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专题4.3 中心对称七大题型（一课一讲）
（内容：中心对称及其应用）
【浙教版】
题型一：中心对称图形的识别
【经典例题1】现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性．下列汉字是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1-1】下列各组图形中，不成中心对称的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1-2】下列动物剪纸作品是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练1-3】下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1-4】下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1-5】下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1-6】下列图案中，一定不是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
题型二：画两图形关于某点的对称图形
【经典例题2】作图：在如图的方格纸中，每个小方格都是边长为个单位，△ABC的三个顶点都在格点上（每个小方格的顶点叫格点）．
(1)画出△ABC向下平移个单位后的．
(2)画出△ABC关于点的中心对称图形．
(3)画出与的对称中心（黑点标记）．
【变式训练2-1】分别按如下要求，画一个与已知△ABC成中心对称的三角形．
(1)如图①，以顶点B为对称中心；
(2)如图②，以△ABC内的一点O为对称中心；
(3)如图③，以△ABC的边上一点D为对称中心．
【变式训练2-2】△ABC在平面直角坐标系中如图所示：
(1)请画出△ABC关于原点对称的；
(2)将向右平移个单位得到，请画出；
(3)△ABC与关于点成中心对称．请直接写出点的坐标．
【变式训练2-3】如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别是，，．
(1)把△ABC向左平移4个单位后得到对应的，请画出平移后的；
(2)画出△ABC关于原点对称的；
(3)观察图形可知，与关于点______中心对称．（写出坐标）
【变式训练2-4】如图，在由边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点，，均为格点（每个小正方形的顶点叫做格点）．
(1)画出点关于点的对称点；
(2)连接，，画出将△ABC向下平移4个单位长度，再向左平移1个单位长度的．
【变式训练2-5】如图，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为，，．
(1)将△ABC关于O点中心对称，试作出对称后的，并写出点的坐标 ；
(2)计算四边形的面积．
【变式训练2-6】如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，△ABC的顶点都在格点上．
(1)将△ABC向左平移6个单位长度得到，请画出；
(2)画出关于点的中心对称图形；
(3)若将△ABC绕某一点旋转可得到，那么旋转中心的坐标为______，旋转角度为______．
题型三：根据对称中心的性质求面积、角度、长度
【经典例题3】如图，直线a、b垂直相交于点O，曲线C关于点O成中心对称，于点B，于点D．若，，则阴影部分的面积之和为 ．
【变式训练3-1】如图，已知△ABC与关于点成中心对称，且，，，则的长为 ．
【变式训练3-2】如图，在等边三角形中，为的中点，，△BPQ与关于点中心对称，连接，则的长为 ．
【变式训练3-3】如图，△ABC和关于点成中心对称，若，则的长是（ ）
A．3 B．5 C． D．
【变式训练3-4】如图，小明将周长为20的大长方形分割成中心对称图形，其中两块边长相等的正方形A，一块正方形B和两块全等的长方形C，正方形A的边长是（ ）
A． B．3 C．4 D．5
【变式训练3-5】如图，正方形和正方形的对称中心都是点，其边长分别是3和2，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C．1 D．
题型四：中心对称文字叙述是否正确
【经典例题4】已知两个图形成中心对称，有下列说法：①对称点的连线必过对称中心；②这两个图形的形状和大小完全相同；③这两个图形的对应线段一定互相平行且相等．其中正确的说法有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．0个
【变式训练4-1】若两个图形关于某点成中心对称，则以下结论：①这两个图形一定全等；②对称点的连线一定经过对称中心；③对称点到对称中心的距离相等；④一定存在某条直线，使沿该直线折叠后的两个图形能互相重合.其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．③④ C．①②③ D．①②③④
【变式训练4-2】下列结论中，错误的是（ ）
A．形状大小完全相同的两个图形一定关于某点成中心对称
B．关于成中心对称的两个图形，对称中心到两对称点的距离相等
C．关于成中心对称的两个图形，对称中心在两对称点的连线上
D．关于成中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一直线上）且相等
【变式训练4-3】下列说法中正确的是（ ）
A．如果把一个图形绕一个定点旋转后和另一个图形重合，那么这两个图形成中心对称
B．如果两个图形关于一点成中心对称，那么其对应点之间的距离相等
C．平移改变图形的形状和大小
D．在成中心对称的两个图形中，连接对称点的线段都被对称中心平分
【变式训练4-4】已知图形甲与图形乙，有如下三种说法：
①如果图形甲与图形乙成中心对称，那么它们不可能成轴对称；
②如果图形甲与图形乙成中心对称，那么图形甲不可能通过平移与图形乙重合；
③如果图形甲与图形乙成轴对称，那么图形甲不可能通过平移与图形乙重合；
上述说法中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．以上说法都不正确
【变式训练4-5】若两个图形成中心对称，有下列说法：①对应点的连线必经过对称中心；②这两个图形的形状和大小完全相同；③这两个图形的对应线段一定相等；④将一个图形绕对称中心旋转后必与另一个图形重合．其中正确的有 ．（填序号）
题型五：中心对称图形中规律问题
【经典例题5】在平面直角坐标系中，点，的对称中心是点A，另取两点，．有一电子青蛙从点处开始依次作关于点A，B，C的循环对称跳动，即第一次跳到点关于点A的对称点处，接着跳到点关于点B的对称点处，第三次再跳到点关于点C的对称点处，第四次再跳到点关于点A的对称点处，…，则点的坐标为（ ）．
A． B． C． D．
【变式训练5-1】如图，在平面直角坐标系中，点，，的坐标分别为，，．一个电动玩具从原点出发，第一次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；第二次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；第三次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；第四次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；…．电动玩具照此规律跳下去，则点的坐标是（ ）.
