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专题4.1 多边形九大题型（一课一讲）
（内容：多边形和正多边形）
【浙教版】
题型一：多边形截角后边数问题
【经典例题1】把一张形状是四边形的纸片剪去其中某一个角，剩下的部分的形状不可能是（ ）
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
【答案】D
【分析】本题考查了多边形．把一张形状是四边形的纸片剪去其中某一个角，剩下的部分的形状可能是三角形或四边形或五边形．
【详解】解：把一张形状是四边形的纸片剪去其中某一个角，剩下的部分的形状可能是三角形或四边形或五边形，不可能是六边形．
故选：D．
【变式训练1-1】若一个多边形截去一个角后，变成五边形，则原来的多边形的边数可能为（ ）
A．5或6 B．4或5 C．3或4或5 D．4或5或6
【答案】D
【分析】本题考查了多边形的知识，一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条．根据一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条，依此即可解决问题．
【详解】解：一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条，
则多边形的边数是4或5或6，
故选：D．
【变式训练1-2】若一个多边形截去一个角后，得到的新多边形为十五边形，则原来的多边形边数为 ．
【答案】14或15或16
【分析】分三种情况进行讨论，得出答案即可．
【详解】解：如图，一个多边形减去一个角后，比原来多边形少了一条边，
∴此时原多边形的边数为；
如图，一个多边形减去一个角后，与原来多边形的边数相同，
∴此时原多边形的边数为15；
如图，一个多边形减去一个角后，比原来多边形多了一条边，
∴此时原多边形的边数为；
综上分析可知，原来的多边形边数为14或15或16．
故答案为：14或15或16．
【变式训练1-3】把一个多边形纸片沿一条直线截下一个三角形后，变成一个十八边形，则原多边形纸片的边数可能是 ．
【答案】十七边形，或十八边形，或十九边形
【分析】结合题意，根据多边形截角后边数的性质，分三种截下的方式分析，即可得到答案．
【详解】把一个多边形纸片沿一条直线截下一个三角形后，变成一个十八边形，有三种截下的方式：
下图为多边形局部图，如按下图所示沿虚线截下三角形：
∴原多边形纸片的边数是：十七边形
如按下图所示沿虚线截下三角形：
∴原多边形纸片的边数是：十八边形
如按下图所示沿虚线截下三角形：
∴原多边形纸片的边数是：十九边形
∴原多边形纸片的边数可能是：十七边形，或十八边形，或十九边形
故答案为：十七边形，或十八边形，或十九边形．
【变式训练1-4】如图，从五边形纸片中剪去一个三角形，剩余的部分是几边形？请画出示意图说明．
【答案】剩余的部分分别为四边形、五边形和六边形，示意图见解析
【分析】本题考查了多边形的截法，正确分类截多边形是解题的关键．分为三种情况，画出图形，解答即可．
【详解】解：如图，剩余的部分分别为四边形、五边形和六边形．
【变式训练1-5】下列图形中，能通过切正方体得出来的共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】本题考查了截一个几何体．根据正方体的截面形状判断即可．
【详解】解：正方体的截面形状可以是三角形、四边形、五边形、六边形，
∴上列图形中，能通过切正方体得出来的共有：4个，
故选：D．
题型二：多边形对角线条数问题
【经典例题2】过七边形的一个顶点可以画n条对角线，将它分成m个三角形，则的值是（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】C
【分析】本题考查多边形的对角线，解题的关键是掌握：从边形的一个顶点出发可以引条对角线，这些对角线将边形分成个三角形．据此列式求出，的值，再代入计算即可．
【详解】解：∵过边形的一个顶点可以画出条对角线，
∴，
∴，
∴，
∴的值是．
故选：C．
【变式训练2-1】若从一个多边形的一个顶点出发，最多可引12条对角线，则它是（ ）
A．十二边形 B．十三边形 C．十四边形 D．十五边形
【答案】D
【分析】本题主要考查了多边形的对角线，根据多边形的对角线的定义可知，从n边形的一个顶点出发，可以引条对角线，由此可得到答案．
【详解】解：设这个多边形是n边形．
依题意，得，
∴．
故这个多边形是15边形．
故选D．
【变式训练2-2】从七边形的一个顶点出发最多可以引出m条对角线，这些对角线将该多边形分割成n个三角形，则的值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】C
【分析】本题考查了多边形，代数式求值，掌握多边形的性质是解题关键．根据从边形的一个顶点出发最多可以引出条对角线，这些对角线将该多边形分割成个三角形，即可求解．
【详解】解：从七边形的一个顶点出发最多可以引出m条对角线，这些对角线将该多边形分割成n个三角形，
则，，
即，
故选：C．
【变式训练2-3】已知一个正多边形每个内角都是，则这个正多边形共有 条对角线．
【答案】9
【分析】本题考查了多边形的内角与外角，多边形的对角线，熟记多边形内角和定理以及多边形对角线条数的计算公式是解题的关键．
先根据正多边形内角和定理求出其边数，再根据多边形的对角线条数公式计算即可．
【详解】解：设这个正多边形的边数为n，
根据题意得，，
解得：，
∴正六边形共有条对角线，
故答案为：9．
【变式训练2-4】如图，从多边形任意一边的中点出发，分别连接这个点与其余各顶点（左右相邻顶点除外），可以得到若干条线段，我们把这样的线段叫作“对边线”．
数一数每个多边形中所得“对边线”的条数，你能发现什么规律？
【问题思考】
（1）结合所给图形思考，从多边形的一边中点出发，可以得到的“对边线”数量，并填写下表：
多边形边数 三 四 五 六
“对边线”条数 __________ ___________ _____________ ____________
【问题探究】
（2）试着总结边形的“对边线”条数；
（3）猜想边形所有边上一共有多少条“对边线”？
【答案】（1）1，2，3，4；（2）由表可以得出边形的“对边线”有条；（3）条．
【分析】此题考查了多边形的性质，解题的关键是掌握“对边线”的概念．
（1）根据“对边线”的概念求解即可；
（2）根据（1）中的结果总结求解即可；
（3）由题意得到边形一条边上有条“对边线”，然后结合边形有m条边求解即可．
