3.3 方差和标准差-2024-2025学年浙教版八年级下册 同步分层作业（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台
3.3 方差和标准差 同步分层作业
1．已知一个样本﹣1，0，2，x，3，平均数为2，则这个样本的方差S2是（　　）
A．5 B．3 C．4 D．6
2．已知一组数据1，2，3，4，5的平均数是，方差是，另一组数据2，3，4，5，6的平均数是，方差是，则下列说法正确的是（　　）
A．， B．， C．， D．，
3．老师通过分析小明和小聪的最近5次数学检测的成绩，确定小明的数学成绩比较稳定，已知他们成绩的方差为7（分2），12（分2），则小明成绩的标准差为（　　）
A．49分 B．144分 C．分 D．分
4.学校要求学生每天坚持体育锻炼，吴亮记录了自己一周内每天校外锻炼的时间，并制作了如图所示的统计图，下列关于吴亮该周每天校外锻炼时间的描述，正确的是（　　）
A．平均数为73分钟 B．众数为88分钟 C．中位数为67分钟 D．方差为25平方分钟
5．如图是甲、乙两人5次投篮成绩统计图（每人每次投球10个），则对于方差的描述正确的是（　　）
A．S甲2＜S乙2 B．S甲2＝S乙2 C．S甲2＞S乙2 D．无法确定
6．若从一组数据2，4，6，8，10中去掉一个最大数和一个最小数，则所得新数据与原数据相比（　　）
A．平均数不变，方差变小 B．平均数不变，方差变大
C．平均数变小，方差变小 D．平均数变小，方差变大
7．一组数据：﹣5、﹣4、﹣3、﹣2、﹣1，这组数据的方差是　 　．
8．一组数据5，6，7，8，9的标准差为　 　．
9．现有一组数据：5，6，6，7，9，9，方差为S1；去掉数字7得到一组新的数据，方差为S2；则S1　 　S2（填“＞”，“＝”或“＜”）．
10．若一组数据“4，a，5，6，b”的平均数是5，众数是5，则这组数据的方差为 　 　．
11．生物学研究表明，植物光合作用速率越高，单位时间内合成的有机物越多．为了解甲、乙、丙、丁四个品种大豆的光合作用速率，科研人员从这四个品种的大豆中各选五株，在同等实验条件下，测量它们的光合作用速率（单位：μmol m﹣2 s﹣1），统计结果如表：
品种 甲 乙 丙 丁
平均数 24 25 23 25
方差 7.6 15.6 6.8 4
则这四个大豆品种中光合作用速率又快又稳定的是 　 　．
12．某校开展暑假读数学课外书活动，开学后802班小明同学在自己班进行调查，统计了全班40位同学暑假所读数学课外书的本数，得到下表：
本数（本） 0 1 2 3 4 ≥5
人数（人） 1 9 21 7 2 0
（1）全班同学暑假读数学课外书本数的众数是 　 　，中位数是 　 　；
（2）求全班同学暑假读数学课外书本数的标准差．
13．为了弘扬和传承中华优秀传统文化，某校举办了一场名为“经典文化传承大赛”的初赛，比赛设定满分为10分，参赛学生的得分均为整数．以下是甲、乙两组（每组10人）学生在初赛中的成绩记录（单位：分）：
甲组：6，7，9，10，6，5，6，6，9，6．
乙组：10，7，6，9，6，7，7，6，7，5．
（1）根据甲、乙两组学生的成绩，得到以下的统计表：
组别 平均数 中位数 众数 方差
甲组 7 a 6 2.6
乙组 b 7 c s乙2
（1）在以上成绩统计表中，a＝ 　 　，b＝ 　 　，c＝ 　 　．
（2）小明同学说：“这次竞赛我得了7分，在我们小组中属于中游略偏上的水平．”根据上面的统计表，判断小明是哪个组的学生，并解释原因．
（3）从平均数和方差看，若从甲、乙两组学生中选择一个成绩较为稳定的小组参加决赛，应选哪个组？并说明理由．
14．某校篮球队5名场上队员的身高是182，188，190，190，192（单位：cm），现用两名身高分别为186cm和190cm的队员换下场上两名身高是182cm和192cm的队员，下列关于换人前后场上队员的身高说法正确的为（　　）