A． B． C． D．
【变式训练5-2】如图，在平面直角坐标系中，四边形是边长为2的正方形，A，C分别在y轴正半轴与x轴正半轴上，P点坐标为，将P点关于A对称得到，将关于O点对称得到，将关于C点对称得到，将关于B点对称得到，将关于A点对称得到，……，按照顺序以此类推，则的坐标为 ．
【变式训练5-3】如果将点P绕定点M旋转后与点Q重合，那么点P与点Q关于点M对称，定点M叫做对称中心，此时，M是线段的中点．如图，在平面直角坐标系中，的顶点A，B，O的坐标分别为，，，点，，，…中的相邻两点都关于的一个顶点对称，点与点关于点A对称，点与点关于点B对称，点与点关于点O对称，点与点关于点A对称，点与点关于点B对称，点与点关于点O对称……且这些对称中心依次循环．已知点的坐标是，则点的坐标为 ．
【变式训练5-4】在如图所示的平面直角坐标系中，是边长为的等边三角形，作与关于点成中心对称，再作与关于点成中心对称，…，如此作下去，则的顶点的坐标是 ．
【变式训练5-5】如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为：，，.已知，作点关于点的对称点，点关于点的对称点，点关于点的对称点，点关于点的对称点，点关于点的对称点，…，依此类推，则点的坐标为 .
题型六：关于原点对称的点的坐标
【经典例题6】在平面直角坐标系中，把点向右平移6个单位长度得到点，点关于原点的对称点是，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练6-1】在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练6-2】在平面直角坐标系中，有，，，四点，其中关于原点对称的两点为（ ）
A．点A和点B B．点B和点C C．点C和点D D．点D和点A
【变式训练6-3】扎染是一种民间传统染色工艺，如图，这是使用扎染工艺制作的手帕图案，将该图案放在如图所示的平面直角坐标系中，若点与点关于原点对称，则点B的坐标为 ．
【变式训练6-4】点与关于原点对称，则N的坐标是 ．
【变式训练6-5】已知点和点关于原点对称，且，则的值等于 ．
【变式训练6-6】如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的对角线、相交于原点．若点的坐标是，则点的坐标是 ．
题型七：中心对称中最值问题
【经典例题7】如图，△ABC三个顶点的坐标分别为，，．
(1)画出△ABC关于x轴对称的；并写出对应点的坐标；
(2)画出关于y轴对称的；并写出对应点的坐标；
(3)观察发现：△ABC的两次轴对称位置变化，相当于它一次怎样的变化？
(4)请求出三角形的面积．
(5)为轴上一动点，当周长最小时，画出P点的位置．
【变式训练7-1】在如图所示的平面直角坐标系中，已知点，，，根据要求在答题卡上作图，标上字母，并回答问题．
(1)作△ABC关于点成中心对称的；
(2)作向右平移2个单位后的；
(3)当的值最小时，在轴上作一点，并直接写出其最小值．
【变式训练7-2】如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，格点（网格线的交点），，的坐标分别为，，．
(1)画出△ABC关于原点成中心对称的图形，点的对应点为，点的对应点为，点的对应点为，并写出点的坐标为______；
(2)已知点是轴上的一个动点，当的值最小时，直接写出点的坐标．
【变式训练7-3】如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别是，，．
(1)作△ABC关于y轴对称的图形，记为，画出，并写出点，的坐标；
(2)请画出△ABC关于原点O成中心对称的；
(3)在x轴上找一点P，使得点P到点A，C的距离最小，并求出点P坐标．
【变式训练7-4】如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为A、B、C．
(1)画出△ABC关于原点对称的，并写出点的坐标；
(2)在x轴上是否存在一个点P使得最小，若存在写出点P坐标，若不存在请说明理由．
【变式训练7-5】如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，直线经过网格格点．请完成下列各题：
(1)画出△ABC关于直线对称的图形；
(2)利用网格，在直线上画出点Q，使的值最小．
(3)求△ABC的面积．
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专题4.3 中心对称七大题型（一课一讲）
（内容：中心对称及其应用）
【浙教版】
题型一：中心对称图形的识别
【经典例题1】现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性．下列汉字是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用轴对称图形的概念即可即可解答．
【详解】解：A、团不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B、结不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C、互是中心对称图形，故此选项不合题意；
D、助不是中心对称图形，故此选项符合题意．
故选：C．
【变式训练1-1】下列各组图形中，不成中心对称的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题重点考查了两个图形成中心对称的定义，欲分析两个图形是否成中心对称，主要把题目中一个图形绕一个点旋转，观察是否能和另一个图形重合即可，熟练掌握其定义是解决此题的关键．