【详解】（1）根据题意得，三角形有1条“对边线”，四边形有2条“对边线”，五边有3条“对边线”，六边形有4条“对边线”，
列表如下：
多边形边数 三 四 五 六
“对边线”条数 1 2 3 4
（2）由（1）得，边形的“对边线”条数为；
（3）根据题意得，边形一条边上有条“对边线”
∵边形有m条边
∴边形所有边上一共有条“对边线”．
【变式训练2-5】观察、探究及应用．
(1)观察如图所示的图形并填空．
一个四边形有 条对角线；
一个五边形有 条对角线；
一个六边形有 条对角线；
一个七边形有 条对角线；
(2)分析探究：由n边形的一个顶点出发，可作 条对角线，多边形有n个顶点，若允许重复计数，共可作 条对角线；
(3)结论：一个n边形有 条对角线；
(4)应用：一个十二边形有多少条对角线？
【答案】(1)2；5；9；14(2)；(3)(4)54条
【分析】本题考查的是多边形的对角线的数量的探究；
（1）根据多边形的边数计算多边形的对角线的数量即可；
（2）根据从1个顶点出发的对角线的数量，可得答案；
（3）由（1）的计数总结规律，再归纳即可；
（4）利用（3）的规律，把代入计算即可．
【详解】（1）解：一个四边形有条对角线；
一个五边形有条对角线；
一个六边形有条对角线；
一个七边形有条对角线；
（2）解：由（1）归纳总结可得：
由n边形的一个顶点出发，可作条对角线，多边形有n个顶点，若允许重复计数，共可作条对角线；
（3）解：由（1）归纳总结可得：
一个n边形有条对角线．
（4）解：当时，
一个十二边形有条对角线．
题型三：多边形内角和问题
【经典例题3】冰裂纹是我国古典园林的传统铺装纹样之一，并被广泛应用于建筑装饰和瓷器．如图2是从图1冰裂纹铺装的路面图案中提取的多边形，则这个多边形的内角和是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此题考查了多边形的内角和公式，根据题意得到多边形是六边形，利用n边形内角和公式进行解答即可．
【详解】解：由题意可知，多边形是六边形，
∴这个多边形的内角和是，
故选D．
【变式训练3-1】如图，在五边形中，，，，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查平行线的性质，多边形内角和定理，关键是利用平行线的性质得到．
根据平行线的性质可得，再根据多边形内角和定理即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵五边形中，，，
∴．
故选：B．
【变式训练3-2】如图，是一个正方体小木块静止在斜面上的受力分析，重力的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若斜面的坡角，则摩擦力与重力方向的夹角的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了四边形内角和定理，直角三角形两锐角互余，理解图示，掌握四边形内角和定理是解题的关键．
根据题意，由直角三角形两锐角互余，对顶角相等得到，结合图示得到，在四边形中，由四边形内角和定理即可求解．
【详解】解：如图所示，
∵重力的方向竖直向下，，
∴，
∴，
∵正方体小木块静止在斜面上，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行
∴，
在四边形中，，
∴摩擦力与重力方向的夹角的度数为，
故选：B ．
【变式训练3-3】在长方形中，一条直线将矩形任意分为两部分，设这两部分图形的内角和分别为、，则的和是（ ）
A． B．或
C．或 D．或或
【答案】D
【分析】本题考查了边形的内角和公式，熟练掌握该知识点是解题的关键．分三种情况考虑，第一种：直线不经过原长方形的顶点，此时长方形被分割为一个五边形和一个三角形或两个四边形；第二种：直线经过原长方形的一个顶点，此时长方形被分割为一个四边形和一个三角形；第三种：直线经过原长方形的两个顶点，此时长方形被分割为两个三角形，然后根据这三种情况分别计算即可．
【详解】解：一条直线将长方形分割成两个多边形的情况有以下三种：
(1)直线不经过原长方形的顶点，如图①②，此时长方形被分割为一个五边形和一个三角形或两个四边形，
或
(2)直线经过原长方形的一个顶点，如图③，此时长方形被分割为一个四边形和一个三角形，
(3)直线经过原长方形的两个顶点，如图④，此时长方形被分割为两个三角形，
综上所述，的和为或或．
故选：D．
【变式训练3-4】如图，在五边形中，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了平行线的性质，多边形内角和定理，求一个角的补角，理解相关知识是解答关键．
根据平行线的性质得到，再求出五边形的内角和度数，再利用求、、之和的补角，结合五边形的内角度数求解．
【详解】解：，
．
五边形的内角和为，
．
故选：A．
【变式训练3-5】如图，在正六边形和正方形中，连接并延长交边于，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查多边形的内角和与正多边形的性质，熟练掌握多边形的内角和与正多边形的性质是解题的关键．根据多边形的内角和与正多边形的性质进行求解即可．
【详解】解：正六边形中，
，，
正方形中，，
，
，
．
故选A．
题型四：多（少）算一个角问题
【经典例题4】一个多边形除去一个内角后，其余各内角的和为，则这个内角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查多边形内角和公式的灵活运用，解题的关键是根据多边形内角和公式建立边数与内角度数的等式．设这个内角度数为，边数为，根据多边形内角和的公式建立等式，再根据多边形的一个内角一定大于，并且小于计算出边数，最后再根据边数和内角和计算出所求内角的值．
【详解】解：设这个内角度数为，边数为，
则，
，
∵为正整数，，
∴，
∴这个内角度数为．
故选：C．
【变式训练4-1】小红：我计算出一个多边形的内角和为；老师：不对呀，你可能少加了一个角！则小红少加的这个角的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】边形的内角和是，少计算了一个内角，结果得．则内角和是与的差一定小于180度，并且大于0度．
【详解】解：设多边形的边数为，小红少加的这个角的度数是，
则有，
则，
因为，
所以，
故选：C．
【变式训练4-2】某同学在进行多边形的内角和的计算时，求得的内角和为，当发现错了之后，重新检查，发现是多加了一个内角，问：多加的这个内角的度数是 ，这个多边形是 边形．
【答案】 /45度 八