A．中位数变大，众数不变 B．中位数不变，方差变小
C．平均数变大，众数变小 D．平均数变小，方差变大
15．已知数据x1，x2…，x10的方差计算公式为，则这组数据的（　　）
A．方差为40 B．中位数为4 C．平均数为4 D．标准差为40
16．期末考试后，办公室里有两位数学老师正在讨论他们班的数学考试成绩．王老师说：“我班的学生考得还不错，有一半的学生考90分以上，一半的学生考不到90分．”张老师说：“我班大部分的学生都考在85分到90分之间．”王老师和张老师对学生成绩分析的角度分别是（　　）
A．平均数、众数 B．中位数、众数 C．中位数、方差 D．平均数、中位数
17．某班数学综合与实践活动小组的5位同学在一次数学测验成绩分别为81分，83分，89分，85分，87分，经过计算这组数据的方差为m、若小红和小明同学也想加入小组，并且两人成绩均为85分，那么加入后小组成绩的方差为n，则m和n的大小关系为 　 　．
18．汉字是中华文明的重要标志，也是传承中华文明的重要载体．为了贯彻落实教育部印发的《关于进一步加强中小学规范汉字书写教育的通知》，提升学生规范书写意识和书写水平，某中学于11月6日～8日以“翰墨飘香，文韵悠扬”为主题开展了第一届汉字书写大赛．本次大赛满分10分，学生得分均为整数，在初赛中，甲、乙两组（每组10人）学生成绩如下（单位：分）：
甲组：4，5，5，6，6，6，6，8，9，10
乙组：3，5，6，6，7，7，7，7，8，9
组别 平均数 中位数 众数 方差
甲组 a 6 c 3.25
乙组 6.5 b 7 2.45
（1）根据以上成绩，统计分析表中：a＝ 　 　，b＝ 　 　，c＝ 　 　；
（2）小明是甲、乙两组中的其中一员，小明说：“这次竞赛我得了6分，在我们小组中属中游略偏下！”观察上面表格判断，小明可能为 　 　组的学生；
（3）从平均数和方差看，若从甲、乙两组中选择一个组参加决赛，应选哪个组？并说明理由．
19．为了解A，B两款品质相近的无人机在一次充满电后运行的最长时间，分别随机调查了A，B两款无人机各10架，记录它们运行的最长时间（单位：min），并对数据进行整理．
（1）填空：
平均数/min 中位数/min 众数/min 方差/min2
A 70 69.5 ①　 　 ②　 　
B 72 ③　 69 14
（2）根据以上信息，你认为哪款无人机运行时间更有优势？请说明理由．
20．已知一组样本数据x1，x2…，xn为不全相等的n个正数，其中n≥4．若把数据x1，x2，…，xn都扩大m倍再减去l（其中m是实数，m≠0），生成一组新的数据mx1﹣l，mx2﹣l，…，mxn﹣l，则这组新数据与原数据相比较，（　　）
A．平均数相等 B．中位数相等 C．方差相等 D．标准差可能相等
21．一组数据x1，x2，…，xn的平均数为5，方差为16，n是正整数，则另一组数据2x1+3，2x2+3，…，2xn+3的标准差是 　 　．
22．随着科技的发展人工智能渐渐走进了人们的生活，现从甲、乙两款人工智能软件调查得分中分别随机抽取了20个用户的得分数据进行整理、描述和分析（得分用x表示），共分为四组，A：60＜x≤70，B：70＜x≤80，C：80＜x≤90，D：90＜x≤100，下面给出了部分信息．
甲款人工智能软件得分数据：
64，70，75，76，78，78，85，85，85，85，86，89，90，90，94，95，98，98，99，100．
乙款人工智能软件在C组内（80＜x≤90）的所有得分数据：
85，86，87，88，88，88，90，90．
甲、乙两款人工智能软件得分统计表：
软件 平均数 中位数 众数 方差
甲 86 85.5 b 96.6
乙 86 a 88 69.8
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：a＝ 　 　，b＝ 　 　，m＝ 　 　；
