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2024-2025八年级下册数学同步练习重难点突破【浙教版】
专题4.2 平行四边形及其性质十一大题型（一课一练）
[本试卷包含了常见考题，对基础知识进行巩固测试]
一、单选题（本大题共10个小题，每题3分，共30分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定）
1．已知在中，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查平行四边形的性质，解答本题的关键是掌握平行四边形的对角相等．根据平行四边形的对角相等，即可得出的度数．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
，
，
，
故选：A．
2．如图，在平行四边形中，与相交于点O，则下列结论不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．，
【答案】A
【分析】本题考查了平行四边形的性质：①平行四边形的对边平行且相等，②平行四边形的对角相等，③平行四边形的对角线互相平分，熟练掌握平行四边形的性质是解题关键．根据平行四边形的性质逐项判断即可得．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，，，，
观察四个选项可知，结论不一定成立的是选项A，
故选：A．
3．若的周长为，的周长为，则的长为多少．（ ）
A．6 B．9 C．8 D．12
【答案】B
【分析】此题考查了平行四边形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．首先根据题意画出图形，由的周长为，即可求得的值，又由的周长为，即可求得对角线的长．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵的周长为，
∴，
∵的周长为，
∴．
故选：B．
4．如图，将沿对角线翻折，点落在点处，交于点，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查平行四边形的性质，折叠的性质，一元一次方程解几何问题，掌握平行四边形、折叠的性质是关键．
令，则，进而可得，由折叠可知，，，，再根据三角形的内角和列出关于的方程式即可得出答案．
【详解】解：令，则，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴，
由折叠可知，，，
在中，，
即，
解得：，
∴．
故选：C．
5．如图，平行四边形中，，，平分交边于点，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了平行四边形及平行线的性质，利用角平分线计算，等角对等边等，理解题意，熟练运用平行四边形的性质是解题的关键．
根据平行四边形及平行线的性质可得，再由角平分线及等量代换得出，利用等角对等边可得，结合图形即可得出线段长度．
【详解】解：∵四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：．
6．如图，在中，，，，点，在上，且，则的面积为（ ）
A．8 B．4 C．6 D．12
【答案】B
【分析】平行四边形的面积等于平行四边形的边长与该边上的高的积．即．其中可以是平行四边形的任何一边，必须是边与其对边的距离，即对应的高，并注意体会三角形面积相等的条件．可先求平行四边形的总面积，因为，所以三个小三角形的面积相等，进而可求解．
【详解】解：如图，过点作于点，
，，
，
平行四边形的面积为，
的面积为
的面积
故选：B．
7．如图所示，在平行四边形中，的交点P在上，则图中面积相等的平行四边形有（ ）
A．平行四边形和平行四边形
B．平行四边形和平行四边形
C．平行四边形和平行四边形
D．平行四边形和平行四边形
【答案】B
【分析】主要考查了平行四边形的性质和面积的求法．解题的关键是得到对角线把平行四边形分得的两个三角形全等，面积相等．根据平行四边形的面积=底×高，可知，当两个平行四边形的底与高相等时，面积相等．得出平行四边形和平行四边形相等．
【详解】解：A、观察图形，很明显的面积小于的面积，错误．
B、由于分别是的对角线，根据“对角线把平行四边形分得的两个三角形全等”，可推出和面积相等，正确．
C、观察图形，很明显和的底与高都不相等，错误
D、观察图形，和高相等，底不相等，面积不相等，错误．
故选：B．
8．如图，的对角线，交于点O，过点O作交于点E，交于点F．过点D作交延长线于点G．若的周长为20，，则四边形的周长为（ ）
A．14 B．15 C．16 D．18
【答案】A
【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定及性质等；由平行线的性质得，由可判定，由全等三角形的性质得，即可求解；掌握平行四边形的性质，全等三角形的判定及性质是解题的关键．
【详解】解：四边形是平行四边形，
，
，
，
，，
，
的周长为20，
，
在和中
，
（），
，
；
故选：A．
9．如图，在中，，相交于点O，，． 过点A作交于点E，记长为x，长为y． 当x，y的值发生变化时，代数式的值是（ ）
A．12 B．16 C．8 D．6
【答案】C
【分析】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，作交的延长线于，由平行四边形的性质可得，，证明，得出，表示出，，由勾股定理得出，即可得解．
【详解】解：如图，作交的延长线于，
，
∵四边形为平行四边形，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∵，，，，
∴，
∴，
∴当x，y的值发生变化时，代数式的值是，
故选：C．
10．如图，平行四边形的对角线，相交于点，平分，分别交，于点，．连接，，，则下列结论：①；②；③；④．其中结论正确的是（ ）
A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．①②③④
【答案】B
