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专题4.2 平行四边形及其性质十一大题型（一课一讲）
（内容：平行四边形的认识及其性质）
【浙教版】
题型一：平行四边形性质的理解
【经典例题1】下列关于平行四边形性质的描述中，错误的是（ ）
A．平行四边形对边相等 B．平行四边形对角相等
C．平行四边形一定是轴对称图形 D．平行四边形对角线互相平分
【答案】C
【分析】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
根据平行四边形对边相等，对角相等，对角线互相平分，是中心对称图形，不是轴对称图形即可判断．
【详解】解：平行四边形对边相等，对角相等，对角线互相平分，是中心对称图形，不是轴对称图形，故A、B、D正确，不符合题意，C错误，符合题意，
故选：C．
【变式训练1-1】下列命题的逆命题不成立的是（ ）
A．平行四边形对角线互相平分
B．对顶角相等
C．平行四边形两组对角都相等
D．直角三角形两直角边平方的和等于斜边的平方
【答案】B
【分析】本题考查了写出命题的逆命题、判断命题的真假，写出各个命题的逆命题并判断真假即可得解．
【详解】解：A、逆命题为：对角线互相平分的四边形为平行四边形，此逆命题为真命题，故不符合题意；
B、逆命题为：相等的角为对顶角，此逆命题为假命题，故符合题意；
C、逆命题为：两组对角都相等的四边形为平行四边形，此逆命题为真命题，故不符合题意；
D、逆命题为：较短两边的平方的和等于最长边的平方的三角形为直角三角形，此逆命题为真命题，故不符合题意；
故选：B．
【变式训练1-2】下列命题的逆命题成立的是（ ）
A．全等三角形的对应角相等 B．平行四边形的对角线互相平分
C．对顶角相等 D．同位角互补，两直线平行
【答案】B
【分析】本题主要考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解如何写出一个命题的逆命题，难度不大．写出原命题的逆命题后判断正误即可．
【详解】解：A、全等三角形的对应角相等的逆命题为：对应角相等的三角形全等，不成立，不符合题意；
B、平行四边形的对角线互相平分的逆命题为：对角线互相平分的四边形是平行四边形，成立，符合题意；
C、对顶角相等的逆命题为：相等的角是对顶角，不成立，不符合题意；
D、同位角互补，两直线平行的逆命题为：两直线平行，同位角互补，不成立，不符合题意．
故选：B．
【变式训练1-3】如，平行四边形中，O为两条对角线的交点，则结论正确的是哪项？（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对边相等、对角线互相平分．由平行四边形的性质容易得出结论．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴选项A、B、D不正确，选项C正确；
故选：C．
【变式训练1-4】在中，下列结论不一成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据平行四边形的性质逐一分析即可．
【详解】解：、∵四边形是平行四边形，
∴（平行四边形的邻角互补），正确，不符合题意；
、∵四边形是平行四边形，
∴，正确，不符合题意；
、∵四边形是平行四边形，
∴（平行四边形的邻角互补），正确，不符合题意；
、根据四边形是平行四边形不能推出，错误，符合题意；
故选：．
【变式训练1-5】如图，在中，点，分别在，边上，且．若垂直平分，则下列结论不一定成立的是
A． B．垂直平分 C． D．
【答案】D
【分析】证，得，，即可解决问题．
【详解】解：四边形是平行四边形，
，，，，
，
，
，，
，
，
，
，
∴四边形是平行四边形
垂直平分，
，，
∴四边形是矩形
，，
垂直平分；
没有条件可以得出，故选项D符合题意，选项A、B、C不符合题意，
故选：D．
题型二：利用平行四边形的性质求角度
【经典例题2】如图，在中，是对角线，当△ABC是等边三角形时，为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质和等边三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相关性质．
利用等边三角形的性质求出度数，利用平行四边形性质可求的度数．
【详解】解：是等边三角形，
∴
∵四边形是平行四边形，
∴，
．
故选：D．
【变式训练2-1】在平行四边形中，，的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了平行四边形的性质，根据平行四边形的对角相等即可求解，掌握平行四边形的性质是解题的关键．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：．
【变式训练2-2】在中，的值可能是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．2
【答案】A
【分析】本题考查了平行四边形的性质：对角相等；根据此性质，，据此即可求解．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
从四个选项来看，只有选项A符合题意；
故选：A．
【变式训练2-3】如图，在平行四边形中，点、点是边上两点，满足，，延长、交于点，连接，设，则的大小用含的代数式表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查角平分线的判定与性质，平行四边形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，熟练掌握这些性质与判定是解题的关键．过点作延长线于点，于点，延长线于点，由四边形是平行四边形，得，利用平行和等腰易得，可得，设，通过等腰三角形性质、三角形内角和及平行可以导角推出，，可得，则，推出平分，则可求出．
【详解】解：如图，过点作延长线于点，于点，延长线于点，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，
∴，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴平分，
∴，
故选：B．
【变式训练2-4】如图，在平行四边形中，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了平行四边形的性质．由平行四边形中，，，可求得与的度数．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴．
故选C．
【变式训练2-5】如图，在中，E是边上一点，，连接，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了平行四边形的性质，等边对等角，掌握知识点的应用是解题的关键．由四边形是平行四边形，得，，则有，，根据等腰三角形的性质得出，从而有．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
【变式训练2-6】如图，在中，交对角线于点E．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，三角形的外角和等知识点，解题的关键是熟练掌握以上知识点．由平行四边形的性质得，再由平行线的性质得，易证，然后由三角形的外角性质即可得，由此即可求解．
【详解】解：，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
∴，
∴
∴，
故选：C．
题型三：利用平行四边形的性质求线段长度
【经典例题3】如图，在中，的角平分线交于点E，的角平分线交于点F．若，，则的长是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【分析】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定等知识，熟练掌握平行四边形的性质是解题关键．先根据平行四边形的性质可得，，根据平行线的性质可得，再根据角平分线的定义可得，从而可得，然后根据等腰三角形的判定可得，最后根据线段和差求解即可得．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，，，