【分析】本题考查了多边形的内角和，熟练掌握多边形的内角和公式 ，多边形的内角在之间，是解决问题的关键，首先由题意列出不等式组，进而求出边数的取值范围，注意边数为不小于3的整数，然后确定多加的内角度数．
【详解】解：解：由题意可知：多加的内角为．
解得．
∵n为正整数，
∴．
∴多加的内角为：．
故多加的这个内角是，这个多边形是八边形．
故答案为：，八．
【变式训练4-3】读小明和小红的对话，解决下列问题．小明：“我把一个多边形的各内角相加，得到的和为．”小红：“多边形的内角和不可能是，我看了你的过程，你多加了一个锐角．”
(1)通过列方程说明“多边形的内角和不可能是”的理由；
(2)求该多边形的内角和．
【答案】(1)见解析(2)
【分析】本题主要考查多边形的内角和，熟练掌握多边形内角和的计算公式是解题的关键．
（1）设多边形的边数是，根据多边形的内角和公式求出，由于取整数，所以多边形的内角和不可能是；
（2）根据十边形的内角和为，十一边形的内角和为，即可得到答案．
【详解】（1）解：设多边形的边数是，由题意得，解得，
因为取整数，
所以多边形的内角和不可能是；
（2）解：十边形的内角和为，而十一边形的内角和为，
所以该多边形的内角和是．
【变式训练4-4】玛丽在进行一个的内角和计算时，求得的内角和为，当发现错误之后，她立即检查发现少加了一个内角．已知该边形的对角线有条，试求的值．
【答案】1
【分析】本题考查了多边形的内角和公式和对角线公式熟记公式是解题的关键根据多边形的内角和公式．多边形的内角一定大于0度，小于度，据此求得m的值，继而根据对角线公式求出n的值，代入计算可得．
【详解】解∶设边形少加的度数为度．则
，
即．
，，
，
．
边形的对角线条数为．
．
【变式训练4-5】小云求一个多边形的内角和时，少加了一个内角，得到．
(1)求少加的内角的度数．
(2)请通过计算，判断这个多边形能否是正多边形．
【答案】(1)150度(2)不是正多边形
【分析】本题考查了多边形的内角与外角;
（1）根据多边形的内角和是的整数倍求出多边形的边数，再由多边形的内角和求出少加的这个内角的度数；
（2）先假设这个多边形是正多边形，根据正多边形的性质，求出正多边形的外角度数，再确定正多边形的边数，得到的边数和（1）中的边数不一致，进而可得出答案．
【详解】（1）解：设这个多边形的边数为n，则，
解得．
∵为正整数，
∴，
∴少加的内角的度数为．
（2）解：若这个多边形是正多边形，则每个外角的度数为，
∴它的边数应等于．
由（1）可知，这个多边形的边数为14，，
∴这个多边形不是正多边形．
【变式训练4-6】小马同学平时学习十分马虎，他在计算凸n边形的内角和时：
(1)若少计算一个内角度数，求得多边形的内角和为，则n的值是多少？
(2)若某一内角多计算了一次，求得多边形的内角和为，则n的值是多少？
【答案】(1)；(2)
【分析】本题主要考查了多边形的内角和公式，利用多边形的内角和是的倍数是解题的关键．
(1)设这个多边形的边数是n，重复计算的内角的度数是，根据多边形的内角和公式可知，多边形的内角度数是的倍数，然后利用数的整除性进行求解；
(2)设这个多边形的边数是n，没有计算在内的内角的度数是，根据多边形的内角和公式可知，多边形的内角度数是的倍数，然后利用数的整除性进行求解．
【详解】（1）解：方法一：设少算的那个内角的度数为，则由条件，
得．
因为n为自然数，，且，
故取，
得．
方法二：由条件，得，
且n为自然数，
故．
（2）解：方法一：设多算的那个内角的度数为，
则由条件，得．
因为n为自然数，，且，
故取，得．
方法二：由条件，得，
且n为自然数，
故．
题型五：复杂图形的内角和问题
【经典例题5】如图，顺次连接图中六个点，得到以下图形，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了复杂图形的内角和，熟练掌握三角形内角和为，四边形内角和为是解题的关键．连接，记与交于点，利用三角形内角和定理推出，再将转化为四边形的内角和，即可解答．
【详解】解：如图，连接，记与交于点，
，，
，
又，
，
，
，
，
．
故选：C．
【变式训练5-1】如图，等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】连接，根据四边形内角和可得，再由“8”字三角形可得，进而可得答案．
【详解】解：连接，如图，
∵，，
∴，
故选C．
【变式训练5-2】图1是二环三角形，S＝∠A1+∠A2+…+∠A6=360，图2是二环四边形，S＝∠A1+∠A2+…+∠A=720，图3是二环五边形，S＝∠A1+∠A2+…+∠A=1080…聪明的同学，请你直接写出二环十边形，S＝_____________度（ ）
A．1440 B．1800 C．2880 D．3600
【答案】C
【分析】本题只看图觉得很复杂，但从数据入手，就简单了，从图2开始，每个图都比前一个图多360度．抓住这点就很容易解决问题了．
【详解】解：依题意可知，二环三角形，S＝360度；
二环四边形，S＝720＝360×2＝360×（4﹣2）度；
二环五边形，S＝1080＝360×3＝360×（5﹣2）度；
…
∴二环十边形，S＝360×（10﹣2）＝2880度．
故选：C．
【变式训练5-3】如图，的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】题目主要考查三角形外角的性质及多边形的外角和，根据题意，利用三角形外角得出，然后利用多边形外角和求解即可．
【详解】解：如图所示：
∵，
∴，
∵，
∴，
故选：D．
【变式训练5-4】（1）如图1，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F= ．
（2）如图2，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F+∠G= ．
【答案】
【分析】（1）根据三角形内角和定理即可求得；
（2）根据四边形内角和可求得， ，再利用三角形内角关系可得 ，进而可求得．
【详解】解：（1）∵在中，，
在中，，
∴，
故答案为；
（2）如图，∵， ，
∴．
∵，
∴．
故答案为．
【变式训练5-5】如图，多边形ABCDEFG中， ，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】连接CD，设AD与BC交于点O，根据多边形的内角和公式即可求出∠E＋∠F＋∠G＋∠EDC＋∠GCD，根据各角的关系即可求出∠ODC＋∠OCD，然后根据对顶角的相等和三角形的内角和定义即可求出结论．
【详解】解：连接CD，设AD与BC交于点O
∵∠E＋∠F＋∠G＋∠EDC＋∠GCD=180°×（5－2）=540°，，，