（2）根据以上数据，你认为哪款人工智能软件更受用户欢迎？请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）若本次调查有900名用户对甲款人工智能软件进行了调查评分，有1200名用户对乙款人工智能软件进行了评分，估计其中对甲、乙两款人工智能软件非常满意（90＜x≤100）的总用户数．
23．某中学为选拔“校园形象代言人”，先后进行了笔试和面试．在笔试中，甲、乙、丙三位同学脱颖而出，他们的笔试成绩（满分为100分）分别是87，85，90．在面试中，十位评委对甲、乙、丙三位同学的表现进行打分，每位评委最高打10分，面试成绩等于各位评委打分之和．对三位同学的面试数据进行整理、描述和分析，并给出了相关信息．
c．甲、乙、丙三位同学面试情况统计表
同学 评委打分的中位数 评委打分的众数 面试成绩 方差
甲 m 9和10 85 1.85
乙 8.5 8 87 s2
丙 8 n p 2.01
根据以上信息，回答下列问题：
（1）m＝ 　 　，n＝ 　 　；
（2）求丙同学的面试成绩p；
（3）通过比较方差，可判断评委对学生面试表现评价的一致性程度．据此推断评委对 　 　同学的评价更一致（填“甲”、“乙”或“丙”）；
（4）按笔试成绩占40%，面试成绩占60%选出综合成绩最高的同学是 　 　（填“甲”、“乙”或“丙”）．
答案与解析
1．已知一个样本﹣1，0，2，x，3，平均数为2，则这个样本的方差S2是（　　）
A．5 B．3 C．4 D．6
【点拨】先由平均数公式求得x的值，再由方差公式求解．
【解析】解：（﹣1+0+2+x+3）÷5＝2，
∴x＝6，
∴方差S2＝[（﹣1﹣2）2+（0﹣2）2+（2﹣2）2+（6﹣2）2+（3﹣2）2]÷5＝6．
故选：D．
【点睛】本题考查了平均数以及方差的定义，熟练掌握平均数与方差的计算方法是解答本题的关键．
2．已知一组数据1，2，3，4，5的平均数是，方差是，另一组数据2，3，4，5，6的平均数是，方差是，则下列说法正确的是（　　）
A．， B．， C．， D．，
【点拨】分别计算出平均数和方差即可得出答案．
【解析】解：∵＝＝3，
＝＝4，
＝[（1﹣3）2+（2﹣3）2+（3﹣3）2+（4﹣3）2+（5﹣3）2]＝2，
s＝[（2﹣4）2+（3﹣4）2+（4﹣4）2+（5﹣4）2+（6﹣4）2]＝2，
∴≠，s＝．
故选：B．
【点睛】本题考查了方差和算术平均数，熟练掌握方差和算术平均数计算公式是解题关键．
3．老师通过分析小明和小聪的最近5次数学检测的成绩，确定小明的数学成绩比较稳定，已知他们成绩的方差为7（分2），12（分2），则小明成绩的标准差为（　　）
A．49分 B．144分 C．分 D．分
【点拨】根据标准差和方差的定义即可得到结论．
【解析】解：∵小明的数学成绩比较稳定，
小明的数学成绩的方差为7（分2），
∴小明成绩的标准差为分，
故选：C．
【点睛】本题考查了标准差和方差，熟练掌握标准差和方差是解题的关键．
4.学校要求学生每天坚持体育锻炼，吴亮记录了自己一周内每天校外锻炼的时间，并制作了如图所示的统计图，下列关于吴亮该周每天校外锻炼时间的描述，正确的是（　　）
A．平均数为73分钟 B．众数为88分钟 C．中位数为67分钟 D．方差为25平方分钟
【点拨】别求出平均数、众数、中位数、方差，即可进行判断．
【解析】解：根据折线图小亮该周每天校外锻炼时间为：65、67、70、67、75、79、88，
A．平均数是（65+67+70+67+75+79+88）÷7＝73（分钟），故选项符合题意；
B．这组数的众数是67分钟，故选项不符合题意；
C．将这组数由小到大排列为：65、67、67、70、75、79、88，中位数是70，故选项不符合题意；
D．这组方差为：S2＝[（65﹣73）2+（67﹣73）2+（70﹣73）2+（67﹣73）2+（75﹣73）2+（79﹣73）2+（88﹣73）2]＝，故选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了折线图，平均数、众数、中位数和方差的计算，掌握折线图的特点，平均数、众数、中位数和方差的计算方法是关键．