∴，，
∴，
∵平分，平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
【变式训练3-1】如图，在平行四边形中，的平分线和的平分线交于上一点，若，，则的长为（ ）
A． B． C．5 D．6
【答案】B
【分析】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，等角对等边，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据角平分线可知，，，结合四边形是平行四边形，，，从而得到，，，最后在中利用勾股定理即可求解．
【详解】解：四边形是平行四边形，
，，，
，，
的平分线和的平分线交于上一点
，
，，
，
故选：B．
【变式训练3-2】如图，平行四边形，，，以B为圆心，某一长度为半径画弧，分别交于点M，N，再分别以M，N为圆心，以大于的长度为半径画弧，两弧交于点P，连接交于点E，连接，，的延长线交于点F，则的长为（ ）
A． B．2 C． D．1
【答案】B
【分析】本题考查平行四边形的性质，尺规作图—作角平分线，等角对等边，全等三角形的判定和性质，根据作图得到平分，平行四边形的性质，推出，证明，得到即可．
【详解】解：∵平行四边形，，，
∴，，
∴，，
由作图可知：平分，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴；
故选B．
【变式训练3-3】如图，在中，对角线相交于点O，，，，则的长为（ ）
A． B．6 C．7 D．
【答案】A
【分析】本题考查勾股定理和平行四边形的性质．先根据勾股定理求出，再根据平行四边形的性质求出，再利用勾股定理求出．
【详解】解：，，，
，
四边形是平行四边形，
，
，
故选：A．
【变式训练3-4】如图，的对角线与相交于点，过点作交于点，若，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此题考查了平行四边形的性质，勾股定理及其逆定理，根据面积等式求线段的长度等知识与方法，掌握知识点的应用是解题的关键．
由平行四边形的性质得，，而，由，证明，求得，因为于点，所以，求得，于是得到问题的答案．
【详解】解：∵的对角线与相交于点，，，，
∴，，，
∴，，
∴，
∴△AOB是直角三角形，且，
∴，，
∵于点，
∴，
∴，
故选：．
【变式训练3-5】如图，在中，连接，且，过点作于点，过点作于点，且，在的延长线上取一点，满足，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，平行四边形的性质，三角形的外角性质，解题的关键是掌握相关知识．根据平行四边形的性质可得，推出，利用等面积法得到，由，，推出，得到，结合，即可求解．
【详解】解：四边形是平行四边形，
，
，
，
，，
，
，
，，
，
，
，
是等腰直角三角形，
,
故选：B．
题型四：平行四边形性质中周长问题
【经典例题4】如图，在中，，点是边上一点，且平分，若，，，则的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形的内角和定理的应用；根据平行四边形的性质，角平分线的定义得出，等角对等边可得，进而证明得出，即可求解．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∴
∵平分，
∴
∴
∴，
又∵
∴；
∵
∴
∴,
∵，
∴
∴
∴
∴
∴的周长为，
故选：B．
【变式训练4-1】如图，在周长为的中，，、相交于点，交于，则的周长为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了平行四边形的性质，线段垂直平分线的性质，掌握知识点的应用是解题的关键．
由四边形是平行四边形，则，从而得出垂直平分，故有，所以的周长为，再由为即可求解．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴的周长
，
∵为，
∴，
∴的周长为，
故选：．
【变式训练4-2】如图，在中，，，的垂直平分线交于点E，则的周长是（ ）
A．9 B．10 C．13 D．14
【答案】D
【分析】本题考查的是平行四边形的性质，线段的垂直平分线的性质，先证明，，，再进一步求解即可.
【详解】解：∵四边形是平行四边形，，，
∴，，
∵的垂直平分线交于点，
∴，
∴，
∴，
∴的周长是14，
故选：D．
【变式训练4-3】已知平分交边于，若，则的周长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定与性质，角平分线的定义，根据平行四边形的性质得到，，，推出，再根据平分，推出，进而得到，再求出，即可解答．
【详解】解：如图，
∵中，，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴的周长为，
故答案为：．
【变式训练4-4】在平行四边形中，对角线，相交于点O，且，，则的周长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了平行四边形的性质，由平行四边形的性质得，，，即可求解；掌握平行四边形的性质是解题的关键．
【详解】解：如图，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
的周长为：
（），
故答案为：．
【变式训练4-5】如图，平行四边形的周长是，对角线相交于点，交于点，则的周长为 ．
【答案】
【分析】此题考查了平行四边形的性质、线段的中垂线的性质以及三角形周长等知识，熟练掌握平行四边形的性质解题的关键．
由四边形是平行四边形，则，，，故有，又，则垂直平分，所以，再根据周长公式即可求解．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∵平行四边形的周长是，
∴，
∵，
∴垂直平分，
∴，
∴的周长
，
故答案为：．
题型五：平行四边形性质中面积问题
【经典例题5】如图，在平行四边形中，对角线相交于点O，，则平行四边形的面积是（ ）
A．12 B． C．24 D．30
【答案】C
【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理逆定理，掌握平行四边形的性质是解题的关键．
根据平行四边形的性质得出，再由勾股定理逆定理确定是直角三角形，得出，再求面积即可．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，且，
∴，
∵，
∴，
∴是直角三角形，且，
即，
∴平行四边形面积为：．
故选：C．
【变式训练5-1】如图，是平行四边形内任一点，若，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．3 B． C．4 D．
【答案】D
【分析】本题主要考查三角形的面积公式和平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．根据三角形面积公式可知，图中阴影部分面积等于平行四边形面积的一半，即可得到答案．
【详解】解：设两个阴影部分三角形的高为，
则为平行四边形的高，
．
故选D．
【变式训练5-2】如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，过点，交于点，交于点．若，，，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．1.5 B．3 C．6 D．4
【答案】B
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理、平行四边形的性质、三角形全等的判定与性质等知识点，熟练掌握平行四边形的性质是解题关键．
先利用勾股定理的逆定理求出△ABC是直角三角形，再利用定理证出，根据全等三角形的性质可得，从而可得阴影部分的面积等于，然后根据平行四边形的性质求解即可得．
【详解】解：四边形是平行四边形，且，
，
，
，，
，
是直角三角形，且，
，
，
又，
，
在和中，，
，
，
则图中阴影部分的面积是，
故选：B．
【变式训练5-3】如图，在平行四边形中，点F是边上任意一点，分别连接交于E，则下列各组三角形中面积不一定相等的是（ ）
A．和 B．和
C．和△ADE D．和