【详解】根据中心对称的概A、B、C都是中心对称，不符合题意；
D是轴对称，不成中心对称，符合题意．
故选：D．
【变式训练1-2】下列动物剪纸作品是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案．
【详解】解：选项A、B、D均不能找到一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形；
选项C图形绕其中心点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形；
故选：C；
【变式训练1-3】下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．根据轴对称图象和中心对称图形的定义进行求解即可．
【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
【变式训练1-4】下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，掌握轴对称图形和中心对称图形的定义以及认真观察图形是解题的关键．
根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐个选项判断即可．
【详解】解：A.是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；
B.既是轴对称图形，又是中心对称图形，故符合题意；
C.是中心对称图形，但不是轴对称图形，故不符合题意；
D.既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意．
故选：B．
【变式训练1-5】下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了中心对称图形的识别．在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．这个旋转点，就叫做中心对称点．
【详解】解：选项A、C、D均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形，
选项B能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形，
故选：B．
【变式训练1-6】下列图案中，一定不是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了中心对称图形，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，据此判断即可求解，掌握中心对称图形的定义是解题的关键．
【详解】、不是中心对称图形，该选项符合题意；
、是中心对称图形，该选项不合题意；
、是中心对称图形，该选项不合题意；
、是中心对称图形，该选项不合题意；
故选：．
题型二：画两图形关于某点的对称图形
【经典例题2】作图：在如图的方格纸中，每个小方格都是边长为个单位，△ABC的三个顶点都在格点上（每个小方格的顶点叫格点）．
(1)画出△ABC向下平移个单位后的．
(2)画出△ABC关于点的中心对称图形．
(3)画出与的对称中心（黑点标记）．
【答案】(1)作图见解析(2)作图见解析(3)作图见解析
【分析】本题考查作图—平移作图、画中心对称图形，
（1）根据平移的性质确定点、、的对应点、、，再顺序连接即可；
（2）根据中心对称图形的定义确定点、、的对应点、、，再顺序连接即可；
（3）连接、，交于点即可；
掌握平移的性质，中心对称的性质是解题的关键．
【详解】（1）解：如图，即为所作；
（2）如图，即为所作；
（3）如图，点即为所作．
【变式训练2-1】分别按如下要求，画一个与已知△ABC成中心对称的三角形．
(1)如图①，以顶点B为对称中心；
(2)如图②，以△ABC内的一点O为对称中心；
(3)如图③，以△ABC的边上一点D为对称中心．
【答案】(1)见详解(2)见详解(3)见详解
【分析】本题考查了中心对称作图的知识；根据中心对称的性质得到各顶点的对称点是解决问题的关键．
（1）延长分别到，使，连接即可．
（2）连接，延长分别到，使，连接即可．
（3）连接，延长分别到，使，连接即可．
【详解】（1）解：如图所示：即为所求的三角形．
（2）解：如图所示：即为所求的三角形．
（3）解：如图所示：即为所求的三角形．
【变式训练2-2】△ABC在平面直角坐标系中如图所示：
(1)请画出△ABC关于原点对称的；
(2)将向右平移个单位得到，请画出；
(3)△ABC与关于点成中心对称．请直接写出点的坐标．
【答案】(1)见详解(2)见详解(3)
【分析】本题考查了画中心对称图形、作图平移，掌握画两个图形的对称中心的方法是解答本题的关键．
（1）根据关于原点对称的点的特征，先找出、、的位置，再依次连接即可；
（2）根据平移前后点的特征，先找出、、的位置，再依次连接即可；
（3）根据连接任意两对对称点，两条线段的交点为对称中心，连接、，它们的交点即为点，根据图形得出点的坐标即可．
【详解】（1）解： 根据题意，可得：，，；
如图，的图形如图所示；
（2）解：根据题意，可得，，；
如图，的图形如图所示．
（3）解：连接、，它们的交点即为点，
与关于点成中心对称，
∴由图可知，点的坐标为．
【变式训练2-3】如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别是，，．
