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浙教版2024-2025学年八年级下数学第2章一元二次方程 培优测试卷
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
2．用配方法解一元二次方程x2+2x﹣3＝0，配方后得到的方程是（ ）
A．（x﹣1）2＝4 B．（x+1）2＝4
C．（x+2）2＝1 D．（x﹣2）2＝1
3．若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是 （ ）
A．k≥0 B．k≥0且k≠2 C． D．且k≠2
4．利用公式法求解可得一元二次方程式的两解为、，且，求a值为何（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在长为32米，宽为20米的长方形地面上修筑同样宽的小路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，要使小路的面积为100平方米，设小路的宽为x米，则下面所列方程正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
6． 三角形两边长分别为3和6，第三边长是方程的解，则这个三角形的周长是（ ）
A．15 B．13 C．11或8 D．11和13
7．某公司今年1月的营业额为2500万元，按计划第一季度的总营业额要达到9100万元，求该公司2月和3月两个月的月平均增长率．设该公司2月和3月两个月营业额的月平均增长率为x，则可列方程（ ）
A．
B．
C．
D．
8．若x0是关于x的一元二次方程 （a≠0)的一个根，设 M=1-ac，N=(ax0+1) ，则M 与N的大小关系是 （ ）
A．M>N B．M=N C．M9．已知实数满足，设，则的最大值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
10．对于一元二次方程，下列说法：
①若，则；
②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；
③若c是方程的一个根，则一定有成立；
④若是一元二次方程的根，则.
其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．若是关于的一元二次方程的一个解，则的值为 ．
12．当 时， 代数式 与 的值相等．
13．如图，在长为33米宽为20米的矩形空地上修建同样宽的道路(阴影部分)，余下的部分为草坪，要使草坪的面积为510平方米，则道路的宽为 ．
14．已知一次函数（m为常数）的图象过一、二、三象限，且关于x的一元二次方程有实数根，则所有满足条件的整数m的值之和是 ．
15．某超市经销的洗衣液中，甲、乙两个品牌比较畅销，其中甲品牌洗衣液的进价为30元/瓶，乙品牌洗衣液的进价每瓶比甲品牌高10元.在销售中，该超市发现，若将甲品牌的洗衣液以每瓶45元出售，则每天固定售出100瓶，而乙品牌的洗衣液每瓶售价50元时，每天可售出140瓶，且当乙品牌的洗衣液每瓶售价每提高1元时，每天就会少售出2瓶.当乙品牌洗衣液每瓶的售价为 元时，两种品牌的洗衣液每天的销售利润之和为4700元.
16．已知a，b分别是方程 的两个根，则 的值为 .
三、解答题（本题有8小题，第17～21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共72分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．用适当的方法解下列方程：
（1）； （2）：
（3）； （4）.
18．已知关于x的方程．
（1）试说明无论k取何值时，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若k＝8，请解此方程．
19．已知、、是的三边长，关于的一元二次方程有两个相等的实数根．
（1）请判断的形状；
（2）当，时，求一元二次方程的解．
20．如图，要用篱笆（虚线部分）围成一个矩形苗圃，其中两边靠的墙足够长，中间用平行的篱笆隔开，已知篱笆的总长度为18米．
（1）设矩形苗圃的一边的长为，矩形苗圃面积为，求关于的函数关系式，直接写出自变量的取值范围；
（2）当为何值时，所围矩形苗圃的面积为．
21．为了促进销售、扩大市场占有率，某品牌销售部在某小区开展中央空调团购活动，请根据以下素材完成“问题解决”中的三个问题．
素材 某款中央空调每台进价为元．
素材 团购方案：团购台时，则享受团购价元台，若团购数量每增加台，则每台再降元． 规定：一个团的团购数量不超过台．
问题解决 问题：当团购台时，求出每台空调的团购价． 问题：设团购数量增加台，请用含的代数式表示每台空调的团购价． 问题：当一个团的团购数量为多少台时，销售部的利润为元．
22．“蓝莓园里果盈枝，又到尝鲜采撷时”，今年我县蓝莓又喜获丰收．某水果商店从某蓝莓园购入一款进价为40元/千克的蓝莓，为了向消费者推广该蓝莓，商店计划开展为期10天的降价促销活动，调查发现，第1天的单价x（元/千克）和销量y（千克）均与t成一次函数关系，部分数据如下表．
t（天） 1 2 3 4
x（元/千克） 59 58 57 56
y（千克） 70 80 90 100
（1）分别求x，y与t的函数表达式；
（2）在活动开展的第几天，销售蓝莓的日利润为1650元；
（3）请直接写出该活动进行到第几天时可以获得最大日利润，最大日利润为多少？
23．[阅读材料]：把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、解方程、求最值问题等中都有着广泛的应用．
例1：用配方法因式分解：．
原式
例2：求的最小值．
解：；
由于，所以，