∴108°＋108°＋108°＋72°＋∠ODC＋72°＋∠OCD=540°
∴∠ODC＋∠OCD=72°
∵∠AOB=∠COD
∴∠A＋∠B=180°－∠AOB=180°－∠COD=∠ODC＋∠OCD=72°
故选B．
题型六：正多边形的外角和问题
【经典例题6】若一个多边形的每个外角都是，则这个多边形的边数为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】B
【分析】本题主要考查了多边形的外角和定理．利用任何多边形的外角和是除以一个外角度数即可求出答案．
【详解】解：多边形的外角的个数是．
所以多边形的边数是8．
故选：B．
【变式训练6-1】正六边形和正五边形的位置如图所示，其中点E，D，J在同一条直线上，则的度数为 ．
【答案】/48度
【分析】本题考查了正多边形的内角与外角，熟练掌握多边形的外角和是解题的关键；
根据正五边形和正六边形性质得出各外角度数，进而可得答案．
【详解】解：在正六边形和正五边形中，
，
，
，
故答案为：．
【变式训练6-2】如果一个正多边形的内角和比另一个多边形的外角和多，则这个正多边形的边数是 ．
【答案】6
【分析】本题主要考查了多边形的内角和与外角和，熟练掌握多边形的内角和公式和外角和是解题关键．
设这个正多边形的边数为，根据多边形的内角和公式和外角和列一元一次方程，解方程即可．
【详解】解：设这个正多边形的边数为，
根据题意，得：，
解得：．
故答案为：．
【变式训练6-3】一个多边形的内角和比外角和多，并且这个多边形的每个内角都相等，则这个多边形的每个内角为 ．
【答案】/
【分析】本题考查了多边形内角和与外角和，一元一次方程的应用，掌握多边形内角和公式以及多边形外角和恒为是解题关键．这个多边形的边数为，根据题意列方程，求出，再根据每个内角都相等，即可得到答案．
【详解】解：这个多边形的边数为，
由题意得：，
解得：，
这个多边形的每个内角都相等，
这个多边形的每个内角为，
故答案为：．
【变式训练6-4】小颖用含有角的直角三角板通过探究发现：一个残缺的正多边形的一个外角满足，则满足此条件的正多边形的边数可能是（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】A
【分析】本题考查了正多边形的外角和．根据正多边形的外角和等于，即可求解．
【详解】解：设正多边形的边数为n（n为整数），
当时，，
当时，，
∵，
∴，
∴的值可能为7，
即满足条件的正多边形的边数可能是7，
故选：A．
【变式训练6-5】将一个正五边形与一个正六边形按如题图所示方式放置，顶点，，，在同一条直线上，为公共顶点，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了正多边形的外角和以及邻补角的性质，三角形的内角和定理等知识．根据正多边形的外角和，分别得出，，根据邻补角的性质，分别得出，的度数，据此求解即可．
【详解】解：由正多边形外角和等于可得：
，，
，
，
∴．
∴．
故选：B．
题型七：正多边形的外角和实际应用
【经典例题7】创客小组的同学给机器人设定了如图的程序，机器人从点出发，沿直线前进米后左转，再沿直线前进米，又向左转……照这样走下去，机器人第一次回到出发地点时，一共走的路程是（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】C
【分析】本题考查了多边形的外角和定理的应用．由题意可知机器人所走的路线为一个正多边形，根据多边形的外角和，即可求出答案．
【详解】解：由题意可知机器人所走的路线为一个正多边形，
该正多边形的边数为：，
他需要走次才会回到原来的起点，
即一共走了（米）．
故选：C．
【变式训练7-1】如图，是正边形纸片的一部分，其中是正边形两条边的一部分，若所在的直线相交形成的锐角为，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了正多边形，求出正多边形的每个外角度数，再用外角和除以外角度数即可求解，掌握正多边形的性质是解题的关键．
【详解】解：如图，直线相交于点，则，
∵正多边形的每个内角相等，
∴正多边形的每个外角也相等，
∴，
∴，
故选：．
【变式训练7-2】石墨烯在材料学、微纳加工、能源、生物医学和药物传递等方面具有重要的应用前景．它的分子结构如图所示，六边形的外角和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了多边形的外角定理，根据多边形的外角和为即可求解，掌握多边形的外角和为是解题的关键．
【详解】解：六边形的外角和为，
故选：．
【变式训练7-3】如图，图1是我国古代建筑中的一种窗格，其中冰裂纹图案象征着坚冰出现裂纹并开始消溶，形状无一定规则，代表一种自然和谐美．图2是从图1冰裂纹窗格图案中提取的由五条线段组成的图形，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了多边形外角和，熟练掌握多边形的外角和等于360度是解题的关键．根据多边形的外角和等于度，即可求解．
【详解】解：由多边形的外角和等于度，可得．
故选：B．
【变式训练7-4】如图，，，是五边形的三个外角，若，则的度数（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了多边形外角和定理，三角形内角和定理，解题的关键是掌握多边形外角和为．
根据多边形外角和为360度求出，再根据三角形内角和为180度即可求出答案．
【详解】解：，
，
，
故选：B．
【变式训练7-5】一个等边三角形、一个直角三角形以及一个等腰三角形如图放置，已知等腰三角形的底角，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查三角形的外角的性质，等边三角形性质，根据三角形的外角和求出，进行求解即可．
【详解】解：如图，
∵，
∴．
故选C．
题型八：多边形内角和与外角和综合
【经典例题8】一个正多边形的一个内角是它的一个外角的5倍，求这个正多边形的内角和．
【答案】
【分析】本题主要考查了正多边形的外角和及内角和等知识点，设这个正多边的外角为，则内角为，根据内角和外角互补可得，解可得x的值，再利用外角和的性质即可得出正多边形的边数，进而即可得解，关键是计算出外角的度数，进而得到边数是解决此题的关键．
【详解】设这个正多边的外角为，由题意得：
，
解得：，
∴，
∴正多边形的边数为，
∴正多边形的内角和为．
【变式训练8-1】（1）若多边形的内角和为，求此多边形的边数；
（2）已知一个正多边形的一个内角等于一个外角的倍，求这个正多边形是几边形？