【答案】C
【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，掌握平行四边形对边相等且平行是解题的关键．
根据平行四边形得到对边相等且平行，继而得到平行线间的距离处处相等，那么根据共高三角形面积问题化为底的问题即可求解．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∴和面积相等；
∵，，
∴和等底等高，因此面积相等；
∵，
∴和共底等高，
∴和面积相等，
∵和含有公共部分，
∴和面积相等，
对于和△ADE的面积证明不了相等，
∴A、B、D正确，不符合题意，C错误，符合题意，
故选：C．
【变式训练5-4】在中，， ，，则的面积是（ ）
A． B． C． D．或
【答案】D
【分析】本题考查了平行四边形的性质，角的直角三角形的性质，勾股定理，解题的关键是掌握相关知识．过作于，解直角三角形得到、、，再求出，最后根据平行四边形的面积公式求解即可．
【详解】解：过作于，
在中，， ，
，
，
在中，，
，
如图1，当时，
平行四边形的面积，
如图2，当时，
平行四边形的面积，
平行四边形的面积为或，
故选：D．
【变式训练5-5】如图，在中，对角线，交于点，，，垂足分别为E，F．
(1)求证：；
(2)若，求的长；
(3)若，，当时，求的面积．
【答案】(1)见解析(2)4(3)8
【分析】此题考查了平行四边形的性质，三角形全等和勾股定理的运用，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质，三角形全等和勾股定理．
（1）由平行四边形的性质得到，由，，可得，，证明，根据全等三角形的性质即可解答；
（2）根据求出的长度，然后根据勾股定理求出的长度，即可根据平行四边形对角线互相平分求出的长度；
（3）根据题意可求出，根据平行四边形的性质可求出、，然后根据勾股定理求出，最后根据平行四边形的面积公式即可求解．
【详解】（1）证明 ：四边形是平行四边形，
，
，，
，
在和中，
，
，
；
（2）解：∵，
，
在中，，
四边形是平行四边形，
；
（3）解：，
，
四边形是平行四边形，
，，
∵，
，
．
题型六：平行四边形性质中坐标系问题
【经典例题6】在平面直角坐标系中，我们把一个点的纵坐标与横坐标的乘积称为该点的“点积值”．如图，，点在正半轴上，点在直线上，当点的“点积值”为，点的“点积值”为时，点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了一次函数的图象，解一元二次方程，平行四边形的性质，熟练掌握一次函数的图象是解题关键．
根据题意设，通过“点积值”的定义求出点坐标，根据平行四边形的性质结合“点积值”求出点的坐标，即可求解点的坐标．
【详解】解：点在直线上，
设，
点的“点积值”为，
，解得：，
或，
四边形是平行四边形，
，
设或，
点的“点积值”为，
或，解得：，
，
点在正半轴上，
．
故选：C．
【变式训练6-1】在平面直接坐标系中，平行四边形的坐标分别为，，，求点的坐标（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，坐标与图形的关系，熟练掌握平行四边形的性质是解题关键．
根据题意结合平行四边形的性质即可求解．
【详解】解：四边形是平行四边形，
，，
，，，
，
的横坐标是，纵坐标是，
．
故选：A．
【变式训练6-2】如图，平行四边形的顶点A、B、D的坐标分别是，则顶点C的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查的是坐标与图形，平行四边形的性质，掌握“平行四边形的性质”是解本题的关键．根据平行四边形对边平行且相等可得到，轴，据此可得答案．
【详解】解：的顶点A，B，D的坐标分别是，
，
∵轴，，
轴，
．
故选：D．
【变式训练6-3】如图，是以的对角线为边的等边三角形，点C与点E关于x轴对称．若E点的坐标是，则D点的坐标是（）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了点关于x轴对称的性质，等边三角形的性质以及平行四边形的性质等知识，通过计算的长度，利用等边三角形的性质得到的长度，再利用勾股定理求出的长度，从而确定点的坐标，最后根据平行四边形的性质求出点的坐标，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：如图：
∵点与点关于轴对称，点的坐标是，
∴的坐标为
，，
是以的对角线为边的等边三角形，
，
，
，
，
，
∴点的坐标是，
故选：C．
【变式训练6-4】如图，在平面直角坐标系中，的顶点D在x轴负半轴上，顶点C在直线上，若顶点E的坐标是，则顶点D的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了平行四边形的性质，由平行四边形的性质得，，将此代入直线解析式，求出的坐标，即可求解；掌握平行四边形的性质是解题的关键．
【详解】解：四边形是平行四边形，
轴，
，
顶点E的坐标是，
，
，
解得：，
，
，
；
故选：B．
【变式训练6-5】如图，在平面直角坐标系中，平行四边形三个顶点坐标分别为，，，则顶点B的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了平行四边形的性质，坐标与图形性质，设点，由平行四边形的性质可得，，即可求解，掌握平行四边形的性质是本题的关键．
【详解】解：设点，
∵四边形是平行四边形，点，点，点，
∴，，
∴，，
∴点，
故选：A．
题型七：平行四边形性质综合之最值问题
【经典例题7】如图，在中，，，是边上任意一点，连接，以，为邻边作，连接，则长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设，交于点，过点作于点，连接，勾股定理求得，等面积法求得，根据垂线段最短，当点与点，重合时，最小，进而求得的最小值，即可求解．
【详解】解：设，交于点，过点作于点，连接，如图所示，
在平行四边形中，，，
，
是等腰三角形，
，
，
，
在中，，
，
，
当点与点重合时，最小，
的最小值为．
故选：．
【变式训练7-1】如图，在中，，，，点为边上任意一点，连接、将沿方向平移至，连接、，则当取得最小值时，的长为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】C
【分析】本题考查平行四边形性质和勾股定理，利用勾股定理得到边的长度，根据平行四边形的性质，得知最短即为最短，利用垂线段最短得到点的位置，再根据得到的长度，继而得到的长度，从而即可得解．
【详解】解：，
，
四边形是平行四边形，
，，
最短也就是最短，
过作的垂线，垂足为，连接，
∵垂线段最短，
∴当点P在点处时，最小，即最小，
∵
即
∵
，
则的最小值为，
，
，
∴当取得最小值时，的长为．
故选：C．
【变式训练7-2】如图，在中，，，，点为上任意一点，连接，以、为邻边作平行四边形，连接，则的最小值为（ ）
A．2 B． C．4 D．
【答案】C
【分析】本题考查了平行四边形的性质、等腰直角三角形的性质以及垂线段最短的性质，勾股定理等知识，设与交于点O，作于，首先利用勾股定理求出，当P与重合时，的值最小，的最小值，从而求解．
【详解】解：设与交于点O，作于．如图所示：
在中，，
∴为等腰直角三角形，
，
∵四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
当P与重合时，的值最小，则的值最小，
的最小值．
故选：C．
【变式训练7-3】如图，中，，，点P为上任意一点，连接，以、为邻边作平行四边形，连接，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了平行四边形的性质，垂线段最短，等面积法，利用等面积法求的长是解题的关键．
设，交于点，由四边形是平行四边形，得出，即求的最小值，再乘以2即可．点D是的中点，为定点，由垂线段最短可知，当时，取得最小值，即最小，过点作于点，当重合时，最小，据此即可求得的最小值．
【详解】解:如图，设，交于点，过点作于点，连接
四边形是平行四边形，
，，
∵点D是的中点，为定点，
∴由垂线段最短可知：当时，取得最小值，则最小，
即当重合时，最小，
∴的最小值为,
，
∴,
∵，即
∴
，
∴的最小值为
的最小值为
故选：B.