即的最小值为5．
（1）[类比应用]：在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式： ；
（2）仿照例1的步骤，用配方法因式分解：；
（3）仿照例2的步骤，求的最小值；
（4）若，则 ．
24．小华在学完了八下教材《一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）》一节内容后，对一元三次方程根与系数的关系产生了浓厚兴趣，决定一探究竟．下面是他收集的素材，汇总如下，请根据素材帮助他完成相应任务：
探究一元三次方程根与系数的关系
素材 一元三次方程的定义 我们把两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是3次的方程叫做一元三次方程，它的一般形式为（为常数，且）．
素材 一元三次方程的解法 若一元三次方程的左边在实数范围内可因式分解为（为实数），即原方程化为：，则得方程的根为．
素材 一元二次方程根与系数的关系的探究过程 设一元二次方程有两个根，则方程可化为，即，与原方程系数进行比较，可得根与系数的等量关系为：．
问题解决
任务 感受新知 若关于x的三次方程（为常数）的左边可分解为，则方程的三个根分别为__________，__________，__________．
任务 探索新知 若关于x的三次方程的三个根为，请探究与系数之间的等量关系．
任务 应用新知 利用上一任务的结论解决：若方程的三个根为，求的值．
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浙教版2024-2025学年八年级下数学第2章一元二次方程 培优测试卷
解析版
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】 A. ，方程含一个未知数，但方程有分式，不是一元二次方程，故A不符合题意；
B. ，方程含两个未知数，且未知数的次数为2，不是一元二次方程，故B不符合题意；
C. ，方程含一个未知数， 且未知数的次数为2， 是一元二次方程，故C符合题意；
D. ，整理得：x=-6，方程含一个未知数，且未知数的次数为1，不是一元二次方程，故D不符合题意；
故答案为：C.
2．用配方法解一元二次方程x2+2x﹣3＝0，配方后得到的方程是（ ）
A．（x﹣1）2＝4 B．（x+1）2＝4
C．（x+2）2＝1 D．（x﹣2）2＝1
【答案】B
【解析】∵x2+2x-3=0，
∴x2+2x=3，
则x2+2x+1=3+1，即（x+1）2=4.
故答案为：B.
3．若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是 （ ）
A．k≥0 B．k≥0且k≠2 C． D．且k≠2
【答案】D
【解析】∵一元二次方程（k-2）x2-2kx+k=6有实数根，
整理可得方程为：（k-2）x2-2kx+k-6=0，
∴Δ=（-2k）2-4×（k-2）×（k-6）≥0，k-2≠0；
解得： ，k≠2 ；
故答案为：D.
4．利用公式法求解可得一元二次方程式的两解为、，且，求a值为何（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】a，b为一元二次方程得两解，且a＞b，由求根公式得，，；
故答案为：D.
5．如图，在长为32米，宽为20米的长方形地面上修筑同样宽的小路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，要使小路的面积为100平方米，设小路的宽为x米，则下面所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】设道路的宽米，
则，
；
故答案为：D．
6． 三角形两边长分别为3和6，第三边长是方程的解，则这个三角形的周长是（ ）
A．15 B．13 C．11或8 D．11和13
【答案】B
【解析】
∵2+3<6，3+4>6，
∴三角形三边长为3，4，6；周长=3+4+6=13；
故B正确，A、C、D错误；
正确答案为：B
7．某公司今年1月的营业额为2500万元，按计划第一季度的总营业额要达到9100万元，求该公司2月和3月两个月的月平均增长率．设该公司2月和3月两个月营业额的月平均增长率为x，则可列方程（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】 设该公司2月和3月两个月营业额的月平均增长率为x， 则二月份的营业额为2500（1+x）万元，三月份的营业额为2500（1+x）2万元，
由题意得2500+2500(1+x)+2500(1+x)2=9100
故答案为：D.
8．若x0是关于x的一元二次方程 （a≠0)的一个根，设 M=1-ac，N=(ax0+1) ，则M 与N的大小关系是 （ ）
A．M>N B．M=N C．M【答案】B
【解析】∵x0是方程ax2+2x+c=0（a≠0）的一个根，
∴ax02+2x0+c=0，即ax02+2x0=-c；
则N-M=（ax0+1）2-（1-ac）
=a2x02+2ax0+1-1+ac
=a（ax02+2x0）+ac
=-ac+ac
=0，
∴M=N，
故答案为：B.
9．已知实数满足，设，则的最大值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【解析】∵，
∴将两个等式相加得，，
∴，
∵
∴将看作常数，则，
∵方程有实数解，
∴，
∵，
∴时，为最大，
∴.
故答案为：C.
10．对于一元二次方程，下列说法：
①若，则；
②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；
③若c是方程的一个根，则一定有成立；
④若是一元二次方程的根，则.