【答案】（1）11（2）5
【分析】本题考查了多边形的内角和与外角和．关键是记住内角和的公式与外角和的公式．
（1）根据多边形的内角和计算公式作答；
（2）设多边形的边数为n，则多边形的内角和可以表示成，外角和是固定的，从而可根据一个正多边形的一个内角等于一个外角的列方程求解可得．
【详解】解：（1）设此多边形的边数为，则
，
解得．
∴此多边形的边数为11；
（2）设此正多边形为正边形．
正多边形的一个内角等于一个外角的，
此正多边形的内角和等于其外角和的，
，
解得：．
答：正多边形的边数为5．
【变式训练8-2】一个多边形的每一个内角都相等，并且每个外角都等于与它相邻的内角的，
(1)求这个多边形一个外角的度数；
(2)求这个多边形的边数．
【答案】(1)这个多边形每个外角的度数是；
(2)这个多边形的边数是．
【分析】本题主要考查了多边形的内角和与外角和等知识点，
（1）由多边形的内角与相邻的外角互补，即可计算；
（2）由多边形的内角和定理，即可计算．
熟练掌握多边形的内角和定理：（且n为整数）；多边形的外角和是是解决此题的关键．
【详解】（1）解：设多边形每个外角是，则它的每个内角是，
由题意得：，
∴，
∴这个多边形每个外角的度数是；
（2）解：∵这个多边形每个外角的度数是，
∴这个多边形的边数是．
【变式训练8-3】（1）一个多边形除了一个内角之外，其余内角之和为，求这个多边形的边数和少加的内角的大小；
（2）若多边形所有内角与它的一个外角之和为，求这个多边形的边数及内角和．
【答案】（1）多边形的边数为，少加的内角的大小为：；（2）多边形的边数为，内角和为；多边形的边数为，内角和为
【分析】本题考查的是多边形的内角和与外角和的综合．
（1）根据题意可得已知内角和加上这个内角后应为的整数倍； 结合，进而确定边数及未加的内角即可；
（2）根据多边形外角和为，由，得到这个多边形的一个外角可能为或，进而确定边数及内角和．
【详解】解：（1）∵这个多边形的内角和少加了一个内角，
∴实际内角和大于，且加上这个内角后应为的整数倍，
∵，
∴多边形边数为，
少加内角的度数；
（2），
∵多边形外角和为，
∴这个多边形的一个外角可能为或，
∵多边形内角和应为的整数倍，
∴多边形边数为或，
∴当这个多边形的一个外角可能为时，多边形的边数为，多边形内角和为：；
当这个多边形的一个外角可能为时，多边形的边数为，多边形内角和为：．
【变式训练8-4】小明在计算多边形的内角和时，得到的答案是600°，老师说小明计算的不对．
(1)通过计算说明，为什么老师说小明计算的结果不对？
(2)若小明计算的是五边形，并且不小心多加了一个外角的度数，请计算这个外角的度数；
(3)若小明在计算该多边形的内角和时，其中一个内角没有加上去，而是加上了这个内角所对应的外角，请直接写出该多边形的边数．
【答案】(1)见解析；(2)；(3)多边形的边数为5或6．
【分析】本题考查了多边形的内角与外角，熟知多边形内角和定理是解题的关键．
（1）根据多边形内角和定理计算求出n的值，n应为整数，据此判断即可；
（2）这个外角的度数为α，根据题意列出，求解即可；
（3）设这个多边形的边数为，没有加上去的内角的度数为，则这个内角所对应的外角为，根据题意列出，求得，再根据0°＜β＜180°且n为整数，即可求解．
【详解】（1）解：设这个多边形的边数为n，
根据题意得，，
解得，
∵应为整数，
∴小明计算的结果不对；
（2）解：设这个外角的度数为，
根据题意得，，
解得，
即这个外角的度数为；
（3）解：设这个多边形的边数为n，没有加上去的内角的度数为β，则这个内角所对应的外角为180°﹣β，
根据题意得，，
解得，
∵，
∴，
解得，
∵为整数，
∴或，
即该多边形的边数为或．
【变式训练8-5】数学探究课上，同学们通过撕、拼的方法，探索、验证三角形的内角和．
【发现】
（1）如图1，在小学我们曾剪下三角形的两个内角，将它们与第三个内角拼在一起，发现三个内角恰好拼成了一个___________角，得出如下的结论：三角形的内角和等于___________．
【尝试】
（2）现在我们尝试用说理的方式说明该结论正确．
如图2，已知△ABC，分别用，，表示△ABC的三个内角，说明
解：如图2，画△ABC的边的延长线，过点C画
因为，
所以___________①___________，
___________②___________
因为___________③+___________④
所以
【拓展】
（3）如图3，请在六边形中画出所有从A点引出的对角线，此时六边形被分成了___________个三角形，这样，请你直接写出六边形的内角和是___________
【答案】（1）平，180；（2）， 两直线平行，内错角相等，，两直线平行，同位角相等，，；（3）4，720
【分析】本题考查作图-复杂作图，三角形内角和定理，平行线的性质，多边形的对角线，多边形的内角与外角，图形的拼剪，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
利用平角的性质解决问题即可；
利用平行线的性质平角的性质，解决问题即可；
利用三角形内角和定理解决问题即可．
【详解】解：如图1中，发现三个内角恰好拼成了一个平角，得出如下的结论：三角形的内角和等于
故答案为：平，180；
如图2，画△ABC的边的延长线，过点C画
因为，
所以两直线平行，内错角相等，
两直线平行，同位角相等，
因为
所以
故答案为：，两直线平行，内错角相等，，两直线平行，同位角相等，，；
如图3中，连接，，此时六边形被分成了4个三角形，六边形的内角和．
故答案为：4，．
题型九：平面镶嵌问题
【经典例题9】用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，这就是平面图形的镶嵌．若只用同一种正多边形进行平面镶嵌，则这种正多边形的边数可以是 ．（写出一种即可）
【答案】4（答案不唯一）
【分析】本题考查了平面图形的镶嵌、正多边形的内角，正确理解平面图形的镶嵌是解题关键．平面图形的镶嵌的关键是围绕一点拼在一起的正多边形的内角加在一起恰好组成一个周角，即为正多边形一个内角的整数倍才能用这个正多边形进行平面镶嵌，据此解答即可得．
【详解】解：平面图形的镶嵌的关键是围绕一点拼在一起的正多边形的内角加在一起恰好组成一个周角，即为正多边形一个内角的整数倍才能用这个正多边形进行平面镶嵌．
∵正方形的一个内角的度数为，且，
∴只用正方形可以进行平面镶嵌，
故答案为：4（答案不唯一）．
【变式训练9-1】如图是工人师傅用边长均为的两块正三角形和一块正方形地砖绕着点进行的铺设．若将一块边长为的正多边形地砖恰好能无空隙、不重叠地拼在处，则这块正多边形地砖的边数是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了平面密铺，熟练掌握多边形内角和是解题的关键．