【变式训练7-4】在平面直角坐标系中，点、、、，当四边形的周长最小时，m的值为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了坐标与图形的性质，待定系数法求函数解析式，以及轴对称-最短路线问题．如图，作点A关于x轴的对称点E，过E作轴，取，连接，，，只要求的最小时，点D的坐标即可．
【详解】解：如图，作点A关于x轴的对称点E，过E作轴，取，连接，，
∵、，
∴，
∵、，
∴，
∴，
∴只要求的最小时，点D的坐标即可，
∵点A关于x轴的对称点E，，
∴，，
∵轴，，
∴四边形是平行四边形，，
∴，
∴点B、D、E三点共线时，，
设直线的函数解析式为，
∵，，
∴，
解得，
∴直线的函数解析式为，
当时，，
∴，
∴，
故选：C．
【变式训练7-5】如图，在中，，，，，点在边上运动且不与点、重合，连接，取的中点，过点作，垂足为点，连接，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】过点作交于点，过点作交于点，延长，交于点，根据平行四边形的对边平行可得，根据平行线的性质得出，根据直角三角形的性质和勾股定理求出，根据等腰直角三角形的定义和性质得出，根据勾股定理求出，求得，根据等腰直角三角形的定义和性质得出，根据勾股定理求出，求得，根据平行线的判定和性质得出，根据如果两个三角形中有两个角及其夹边分别相等，那么这两个三角形全等可得，根据全等三角形的性质得出，，推得当的值最小时，的值最小；根据等腰直角三角形的定义和性质得出，设，求得，，，，根据勾股定理得出，推得当时，的值最小为，即可求出的最小值为，的最小值为．
【详解】解：过点作交于点，过点作交于点，延长，交于点，如图：
∵四边形是平行四边形，
故，
∴，
∵，，
∴，
在中，，
∴，，
∵，，
故是等腰直角三角形，
∴，，
∴；
∵，，
故是等腰直角三角形，
∴，
在中，，
∴，
故，
∵，，
∴，
∴，
∵点是的中点，
故，
∵，，，
∴，
∴，，
故，
当的值最小时，的值最小；
∵，，
故是等腰直角三角形，
∴，
设，则，，
，
，
在中，，
故，
整理得：，
当时，的值最小为，
此时的最小值为，
故，
即的最小值为．
故选：B．
题型八：平行四边形性质综合之折叠问题
【经典例题8】如图，将沿对角线折叠，使点落在点处．若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，平行线的性质，三角形内角和定理，折叠性质，根据已知条件求出是解题的关键．先根据平行四边形的性质，得出，根据平行线的性质，得出，根据折叠得出，根据三角形内角和得出的度数即可．
【详解】解：∵四边形为平行四边形，
∴，
，
根据折叠可知，，
∴，
，
∴，故C正确．
故选：C．
【变式训练8-1】如图所示，在中进行折叠操作，使得点恰好落在边上的点处．已知，，那么的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了平行四边形的性质，折叠的性质，三角形的内角和定理等；由平行四边形的性质及平行线的性质得，由折叠的性质得，由三角形的内角和定理即可求解；掌握平行四边形的性质，折叠的性质是解题的关键．
【详解】解：四边形是平行四边形，
，
，
由折叠得：，
，
故选：B．
【变式训练8-2】如图，在平行四边形中，E为边上的一个点，将△ADE沿折叠至处，与交于点F，若，，则（ ）度．
A．40 B．35 C．30 D．50
【答案】A
【分析】本题考查了翻折变换的性质、平行四边形的性质以及三角形的外角性质等知识；熟练掌握翻折变换得性质和平行四边形的性质，求出的度数是解题的关键．
由平行四边形的性质得，再由三角形的外角性质得，则，然后由折叠的性质得，即可求解．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
，
，
，
，
∵将△ADE沿折叠至处，
，
，
故选：A．
【变式训练8-3】如图．将沿过点A的直线l折叠，使点D落到边上的中点处，直线l交边于点E，连接．若，，则的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，折叠的性质，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，先由平行四边形的性质和折叠的性质证明得到，再由线段中点的定义得到，根据等边对等角和三角形内角和定理证明，再利用勾股定理求解即可．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
由折叠的性质可得，
∴，
∴，
∴，
∵是的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
，
，
∴．
【变式训练8-4】如图，在中，，将折叠，使得点B与点D重合，折痕交AD，BC分别于点E，F，则 ．
【答案】
【分析】设，作于点L，则，由折叠可知，，得到，则，，由勾股定理得到，解得，即可得到答案．
【详解】解：设，作于点L，则，
∵
∴由折叠可知，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴，
故答案为：
【变式训练8-5】如图所示，已知是平行四边形的边上一点，将△ADE沿直线折叠，点恰好落在边上的点处，如果的周长为，△CDF的周长为，那么的长等于 ．
【答案】
【分析】本题考查了平行四边形的性质及翻折变换，由折叠性得，， 根据题意可得，， 则，再根据平行四边形的性质可得，从而求解，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：由折叠性得，，
∵的周长为，△ACDF的周长为，
∴，，
∴的周长的周长平行四边形的周长，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∴△CDF的周长，
故答案为：．
【变式训练8-6】如图，在中，，，，点E是上的一点，点F是边上一点，将平行四边形沿折叠，得到四边形，点A的对应点为点C，点D的对应点为点G，则的长度为 ．
【答案】
【分析】作于，过点作于，由 角直角三角形的性质可求，则，证明，那么，而，设，则，则，由折叠可知，，在中，由勾股定理得，即可求解．
【详解】解：如图，作于，过点作于.
∵，，
∴，
∴，，
∵四边形是平行四边形，
∴，，，
由折叠可知，，，，
∴，，，
∴，
在和中，
∴;
∴,
∵，,
∴，
∴，
设，则，
∴，
由折叠可知，，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，
由勾股定理得，
解得，
∴，
∴.
故答案为：.