【分析】先根据角平分线和平行得：，则，由有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形得是等边三角形，由外角的性质和等腰三角形的性质得：，最后由平行线的性质即可得解；先根据三角形中位线定理得：，根据勾股定理计算和的长即可得解；根据平行四边形的面积公式计算即可得解；根据三角形中位线定理即可得解．
【详解】解：平分，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故①正确，符合题意；
，
，
，
在中，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
在中，，
，
故错误，不符合题意；
由知：，
，
故正确，符合题意；
由知：是的中位线，
，
，
，
故正确，符合题意；
故选：．
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．如图，在中，交对角线于点，若，则的度数是 ．
【答案】/105度
【详解】解：四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
故答案为：．
12．如图，是平行四边形的对角线，点E在上，，，则 °．
【答案】129
【分析】本题考查平行四边形的性质，根据题目条件可知和均为等腰三角形，即可求出，，进而可求出，即可得出答案．
【详解】解：在平行四边形中，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：129．
13．如图，平面直角坐标系中，已知直线，的边在轴正半轴上，点的坐标是，正以每秒个单位长度的速度沿着轴向左平移，经过 秒，直线将分成面积相等的两部分．
【答案】
【分析】本题考查平行四边形的性质，一次函数，平面直角坐标系，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键；
连接、，求出移动之后点的坐标，计算距离，进而求解；
【详解】解：连接、，交于点，当经过点时，该直线可将的面积平分；
四边形是平行四边形，
，
，
，
把代入，
可得：，
解得：，
由移动到位置时，该直线可将的面积平分；
移动距离为：；
正以每秒个单位长度的速度沿着轴向左平移，
时间为秒；
故答案为：
14．在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点A，B，D的坐标分别是，，，则顶点C的坐标是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了坐标与图形，平行四边形的性质，先根据点的坐标得到的长，再由平行四边形对边相等且平行得到，即轴，据此可得答案．
【详解】解：∵，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，即轴，
∵，
∴，
故答案为：．
15．如图，在平行四边形中，对角线，相交于点O，过点O，交于点F，交于点E．若，点A到的距离为4，则图中阴影部分的面积是 ．
【答案】15
【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形全等的判定和性质，利用三角形全等，把阴影面积转化为的面积计算即可．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：15．
16．如图，在中，，点E是中点，作于点F，已知，，则的长为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查平行四边形的性质，勾股定理以及三角形面积，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
通过计算、的长度，利用三角形面积公式求得，即可求出答案．
【详解】解：如图，连接，
，四边形是平行四边形，，
，，
，
，
，
，
，
点是中点，
，
，
，
，
即，
∴，
故答案为：．
17．如图，在中，以为圆心，长为半径画弧，与交于点，连接，，，若，，，则的长为 ．
【答案】8
【分析】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理．由题意可知，，由平行四边形的性质推出，，，得到，证明，推出，由勾股定理求出，即可得到．
【详解】解：由题意可知，，
四边形是平行四边形，
∴，，，
，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
，
∴，
，
，，，
，
．
故答案为：8．
18．如图，在中，，，点在边上以每秒的速度从点向点运动．点在边上以每秒的速度从点出发，在之间往返运动．两个点同时出发，当点到达点时停止（同时点也停止运动），设运动时间为秒．当时，运动时间 时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形．
【答案】秒或8秒
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质以及一元一次方程的应用，弄清在上往返运动情况是解决此题的关键．根据的速度为每秒，可得，从而得到，由四边形为平行四边形可得出，结合平行四边形的判定定理可得出当时以、、、四点组成的四边形为平行四边形，当时，分两种情况考虑，在每种情况中由即可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】解：四边形为平行四边形，
．
若要以、、、四点组成的四边形为平行四边形，则．
当时，，，，，
，
解得：；
当时，，，，
，
解得：．
综上所述：当运动时间为秒或8秒时，以、、、四点组成的四边形为平行四边形．
故答案为：秒或8秒．
三、解答题（本大题共6个小题，共46分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．如图，在中，平分交于点．
(1)实践与操作：过点作的垂线，分别交于点；（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）