根据多边形的内角和求出，则通过计算多边形的外角即可得到答案．
【详解】解：∵正三角形的内角为，正方形的内角为，
∴，
∴这块正多边形地砖的边数是，
故答案为：．
【变式训练9-2】如图，为足球表面沿缝接线剪开并将其平铺后的局部示意图．该平面图形为具有公共顶点且边长相等的2个正六边形和1个正五边形拼接而成（除处，其他均无缝隙无重叠拼接），则图示中两个正六边形之间的缝隙 度．
【答案】12
【分析】本题考查了正多边形的内角问题，熟练掌握正多边形的内角问题是解题的关键．先由正多边形的内角公式求出正六边形和正五边形的内角，再根据周角是即可求出的大小．
【详解】解：正五边形的每个内角的度数为：，
正六边形的每个内角的度数为：，
，
故答案为：．
【变式训练9-3】用三种边长相等的正多边形地砖铺地，其顶点拼在一起，刚好无缝拼接．若这三种正多边形的边数分别为x、y、z，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查正多边形的内角问题，理解题意，得到这三种边长相等的正多边形的内角和为是解答的关键．
利用正n多边形的内角公式求解即可．
【详解】解：根据题意，这三种边长相等的正多边形的内角和为，
则，
∴
∴，
∴，
故答案为：1．
【变式训练9-4】簪花结束后，小强和爸爸牵着妈妈的手，到蟳埔村参观游玩拍照纪念，精美的镂空窗花搭配蚵壳墙，极具泉州古民居特色，给小强一家留下来极其深刻的印象，在感叹泉州人民的勤劳与智慧的同时，聪明的小强发现有的窗花是由几种形状的正多边形组合镶嵌而成，具有很好的对称美，小强爸爸给他出了如下两个题目，请帮帮小强一起解决．
(1)已知一扇窗户在某个结点处由两种边长相等的正多边形镶嵌而成，其中一种是等边三角形，另一个种不能是下列哪种形状的正多边形 （填序号）
正三角形 正四边形 正五边形 正六边形
(2)小强发现某个花纹用个全等的正八边形进行拼接，使相等的两个正八边形有一条公共边，围成一圈后中间形成一个正方形，如图，小强猜想，如果用个全等的正六边形按这种方式进行拼接，如图，若围成一圈后中间形成一个正多边形，则的值为 ，并简要说明理由．
【答案】(1)
(2)，理由见解析
【分析】本题考查的是平面镶嵌、多边形的内角和公式、解一元一次方程等知识，用形状，大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙，不重叠地铺成一片，这就是平面图形的镶嵌，掌握以上知识是解题的关键．
（1）分别求出各多边形内角的度数，再由密铺的条件即可得出结论；
（2）根据正六边形各内角的度数即可得出结论．
【详解】（1）解：正三角形的内角是，，可以密铺，不符合题意；
正四边形的内角是，，可以密铺，不符合题意；
③正五边形的内角是，，不能密铺，符合题意；
④正六边形的内角是，，可以密铺，不符合题意，
故答案为：；
（2）解：，理由如下：
由题意得，这个正六边形围成的图形是一个正多边形，由图可知，围成的这个正多边的每个内角的度数是，
所以，，
解得：，
故答案为：．
【变式训练9-5】阅读下列材料，并完成相应任务．
关于同一种多边形的平面密铺
平面密铺的定义：平面密铺是指用一些形状大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠的铺成一片，这就是平面图形的密铺，又称做平面图形的镶嵌．
任务一：探究同一种正多边形的密铺．
如图1，通过拼图发现正方形、正六边形都可以进行密铺，此时公共顶点处的几个角正好拼成了一个周角．
问题① 铺的条件为：当公共顶点处所有角的和为___________，并使相等的边重合时，该图形就可以进行密铺．
问题② 认为正五边形可以进行密铺吗？并说明理由．
任务二：探究同一种一般多边形的密铺
经过同学们动手实验，每小组画出自己小组的拼接图，如图2．
问题③ 观察图2，可以发现任意__________和任意__________都可以单独密铺．
经过研究发现三对对边平行的六边形可以单独密铺，人们借助六边形的密铺，发现虽然正五边形不能进行密铺，但有些特殊五边形可以进行密铺，从此展开了对一般五边形的密铺探究．
目前可以密铺的凸五边形共有15种，如图3为其中一种五边形的密铺图．
问题④ 图4为图3中抽象出的一个五边形，其中，，则的度数为__________．
【答案】任务一：问题①360；问题②不能，理由见解析
任务二：问题③三角形，四边形；问题④
【分析】本题考查了多边形内角和、平面镶嵌，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
任务一：问题①：根据题意即可得出答案；问题②：求出正五边形的内角度数，结合①的结论即可得出答案；
任务二：问题③：结合图形即可得出答案；问题④：由图形并结合题意计算可得答案．
【详解】解：任务一：
问题①密铺的条件为：当公共顶点处所有角的和为，并使相等的边重合时，该图形就可以进行密铺；
问题②：正五边形不可以进行密铺，理由如下：
∵正五边形的每一个内角度数为，，
∴正五边形不以进行密铺；
任务二：问题③：观察图2，可以发现任意三角形和任意四边形都可以单独密铺；
问题④：由图形并结合题意可得：的度数为．
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专题4.1 多边形九大题型（一课一讲）
（内容：多边形和正多边形）
【浙教版】
题型一：多边形截角后边数问题
【经典例题1】把一张形状是四边形的纸片剪去其中某一个角，剩下的部分的形状不可能是（ ）
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
【变式训练1-1】若一个多边形截去一个角后，变成五边形，则原来的多边形的边数可能为（ ）
A．5或6 B．4或5 C．3或4或5 D．4或5或6
【变式训练1-2】若一个多边形截去一个角后，得到的新多边形为十五边形，则原来的多边形边数为 ．
【变式训练1-3】把一个多边形纸片沿一条直线截下一个三角形后，变成一个十八边形，则原多边形纸片的边数可能是 ．
【变式训练1-4】如图，从五边形纸片中剪去一个三角形，剩余的部分是几边形？请画出示意图说明．
【变式训练1-5】下列图形中，能通过切正方体得出来的共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
题型二：多边形对角线条数问题