5．如图是甲、乙两人5次投篮成绩统计图（每人每次投球10个），则对于方差的描述正确的是（　　）
A．S甲2＜S乙2 B．S甲2＝S乙2 C．S甲2＞S乙2 D．无法确定
【点拨】根据折线统计图的波动情况可判断甲、乙两名同学谁的投篮成绩更加稳定，即方差的大小．
【解析】解：由折线统计图可得，
乙的波动大，甲的波动小，所以S甲2＜S乙2．
故选：A．
【点睛】本题考查折线统计图和方差，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
6．若从一组数据2，4，6，8，10中去掉一个最大数和一个最小数，则所得新数据与原数据相比（　　）
A．平均数不变，方差变小 B．平均数不变，方差变大
C．平均数变小，方差变小 D．平均数变小，方差变大
【点拨】根据平均数和方差计算方法计算可得答案．
【解析】解：原数据平均数为：，
2，4，6，8，10中去掉一个最大数和一个最小数后数据为4，6，8，则新数据平均数为，
∴平均数不变，
原数据方差为：，
新数据方差为：，
∴平均数不变，方差变小，
故选：A．
【点睛】本题考查了方差和平均数，关键是掌握方差计算方法和平均数的计算方法．
7．一组数据：﹣5、﹣4、﹣3、﹣2、﹣1，这组数据的方差是　2　．
【点拨】先由平均数的公式计算出这组数据的平均数，再根据方差的公式计算即可．
【解析】解：这组数据的平均数是：（﹣5﹣4﹣3﹣2﹣1）＝﹣3，
则组数据的方差是[（﹣5+3）2+（﹣4+3）2+（﹣3+3）2+（﹣2+3）2+（﹣1+3）2]＝2．
故答案为：2．
【点睛】本题考查方差的定义：一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为，则方差S2＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
8．一组数据5，6，7，8，9的标准差为　　．
【点拨】要计算方差首先要计算出平均数，再根据方差公式计算．
【解析】解：平均数＝（5+6+7+8+9）÷5＝7，
方差＝[（5﹣7）2+（6﹣7）2+（7﹣7）2+（8﹣7）2+（9﹣7）2]＝2．
∴标准差＝，
故答案为．
【点睛】本题主要考查平均数、方差、标准差的计算方法，解题的关键是记住有关公式，属于中考常考题型．
9．现有一组数据：5，6，6，7，9，9，方差为S1；去掉数字7得到一组新的数据，方差为S2；则S1　＜　S2（填“＞”，“＝”或“＜”）．
【点拨】根据方差的定义分别计算出两组数据的方差即可得．
【解析】解：第1组数据的平均数为，
则其方差；
去掉数字7得到的新数据的平均数为，
则其方差；
∵，
∴S1＜S2，
故答案为：＜．
【点睛】本题考查了方差的意义，注意正确计算．
10．若一组数据“4，a，5，6，b”的平均数是5，众数是5，则这组数据的方差为 　　．
【点拨】先根据这组数的平均数及众数求出a，b都是5，再利用方差公式计算即可．
【解析】解：∵众数为5，
∴a，b中至少有一个是5，
∵平均数为5，
∴，
∴a+b＝10，
∴a，b都是5，
∴这组数据的方差为；
故答案为：．
【点睛】本题考查了数据的平均数、众数及方差，解题的关键是掌握平均数、众数及方差的定义．
11．生物学研究表明，植物光合作用速率越高，单位时间内合成的有机物越多．为了解甲、乙、丙、丁四个品种大豆的光合作用速率，科研人员从这四个品种的大豆中各选五株，在同等实验条件下，测量它们的光合作用速率（单位：μmol m﹣2 s﹣1），统计结果如表：
品种 甲 乙 丙 丁
平均数 24 25 23 25
方差 7.6 15.6 6.8 4
则这四个大豆品种中光合作用速率又快又稳定的是 　丁　．
【点拨】先比较平均数得到乙和丁光合作用速率较高，然后比较方差得到丁比较稳定．
【解析】解：因为乙和丁光合作用速率的平均数较高，所以从乙和丁中选取，