(1)把△ABC向左平移4个单位后得到对应的，请画出平移后的；
(2)画出△ABC关于原点对称的；
(3)观察图形可知，与关于点______中心对称．（写出坐标）
【答案】(1)见解析(2)见解析(3)
【分析】此题考查了平移和中心对称的作图，准确作图是关键．
（1）找到向左平移4个单位后得到对应点，顺次连接即可；
（2）找到关于原点对称的，顺次连接即可；
（3）根据图形得到答案即可．
【详解】（1）解：如图，即为所求；
（2）如图，即为所求；
（3）观察图形可知，与关于点中心对称．
故答案为：
【变式训练2-4】如图，在由边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点，，均为格点（每个小正方形的顶点叫做格点）．
(1)画出点关于点的对称点；
(2)连接，，画出将△ABC向下平移4个单位长度，再向左平移1个单位长度的．
【答案】(1)见解析 (2)见解析
【分析】本题主要考查对称作图，平移作图；
（1）根据对称点的性质作图即可；
（2）根据平移的性质作图即可．
【详解】（1）解：如图所示，点即为所求；
（2）解：如图所示，，，即为所求．
【变式训练2-5】如图，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为，，．
(1)将△ABC关于O点中心对称，试作出对称后的，并写出点的坐标 ；
(2)计算四边形的面积．
【答案】(1)(2)10
【分析】本题考查了利用中心对称的性质进行网格作图，点的坐标，割补法求面积； 掌握中心对称的性质，能根据具体图形割补成规则图形是解题的关键，
（1）由中心对称的性质可作图即可，由图可得点的坐标；
（2）的面积可转化为1个矩形的面积减去4个直角三角形的面积，即可求解；
【详解】（1）解：如图所示，△A1B1C1为所求．
由图可知点的坐标
故答案为：；
（2）解：如图所示：
．
【变式训练2-6】如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，△ABC的顶点都在格点上．
(1)将△ABC向左平移6个单位长度得到，请画出；
(2)画出关于点的中心对称图形；
(3)若将△ABC绕某一点旋转可得到，那么旋转中心的坐标为______，旋转角度为______．
【答案】(1)见解析(2)见解析(3)；
【分析】本题考查作——旋转变换，平移变换等知识，熟练掌握旋转变换的性质，平移变换的性质是解题的关键；
（1）利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点，，即可；
（2）利用中心对称变换的性质分别作出，，的对应点，，即可；
（3）两个三角形成中心对称，对应点连线的交点即为旋转中心；
【详解】（1）解：如图，即为所作；
（2）解：如图，即为所作；
（3）解：如图，若将 △ABC绕某一点旋转可得到，那么旋转中心的坐标为，旋转角度为；
故答案为：；．
题型三：根据对称中心的性质求面积、角度、长度
【经典例题3】如图，直线a、b垂直相交于点O，曲线C关于点O成中心对称，于点B，于点D．若，，则阴影部分的面积之和为 ．
【答案】12
【分析】此题考查了中心对称的性质、长方形的面积等知识，由曲线C关于点O成中心对称，点A的对称点是点，于点D，，则，图形①与图形②面积相等，即可得到答案．
【详解】解：如图，
∵直线a、b垂直相交于点O，点A的对称点是点，于点D，，
∴，
∴图形①与图形②面积相等，
∴阴影部分的面积之和长方形的面积．
故答案为：12．
【变式训练3-1】如图，已知△ABC与关于点成中心对称，且，，，则的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查中心对称，勾股定理等知识，利用中心对称的性质得，，，，利用直角三角形30度角的性质求出，，进而可得，再由勾股定理可得结论．
【详解】解：∵△ABC与关于点成中心对称，
∴，
∴，，，，
∵，，，
∴，，
∴，，
∴，
∴在中，，
故答案为：．
【变式训练3-2】如图，在等边三角形中，为的中点，，△BPQ与关于点中心对称，连接，则的长为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质和中心对称，关键是熟练掌握等边三角形的性质和中心对称的性质．
根据等边三角形的性质，得，，，再根据中心对称的性质，得，，，最后根据勾股定理即可得出答案．
【详解】解∶三角形是等边三角形，为的中点，，
，，
，
与关于点中心对称，
，，，，
在中，根据勾股定理，
得，
故答案为∶．
【变式训练3-3】如图，△ABC和关于点成中心对称，若，则的长是（ ）
A．3 B．5 C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了中心对称图形的性质，勾股定理的运用，掌握中心对称图形的特点，勾股定理是关键，
根据中心对称图形的特点得到，则，由勾股定理即可求解．
【详解】解：∵△ABC和关于点成中心对称，
∴，
∴，
在中，，
故选：D ．
【变式训练3-4】如图，小明将周长为20的大长方形分割成中心对称图形，其中两块边长相等的正方形A，一块正方形B和两块全等的长方形C，正方形A的边长是（ ）
A． B．3 C．4 D．5
【答案】A
【分析】此题主要考查了中心对称图形的性质和一元一次方程的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是正确列出方程．
首先设正方形A的边长是，正方形B的边长是，由于原来该大长方形的周长是20，得出；据此解答即可．
【详解】解：如图，设正方形A的边长是，正方形B的边长是，