【经典例题2】过七边形的一个顶点可以画n条对角线，将它分成m个三角形，则的值是（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【变式训练2-1】若从一个多边形的一个顶点出发，最多可引12条对角线，则它是（ ）
A．十二边形 B．十三边形 C．十四边形 D．十五边形
【变式训练2-2】从七边形的一个顶点出发最多可以引出m条对角线，这些对角线将该多边形分割成n个三角形，则的值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【变式训练2-3】已知一个正多边形每个内角都是，则这个正多边形共有 条对角线．
【变式训练2-4】如图，从多边形任意一边的中点出发，分别连接这个点与其余各顶点（左右相邻顶点除外），可以得到若干条线段，我们把这样的线段叫作“对边线”．
数一数每个多边形中所得“对边线”的条数，你能发现什么规律？
【问题思考】
（1）结合所给图形思考，从多边形的一边中点出发，可以得到的“对边线”数量，并填写下表：
多边形边数 三 四 五 六
“对边线”条数 __________ ___________ _____________ ____________
【问题探究】
（2）试着总结边形的“对边线”条数；
（3）猜想边形所有边上一共有多少条“对边线”？
【变式训练2-5】观察、探究及应用．
(1)观察如图所示的图形并填空．
一个四边形有 条对角线；
一个五边形有 条对角线；
一个六边形有 条对角线；
一个七边形有 条对角线；
(2)分析探究：由n边形的一个顶点出发，可作 条对角线，多边形有n个顶点，若允许重复计数，共可作 条对角线；
(3)结论：一个n边形有 条对角线；
(4)应用：一个十二边形有多少条对角线？
题型三：多边形内角和问题
【经典例题3】冰裂纹是我国古典园林的传统铺装纹样之一，并被广泛应用于建筑装饰和瓷器．如图2是从图1冰裂纹铺装的路面图案中提取的多边形，则这个多边形的内角和是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练3-1】如图，在五边形中，，，，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练3-2】如图，是一个正方体小木块静止在斜面上的受力分析，重力的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若斜面的坡角，则摩擦力与重力方向的夹角的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练3-3】在长方形中，一条直线将矩形任意分为两部分，设这两部分图形的内角和分别为、，则的和是（ ）
A． B．或
C．或 D．或或
【变式训练3-4】如图，在五边形中，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练3-5】如图，在正六边形和正方形中，连接并延长交边于，则（ ）
A． B． C． D．
题型四：多（少）算一个角问题
【经典例题4】一个多边形除去一个内角后，其余各内角的和为，则这个内角是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练4-1】小红：我计算出一个多边形的内角和为；老师：不对呀，你可能少加了一个角！则小红少加的这个角的度数是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练4-2】某同学在进行多边形的内角和的计算时，求得的内角和为，当发现错了之后，重新检查，发现是多加了一个内角，问：多加的这个内角的度数是 ，这个多边形是 边形．
【变式训练4-3】读小明和小红的对话，解决下列问题．小明：“我把一个多边形的各内角相加，得到的和为．”小红：“多边形的内角和不可能是，我看了你的过程，你多加了一个锐角．”
(1)通过列方程说明“多边形的内角和不可能是”的理由；
(2)求该多边形的内角和．
【变式训练4-4】玛丽在进行一个的内角和计算时，求得的内角和为，当发现错误之后，她立即检查发现少加了一个内角．已知该边形的对角线有条，试求的值．
【变式训练4-5】小云求一个多边形的内角和时，少加了一个内角，得到．
(1)求少加的内角的度数．
(2)请通过计算，判断这个多边形能否是正多边形．
【变式训练4-6】小马同学平时学习十分马虎，他在计算凸n边形的内角和时：
(1)若少计算一个内角度数，求得多边形的内角和为，则n的值是多少？
(2)若某一内角多计算了一次，求得多边形的内角和为，则n的值是多少？
题型五：复杂图形的内角和问题
【经典例题5】如图，顺次连接图中六个点，得到以下图形，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练5-1】如图，等于（ ）
A． B． C． D．
【变式训练5-2】图1是二环三角形，S＝∠A1+∠A2+…+∠A6=360，图2是二环四边形，S＝∠A1+∠A2+…+∠A=720，图3是二环五边形，S＝∠A1+∠A2+…+∠A=1080…聪明的同学，请你直接写出二环十边形，S＝_____________度（ ）
A．1440 B．1800 C．2880 D．3600
【变式训练5-3】如图，的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练5-4】（1）如图1，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F= ．
（2）如图2，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F+∠G= ．
【变式训练5-5】如图，多边形ABCDEFG中， ，则的值为（ ）
A． B． C． D．
题型六：正多边形的外角和问题
【经典例题6】若一个多边形的每个外角都是，则这个多边形的边数为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【变式训练6-1】正六边形和正五边形的位置如图所示，其中点E，D，J在同一条直线上，则的度数为 ．
【变式训练6-2】如果一个正多边形的内角和比另一个多边形的外角和多，则这个正多边形的边数是 ．
【变式训练6-3】一个多边形的内角和比外角和多，并且这个多边形的每个内角都相等，则这个多边形的每个内角为 ．
【变式训练6-4】小颖用含有角的直角三角板通过探究发现：一个残缺的正多边形的一个外角满足，则满足此条件的正多边形的边数可能是（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【变式训练6-5】将一个正五边形与一个正六边形按如题图所示方式放置，顶点，，，在同一条直线上，为公共顶点，则等于（ ）