题型九：平行四边形性质中综合证明题
【经典例题9】如图，在中，点E、F在上，，．求证：
(1)；
(2)．
【答案】(1)见解析(2)见解析
【分析】此题查看了平行四边形的性质，全等三角形的性质和判定，平行线的判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点．
（1）由平行四边形得到，，然后证明出，进而证明；
（2）由得到，即可得到．
【详解】（1）∵四边形是平行四边形
∴，
∴
又∵，
∴
∴；
（2）∵
∴
∴．
【变式训练9-1】如图，在中，E、F分别是上的点，G、H分别是的三等分点，．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
【答案】(1)见解析(2)
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质与判定：
（1）由平行四边形对边平行结合平行线的性质与判定定理可得，，再证明，则由全等三角形的判定定理即可证明结论；
（2）过点G作于M，可证明，则，据此求出的长，再求出的长，从而求出的长，再由全等三角形的性质即可得到答案．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∵G、H分别是的三等分点，
∴，
∴；
（2）解：如图所示，过点G作于M，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴．
【变式训练9-2】如图，在中，，分别为边，的中点，是对角线．
(1)求证：△ADE≌△CBF；
(2)若，，求四边形的面积．
【答案】(1)证明见解析(2)
【分析】本题考查了平行四边形的性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识，熟练掌握平行四边形的性质是解题关键．
（1）先根据平行四边形的性质可得，，，从而可得，再根据全等三角形的判定即可得证；
（2）先根据直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半可得，利用勾股定理可得，再利用三角形的面积公式和中线的性质可得，然后根据全等三角形的性质可得，根据三角形的中线可得，最后根据四边形的面积等于即可得．
【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，．
，分别为边，的中点，
，．
．
在△ADE和△CBF中，
，
．
（2）解：，为边的中点，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
由（1）已证：△ADE≌△CBF，
∴，
∵为边的中点，
∴，
∴四边形的面积为．
【变式训练9-3】如图，在中，、分别平分、，交于点、．
(1)求证：；
(2)过点作，垂足为．若平行四边形的周长为，，求的面积．
【答案】(1)见解析(2)
【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定及性质，角平分线的性质，熟悉掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
（1）利用平行四边形的性质和角平分线的性质证明即可；
（2）过点作于点，利用角平分线的性质得到，利用三角形面积公式列式运算即可．
【详解】（1）证明：∵，分别平分，，交于点、，
∴，，
∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∴，，
在和中，
，
∴；
（2）解：过点作于点，如图所示：
∵分别平分，于点，
∴，
∵，，且平行四边形的周长为，
∴，
∴，
∴，
在△ABC和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴的面积是192．
【变式训练9-4】如图，在平行四边形的边上分别截取，使得，点是线段上两点，且，连接．
(1)求证：；
(2)若，，求的度数．
【答案】(1)见解析；(2)．
【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的外角性质，掌握知识点的应用是解题的关键．
（）根据平行四边形的性质可得，从而证得，即可得出结论；
（）由（）可得，从而可得，利用三角形外角的性质求得，即可求解．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴．
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【变式训练9-5】如图，在中，的平分线交于点，的平分线交于点，交于点．
(1)求证：．
(2)若，，请求出的周长．
【答案】(1)详见解析；(2)．
【分析】本题考查了平行四边形性质，角平分线性质，等腰三角形的性质和判定等知识点的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键．
（1）根据平行四边形的性质可得：，，根据平行线性质和角平分线的定义求出，推出，同理求出，即可证明，即可求解；
（2）由，可得，从而得出的长，即可得出的周长．
【详解】（1）解：证明：四边形是平行四边形，
，，
，
是的平分线，
，
，
，
同理可得：，
，
，
；
（2）解：，
，
，
，
，
，
的周长为．
题型十：平行四边形性质中多结论的问题
【经典例题10】如图，平行四边形的对角线交于点，平分交于点，且，，连接．下列结论：①；②；③；④．其中成立的个数有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】B
【分析】此题考查了平行四边形的性质、三角形中位线的性质以及等边三角形的判定与性质，证得是等边三角形以及是的中位线是解答本题的关键．
由中，，易得是等边三角形，又由，证得；继而证得，得；由、以及，可得；可得是三角形的中位线，证得．
【详解】解：四边形是平行四边形，
，，
平分，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，故正确；
，
，故正确；
，，
，
，故错误；
，，，
，
，
，
，
，故错误；
故选：B．
【变式训练10-1】如图，的对角线，交于点，平分，交于点，且，，连接，下列结论：①；②；③；④垂直平分；⑤，其中成立的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【分析】对于①，根据平行四边形的性质及角平分线的定义可证明是等边三角形，进一步可推得，从而可求得，即可求得；
对于②，根据勾股定理可证明，即，进一步可求出，即可判断②错误；
对于③，设，根据①②中的结论，及平行四边形的对角线互相平分，可分别求得，，由此即得结论③；
对于④，由①可知，，根据等腰三角形三线合一性质可得，即知结论④正确；
对于⑤，运用反证法证明，假设，逐步推理得到，这与②中的结论矛盾，从而得到证明．
【详解】解：四边形是平行四边形，
，，，
，
平分，
，
，
是等边三角形，
，
，，
，
，
，
，
所以①正确；
四边形是平行四边形，
，，，
在中，，
，
，
，
所以②错误；
设，
，
，，
，
，
，
，
，
，
所以③正确；
，，
，
即垂直平分，
所以④正确；
假设，则，
，
，
，
，
，
这与矛盾，
假设不成立，
故，
所以⑤错误；
综上所述，成立的结论是①③④，
所以成立的个数是3个．
故选B．
【变式训练10-2】如图，是内一点，，，，连接，，，下列结论：①；②为等腰直角三角形； ③；④，⑤，其中正确的个数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【分析】①延长交于点，根据平行四边形性质和四边形内角和即可得到；②先证明，得，又有，可得，即可得到为等腰直角三角形；③过点作交延长线于点，证明，再根据勾股定理及等腰直角三角形的性质，可得成立；④过点作于，根据勾股定理即可证明，可知结论不成立，⑤根据平行四边形的性质得到结合，即可得到．
【详解】解：①延长交于点，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故①正确；
在中，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵
∴为等腰直角三角形，
故②正确；
∵，
∴，则为等腰直角三角形，
∴，
过点作交延长线于点，则，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，，，则为等腰直角三角形，
∴，
由等腰直角三角形可知，，
∴，
故③正确；
由勾股定理可知，，则，
过点作于，则，
∵，
∴，
∴，
则，，
∴，
故④不正确；
，，
，
故⑤正确；
综上所述正确的结论共有4个，
故选：C．
【变式训练10-3】如图，平行四边形的对角线，相交于点，平分，分别交，于点，．连接，，，则下列结论：①；②；③；④．其中结论正确的是（ ）
A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．①②③④
【答案】B
【分析】先根据角平分线和平行得：，则，由有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形得是等边三角形，由外角的性质和等腰三角形的性质得：，最后由平行线的性质即可得解；先根据三角形中位线定理得：，根据勾股定理计算和的长即可得解；根据平行四边形的面积公式计算即可得解；根据三角形中位线定理即可得解．
【详解】解：平分，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故①正确，符合题意；
，
，
，
在中，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
在中，，
，
故错误，不符合题意；
由知：，
，
故正确，符合题意；
由知：是的中位线，
，
，
，
故正确，符合题意；
故选：．
【变式训练10-4】如图所示，在中，，F是的中点，作，垂足E在线段上，连接，给出下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，解题关键是得出．
由在平行四边形中，，是的中点，易得，继而证得，可判断①；然后延长，交延长线于，分别利用平行四边形的性质与判定得出，可得，再证明，可判断②；由，可得，结合，则，可判断③；设，则，再分别表示：，，从而可判断④．
【详解】解：①是的中点，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
，，
；故①正确；
②如图，延长，交延长线于，
四边形是平行四边形，
，
，
为中点，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，不一定与相等,故②不正确；
③，
，
，
，故③错误；
④设，
，
，
，
，
，
，
，故④正确；
综上所述，正确的结论有①④，共2个，
故答案为：B.