又丁的方差比乙小，所以丁的光合作用速率比较稳定，
所以应选择的优良大豆品种是丁．
故答案为：丁．
【点睛】本题考查了方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．也考查了平均数的意义．
12．某校开展暑假读数学课外书活动，开学后802班小明同学在自己班进行调查，统计了全班40位同学暑假所读数学课外书的本数，得到下表：
本数（本） 0 1 2 3 4 ≥5
人数（人） 1 9 21 7 2 0
（1）全班同学暑假读数学课外书本数的众数是 　2　，中位数是 　2　；
（2）求全班同学暑假读数学课外书本数的标准差．
【点拨】（1）根据众数和中位数的定义解答即可；
（2）先求出平均数，再求方差，进而得出标准差．
【解析】解：（1）在全班40位同学暑假所读数学课外书的本数中，2出现的次数最多，故众数是2；
把全班40位同学暑假所读数学课外书的本数从小到大排列，排在中间的两个数均为2，故中位数为＝2．
故答案为：2，2；
（2）全班同学暑假读数学课外书本数的平均数为：（0×1+1×9+2×21+3×7+4×2）＝2，
故方差为[（0﹣2）2+9×（1﹣2）2+21×（2﹣2）2+7×（3﹣2）2+2×（4﹣2）2]＝0.7，
∴全班同学暑假读数学课外书本数的标准差为＝＝．
【点睛】本题考查了众数、中位数以及标准差，掌握相关统计量的计算方法是解答本题的关键．
13．为了弘扬和传承中华优秀传统文化，某校举办了一场名为“经典文化传承大赛”的初赛，比赛设定满分为10分，参赛学生的得分均为整数．以下是甲、乙两组（每组10人）学生在初赛中的成绩记录（单位：分）：
甲组：6，7，9，10，6，5，6，6，9，6．
乙组：10，7，6，9，6，7，7，6，7，5．
（1）根据甲、乙两组学生的成绩，得到以下的统计表：
组别 平均数 中位数 众数 方差
甲组 7 a 6 2.6
乙组 b 7 c s乙2
（1）在以上成绩统计表中，a＝ 　6　，b＝ 　7　，c＝ 　7　．
（2）小明同学说：“这次竞赛我得了7分，在我们小组中属于中游略偏上的水平．”根据上面的统计表，判断小明是哪个组的学生，并解释原因．
（3）从平均数和方差看，若从甲、乙两组学生中选择一个成绩较为稳定的小组参加决赛，应选哪个组？并说明理由．
【点拨】（1）根据平均数、中位数和众数的定义分别进行解答即可得出答案；
（2）根据中位数的意义即可得出答案；
（3）根据平均数与方差的意义即可得出答案．
【解析】解：（1）∵甲组数据从小到大排列为：5，6，6，6，6，6，7，9，9，10，
∴中位数a＝6；
∵乙组数据从小到大排列为：5，6，6，6，7，7，7，7，9，10．
∴平均数，
∵乙组学生成绩中，数据7出现了四次，次数最多，
∴众数c＝7．
（2）小明可能是甲组的学生，理由如下：
因为甲组的中位数是6分，而小明得了7分，
所以在小组中属中游略偏上，
（3）选乙组参加决赛．理由如下：
，
∵甲、乙两组学生平均数相同，而，
∴乙组的成绩比较稳定，
故选乙组参加决赛．
【点睛】本题考查了平均数，中位数，众数，方差的意义．掌握平均数表示一组数据的平均程度，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数），一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，方差是用来衡量一组数据波动大小的量是解题的关键．
14．某校篮球队5名场上队员的身高是182，188，190，190，192（单位：cm），现用两名身高分别为186cm和190cm的队员换下场上两名身高是182cm和192cm的队员，下列关于换人前后场上队员的身高说法正确的为（　　）
A．中位数变大，众数不变 B．中位数不变，方差变小
C．平均数变大，众数变小 D．平均数变小，方差变大
【点拨】根据题意算出换人前后的中位数、众数、平均数，并进行比较，即可解题．
【解析】解：换人前：中位数为：190，众数为：190，