∵原来该大长方形的周长是20，
，
即，
，
故选：A．
【变式训练3-5】如图，正方形和正方形的对称中心都是点，其边长分别是3和2，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】D
【分析】本题考查了中心对称，连接，，根据中心对称的定义可知，阴影的面积等于正方形面积差的四分之一．
【详解】解：连接，，
正方形的边长分别为3和2，
面积分别为9和4，
正方形和正方形的对称中心都是点，
．
故选：D．
题型四：中心对称文字叙述是否正确
【经典例题4】已知两个图形成中心对称，有下列说法：①对称点的连线必过对称中心；②这两个图形的形状和大小完全相同；③这两个图形的对应线段一定互相平行且相等．其中正确的说法有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．0个
【答案】B
【分析】此题主要考查了成中心对称图形的性质，熟练掌握定义与性质是解题关键．根据两个图形成中心对称分别分析得出答案即可．
【详解】解：根据成中心对称的性质得出，对应点的连线一定经过对称中心，①正确；
这两个图形的形状和大小完全相同，②正确；
这两个图形的对应线段一定互相平行或在一条直线上，故③错误；
故正确的有2个．
故选：B．
【变式训练4-1】若两个图形关于某点成中心对称，则以下结论：①这两个图形一定全等；②对称点的连线一定经过对称中心；③对称点到对称中心的距离相等；④一定存在某条直线，使沿该直线折叠后的两个图形能互相重合.其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．③④ C．①②③ D．①②③④
【答案】C
【分析】根据中心对称的定义和性质判断即可．本题考查了中心对称和轴对称的有关应用，注意：（1）如果把一个图形绕着某一点旋转180度后能与另一个图形重合，那么我们就说，这两个图形成中心对称．（2）中心对称的性质：①关于中心对称的两个图形是全等形，②关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分，③关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或者在同一直线上）且相等．
【详解】解：若两个图形关于某点成中心对称，
则①这两个图形一定全等，此结论正确；
②对称点的连线一定经过对称中心，此结论正确；
③对称点到对称中心的距离相等，此结论正确；
④可能存在某条直线，沿该直线折叠后的两个图形能互相重合，此结论错误；
故选：C．
【变式训练4-2】下列结论中，错误的是（ ）
A．形状大小完全相同的两个图形一定关于某点成中心对称
B．关于成中心对称的两个图形，对称中心到两对称点的距离相等
C．关于成中心对称的两个图形，对称中心在两对称点的连线上
D．关于成中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一直线上）且相等
【答案】A
【分析】本题考查了中心对称，如果把一个图形绕着某个点旋转后与另一个图形可以完全重合，这两个图形关于这个点中心对称，解决本题的关键是根据中心对称的定义进行判断．
【详解】解：A选项：如果两个图形关于某点成中心对称，这两个图形，不仅要形状大小完全相同，还要有特殊的位置关系，所以两个图形形状大小完全相同不一定成中心对称，故A选项错误；
B选项：关于成中心对称的两个图形，对称中心到两对称点的距离相等，故B选项正确；
C选项：关于成中心对称的两个图形，对称中心在两对称点的连线上，故C选项正确；
D选项：关于成中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一直线上）且相等，故D选项正确．
故选：A ．
【变式训练4-3】下列说法中正确的是（ ）
A．如果把一个图形绕一个定点旋转后和另一个图形重合，那么这两个图形成中心对称
B．如果两个图形关于一点成中心对称，那么其对应点之间的距离相等
C．平移改变图形的形状和大小
D．在成中心对称的两个图形中，连接对称点的线段都被对称中心平分
【答案】D
【分析】本题主要考查了平移，中心对称图形，熟练掌握以上知识是解题的关键．
根据平移，中心对称图形的定义和性质依次即可判断．
【详解】解：A. 如果把一个图形绕一个定点旋转后和另一个图形重合，那么这两个图形成中心对称，故选项错误；
B. 如果两个图形关于一点成中心对称，那么其对应点到对称中心之间的距离相等，故选项错误；
C. 平移不改变图形的形状和大小，故选项错误；
D. 在成中心对称的两个图形中，连接对称点的线段都被对称中心平分，故选项正确；
故选D．
【变式训练4-4】已知图形甲与图形乙，有如下三种说法：
①如果图形甲与图形乙成中心对称，那么它们不可能成轴对称；
②如果图形甲与图形乙成中心对称，那么图形甲不可能通过平移与图形乙重合；
③如果图形甲与图形乙成轴对称，那么图形甲不可能通过平移与图形乙重合；
上述说法中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．以上说法都不正确
【答案】D
【分析】本题考查图形的变换，理解成中心对称图形、成轴对称图形、平移图形的定义是解答的关键．根据相关定义逐项判断，最好的方法是举反例或画图判断．
【详解】解：设图形甲与图形乙是半径相等的圆，如图，
①如果图形甲与图形乙成中心对称，那么它们有可能成轴对称，原说法不正确；
②如果图形甲与图形乙成中心对称，那么图形甲有可能通过平移与图形乙重合，原说法不正确；
③如果图形甲与图形乙成轴对称，那么图形甲有可能通过平移与图形乙重合，原说法不正确；
故选：D．