【变式训练10-5】如图，在中，若是的中点，是上一动点，连接，，，并延长交于点，设，有以下结论：当时，则；当时，则；若，则．其中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质，平行四边形的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
由“”可证，可得，，由线段垂直平分线的性质和三角形的面积关系依次判断可求解．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵点是的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴只有当时，，故错误；
当时，则，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，故正确；
若，则，
∵不一定等于，
∴不一定成立，故错误，
故选：．
题型十一：平行四边形性质中压轴题型
【经典例题11】已知在平行四边形中，是边的中点，是边上一动点．
(1)如图1，连接并延长交的延长线于点，求证：是的中点；
(2)如图2，若，，求证：；
(3)如图3，若，，时，是射线上一个动点，将逆时针旋转得到，连接，求的最小值．
【答案】(1)见解析(2)见解析(3)
【分析】（1）证明，根据全等三角形的性质，即可得证；
（2）由平行四边形的性质及已知得，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得，由得，再由等边对等角及三角形外角的定义即可得证；
（3）由所对的直角边等于斜边的一半可得当，，时，点与点重合，根据旋转的性质可得的运动轨迹为射线，过点作的垂线交的延长线于点，延长交的延长线于点，由垂线段最短可得的值最小即为，利用直角三角形的性质及勾股定理求解即可．
【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，
，
，，
是边的中点，
，
，
，
点是的中点；
（2）证明：如图，延长交的延长线于点，连接，
四边形是平行四边形，，
，
，
由（1）知点是的中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：当，，时，
，
，
此时点与点重合，
当点与、两点重合时，逆时针旋转，得，，
的运动轨迹为射线，
如图，过点作的垂线交的延长线于点，延长交的延长线于点，此时的值最小即为，
四边形是平行四边形，，，
，，
为等边三角形，则也是等边三角形，
，，
，
，
，
，
．
【变式训练11-1】如图，直线：与坐标轴交于A、B两点，点C与点A关于y轴对称．轴与直线交于点D．
(1)求点A和点B的坐标；
(2)点P在直线上，且的面积为，
①求出点P的坐标；
②点Q为平面内一点，当点P在直线下方时，以点A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出所有符合要求的点Q坐标．
【答案】(1)点、的坐标分别为、
(2)①或；②或或
【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，平行四边形的性质，熟练掌握一次函数的相关知识是解题的关键．
（1）对于，求出时，，时，则，即可求出A、B的坐标；
（2）①设直线交y轴于点H，先求出点C的坐标，设，求出直线的解析式为，得到点H的坐标为，根据的面积，由此求解即可；②设点Q的坐标为，分以为对角线，以为对角线，以为对角线，由中点坐标公式列方程组即可得到结论.．
【详解】（1）解：对于，令，则，令，解得，
故点、的坐标分别为、；
（2）解：①∵点C与点A关于y轴对称，，
∴，
设直线交轴于点，
设，
设直线的解析式为，则，
解得：，
∴直线的解析式为，
将代入，则，
∴，
则的面积，
即，
解得：或，
∴点的坐标为或；
②由（1）（2）知，，，，设点，
∵点、、、为顶点的四边形是平行四边形，
∴①Ⅰ、以为对角线，由中点坐标公式得，
∴，
∴点，
Ⅱ、以为对角线，由中点坐标公式得，
∴，
∴点；
Ⅲ、以为对角线，由中点坐标公式得，
∴，
∴，
综上所述，以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，点坐标为或或．
【变式训练11-2】如图，在平行四边形中，，，，平行四边形的面积是，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿折线向点运动，到点停止，设点运动的时间为（秒）．
(1)求的长；
(2)用含的代数式表示的长；
(3)当点与某个点连线将的面积二等分时，求的值；
【答案】(1)(2)当时，；当时，；(3)或
【分析】（1）根据平行四边形的性质求出，，由勾股定理可求出；
（2）分点在和上两种情况求解，当点在上时，由可得；当点在上时，的长应为点运动的长度减去的长即可；
（3）与的交点是的中点时，将的面积二等分，此时，得，可求出的值，当点为的中点时，将的面积二等分，此时点运动的路程为，即可求出的值．
【详解】（1）解：，平行四边形的面积是，
，
，
在中，；
（2）解：当点在上时，即当时，由可得；
当点在上时，即当时，；
（3）解：当与的交点是的中点时，如图，将的面积二等分，
四边形是平行四边形，
，
，
又，
，
，
，
；
当点为的中点时，将的面积二等分，如图，
此时点运动的路程为，
所以，；
综上，的值为5或．
【变式训练11-2】如图①，在中，．动点以每秒5个单位长度的速度从点出发沿运动，同时动点以每秒2个单位长度的速度从点出发沿运动，当点、点中有一点停止运动，另一点也同时停止运动．设点运动的时间为秒．
(1)当点从向运动时，______，______；
当点从向运动时，______；（用含的代数式表示）．
(2)当直线恰好平分的面积时，求的值．
(3)如图②，点、分别为、的中点，当以、、、为顶点的四边形面积是面积的时，直接写出所有满足条件的的值．
【答案】(1)，，(2)当秒或秒时，直线恰好平分的面积；
(3)的值为或．
【分析】本题考查了平行四边形的性质，一元一次方程的应用．
（1）根据题意列出代数式即可；
（2）当直线经过的中心点时，恰好直线恰好平分的面积，则，分两种情况讨论，列式计算即可求解；
（3）分五种情况讨论，列式计算即可求解．
【详解】（1）解：当点从向运动时，，，，；
当点从向运动时， ；（用含的代数式表示）．
故答案为：，，；
（2）解：当直线经过的中心点时，恰好直线恰好平分的面积，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴或，
解得或；
（3）解：设平行四边形的高为，则平行四边形的面积为，
当时，，，
由题意得，，解得；
当时，，，
由题意得，，解得（舍去）；
当时，，，
由题意得，，解得（舍去）；
当时，，，
由题意得，，解得（舍去）；
当时，，，
由题意得，，解得；
综上，的值为或．
【变式训练11-3】如图，为平行四边形的对角线的交点，过点O作直线分别交于点．
(1)求证：．
(2)若，，，求四边形的周长．
(3)若，直接写出的值为 ．
【答案】(1)证明见详解(2)(3)
【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、平行四边形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
（1）由四边形是平行四边形，得到，，由平行线的性质得到，推出，根据全等三角形的性质即可得到结论．
（2）根据得到，于是得到，即可得到结论．
（3）根据全等三角形的性质，即可得到．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴．
（2）解：同（1）可证．
∴，
∴，
∴四边形的周长为．
（3）解：∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【变式训练11-4】如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，以为边在第一象限作平行四边形，其中，．点从点出发，沿边向点移动，过点作的垂线，交折线于点．将平行四边形在的左侧部分沿折叠，点O的对应点落在x轴上，设折叠部分与平行四边形的重叠部分（图中阴影部分）的面积为，．
(1)当重叠部分为三角形时（如图1），求S和的函数关系式（不写的取值范围）；
(2)当重叠部分为四边形时，请直接写出的取值范围；
(3)在点从点移动到点的过程中，S是否有最大值？如果有，请求出S的最大值；如果没有，请说明理由．
【答案】(1)(2)或；(3)有，
【分析】（1）分别画出图形，求出函数解析式即可；