(2)若，求的长．
【答案】(1)见解析(2)
【分析】本题主要考查尺规作垂线，角平分线的定义，平行四边形的性质，掌握以上知识的综合运用是解题的关键．
（1）根据尺规作垂线的方法作图即可；
（2）根据角平分线的定义，平行四边形的性质得到，由即可求解．
【详解】（1）解：如答图，即为所求．
（2）解：平分
，
∵四边形是平行四边形，
，
，
，
，
．
20．如图，在平行四边形中，E，F分别是边，上的点，连接，，使，．
(1)上面是小明和小颖两位同学的对话，请选择其中一位同学的说法，并证明；
(2)在（1）的条件下，若，，求平行四边形的面积．
【答案】(1)选择小明同学的说法，见解析(2)18
【分析】（1）根据平行四边形的性质，三角形全等的判定和性质证明即可；
（2）根据直角三角形的性质，平行四边形的性质和面积公式解答即可．
本题考查了平行四边形的性质，三角形全等的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握性质是解题的关键．
【详解】（1）解：选择小明同学的说法，证明如下：
∵，，
∴，
在和中，
∵，
∴；
解：选择小颖同学的说法，证明如下：
∵，，
∴，
在和中，
∵，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，平行四边形，
∴，
∴，
∴平行四边形的面积．
21．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C均在格点上，仅用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图．
(1)在图①中找一格点D，连结，使与互补；
(2)在图②中找一格点E，连结，使与互余；
(3)在图③中找一格点F，连结，使．
【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析
【分析】本题考查了网格中的作图，平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，学会网格作图，准确找到格点是解题的关键．
（1）利用平行四边形的性质作图即可求得对应的点；
（2）利用勾股定理求出，易证是等腰三角形，利用网格线的特点结合等腰三角形三线合一即可求得点；
（3）根据等腰直角三角形的性质即可求得点．
【详解】（1）解：作且，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
（2）解：，
是等腰三角形，
利用网格线的特点取中点，连接，即（三线合一），
∴，
（3）解：∵，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴．
22．如图，以的顶点为圆心，长为半径画弧，交于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，画射线，交于点，交的延长线于点．
(1)求证：；
(2)若，，，求的面积．
【答案】(1)见解析(2)
【分析】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定、尺规作图等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键．
（1）由作图可知，，再由平行四边形的性质得，则，则，然后由等腰三角形的判定即可得出结论；
（2）过点作，交的延长线于点；同（2）中方法证明，得，利用是直角三角形求出，然后由三角形面积公式列式计算即可．
【详解】（1）证明：由作图步骤可得，平分，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：过点作，交的延长线于点，如图；
∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∴，，
由作图可知，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
23．已知如图，平行四边形的顶点为平面直角坐标系原点，边在x轴正半轴上，点
(1)写出点的坐标，计算平行四边形的面积；
(2)过点的直线与线段或交于点，若直线将平行四边形的面积分成两部分，求点的坐标；
【答案】(1)，平行四边形面积8；
(2)或．
【分析】本题考查了根据图形求点的坐标，一次函数与几何，分类讨论是解题的关键．
（1）过，分别作于，于，由四边形是平行四边形，得到，，，证得，推出即可得到结果；
（2）分多种情况讨论，即当点在线段上时，；当点在线段上时，，逐一计算，即可得到结果．
【详解】（1）解：如图，过，分别作于，于，
四边形是平行四边形，
，，，
，
在与中，
，
，
，，
，
，
；
（2）解：如图，当点在线段上时，过点作于，则，
直线将平行四边形的面积分成两部分，
当时，
，
；
如图，当点在线段上时，过点作于，
直线将平行四边形的面积分成两部分，
当，
，
设直线的解析式为，
将，代入可得，
，
解得，
直线的解析式为，
当时，可得，
解得
，
综上所述，或．
24．【模型建立】如图1，在中，点E为边上一动点，连接．设，，的面积分别为，，．写出，，之间的数量关系，并用两种不同的方法证明；
【模型应用】
如图2，在中，，，，点E为边上的一动点，连接．过点B作．求的值；
【模型拓展】
如图3，点P为内一点（点P不在上），点E，F，G，H分别为各边的中点．设四边形的面积为，四边形的面积为（其中），写出的面积，并说明理由．（用含，的代数式表示）
【答案】[模型建立]详见解析
[模型应用]
[模型拓展]
【分析】本题主要考查了平行四边形的判定和应用，勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点并能正确添加辅助线是解决此题的关键．
[模型建立]方法一，利用平行线间的距离相等，结合平行四边形面积公式和三角形的面积公式即可得解；方法二，如图1，过点作交于点，利用平行四边形对角线将平行四边形分为面积相等的两个三角形的性质，进行等量代换即可得解；
[模型应用]如图2，过作交的延长线于点，连，由[模型建立]的结论可得出，再利用三角形面积公式即可得解；