【变式训练4-5】若两个图形成中心对称，有下列说法：①对应点的连线必经过对称中心；②这两个图形的形状和大小完全相同；③这两个图形的对应线段一定相等；④将一个图形绕对称中心旋转后必与另一个图形重合．其中正确的有 ．（填序号）
【答案】①②③④
【分析】本题考查了中心对称图形的定义及性质，理解并掌握中心对称图形的定义和性质是解题的关键．
中心对称图形是指在平面内，如果把一个图形绕某个点旋转后，能与另一个图形重合，那么这两个图形关于这个点成中心对称，这个点称为对称中心；成中心对称的两个图形全等；连接中心对称图形上每一对对称点的线段都经过对称中心，且被对称中心平分；由此即可求解．
【详解】解：①对应点的连线必经过对称中心，正确；
②这两个图形的形状和大小完全相同，正确；
③这两个图形的对应线段一定相等，正确；
④将一个图形绕对称中心旋转后必与另一个图形重合，正确．
∴正确的有①②③④，
故答案为：①②③④ ．
题型五：中心对称图形中规律问题
【经典例题5】在平面直角坐标系中，点，的对称中心是点A，另取两点，．有一电子青蛙从点处开始依次作关于点A，B，C的循环对称跳动，即第一次跳到点关于点A的对称点处，接着跳到点关于点B的对称点处，第三次再跳到点关于点C的对称点处，第四次再跳到点关于点A的对称点处，…，则点的坐标为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了坐标规律探究，中心对称，坐标与图形变化对称，利用中心对称找出坐标规律是解题的关键．
首先利用题目所给公式一次求出前几个点的坐标，→→→→→→→…由此得到的坐标和的坐标相同，的坐标和的坐标相同，即坐标以6为周期循环，利用这个规律即可求出点的坐标．
【详解】解：∵点关于点的对称点，
∴，
∴，，
∴，
同理可得点，，，，，…
∴点P每6次一循环，
∵
∴点与点坐标相同，即．
故选：D．
【变式训练5-1】如图，在平面直角坐标系中，点，，的坐标分别为，，．一个电动玩具从原点出发，第一次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；第二次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；第三次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；第四次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；…．电动玩具照此规律跳下去，则点的坐标是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了中心对称及点的坐标的规律．根据题意，先求出前几次跳跃后、、、、、、的坐标，可得出规律，继而可求点的坐标．
【详解】解：由题意得：点、、、、、、，
∴点P的坐标的变化规律是6次一个循环，
∵，
∴点的坐标是．
故选：B．
【变式训练5-2】如图，在平面直角坐标系中，四边形是边长为2的正方形，A，C分别在y轴正半轴与x轴正半轴上，P点坐标为，将P点关于A对称得到，将关于O点对称得到，将关于C点对称得到，将关于B点对称得到，将关于A点对称得到，……，按照顺序以此类推，则的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查了点的坐标变化规律，中心对称．根据题意，探究规律，得出四次一个循环，利用规律求解即可．
【详解】解：如图，由题意，
∴与P重合，四次一个循环，
∵，
∴与重合，
∴．
故答案为：．
【变式训练5-3】如果将点P绕定点M旋转后与点Q重合，那么点P与点Q关于点M对称，定点M叫做对称中心，此时，M是线段的中点．如图，在平面直角坐标系中，的顶点A，B，O的坐标分别为，，，点，，，…中的相邻两点都关于的一个顶点对称，点与点关于点A对称，点与点关于点B对称，点与点关于点O对称，点与点关于点A对称，点与点关于点B对称，点与点关于点O对称……且这些对称中心依次循环．已知点的坐标是，则点的坐标为 ．
【答案】
【分析】此题主要考查了平面直角坐标系中中心对称的性质，以及找规律问题，根据已知得出点P的坐标每6个一循环是解题关键．
根据中心对称及平面直角坐标系中的有关知识，可以求得点关于点A的对称点坐标，以及点关于点B的对称点坐标，点关于点O的对称点，可以看出，点P的坐标每6个一循环，即可解答．
【详解】解：由题意可得：点，，，，，……
∴可知6个点一个循环，，
∴点的坐标与点的坐标相同，为．
故答案为：．
【变式训练5-4】在如图所示的平面直角坐标系中，是边长为的等边三角形，作与关于点成中心对称，再作与关于点成中心对称，…，如此作下去，则的顶点的坐标是 ．
【答案】
【分析】此题主要考查了坐标与图形变化--旋转问题，解题的关键是推出点的横坐标、纵坐标规律．首先根据是边长为的等边三角形，可得的坐标为，的坐标为；然后根据中心对称的性质，分别求出点、、的坐标各是多少；最后总结出的坐标的规律，即可求出的坐标．
【详解】解：是边长为的等边三角形，
的坐标为，的坐标为，
与关于点成中心对称，
点与点关于点成中心对称，
，，
点的坐标是，
与关于点成中心对称，
点与点关于点成中心对称，
，，
点的坐标是，
与关于点成中心对称，
点与点关于点成中心对称，
，，
点的坐标是，
…，
，，，，…，
的横坐标是，当为奇数时，的纵坐标是，当为偶数时，的纵坐标是，
的顶点的坐标是，
故答案为
【变式训练5-5】如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为：，，.已知，作点关于点的对称点，点关于点的对称点，点关于点的对称点，点关于点的对称点，点关于点的对称点，…，依此类推，则点的坐标为 .