（2）分两种情况画出图形，进行解答即可；
（3）分五种情况求出各自的最大值，从中即可得到答案．
【详解】（1）解：当点Q在上，重叠部分为三角形，如图1，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
当点P与点A重合时，如图2，重叠部分为三角形，
∵，
∴，
∴
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴
∴
综上可知，当重叠部分为三角形时，S和的函数关系式为
（2）∵，
∴，
如图3， 与A重合，则，
∴，
∴，
如图4，点C的对称点与点B重合 ，
∵
∴
由折叠可知，，
∴，
∴
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴当重叠部分为四边形时，t的取值范围是或；
（3）有
①当时，重叠部分为三角形，
，
②当时，重叠部分是四边形，当时，S有最大值，如图3所示，
∵，，，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴；
③当时，重叠部分为五边形，如图5，
同理可得， 是等边三角形，
∵，
∴，
∴
当时，有最大值，
④当时，重叠部分是四边形，
当时，有最大值，，
⑤当时， ，
综上可知，的大值为
【变式训练11-6】【提出问题】
如图1，在中，于点E，于点F．求证：；
【问题探究】
如图2，在四边形中，，G是的中点，P是上的一点，连接，．若，．求证：；
【拓展延伸】
如图3，在四边形中，，P是边上的一点，连接，．若，，，，，直接写出PD的长为 ．
【答案】提出问题：证明见解析；问题探究：证明见解析；拓展延伸：
【分析】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理；
提出问题：由垂直可得，由，可得，，得到，即可证明；
问题探究：过作于，过作于，过作交延长线于，先证明，得，，再证明，得到，推出，即可证明，得到，；
拓展延伸：过作于，过作交延长线于，证明，得到，再由勾股定理得到，最后根据计算即可．
【详解】解：提出问题：∵，，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∴；
问题探究：过作于，过作于，过作交延长线于，则，
∵G是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
拓展延伸：过作于，过作交延长线于，则，
∵，
∴，
∵，，，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
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专题4.2 平行四边形及其性质十一大题型（一课一讲）
（内容：平行四边形的认识及其性质）
【浙教版】
题型一：平行四边形性质的理解
【经典例题1】下列关于平行四边形性质的描述中，错误的是（ ）
A．平行四边形对边相等 B．平行四边形对角相等
C．平行四边形一定是轴对称图形 D．平行四边形对角线互相平分
【变式训练1-1】下列命题的逆命题不成立的是（ ）
A．平行四边形对角线互相平分
B．对顶角相等
C．平行四边形两组对角都相等
D．直角三角形两直角边平方的和等于斜边的平方
【变式训练1-2】下列命题的逆命题成立的是（ ）
A．全等三角形的对应角相等 B．平行四边形的对角线互相平分
C．对顶角相等 D．同位角互补，两直线平行
【变式训练1-3】如，平行四边形中，O为两条对角线的交点，则结论正确的是哪项？（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1-4】在中，下列结论不一成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练1-5】如图，在中，点，分别在，边上，且．若垂直平分，则下列结论不一定成立的是
A． B．垂直平分 C． D．
题型二：利用平行四边形的性质求角度
【经典例题2】如图，在中，是对角线，当△ABC是等边三角形时，为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2-1】在平行四边形中，，的度数是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2-2】在中，的值可能是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．2
【变式训练2-3】如图，在平行四边形中，点、点是边上两点，满足，，延长、交于点，连接，设，则的大小用含的代数式表示为（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练2-4】如图，在平行四边形中，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2-5】如图，在中，E是边上一点，，连接，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2-6】如图，在中，交对角线于点E．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
题型三：利用平行四边形的性质求线段长度
【经典例题3】如图，在中，的角平分线交于点E，的角平分线交于点F．若，，则的长是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【变式训练3-1】如图，在平行四边形中，的平分线和的平分线交于上一点，若，，则的长为（ ）
A． B． C．5 D．6
【变式训练3-2】如图，平行四边形，，，以B为圆心，某一长度为半径画弧，分别交于点M，N，再分别以M，N为圆心，以大于的长度为半径画弧，两弧交于点P，连接交于点E，连接，，的延长线交于点F，则的长为（ ）
A． B．2 C． D．1
【变式训练3-3】如图，在中，对角线相交于点O，，，，则的长为（ ）
A． B．6 C．7 D．
【变式训练3-4】如图，的对角线与相交于点，过点作交于点，若，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练3-5】如图，在中，连接，且，过点作于点，过点作于点，且，在的延长线上取一点，满足，则的长为（ ）
A． B． C． D．
题型四：平行四边形性质中周长问题
【经典例题4】如图，在中，，点是边上一点，且平分，若，，，则的周长为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练4-1】如图，在周长为的中，，、相交于点，交于，则的周长为（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练4-2】如图，在中，，，的垂直平分线交于点E，则的周长是（ ）
A．9 B．10 C．13 D．14
【变式训练4-3】已知平分交边于，若，则的周长为 ．
【变式训练4-4】在平行四边形中，对角线，相交于点O，且，，则的周长为 ．
【变式训练4-5】如图，平行四边形的周长是，对角线相交于点，交于点，则的周长为 ．
题型五：平行四边形性质中面积问题
【经典例题5】如图，在平行四边形中，对角线相交于点O，，则平行四边形的面积是（ ）
A．12 B． C．24 D．30
【变式训练5-1】如图，是平行四边形内任一点，若，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．3 B． C．4 D．
【变式训练5-2】如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，过点，交于点，交于点．若，，，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．1.5 B．3 C．6 D．4
【变式训练5-3】如图，在平行四边形中，点F是边上任意一点，分别连接交于E，则下列各组三角形中面积不一定相等的是（ ）
A．和 B．和
C．和△ADE D．和
【变式训练5-4】在中，， ，，则的面积是（ ）
A． B． C． D．或
【变式训练5-5】如图，在中，对角线，交于点，，，垂足分别为E，F．
(1)求证：；
(2)若，求的长；
(3)若，，当时，求的面积．
题型六：平行四边形性质中坐标系问题
【经典例题6】在平面直角坐标系中，我们把一个点的纵坐标与横坐标的乘积称为该点的“点积值”．如图，，点在正半轴上，点在直线上，当点的“点积值”为，点的“点积值”为时，点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练6-1】在平面直接坐标系中，平行四边形的坐标分别为，，，求点的坐标（ ）