[模型拓展]如图3中，连接，利用前面的结论进行恒等变形即可得解．
【详解】[模型建立]
解：方法一，设平行四边形的高为（与之间的距离），
∵平行四边形，
∴，
∴以为底，高就是平行四边形的高，
∴根据三角形面积公式可得，
同理可得，，
∵，
∴；
方法二，如图1，过点作交于点，
∵， ，
∴四边形和四边形都为平行四边形，
∴，，
∵，
∴；
[模型应用]
解：如图2，过作交的延长线于点，连，
∵，
∴，
∵，
∴根据勾股定理得，，
∵，
∴，
由得，
∴，
∵，
∴，
∴；
[模型拓展]
如图3中，连接，
在中，点是的中点，
可设，
同理，，
，
，
，
∵，
∴．
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专题4.2 平行四边形及其性质十一大题型（一课一练）
[本试卷包含了常见考题，对基础知识进行巩固测试]
一、单选题（本大题共10个小题，每题3分，共30分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定）
1．已知在中，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在平行四边形中，与相交于点O，则下列结论不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．，
3．若的周长为，的周长为，则的长为多少．（ ）
A．6 B．9 C．8 D．12
4．如图，将沿对角线翻折，点落在点处，交于点，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，平行四边形中，，，平分交边于点，则等于（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在中，，，，点，在上，且，则的面积为（ ）
A．8 B．4 C．6 D．12
7．如图所示，在平行四边形中，的交点P在上，则图中面积相等的平行四边形有（ ）
A．平行四边形和平行四边形
B．平行四边形和平行四边形
C．平行四边形和平行四边形
D．平行四边形和平行四边形
8．如图，的对角线，交于点O，过点O作交于点E，交于点F．过点D作交延长线于点G．若的周长为20，，则四边形的周长为（ ）
A．14 B．15 C．16 D．18
9．如图，在中，，相交于点O，，． 过点A作交于点E，记长为x，长为y． 当x，y的值发生变化时，代数式的值是（ ）
A．12 B．16 C．8 D．6
10．如图，平行四边形的对角线，相交于点，平分，分别交，于点，．连接，，，则下列结论：①；②；③；④．其中结论正确的是（ ）
A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．①②③④
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．如图，在中，交对角线于点，若，则的度数是 ．
12．如图，是平行四边形的对角线，点E在上，，，则 °．
13．如图，平面直角坐标系中，已知直线，的边在轴正半轴上，点的坐标是，正以每秒个单位长度的速度沿着轴向左平移，经过 秒，直线将分成面积相等的两部分．
14．在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点A，B，D的坐标分别是，，，则顶点C的坐标是 ．
15．如图，在平行四边形中，对角线，相交于点O，过点O，交于点F，交于点E．若，点A到的距离为4，则图中阴影部分的面积是 ．
16．如图，在中，，点E是中点，作于点F，已知，，则的长为 ．
17．如图，在中，以为圆心，长为半径画弧，与交于点，连接，，，若，，，则的长为 ．
18．如图，在中，，，点在边上以每秒的速度从点向点运动．点在边上以每秒的速度从点出发，在之间往返运动．两个点同时出发，当点到达点时停止（同时点也停止运动），设运动时间为秒．当时，运动时间 时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形．
三、解答题（本大题共6个小题，共46分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．如图，在中，平分交于点．
(1)实践与操作：过点作的垂线，分别交于点；（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）
(2)若，求的长．
20．如图，在平行四边形中，E，F分别是边，上的点，连接，，使，．
(1)上面是小明和小颖两位同学的对话，请选择其中一位同学的说法，并证明；
(2)在（1）的条件下，若，，求平行四边形的面积．
21．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C均在格点上，仅用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图．
(1)在图①中找一格点D，连结，使与互补；
(2)在图②中找一格点E，连结，使与互余；
(3)在图③中找一格点F，连结，使．
22．如图，以的顶点为圆心，长为半径画弧，交于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，画射线，交于点，交的延长线于点．
(1)求证：；
(2)若，，，求的面积．
23．已知如图，平行四边形的顶点为平面直角坐标系原点，边在x轴正半轴上，点
(1)写出点的坐标，计算平行四边形的面积；
(2)过点的直线与线段或交于点，若直线将平行四边形的面积分成两部分，求点的坐标；
24．【模型建立】如图1，在中，点E为边上一动点，连接．设，，的面积分别为，，．写出，，之间的数量关系，并用两种不同的方法证明；
【模型应用】
如图2，在中，，，，点E为边上的一动点，连接．过点B作．求的值；
【模型拓展】
如图3，点P为内一点（点P不在上），点E，F，G，H分别为各边的中点．设四边形的面积为，四边形的面积为（其中），写出的面积，并说明理由．（用含，的代数式表示）
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