【答案】
【分析】根据平面直角坐标系中，点的对称性质，结合题意，依次求得点，，，，，，的坐标，从而发现该题的规律，求得点的坐标．
【详解】解：∵，，
∴点关于点的对称点，
∵点关于点的对称点为，，，
∴，
∵点关于点的对称点为，，，
∴，
∵点关于点的对称点为，，，
∴，
∵点关于点的对称点为，，，
∴，
∵点关于点的对称点为，，，
∴，
∵点关于点的对称点为，，，
∴，
此时点与点重合．
∵，
∴与点重合，
故，
答案为：．
题型六：关于原点对称的点的坐标
【经典例题6】在平面直角坐标系中，把点向右平移6个单位长度得到点，点关于原点的对称点是，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了坐标与图形变化平移，以及关于原点的对称点的坐标的关系，熟练掌握并灵活运用是解题的关键．先根据向右平移6个单位，横坐标加6，纵坐标不变，求出点的坐标，再根据关于原点对称的点，横坐标，纵坐标都互为相反数解答即可．
【详解】解：∵将点向右平移6个单位得到点，
∴点的坐标是，
∴点关于原点的对称点的坐标是．
故选：D．
【变式训练6-1】在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标．关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，可得答案．
【详解】解：平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是．
故选：C．
【变式训练6-2】在平面直角坐标系中，有，，，四点，其中关于原点对称的两点为（ ）
A．点A和点B B．点B和点C C．点C和点D D．点D和点A
【答案】D
【分析】根据关于原点对称，横纵坐标都互为相反数，即可得出答案．
【详解】解：A、点与点关于原点不对称，故此选项不符合题意；
B、点与点关于原点不对称，故此选项不符合题意；
C、点与点关于原点不对称，故此选项不符合题意；
D、点与点关于原点对称，故此选项符合题意；
故选：D．
【变式训练6-3】扎染是一种民间传统染色工艺，如图，这是使用扎染工艺制作的手帕图案，将该图案放在如图所示的平面直角坐标系中，若点与点关于原点对称，则点B的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查的知识点是关于原点对称的点的坐标、坐标确定位置，解题关键是熟练掌握关于原点对称的点的坐标特征．
关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，由此可得答案．
【详解】解：点与点关于原点对称，
点的坐标为 ．
故答案为：．
【变式训练6-4】点与关于原点对称，则N的坐标是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标特征，熟记关于原点对称的点的坐标特征是解决此题的关键．根据关于原点对称的两点的坐标“横纵坐标都互为相反数”的特征解答即可．
【详解】解：∵点与关于原点对称，
∴，，
∴N的坐标是，
故答案为：．
【变式训练6-5】已知点和点关于原点对称，且，则的值等于 ．
【答案】
【分析】本题考查关于原点对称的点的特征，根据“关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数”得到，，，然后相加计算即可得解．
【详解】解：∵点和点关于原点对称，
∴，，
∴，
故答案为：．
【变式训练6-6】如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的对角线、相交于原点．若点的坐标是，则点的坐标是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了平行四边形是中心对称图形和在坐标系里关于点成中心对称图形的坐标的特征，根据坐标特征即可得到答案．
【详解】解：∵平行四边形的对角线、相交于原点．
∴点和点关于点成中心对称，
∵点的坐标是，
∴点的坐标是，
题型七：中心对称中最值问题
【经典例题7】如图，△ABC三个顶点的坐标分别为，，．
(1)画出△ABC关于x轴对称的；并写出对应点的坐标；
(2)画出关于y轴对称的；并写出对应点的坐标；
(3)观察发现：△ABC的两次轴对称位置变化，相当于它一次怎样的变化？
(4)请求出三角形的面积．
(5)为轴上一动点，当周长最小时，画出P点的位置．
【答案】(1)作图见解析；，，(2)作图见解析；(3)相当于一次旋转
(4)(5)见解析
【分析】本题考查作图—轴对称变换，轴对称—最短路线问题，坐标与图形；
（1）根据轴对称的性质作图即可；关于轴对称的点，横坐标不变，纵坐标互为相反数，由此可得答案；
（2）根据轴对称的性质作图即可，关于轴对称的点，纵坐标不变，横坐标互为相反数，由此可得答案；
（3）观察图象发现两次轴对称变换相当于一次旋转；
（4）根据长方形的面积减去三个三角形的面积即可求解；
（5）作点关于轴的对称点，连接，与轴交于点，连接，根据两点之间线段最短可知此时点到、两点的距离和最小，观察图形可得出点的坐标；
【详解】（1）解：如图所示，∵△ABC与关于轴对称，，，
∴，，；
（2）如图，点，，分别为点，，的对应点，
连接，，，
则即为所作；
∴，，；
（3）观察图象发现两次轴对称变换相当于一次旋转；
（4）；
（5）如图，作点关于轴的对称点，连接，与轴交于点，连接，
∴，则周长最小．
【变式训练7-1】在如图所示的平面直角坐标系中，已知点，，，根据要求在答题卡上作图，标上字母，并回答问题．
(1)作△ABC关于点成中心对称的；
(2)作向右平移2个单位后的；
(3)当的值最小时，在轴上作一点，并直接写出其最小值．
