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浙教版2024-2025学年八年级下数学第4章平行四边形 培优测试卷
解析版
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．以下是回收、绿色食品、绿色包装、低碳四个标志图案，其中为中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】A：不是中心对称图形，所以A不符合题意；
B：是轴对称图形，不是中心对称图形，所以B不符合题意；
C：是中心对称图形，所以C符合题意；
D：不是中心对称图形，所以D不符合题意。
故答案为：C。
2．如果一个多边形的每个内角与它的外角相等，则它的边数为( )
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】A
【解析】设每个内角为x°，则每个外角为x°，
由题意得：x+x=180，
解得：x=90°，
∴边数为360°÷90°=4，
故答案为：A.
3．如图，四边形的对角线和相交于点O，下列条件不能判定四边形为平行四边形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】A：根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可判定四边形ABCD是平行四边形，所以A不符合题意；
B：∵AB∥DC，∴∠ABO=∠CDO，又OA=OC，∠AOB=∠COD，∴△AOB≌△COD，∴AB=CD，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可判定四边形ABCD是平行四边形，所以B不符合题意；
C：在△ABC和△CDA中，有∠ABC=∠ADC，AB=CD，AC=CA，满足两边和其中一边的对角对应相等，不能判定△ABC和△CDA全等，所以不能得出AD=BC，故而不能判定四边形ABCD一定是平行四边形，所以C符合题意；
D：根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD是平行四边形，所以D不符合题意。
故答案为：C。
4．如图所示，在中，对角线，交于点O，交于E．若，则的长为（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
【答案】B
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，BO=OD，
∵OE∥BC，
∴OE∥AD，ED=CE，
∴OE为△ACD的中位线，
∴AD=2OE=6cm，
故答案为：B.
5．如图，在中，E为边上一点，且，的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图所示，
∵BE=BC，∠C=55°，
∴∠BEC=∠C=55°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠DAB=∠C=55°，AB∥CD，AD=BC，
∴∠ABE=∠BEC=55°，
∵∠EBD=25°，
∴∠ABD=30°，
∴∠ADB=180°-∠DAB-∠ABD=180°-55°-30°=95°，
在△ABD和△BAE中，
∵AD=BE=BC，∠DAB=∠ABE=55°，AB=BA，
∴△ABD≌△BAE，
∴∠AEB=∠ADB=95°。
故答案为：B。
6．如图，平行四边形的对角线相交于点O，且，则的周长为（ ）
A．27 B．28 C．29 D．30
【答案】C
【解析】在平行四边形ABCD中，CD=AB=11
∵AC+BD=36，∴2OC+2OD=36，
∴OC+OD=18
C△OCD=OC+OD+CD=18+11=29.
故答案为：C.
7．如图，平行四边形中，平分，．若，，则的长为（ ）
A．13 B．17 C．18 D．25
【答案】C
【解析】，
，
，，
，
四边形是平行四边形 ，
，，
，
平分，
，
，
，
，
，
故答案为：C.
8．如图，、在平行四边形的对角线上，，，，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵∠ADF=90°，AE=EF=CD，∴DE为Rt△ADF斜边上的中线，∴DE=EF=CD，∴∠DEC=∠DCE，∵四边形ABCD是平行四边形，∠BCD=66°，∴∠ADC=180°-66°=114°，设∠ADE=x，则∠DEC=∠DCE=2x，∠EDC=∠ADC-∠ADE=114°-x，在△DEC中，∠EDC+∠DEC+∠DCE=180°，即114°-x+2x+2x=180°，解得x=22°，∴∠ADE=22°.故C符合题意.
故选C.
9．如图，是内一点，，，，，、、、分别是、、、的中点，则四边形的周长是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】在Rt△BDC中：BD=4，CD=3，
∴BC=，
∵E、H分别是AB、AC的中点，
∴EH是△ABC的一条中位线，
∴EH∥BC，且EH=，
∵F、G分别是BD、CD的中点，
∴FG是△BCD的一条中位线，
∴FG∥BC，且FG=，
∴EH∥FG，且EH＝FG，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∵E、F分别是AB、DB的中点，
∴EF=GH=，
∴四边形EFGH的周长是 ：2（EF+FG）=2（3+）=11.
故答案为：C。
10．如图，在中，，，是边上一点，将沿折叠得，连接，若四边形为平行四边形，则的值是（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】D
【解析】设AE、BD交于点O，
∵四边形ABED为平行四边形，
∴OA=OE，OB=OD，AB=DE=1.