A． B． C． D．
【变式训练6-2】如图，平行四边形的顶点A、B、D的坐标分别是，则顶点C的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练6-3】如图，是以的对角线为边的等边三角形，点C与点E关于x轴对称．若E点的坐标是，则D点的坐标是（）
A． B． C． D．
【变式训练6-4】如图，在平面直角坐标系中，的顶点D在x轴负半轴上，顶点C在直线上，若顶点E的坐标是，则顶点D的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练6-5】如图，在平面直角坐标系中，平行四边形三个顶点坐标分别为，，，则顶点B的坐标为（ ）
A． B． C． D．
题型七：平行四边形性质综合之最值问题
【经典例题7】如图，在中，，，是边上任意一点，连接，以，为邻边作，连接，则长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练7-1】如图，在中，，，，点为边上任意一点，连接、将沿方向平移至，连接、，则当取得最小值时，的长为（ ）
A． B． C． D．2
【变式训练7-2】如图，在中，，，，点为上任意一点，连接，以、为邻边作平行四边形，连接，则的最小值为（ ）
A．2 B． C．4 D．
【变式训练7-3】如图，中，，，点P为上任意一点，连接，以、为邻边作平行四边形，连接，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练7-4】在平面直角坐标系中，点、、、，当四边形的周长最小时，m的值为（ ）
A．2 B． C． D．
【变式训练7-5】如图，在中，，，，，点在边上运动且不与点、重合，连接，取的中点，过点作，垂足为点，连接，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
题型八：平行四边形性质综合之折叠问题
【经典例题8】如图，将沿对角线折叠，使点落在点处．若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练8-1】如图所示，在中进行折叠操作，使得点恰好落在边上的点处．已知，，那么的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练8-2】如图，在平行四边形中，E为边上的一个点，将△ADE沿折叠至处，与交于点F，若，，则（ ）度．
A．40 B．35 C．30 D．50
【变式训练8-3】如图．将沿过点A的直线l折叠，使点D落到边上的中点处，直线l交边于点E，连接．若，，则的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【变式训练8-4】如图，在中，，将折叠，使得点B与点D重合，折痕交AD，BC分别于点E，F，则 ．
【变式训练8-5】如图所示，已知是平行四边形的边上一点，将△ADE沿直线折叠，点恰好落在边上的点处，如果的周长为，△CDF的周长为，那么的长等于 ．
【变式训练8-6】如图，在中，，，，点E是上的一点，点F是边上一点，将平行四边形沿折叠，得到四边形，点A的对应点为点C，点D的对应点为点G，则的长度为 ．
题型九：平行四边形性质中综合证明题
【经典例题9】如图，在中，点E、F在上，，．求证：
(1)；
(2)．
【变式训练9-1】如图，在中，E、F分别是上的点，G、H分别是的三等分点，．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
【变式训练9-2】如图，在中，，分别为边，的中点，是对角线．
(1)求证：△ADE≌△CBF；
(2)若，，求四边形的面积．
【变式训练9-3】如图，在中，、分别平分、，交于点、．
(1)求证：；
(2)过点作，垂足为．若平行四边形的周长为，，求的面积．
【变式训练9-4】如图，在平行四边形的边上分别截取，使得，点是线段上两点，且，连接．
(1)求证：；
(2)若，，求的度数．
【变式训练9-5】如图，在中，的平分线交于点，的平分线交于点，交于点．
(1)求证：．
(2)若，，请求出的周长．
题型十：平行四边形性质中多结论的问题
【经典例题10】如图，平行四边形的对角线交于点，平分交于点，且，，连接．下列结论：①；②；③；④．其中成立的个数有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【变式训练10-1】如图，的对角线，交于点，平分，交于点，且，，连接，下列结论：①；②；③；④垂直平分；⑤，其中成立的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【变式训练10-2】如图，是内一点，，，，连接，，，下列结论：①；②为等腰直角三角形； ③；④，⑤，其中正确的个数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【变式训练10-3】如图，平行四边形的对角线，相交于点，平分，分别交，于点，．连接，，，则下列结论：①；②；③；④．其中结论正确的是（ ）
A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．①②③④
【变式训练10-4】如图所示，在中，，F是的中点，作，垂足E在线段上，连接，给出下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式训练10-5】如图，在中，若是的中点，是上一动点，连接，，，并延长交于点，设，有以下结论：当时，则；当时，则；若，则．其中正确的是（ ）
A． B． C． D．
题型十一：平行四边形性质中压轴题型
【经典例题11】已知在平行四边形中，是边的中点，是边上一动点．
(1)如图1，连接并延长交的延长线于点，求证：是的中点；
(2)如图2，若，，求证：；
(3)如图3，若，，时，是射线上一个动点，将逆时针旋转得到，连接，求的最小值．
【变式训练11-1】如图，直线：与坐标轴交于A、B两点，点C与点A关于y轴对称．轴与直线交于点D．
(1)求点A和点B的坐标；
(2)点P在直线上，且的面积为，
①求出点P的坐标；
②点Q为平面内一点，当点P在直线下方时，以点A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出所有符合要求的点Q坐标．
【变式训练11-2】如图，在平行四边形中，，，，平行四边形的面积是，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿折线向点运动，到点停止，设点运动的时间为（秒）．
(1)求的长；
(2)用含的代数式表示的长；
(3)当点与某个点连线将的面积二等分时，求的值；
【变式训练11-2】如图①，在中，．动点以每秒5个单位长度的速度从点出发沿运动，同时动点以每秒2个单位长度的速度从点出发沿运动，当点、点中有一点停止运动，另一点也同时停止运动．设点运动的时间为秒．
(1)当点从向运动时，______，______；
当点从向运动时，______；（用含的代数式表示）．
(2)当直线恰好平分的面积时，求的值．
(3)如图②，点、分别为、的中点，当以、、、为顶点的四边形面积是面积的时，直接写出所有满足条件的的值．
【变式训练11-3】如图，为平行四边形的对角线的交点，过点O作直线分别交于点．
(1)求证：．
(2)若，，，求四边形的周长．
(3)若，直接写出的值为 ．
【变式训练11-4】如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，以为边在第一象限作平行四边形，其中，．点从点出发，沿边向点移动，过点作的垂线，交折线于点．将平行四边形在的左侧部分沿折叠，点O的对应点落在x轴上，设折叠部分与平行四边形的重叠部分（图中阴影部分）的面积为，．
(1)当重叠部分为三角形时（如图1），求S和的函数关系式（不写的取值范围）；
(2)当重叠部分为四边形时，请直接写出的取值范围；
(3)在点从点移动到点的过程中，S是否有最大值？如果有，请求出S的最大值；如果没有，请说明理由．
【变式训练11-6】【提出问题】
如图1，在中，于点E，于点F．求证：；
【问题探究】
如图2，在四边形中，，G是的中点，P是上的一点，连接，．若，．求证：；
【拓展延伸】
如图3，在四边形中，，P是边上的一点，连接，．若，，，，，直接写出PD的长为 ．
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