其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】∵，
∴x=1，
∴x=1是方程的一个根，
∴方程有相等实根或者有不等实根，
∴.
∴①正确.
∵有两个不等实根，
∴，
∵，
∴，
∴方程有两个不相等实根，
∴② 正确.
∵c是方程的一个根，
∴，
∵当c≠0时，，当c=0时，不一定等于0，
∴③ 不正确.
∵是方程的根，
∴，
∴，
∴，
∴④正确.
故答案为：C.
二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．若是关于的一元二次方程的一个解，则的值为 ．
【答案】-12
【解析】将代入中，可得，
解得：，
故答案为：．
12．当 时， 代数式 与 的值相等．
【答案】
【解析】根据题意，我们有：，
移项，得到：，
化简，得到：，
即，
解出x的值，得到：，
故答案为：．
13．如图，在长为33米宽为20米的矩形空地上修建同样宽的道路(阴影部分)，余下的部分为草坪，要使草坪的面积为510平方米，则道路的宽为 ．
【答案】3米
【解析】设道路的宽为，
因为矩形长为33米宽为20米， 草坪的面积为510平方，
所以列方程可得，
整理得，
解得，（不合题意，舍去），
故道路的宽为3米．
故答案为：3米．
14．已知一次函数（m为常数）的图象过一、二、三象限，且关于x的一元二次方程有实数根，则所有满足条件的整数m的值之和是 ．
【答案】-3
【解析】∵一次函数y＝x＋2m＋8（m为常数）的图象过一、二、三象限，
∴2m＋8＞0，
2m＞ 8，
m＞ 4，
∵关于x的一元二次方程x2 2x＋m 1＝0有实数根，
∴（ 2）2 4（m 1）≥0，
4 4m＋4≥0，
4m≥ 8，
m≤2，
∴m的取值范围是： 4＜m≤2，
∴所有满足条件的整数m的值为： 3或 2或 1或0或1或2，
∴所有满足条件的整数m的值之和为： 3 2 1＋0＋1＋2＝ 3，
故答案为： 3．
15．某超市经销的洗衣液中，甲、乙两个品牌比较畅销，其中甲品牌洗衣液的进价为30元/瓶，乙品牌洗衣液的进价每瓶比甲品牌高10元.在销售中，该超市发现，若将甲品牌的洗衣液以每瓶45元出售，则每天固定售出100瓶，而乙品牌的洗衣液每瓶售价50元时，每天可售出140瓶，且当乙品牌的洗衣液每瓶售价每提高1元时，每天就会少售出2瓶.当乙品牌洗衣液每瓶的售价为 元时，两种品牌的洗衣液每天的销售利润之和为4700元.
【答案】80
【解析】设乙品牌洗衣液每瓶的售价为x元，则乙品牌洗衣液每瓶利润为（x-40）元，则每天的销量为瓶，
由题意得：，
化简得：，
解得：，
故乙品牌洗衣液每瓶的售价为80元时，两种品牌的洗衣液每天的销售利润之和为4700元.
故答案为：80.
16．已知a，b分别是方程 的两个根，则 的值为 .
【答案】4
【解析】∵ a，b分别是方程 的两个根，
∴a2+a（m+2）+1=0，b2+b（m+2）+1=0，ab=1，
∴a2+am+1+2a=0，b2+bm+1+2b=0，
∴a2+am+1=-2a，b2+bm+1=-2b，
∴原式=-2a·（-2b）=4ab=4×1=4.
故答案为：4.
三、解答题（本题有8小题，第17～21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共72分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．用适当的方法解下列方程：
（1）；
（2）：
（3）；
（4）.