【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析，最小值为5
【分析】本题考查了作图 平移和中心对称变换、利用轴对称求两线段和最小，属于常考题型，熟练掌握上述知识是解题的关键．
（1）利用关于点对称的点的坐标特征得到、、的位置，然后顺次连接即可；
（2）利用点平移的坐标特征得到、、的位置，然后顺次连接即可；
（3）作点关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，利用轴对称性质和两点之间线段最短可判断此时的值最小，最小值为的长，利用勾股定理求解最小值即可．
【详解】（1）解：如下图，即为所求作；
（2）解：如下图，即为所求作；
（3）解：如图，点P即为所求作：
由图知，的最小值为．
【变式训练7-2】如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，格点（网格线的交点），，的坐标分别为，，．
(1)画出△ABC关于原点成中心对称的图形，点的对应点为，点的对应点为，点的对应点为，并写出点的坐标为______；
(2)已知点是轴上的一个动点，当的值最小时，直接写出点的坐标．
【答案】(1)见解析，(2)
【分析】本题考查作图旋转变换，一次函数的应用，两点之间线段最短等知识，解题的关键是掌握旋转变换的性质．
（1）利用旋转变换的性质分别作出，，的对应点，，即可；
（2）连接交轴于点，点即为所求．
【详解】（1）解：如图，即为所求，．
故答案为：；
（2）解：如图，点即为所求．
设直线的解析式为，则有，
解得，
直线的解析式为，
令，可得，
．
【变式训练7-3】如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别是，，．
(1)作△ABC关于y轴对称的图形，记为，画出，并写出点，的坐标；
(2)请画出△ABC关于原点O成中心对称的；
(3)在x轴上找一点P，使得点P到点A，C的距离最小，并求出点P坐标．
【答案】(1)见解析，，(2)见解析(3)见解析，点P坐标为
【分析】本题考查作图-轴对称变换、中心对称，熟练掌握轴对称的性质、中心对称的性质是解答本题的关键．
（1）根据轴对称的性质作图即可画出图形，再直接写出点的坐标即可；
（2）根据中心对称的性质即可画出△ABC关于原点O成中心对称的；
（3）找到点A关于x轴对称的点，并与点C连接，与x轴的交点即为所求；先求出直线解析式，再令即可求出交点坐标．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求，
，．
（2）即为所求；
（3）点P即为所求
设直线PC所在直线解析式为：
将和代入，得
解得：
当时，
∴点P坐标为
【变式训练7-4】如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为A、B、C．
(1)画出△ABC关于原点对称的，并写出点的坐标；
(2)在x轴上是否存在一个点P使得最小，若存在写出点P坐标，若不存在请说明理由．
【答案】(1)图见解析，(2)存在，
【分析】本题考查坐标与图形变换，中心对称和轴对称，一次函数与坐标轴的交点问题，熟练掌握中心对称和轴对称的性质，是解题的关键：
（1）根据中心对称的性质，画出，进而写出点的坐标即可；
（2）作点关于轴的对称点，连接，与轴的交点即为点，求出直线的解析式，进而求出点的坐标即可．．
【详解】（1）解：如图，即为所求，
由图可知：；
（2）解：存在；
作点关于轴的对称点，连接，与轴的交点即为点，如图，
由图可知：，
设直线的解析式为：，则：
，解得：，
∴，
∴当时，，解得：，
∴．
【变式训练7-5】如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，直线经过网格格点．请完成下列各题：
(1)画出△ABC关于直线对称的图形；
(2)利用网格，在直线上画出点Q，使的值最小．
(3)求△ABC的面积．
【答案】(1)见解析(2)见解析(3)
【分析】本题考查了两点之间线段最短，运用网格求三角形面积，垂直平分线的性质，轴对称作图，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）根据对称的性质找到对称点画出图形即可；
（2）找到的对称点，连接，与交于点；
（3）运用割补法求三角形面积，即可作答．
【详解】（1）解：如图所示：即为所求；
（2）解：如图所示，点Q即为所求；
（3）解：．
【变式训练7-6】如图，△ABC三个顶点的坐标分别为，B，，
(1)请画出将△ABC向左平移5个单位长度后得到的图形
(2)请画出△ABC关于原点O成中心对称的图形
(3)在x轴上求一点P，使的周长最小
【答案】(1)画图见解析(2)画图见解析(3)
【分析】（1）根据网格结构找出点A、B、C平移后的对应点的位置，然后顺次连接即可；
（2）找出点A、B、C关于原点O成中心对称的点的位置，然后顺次连接即可；
（3）作B点关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，如图，则，根据两点之间线段最短可判断此时的值最小，再利用待定系数法求出直线的解析式为，然后利用x轴上点的坐标特征确定P点坐标．
【详解】（1）解：如图，即为所求；
（2）解：如图，即为所求；
（3）解：如图，作关于轴的对称点，连接交轴于，
则，
此时的周长为最短，
设直线的解析式为，
把分别代入得，
解得，
∴直线的解析式为，
当时，，
解得，
∴P点坐标为．
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