设OA=OE=x，OB=OD=y，
∵∠ABO=90°，AB=1，
∴AO2=BO2+AB2，
∴x2-y2=1.
∵∠ABC=90°，
∴AB2+BC2=AC2，
∴12+(2y+1)2=(2x)2，
∴x2-y2=y+，
∴y+=1，
∴y=，
∴x=，
∴AE=2x=.
故答案为：D.
二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．一个n边形的内角和等于外角和的2倍，则n=
【答案】6
【解析】根据题意得
（n-2）×180°=2×360°，
解之：n=6.
故答案为：6
12．若点与点关于原点对称，则 .
【答案】-1
【解析】∵点与点关于原点对称，
∴，，
∴.
故答案为：.
13．在 ABCD中，∠A＝2∠B，则∠D＝ ．
【答案】60°
【解析】如图，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∠B=∠D，
∴∠A+∠B=180°，
又∵ ∠A＝2∠B，
∴3∠B=180°，
∴∠B=60°，
∴∠D=60°.
故答案为：60°.
14．如图，平行四边形中，和的平分线交于E、F两点，则的长是 ．
【答案】2
【解析】∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE，
又∵AD∥CB，
∴∠AEB＝∠DAE，
∴∠BAE＝∠AEB，
则BE＝AB＝4；
同理可得，CF＝CD＝4，
∴EF＝BE＋CF BC＝BE＋CF AD＝4＋4 6＝2．
故答案为：2．
15．中，于E，于F，，，若点F刚好是CD的中点，则 .
【答案】
【解析】∵四边形是平行四边形， ，，
∴，，
又，，
∴，
∴，
在中，，，，
∴，即，
解得（负值舍去），
∴.
故答案为：.
16．如图，在 ABCD，点F是BC上的一点，连接AF，AE平分∠FAD，交CD于中点E，连接EF．若∠FAD＝60°，AD＝5，CF＝3，则EF＝ ．
【答案】4
【解析】如图，延长AE、BC交于点G，
∵点E是CD的中点，
∴ED=CE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠D=∠ECG，
又∵∠AED=∠GEC，
∴△ADE≌△GCE（ASA），
∴CG=AD=5，AE=GE，∠G=∠DAE，
∵ AE平分∠FAD，
∴∠DAE=∠FAD=30°，
∴∠G=∠FAE=30°，
∴AF=FG=3+5=8，
∴EF⊥AG，
∴Rt△AEF中，.
故答案为：4.
三、解答题（本题有8小题，第17～21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共72分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．已知：如图，E、F是四边形ABCD的对角线AC上的两点，AF=CE，DF=BE，DF∥BE.
（1）求证：△AFD≌△CEB.
（2）求证：四边形ABCD是平行四边形.
【答案】（1）解：∵DF∥BE，
∴∠DFE=∠BEF.
又∵AF=CE，DF=BE，
∴△AFD≌△CEB（SAS）.
（2）解：由（1）知△AFD≌△CEB，
∴∠DAC=∠BCA，AD=BC，
∴AD∥BC.
∴四边形ABCD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）.
18．如图，在方格纸中，线段AB的两个端点都在小方格的格点上，分别按下列要求画格点四边形.
（1）在图甲中画一个以AB为边的平行四边形﹔
（2）在图乙中画一个以AB为对角线的平行四边形.
【答案】（1）解：如图，
（2）解：如图，
19．如图，在平行四边形ABCD中，点E为AB上一点，且∠CDE＝∠DCB．
（1）求证：AD＝DE；
（2）请判断BD与CE的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，∠DCB=∠A，
∴∠CDE=∠AED，
∵∠CDE=∠DCB，
∴∠A=∠AED，
∴AD=DE；
（2）解：BD=CE，
理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=CB，
由（1）可知：AD=DE，
∴DE=CB，
在△CDE与△DCB中
，
∴△CDE≌△DCB(SAS)，
∴BD=CE，
结论得证．
20．在中，.
（1）若，，求；
（2）若，，求的周长.
【答案】（1）解：∵中，BD=10，AC=26，
∴OD=5，OA=13，
∵AD=12
∴AD2+OD2=OA2，
∴是直角三角形，
即∠ADO=90°，
∴=ADBD=120.
答：等于120.