平均数为：＝188.4，
换人后：中位数为：190，众数为：190，
平均数为：＝188.8，
∵用两名身高分别为186cm和190cm的队员换下场上两名身高是182cm和192cm的队员，数据波动变小，
∴方差变小，
综上所述，中位数不变，众数不变，方差变小，平均数变大，方差变小，
故选：B．
【点睛】本题考查了中位数、众数、平均数、方差，掌握相关的概念是解题的关键．
15．已知数据x1，x2…，x10的方差计算公式为，则这组数据的（　　）
A．方差为40 B．中位数为4 C．平均数为4 D．标准差为40
【点拨】由题意知，这组数据的平均数为4，样本容量为10，从而得出答案．
【解析】解：由题意知，这组数据的平均数为4，样本容量为10，
故选：C．
【点睛】本题主要考查标准差、方差，解题的关键是掌握方差的定义和计算公式．
16．期末考试后，办公室里有两位数学老师正在讨论他们班的数学考试成绩．王老师说：“我班的学生考得还不错，有一半的学生考90分以上，一半的学生考不到90分．”张老师说：“我班大部分的学生都考在85分到90分之间．”王老师和张老师对学生成绩分析的角度分别是（　　）
A．平均数、众数 B．中位数、众数 C．中位数、方差 D．平均数、中位数
【点拨】根据两位老师的说法中的有一半的学生考90分以上，一半的学生考不到90分，可以判断中位数，大部分的学生都考在85分到90分之间，可以判断众数．
【解析】解：∵有一半的学生考90分以上，一半的学生考不到90分，
∴是根据这组数据的中位数来分析的；
∵大部分的学生都考在85分到90分之间，
∴众数在此范围内．
故选：B．
【点睛】本题考查了统计量的选择，解题的关键是抓住题目中的关键词语．
17．某班数学综合与实践活动小组的5位同学在一次数学测验成绩分别为81分，83分，89分，85分，87分，经过计算这组数据的方差为m、若小红和小明同学也想加入小组，并且两人成绩均为85分，那么加入后小组成绩的方差为n，则m和n的大小关系为 　m＞n　．
【点拨】分别计算出原数据和新数据的方差即可得．
【解析】解：分别计算出原数据和新数据的方差进行比较如下：
原数据的平均数为：，
方差为：；
新数平均数为：，
所以方差为：
进行比较可得：
∴m＞n．
故答案为：m＞n．
【点睛】本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的定义和计算公式．
18．汉字是中华文明的重要标志，也是传承中华文明的重要载体．为了贯彻落实教育部印发的《关于进一步加强中小学规范汉字书写教育的通知》，提升学生规范书写意识和书写水平，某中学于11月6日～8日以“翰墨飘香，文韵悠扬”为主题开展了第一届汉字书写大赛．本次大赛满分10分，学生得分均为整数，在初赛中，甲、乙两组（每组10人）学生成绩如下（单位：分）：
甲组：4，5，5，6，6，6，6，8，9，10
乙组：3，5，6，6，7，7，7，7，8，9
组别 平均数 中位数 众数 方差
甲组 a 6 c 3.25
乙组 6.5 b 7 2.45
（1）根据以上成绩，统计分析表中：a＝ 　6.5　，b＝ 　7　，c＝ 　6　；
（2）小明是甲、乙两组中的其中一员，小明说：“这次竞赛我得了6分，在我们小组中属中游略偏下！”观察上面表格判断，小明可能为 　乙　组的学生；
（3）从平均数和方差看，若从甲、乙两组中选择一个组参加决赛，应选哪个组？并说明理由．
【点拨】（1）根据平均数、中位数和众数的定义分别进行解答即可得出答案；
（2）根据中位数的意义即可得出答案；
（3）根据平均数与方差的意义即可得出答案．
【解析】解：（1），
把乙组的成绩从小到大排列后，中间两个数的平均数是，则中位数b＝7；
甲组学生成绩中，数据6出现次数最多，所以众数c＝6，
故答案为：6.5；7；6；
（2）小明可能是乙组的学生，理由如下：
因为乙组的中位数是（7分），而小明得了（6分），所以在小组中属中游略偏下，
故答案为：乙；