【答案】（1）解：将原方程转化为7x2-21x=0
∴7x（x-3）=0
∴7x=0或x-3=0
解之：x1=0，x2=3
（2）解：将原方程转化为x2-6x+8=0，
∴（x-2）（x-4）=0
∴x-2=0或x-4=0
解之：x1=2，x2=4
（3）解：∵b2-4ac=36+8=44，
x
∴
（4）解：将方程转化为
3（x-2）=±2（x+1）
∴3（x-2）=2（x+1）或3（x-2）=-2（x+1）
解之：x1=8，
18．已知关于x的方程．
（1）试说明无论k取何值时，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若k＝8，请解此方程．
【答案】（1）解：∵，
∴无论k取何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：当k=8时，原方程为：，
∴（3x+2）（x+2）=0，
∴．
19．已知、、是的三边长，关于的一元二次方程有两个相等的实数根．
（1）请判断的形状；
（2）当，时，求一元二次方程的解．
【答案】（1）解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，
∴，
∴△ABC为直角三角形；
（2）解：∵，，，
∴，
∴，
∴原方程为，
解得：．
20．如图，要用篱笆（虚线部分）围成一个矩形苗圃，其中两边靠的墙足够长，中间用平行的篱笆隔开，已知篱笆的总长度为18米．
（1）设矩形苗圃的一边的长为，矩形苗圃面积为，求关于的函数关系式，直接写出自变量的取值范围；
（2）当为何值时，所围矩形苗圃的面积为．
【答案】（1）解：根据题意，得AB=EF=x，则BC=18-2x，
∴，
解得：0∵ 矩形苗圃ABCD面积为y，
∴y=x（18-2x）=-2x2+18x，
∴y关于x的函数关系式为y=-2x2+18x（0（2）解：由（1）得y=-2x2+18x（0∴令y=40，有-2x2+18x=40，
解得：，，
∴当x为4或5时，所围矩形花圃ABCD的面积为40m2．
21．为了促进销售、扩大市场占有率，某品牌销售部在某小区开展中央空调团购活动，请根据以下素材完成“问题解决”中的三个问题．
素材 某款中央空调每台进价为元．
素材 团购方案：团购台时，则享受团购价元台，若团购数量每增加台，则每台再降元． 规定：一个团的团购数量不超过台．
问题解决 问题：当团购台时，求出每台空调的团购价． 问题：设团购数量增加台，请用含的代数式表示每台空调的团购价． 问题：当一个团的团购数量为多少台时，销售部的利润为元．
【答案】解：问题1：当团购台时，每台空调的团购价为元；
问题2：设团购数量增加台，表示每台空调的团购价为元；
问题3：根据题意，得：，
整理，得：，
解得舍去，，
答：当一个团的团购数量为台时，销售部的利润为元．
22．“蓝莓园里果盈枝，又到尝鲜采撷时”，今年我县蓝莓又喜获丰收．某水果商店从某蓝莓园购入一款进价为40元/千克的蓝莓，为了向消费者推广该蓝莓，商店计划开展为期10天的降价促销活动，调查发现，第1天的单价x（元/千克）和销量y（千克）均与t成一次函数关系，部分数据如下表．
t（天） 1 2 3 4
x（元/千克） 59 58 57 56
y（千克） 70 80 90 100
（1）分别求x，y与t的函数表达式；
（2）在活动开展的第几天，销售蓝莓的日利润为1650元；
（3）请直接写出该活动进行到第几天时可以获得最大日利润，最大日利润为多少？
【答案】（1）解：设
将代入得
解得
∴且t为正整数；
将代入验证，符合解析式；
设，
将代入得
解得
∴且为正整数；
将代入验证，符合解析式；
（2）解：依题意得
∴
解得
答：在活动开展的第5天或第9天，销售蓝莓的日利润为1650元
（3）第7日获得最大日利润，最大日利润为为元
【解析】（3）设日利润为w，根据题意，得
，
∵，
∴存在最大值，
当时，w取得最大值为1690元．
23．[阅读材料]：把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、解方程、求最值问题等中都有着广泛的应用．
例1：用配方法因式分解：．
原式
例2：求的最小值．
解：；
由于，所以，
即的最小值为5．
（1）[类比应用]：在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式： ；
（2）仿照例1的步骤，用配方法因式分解：；
（3）仿照例2的步骤，求的最小值；
（4）若，则 ．
【答案】（1）9
（2）解：
；
（3）解：；
由于，所以，
即的最小值为6；
（4）
【解析】（1）解：，
故答案为：9；
（4）解：∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
∴，，
∴．
故答案为：．
24．小华在学完了八下教材《一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）》一节内容后，对一元三次方程根与系数的关系产生了浓厚兴趣，决定一探究竟．下面是他收集的素材，汇总如下，请根据素材帮助他完成相应任务：
探究一元三次方程根与系数的关系
素材 一元三次方程的定义 我们把两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是3次的方程叫做一元三次方程，它的一般形式为（为常数，且）．
素材 一元三次方程的解法 若一元三次方程的左边在实数范围内可因式分解为（为实数），即原方程化为：，则得方程的根为．
素材 一元二次方程根与系数的关系的探究过程 设一元二次方程有两个根，则方程可化为，即，与原方程系数进行比较，可得根与系数的等量关系为：．
问题解决
任务 感受新知 若关于x的三次方程（为常数）的左边可分解为，则方程的三个根分别为__________，__________，__________．
任务 探索新知 若关于x的三次方程的三个根为，请探究与系数之间的等量关系．
任务 应用新知 利用上一任务的结论解决：若方程的三个根为，求的值．
【答案】解：任务1：，，；
任务：由题意可知，原方程可化为：，
展开整理得：，
与原方程比较可得，，；
任务：利用上题结论可知：，，
．
【解析】任务：∵，且a≠0，
∴或或，
，
故答案为：，，；
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