（2）解：如图，过点D作AC的垂线，交AC与点E，
在中，ABDC，ADBC
∴∠ADC+∠BCD=180，∠DCA=∠DAC
∵，，
∴∠BCD=75°，
∴，
∵∠CDE=90°-30°=60°，∠ADE=∠ADC-∠CDE=45°，
∴是等腰直角三角形，
∴DE=AD=12=6，
∵在Rt中，，
∴DC=2DE=26=12，
∴的周长=2(AD+DC)
=2(12+12)
=24+24.
答：的周长为24+24.
21．如图，在 ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为点E，F．
（1）求证：EO＝FO.
（2）若AE＝EF＝4，求AC的长．
【答案】（1）证明：在 ABCD 中，OA=OC （平行四边形对角线互相平分）
∵AE⊥BD，CF⊥BD
∴∠AEO=∠CFO=90°
又∵∠AOE=∠COF
∴△AEO≌△∠CFO（AAS）
∴EO=FO（全等三角形的对应边相等）
（2）解：由（1）得 EO=FO
∵ AE=EF=4
∴EO=FO=2
∵AE⊥BD
∴AO =
∴
22．如图，在四边形中，.动点P从点B出发，沿射线的方向以每秒的速度运动到C点返回，动点Q从点A出发，在线段上以每秒的速度向点D运动，点P，Q分别从点B，A同时出发，当点Q运动到点D时，点P随之停止运动，设运动时间为t（秒）.
（1）当时，若四边形是平行四边形，求出满足要求的t的值；
（2）当时，若以C，D，Q，P为顶点的四边形面积为，求相应的t的值；
（3）当时，若以C，D，Q，P为顶点的四边形面积为，求相应的t的值.
【答案】（1）解：∵四边形PQDC是平行四边形，
∴DQ=CP，
当0＜t＜10.5时，P、Q分别沿AD、BC运动，如图1所示：
∵DQ=AD-AQ=16-t，
CP=21-2t
∴16-t=21-2t
解得：t=5；
即当t=5秒时，四边形PQDC是平行四边形；
（2）解：当0＜t＜10.5时，P、Q分别沿AD、BC运动，如图1所示：
CP=21-2t，DQ=16-t，
若以C，D，Q，P为顶点的四边形面积为60cm2，
则（DQ+CP）×AB=60，
即（16-t+21-2t）×12=60，
解得：t=9；
即当0＜t＜10.5时，若以C，D，Q，P为顶点的四边形面积为60cm2，t的值为9秒；
（3）解：当10.5≤t＜16时，如图2所示，点P到达C点返回，CP=2t-21，DQ=16-t，
则同（2）得：（DQ+CP）×AB=60，
即（16-t+2t-21）×12=60，
解得：t=15.
即当10.5≤t＜16时，若以C，D，Q，P为顶点的四边形面积为60cm2，t的值为15秒.
23．如图1，已知ABCD，∠A＝∠BEF＝a，E为AD边上一点，F为DC边上一点，BE＝EF.
（1）求证：∠ABE＝∠DEF
（2）如图1，若a＝45°，AE＝5， DE＝1， 求ABCD的面积；
（3）如图2，若a＝30°，AE＝4，DE＝2.求线段BE的长.
【答案】（1）证明：∵∠BED=∠A+∠ABE，∠BED=∠DEF+∠BEF，
∴∠A+∠ABE=∠DEF+∠BEF，
∵∠A＝∠BEF，
∴∠ABE＝∠DEF；
（2）解：过E作EH⊥AD交AB于H，
∵∠A= a＝45°，∠AEH=90°，AE＝5，
∴∠AHE=45°，
∴AH=AE=5，
∵，
∴
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴∠A+∠D=180°，∠CBG=∠A＝45°，
∴∠D=135°=∠EHB，
∵∠ABE＝∠DEF，BE=EF，
∴△BEH≌△EFD（AAS），
∴BH=DE=1，
∴AB=AH+BH=，
过点C作CG⊥AB交AB延长线于G，
∵∠CBG=45°，∠G=90°，
∴∠BCG=45°，
∴BG=CG，
∵，BC=AD=6，
∴，
∴ABCD的面积=；
（3）解：在AB上取点N，连接EN，使EN=AE，过点E作EM⊥AB于M，
∵AE=4，∠A=30°，
∴=2，，
∵EN=AE，EM⊥AB，
∴MN=AM=2，
由（2）得△EBN≌△FED，
∴BN=DE=2，
∴BM=4，
∴.