（3）选乙组参加决赛．理由如下：
∵两组平均数相同，，，，
∴乙组的成绩比甲组稳定，
故选乙组参加决赛．
【点睛】本题考查了平均数，中位数，众数，方差，关键是根据概念解答．
19．为了解A，B两款品质相近的无人机在一次充满电后运行的最长时间，分别随机调查了A，B两款无人机各10架，记录它们运行的最长时间（单位：min），并对数据进行整理．
（1）填空：
平均数/min 中位数/min 众数/min 方差/min2
A 70 69.5 ①　72　 ②　17.8　
B 72 ③　71　 69 14
（2）根据以上信息，你认为哪款无人机运行时间更有优势？请说明理由．
【点拨】（1）根据众数、方差及中位数的定义求解即可；
（2）根据平均数、中位数、方差的意义求解即可．
【解析】解：（1）A组数据为64、66、67、68、69、70、72、72、72、80，
则其众数为72，方差为×[（64﹣70）2+（66﹣70）2+（67﹣70）2+（68﹣70）2+（69﹣70）2+（70﹣70）2+3×（72﹣70）2+（80﹣70）2]＝17.8，
B组数据为68、69、69、69、70、72、72、74、77、80，
所以其中位数为＝71，
故答案为：72、17.8、71；
（2）B款无人机运行时间更有优势，
∵B款无人机运行时间的平均时间大于A款无人机，
∴B款无人机运行时间更有优势（答案不唯一，合理均可）．
【点睛】本题主要考查方差，解题的关键是掌握平均数、中位数、众数、方差的定义．
20．已知一组样本数据x1，x2…，xn为不全相等的n个正数，其中n≥4．若把数据x1，x2，…，xn都扩大m倍再减去l（其中m是实数，m≠0），生成一组新的数据mx1﹣l，mx2﹣l，…，mxn﹣l，则这组新数据与原数据相比较，（　　）
A．平均数相等 B．中位数相等 C．方差相等 D．标准差可能相等
【点拨】根据平均数、中位数、方差和标准差的概念、计算公式判断即可．
【解析】解：A、设原数据的平均数为，
则新数据的平均数为m﹣1，平均数不相等，不符合题意；
B、设原数据的中位数为a，
则新数据的平均数为ma﹣1，中位数不相等，不符合题意；
C、设原数据的方差为S2，
则新数据的方差为m2S2，方差可能相等，也可能不相等，不符合题意；
D、设原数据的标准差为S，
则新数据的标准差为mS，当m＝1时，标准差相等，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查的是平均数、中位数、方差和标准差，掌握相关的概念、计算公式是解题的关键．
21．一组数据x1，x2，…，xn的平均数为5，方差为16，n是正整数，则另一组数据2x1+3，2x2+3，…，2xn+3的标准差是 　8　．
【点拨】先求出这组数据的平均数与方差，再由方差的算术平方根即为标准差即可求解．
【解析】解：由题意知，即x1+x2+ +xn＝5n；
而，
∵，
∴
＝
＝4×16
＝64，
∴标准差为．
故答案为：8．
【点睛】本题考查了方差，标准差，算术平均数，掌握相应的运算法则是关键．
22．随着科技的发展人工智能渐渐走进了人们的生活，现从甲、乙两款人工智能软件调查得分中分别随机抽取了20个用户的得分数据进行整理、描述和分析（得分用x表示），共分为四组，A：60＜x≤70，B：70＜x≤80，C：80＜x≤90，D：90＜x≤100，下面给出了部分信息．
甲款人工智能软件得分数据：
64，70，75，76，78，78，85，85，85，85，86，89，90，90，94，95，98，98，99，100．
乙款人工智能软件在C组内（80＜x≤90）的所有得分数据：
85，86，87，88，88，88，90，90．
甲、乙两款人工智能软件得分统计表：
软件 平均数 中位数 众数 方差
甲 86 85.5 b 96.6
乙 86 a 88 69.8
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：a＝ 　86.5　，b＝ 　85　，m＝ 　20　；
