0)时，y随x增大而减小
当x>0(或x<0)时，y随x增大而增大
1.双曲线关于
直线y=x和y=-x
成轴对称
2.双曲线关于
点（0，0）成
中心对称
反比例函数 的图象特征和性质
|k|越大,双曲线离坐标轴越远.
K 与 图 形 面 积
反比例函数图像上任意一点向x轴和y轴作垂线，得到矩形的面积为
P(m,n)
A
o
y
x
B
类型一
例1： 如图，点A，点B分别在两条不同的双曲线上，且AB∥x轴，点C和点D在x轴上，若四边形ABCD为矩形，则矩形ABCD的面积为___________
3
K 与 图 形 面 积
类型二
P(m,n)
A
o
y
x
B
反比例函数图像上任意一点向x轴或y轴作垂线，与原点围成三角形的面积为
例2： 如图，点A是反比例函数 y= (x<0)的图象上一点，过点A作AB⊥y轴于点B．点P在x轴上．若△ABP的面积是5，则k=___________
-10
yy
O
P
Q
M
1. PMQ的面积？
A
B
还有其他做法吗
2.连接AQ， PAQ的面积？
K 与 图 形 面 积
类型三
yx
S△ABC=︱k︱
SABCD=2︱k︱
B
D
S= ︱k︱
o
y
P(m,n)
x
A
B
C
D
C
o
x
y
A
例 1
知1－讲
知1－练
知1－练
知2－讲
知识点
一次函数与反比例函数图象的综合
2
例 2
知2－讲
知2－练
类型1 反比例函数与三角形的面积
例1 如图，在直角坐标系中， 为坐标原
点，的顶点在轴上， 轴，点
， 分别在反比例函数
和
的图象上.若 的
面积为5，且，则 的值为____.
【点拨】如图，连结， .
的顶点在轴上， 轴，
轴， .
点，分别在反比例函数 和
的图象上，
， ，
，
.
又 ，
得， .
变式1 如图，已知反比例函数
和.点 在
轴的正半轴上，过点作直线 轴，
且分别与两个反比例函数的图象交于点
和点，连结，.若 的面
积为， ，试求这两个反比例函数的表达式.
【解】的面积为 ，
，
即 .
， ，
联立①②，得
解得， .
，，, ，
两个反比例函数的表达式分别为
和 .
类型2 反比例函数与四边形的面积
（例2）
例2 如图，点在双曲线
上，点在双曲线 上，且
轴，点，在 轴上，若四边形
为矩形，则四边形 的面积
为___.
2
（例2）
【点拨】延长交轴于点 .
轴，四边形 为矩形，
轴,轴, 轴.
四边形和四边形 都是矩
形.
点在双曲线 上，
矩形 的面积为1.
点在双曲线 上，
矩形 的面积为3.
矩形的面积为 .
（例2）
课堂小结
反比例函数解析式
解决反比例函数中有关面积的问题
yy
yx
0
yy
yx
0
y
yx
0
yy
yx
0
y
yx
0
几个图形面积之间的联系
化归
谢谢观看！