24．在中，，F是的中点，作于点E，垂足E在线段上（不与A、B重合），连接、．
（1）如图1，若，求的度数；
（2）求证：；
（3）如图2，若E为的中点，请直接写出与的关系．
【答案】（1）解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∵F是的中点，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：如图，延长，交延长线于，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵为中点，
∴，
∵
∴，
∴，即为的中点，
∵，
∴，
∴，
∵为的中点，
∴；
（3）
【解析】由题意可得：
，即
F是AD的中点，E是AB的中点
∴
∴
∴
∴
故答案为
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浙教版2024-2025学年八年级下数学第4章平行四边形 培优测试卷
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．以下是回收、绿色食品、绿色包装、低碳四个标志图案，其中为中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．如果一个多边形的每个内角与它的外角相等，则它的边数为( )
A．4 B．5 C．6 D．7
3．如图，四边形的对角线和相交于点O，下列条件不能判定四边形为平行四边形的是（ ）
A． B．
C． D．
（第3题） （第4题） （第5题） （第6题）
4．如图所示，在中，对角线，交于点O，交于E．若，则的长为（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
5．如图，在中，E为边上一点，且，的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，平行四边形的对角线相交于点O，且，则的周长为（ ）
A．27 B．28 C．29 D．30
7．如图，平行四边形中，平分，．若，，则的长为（ ）
A．13 B．17 C．18 D．25
（第7题） （第8题） （第9题） （第10题）
8．如图，、在平行四边形的对角线上，，，，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，是内一点，，，，，、、、分别是、、、的中点，则四边形的周长是( )
A． B． C． D．
10．如图，在中，，，是边上一点，将沿折叠得，连接，若四边形为平行四边形，则的值是（ ）
A． B． C．2 D．
二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．一个n边形的内角和等于外角和的2倍，则n=
12．若点与点关于原点对称，则 .
13．在 ABCD中，∠A＝2∠B，则∠D＝ ．
14．如图，平行四边形中，和的平分线交于E、F两点，则的长是 ．
（第14题） （第15题） （第16题）
15．中，于E，于F，，，若点F刚好是CD的中点，则 .
16．如图，在 ABCD，点F是BC上的一点，连接AF，AE平分∠FAD，交CD于中点E，连接EF．若∠FAD＝60°，AD＝5，CF＝3，则EF＝ ．
三、解答题（本题有8小题，第17～21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共72分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．已知：如图，E、F是四边形ABCD的对角线AC上的两点，AF=CE，DF=BE，DF∥BE.
（1）求证：△AFD≌△CEB.
（2）求证：四边形ABCD是平行四边形.
18．如图，在方格纸中，线段AB的两个端点都在小方格的格点上，分别按下列要求画格点四边形.
（1）在图甲中画一个以AB为边的平行四边形﹔
（2）在图乙中画一个以AB为对角线的平行四边形.
19．如图，在平行四边形ABCD中，点E为AB上一点，且∠CDE＝∠DCB．
（1）求证：AD＝DE；
（2）请判断BD与CE的数量关系，并说明理由．
20．在中，.
（1）若，，求；
（2）若，，求的周长.
21．如图，在 ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为点E，F．
（1）求证：EO＝FO.
（2）若AE＝EF＝4，求AC的长．
22．如图，在四边形中，.动点P从点B出发，沿射线的方向以每秒的速度运动到C点返回，动点Q从点A出发，在线段上以每秒的速度向点D运动，点P，Q分别从点B，A同时出发，当点Q运动到点D时，点P随之停止运动，设运动时间为t（秒）.
（1）当时，若四边形是平行四边形，求出满足要求的t的值；
（2）当时，若以C，D，Q，P为顶点的四边形面积为，求相应的t的值；
（3）当时，若以C，D，Q，P为顶点的四边形面积为，求相应的t的值.
23．如图1，已知ABCD，∠A＝∠BEF＝a，E为AD边上一点，F为DC边上一点，BE＝EF.
（1）求证：∠ABE＝∠DEF
（2）如图1，若a＝45°，AE＝5， DE＝1， 求ABCD的面积；
（3）如图2，若a＝30°，AE＝4，DE＝2.求线段BE的长.
24．在中，，F是的中点，作于点E，垂足E在线段上（不与A、B重合），连接、．
（1）如图1，若，求的度数；
（2）求证：；
（3）如图2，若E为的中点，请直接写出与的关系．
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