（2）根据以上数据，你认为哪款人工智能软件更受用户欢迎？请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）若本次调查有900名用户对甲款人工智能软件进行了调查评分，有1200名用户对乙款人工智能软件进行了评分，估计其中对甲、乙两款人工智能软件非常满意（90＜x≤100）的总用户数．
【点拨】（1）根据中位数和众数的定义求出a、b的值，再求出乙款中C组所占的百分比，然后用1分别减去各组所占的百分比得到m的值；
（2）通过比较两款的方差进行判断；
（3）用900乘以甲款中D组所占的百分比和1200乘以乙款中D组所占的百分比，然后求它们的和即可．
【解析】解：（1）∵甲款人工智能软件的所有评分数据中85出现的次数最多，
∴众数为85，
即b＝85，
乙款人工智能软件的评分的中位数为（87+86）＝86.5（分），
即a＝86.5；
∵乙款人工智能软件中C组所占的百分比为×100%＝40%，
∴m%＝1﹣40%﹣30%﹣10%＝20%，
即m＝20；
故答案为：86.5，85，20；
（2）乙款人工智能软件更受用户欢迎．
理由如下：
∵甲款和乙款的平均数相同，乙款的方差小于甲款的方差，
∴乙款人工智能软件比较稳定，
∴乙款人工智能软件更受用户欢迎；
（3）∵900×+1200×20%＝510（名）．
∴估计其中对甲、乙两款人工智能软件非常满意（90＜x≤100）的总用户数为510名．
【点睛】本题考查了方差，方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小．也考查了中位数和众数．
23．某中学为选拔“校园形象代言人”，先后进行了笔试和面试．在笔试中，甲、乙、丙三位同学脱颖而出，他们的笔试成绩（满分为100分）分别是87，85，90．在面试中，十位评委对甲、乙、丙三位同学的表现进行打分，每位评委最高打10分，面试成绩等于各位评委打分之和．对三位同学的面试数据进行整理、描述和分析，并给出了相关信息．
c．甲、乙、丙三位同学面试情况统计表
同学 评委打分的中位数 评委打分的众数 面试成绩 方差
甲 m 9和10 85 1.85
乙 8.5 8 87 s2
丙 8 n p 2.01
根据以上信息，回答下列问题：
（1）m＝ 　9　，n＝ 　8　；
（2）求丙同学的面试成绩p；
（3）通过比较方差，可判断评委对学生面试表现评价的一致性程度．据此推断评委对 　乙　同学的评价更一致（填“甲”、“乙”或“丙”）；
（4）按笔试成绩占40%，面试成绩占60%选出综合成绩最高的同学是 　乙　（填“甲”、“乙”或“丙”）．
【点拨】（1）根据中位数和众数的定义可得答案；
（2）把十位评委的打分相加可得答案；
（3）根据方差的意义解答即可；
（4）根据加权平均数公式计算即可．
【解析】解：（1）把甲的得分从小到大排列，排在中间的两个数分别是9，9，故中位数m＝＝9，
由扇形图可知丙的得分（8分）的最多，故众数n＝8；
故答案为：9，8；
（2）6×10×20%+8×10×40%+9×10×10%+10×10×30%＝83，
答：丙同学的面试成绩p为83；
（3）由题意可知，甲的方差比丙的小，由折线统计图可知乙的得分的波动比甲小，所以评委对乙同学的评价更一致；
故答案为：乙；
（4）甲的综合成绩为：87×40%+85×60%＝85.8（分），
乙的综合成绩为：85×40%+87×60%＝86.2（分），
丙的综合成绩为：90×40%+83×60%＝85.8（分），
86.2＞85.8，
所以综合成绩最高的是乙．
故答案为：乙．
【点睛】本题考查折线统计图，中位数、众数、方差以及加权平均数，理解中位数、方差的意义和计算方法是正确解答的前提．
基础过关
能力提升
培优拔尖
基础过关
能力提升
培优拔尖
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)