A． B． C． D．
题型七：正多边形的外角和实际应用
【经典例题7】创客小组的同学给机器人设定了如图的程序，机器人从点出发，沿直线前进米后左转，再沿直线前进米，又向左转……照这样走下去，机器人第一次回到出发地点时，一共走的路程是（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
【变式训练7-1】如图，是正边形纸片的一部分，其中是正边形两条边的一部分，若所在的直线相交形成的锐角为，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练7-2】石墨烯在材料学、微纳加工、能源、生物医学和药物传递等方面具有重要的应用前景．它的分子结构如图所示，六边形的外角和为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练7-3】如图，图1是我国古代建筑中的一种窗格，其中冰裂纹图案象征着坚冰出现裂纹并开始消溶，形状无一定规则，代表一种自然和谐美．图2是从图1冰裂纹窗格图案中提取的由五条线段组成的图形，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练7-4】如图，，，是五边形的三个外角，若，则的度数（ ）
A． B． C． D．
【变式训练7-5】一个等边三角形、一个直角三角形以及一个等腰三角形如图放置，已知等腰三角形的底角，则（ ）
A． B． C． D．
题型八：多边形内角和与外角和综合
【经典例题8】一个正多边形的一个内角是它的一个外角的5倍，求这个正多边形的内角和．
【变式训练8-1】（1）若多边形的内角和为，求此多边形的边数；
（2）已知一个正多边形的一个内角等于一个外角的倍，求这个正多边形是几边形？
【变式训练8-2】一个多边形的每一个内角都相等，并且每个外角都等于与它相邻的内角的，
(1)求这个多边形一个外角的度数；
(2)求这个多边形的边数．
【变式训练8-3】（1）一个多边形除了一个内角之外，其余内角之和为，求这个多边形的边数和少加的内角的大小；
（2）若多边形所有内角与它的一个外角之和为，求这个多边形的边数及内角和．
【变式训练8-4】小明在计算多边形的内角和时，得到的答案是600°，老师说小明计算的不对．
(1)通过计算说明，为什么老师说小明计算的结果不对？
(2)若小明计算的是五边形，并且不小心多加了一个外角的度数，请计算这个外角的度数；
(3)若小明在计算该多边形的内角和时，其中一个内角没有加上去，而是加上了这个内角所对应的外角，请直接写出该多边形的边数．
【变式训练8-5】数学探究课上，同学们通过撕、拼的方法，探索、验证三角形的内角和．
【发现】
（1）如图1，在小学我们曾剪下三角形的两个内角，将它们与第三个内角拼在一起，发现三个内角恰好拼成了一个___________角，得出如下的结论：三角形的内角和等于___________．
【尝试】
（2）现在我们尝试用说理的方式说明该结论正确．
如图2，已知△ABC，分别用，，表示△ABC的三个内角，说明
解：如图2，画△ABC的边的延长线，过点C画
因为，
所以___________①___________，
___________②___________
因为___________③+___________④
所以
【拓展】
（3）如图3，请在六边形中画出所有从A点引出的对角线，此时六边形被分成了___________个三角形，这样，请你直接写出六边形的内角和是___________
题型九：平面镶嵌问题
【经典例题9】用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，这就是平面图形的镶嵌．若只用同一种正多边形进行平面镶嵌，则这种正多边形的边数可以是 ．（写出一种即可）
【变式训练9-1】如图是工人师傅用边长均为的两块正三角形和一块正方形地砖绕着点进行的铺设．若将一块边长为的正多边形地砖恰好能无空隙、不重叠地拼在处，则这块正多边形地砖的边数是 ．
【变式训练9-2】如图，为足球表面沿缝接线剪开并将其平铺后的局部示意图．该平面图形为具有公共顶点且边长相等的2个正六边形和1个正五边形拼接而成（除处，其他均无缝隙无重叠拼接），则图示中两个正六边形之间的缝隙 度．
【变式训练9-3】用三种边长相等的正多边形地砖铺地，其顶点拼在一起，刚好无缝拼接．若这三种正多边形的边数分别为x、y、z，则的值为 ．
【变式训练9-4】簪花结束后，小强和爸爸牵着妈妈的手，到蟳埔村参观游玩拍照纪念，精美的镂空窗花搭配蚵壳墙，极具泉州古民居特色，给小强一家留下来极其深刻的印象，在感叹泉州人民的勤劳与智慧的同时，聪明的小强发现有的窗花是由几种形状的正多边形组合镶嵌而成，具有很好的对称美，小强爸爸给他出了如下两个题目，请帮帮小强一起解决．
(1)已知一扇窗户在某个结点处由两种边长相等的正多边形镶嵌而成，其中一种是等边三角形，另一个种不能是下列哪种形状的正多边形 （填序号）
正三角形 正四边形 正五边形 正六边形
(2)小强发现某个花纹用个全等的正八边形进行拼接，使相等的两个正八边形有一条公共边，围成一圈后中间形成一个正方形，如图，小强猜想，如果用个全等的正六边形按这种方式进行拼接，如图，若围成一圈后中间形成一个正多边形，则的值为 ，并简要说明理由．
【变式训练9-5】阅读下列材料，并完成相应任务．
关于同一种多边形的平面密铺
平面密铺的定义：平面密铺是指用一些形状大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠的铺成一片，这就是平面图形的密铺，又称做平面图形的镶嵌．
任务一：探究同一种正多边形的密铺．
如图1，通过拼图发现正方形、正六边形都可以进行密铺，此时公共顶点处的几个角正好拼成了一个周角．
问题① 铺的条件为：当公共顶点处所有角的和为___________，并使相等的边重合时，该图形就可以进行密铺．
问题② 认为正五边形可以进行密铺吗？并说明理由．
任务二：探究同一种一般多边形的密铺
经过同学们动手实验，每小组画出自己小组的拼接图，如图2．
问题③ 观察图2，可以发现任意__________和任意__________都可以单独密铺．
经过研究发现三对对边平行的六边形可以单独密铺，人们借助六边形的密铺，发现虽然正五边形不能进行密铺，但有些特殊五边形可以进行密铺，从此展开了对一般五边形的密铺探究．
目前可以密铺的凸五边形共有15种，如图3为其中一种五边形的密铺图．
问题④ 图4为图3中抽象出的一个五边形，其中，，则的度数为__________．
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