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浙教版2024-2025学年八年级下数学第4章平行四边形 培优测评卷
解析版
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．下列四个图形中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】A、是中心对称图形，故符合题意；
B、是轴对称图形，故不符合题意；
C、是轴对称图形，故不符合题意；
D、是轴对称图形，故不符合题意；
故答案为：A.
2．如图，在中，AE平分交BC于点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据平行四边形的性质，DC∥AB，∠D=∠B，
∵∠D=112°，则∠DAB=180°-∠D=68°，
∵AE平分∠DAB，则∠BAE=34°，又∠D=∠B，则∠B=112°，
可得∠AEB=180°-∠B-∠BAE=34°，∠AEC=180°-∠AEB=146°，
故答案为：D.
3．如图，平行四边形中，下列说法一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】A项，在平行四边形中ABCD中，当∠ABC=90°时，也就是当平行四边形为矩形时，对角线AC=BD，当平行四边形不是矩形的时候，对角线AC≠BD，则A项不一定正确，故A不符合题意；
B项，在平行四边形ABCD中，当AB=BC时，也就是平行四边形为菱形时，对角线AC与BC相互垂直，当平行四边形ABCD不是菱形时，对角线AC与BD不垂直，则B项不一定正确，故B不符合题意；
C项，根据平行四边形的性质，可以得到平行四边形的对边相等，则AB=CD，故C符合题意；
D项，当平行四边形ABCD是菱形的时候，邻边AB=BC，则D项不一定正确，故D不符合题意；
故答案为：C.
4．如图，四边形中，对角线，相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ）
A． B．
C． D．，
【答案】D
【解析】 A：∵，
∴四边形ABCD是平行四边形，不符合题意；
B：∵，
∴四边形ABCD是平行四边形，不符合题意；
C：∵，
∴四边形ABCD是平行四边形，不符合题意；
D：由，无法判断四边形ABCD是平行四边形，符合题意；
故答案为：D.
5．在 ABCD中，AB=3，BC=5，对角线AC，BD相交于点O，则OA的取值范围是（ ）
A．1＜OA＜4 B．2＜OA＜8 C．2＜OA＜5 D．3＜OA＜ 8
【答案】A
【解析】由题意得2＜AC＜8，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴2OA=AC，
∴1＜OA＜4，
故答案为：A
6．用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于”时，首先应假设这个直角三角形中（ ）
A．两个锐角都大于 B．两个锐角都小于
C．两个锐角都不大于 D．两个锐角都等于
【答案】A
【解析】用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于”时，
应先假设两个锐角都大于45°．
故选：A．
7．如图，在中，平分，，交边于点E，且，则的长为（ ）
A． B．3 C．4 D．5
【答案】D
【解析】∵平分，
∴∠DCE=∠BCE，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥CB，CD=AB，
∴∠DEC=∠BCE，
∴∠DCE=∠DEC，
∴CD=DE，
∵，，
∴AB=5，
故答案为：5
8．如图，EF过平行四边形ABCD对角线的交点O，交AD于点E，交BC于点F，若平行四边形ABCD的周长是36，OE＝3，则四边形ABFE的周长是（ ）
A．21 B．24 C．27 D．18
【答案】B
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC， OA = OC，
∴∠OAE=∠OCF，
∵∠AOE = ∠COF，
∴△OAE ≌ △OCF，
∴OE= OF=3，AE=CF，
∴EF=OE+OF=3+3=6，
∵平行四边形ABCD的周长为36，
∴2(AB+BC)=36，
∴AB+BC=18，
∴C四边形ABFE = AB+BF+EF+AE
=AB+BF+EF+CF
= AB+(BF+CF) +EF
=AB+BC+EF
=18+6
=24
故答案为：24.
9．在 ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD＝2AD，E、F、G分别是OC、OD、AB的中点，下列结论：①GN＝NE；②AE⊥GF；③AC平分∠BCD；④AC⊥BD，其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】①∵四边形ABCD为平行四边形，
∴DC=BA，DC∥BA，
∵E、F、G分别是OC、OD、AB的中点，
∴DC∥EF，DC=2EF，BA=2GB，
∴FE=GB，DC∥FE∥BA，
∴四边形EFGB为平行四边形，
∴GN＝NE，①正确；
②∵四边形ABCD为平行四边形，
∴CB=DA，DO=BO，OA=OC，
∵BD＝2AD，
∴BO=CB，
∵E为CO的中点，
∴CA⊥EB，
∵四边形EFGB为平行四边形，
∴EB∥FG，
∴CA⊥FG，
∴AE⊥GF，②正确；
③∵CB=OB，
∴∠OCB=∠COB，
∴∠COB＞∠ACD，
∴∠DCA≠∠OCB，
∴AC不平分∠BCD，③错误；
④∵E为CO的中点，BC=OB，
∴CA⊥EB，
∴∠EOB≠90°，
∴AC⊥BD不成立，④错误；
故答案为：B
10．如图，在平行四边形中，，E是的中点，于点F，则的面积为（ ）
A． B． C．4 D．6
【答案】A
【解析】过点D作DG⊥BA交BA的延长线与点G，如图所示：
∵FE⊥BA，
∴EF//DG，
∴.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，AD//BC，AD=BC=4，
∴∠GAD=∠B=60°.
∵点E为BC的中点，
∴BE=CE=2.
∵EF⊥AB，DG⊥AB，
∴△BEF和△GDA都是直角三角形.
在Rt△BEF中，∠B=60°，BE=2，
，
，
，AF=AB－BF=2.
在Rt△GDA中，∠GAD=60°，AD=4，
，
，
，
，
故答案为：A．
二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．正八边形每个外角的度数为 ．
【答案】
【解析】.
故答案为：.
12．在平面直角坐标系中，点A(a，2)与点B(b，-2)关于原点成中心对称，则a+b= .
【答案】0
【解析】根据题意得，a=-b，
∴ a+b=0.
故答案为：0.
13．如图，在 ABCD中，BC=2AB，E 为BC的中点，则∠AED= °.
【答案】90
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形.
∴AB//CD，AD//BC.
∴∠B+∠C=180°，∠BAD+∠CDA=180°.
又∵BC=2AB，E 为BC的中点.
∴AB=BE，CD=CE.
∴∠BAE=∠AEB，∠DEC=∠CDE.
∵AD//BC.
∴∠DAE=∠AEB，∠ADE=∠DEC.
∴∠BAE=∠DAE=∠BAD，∠ADE=∠CDE=∠CDA.
∵∠BAD+∠CDA=180°.
∴∠EAD+∠EDA=180°÷2=90°.
∴∠AED=180°-90°=90°.
故答案为：90°
14．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D为边 AB 上一点，连结CD，E为CD的中点，连结BE 并延长至点F，使得EF=EB，连结DF 交AC 于点G，连结CF.若∠A=30°，BC=2，CF=3，则CD的长为 .
【答案】
【解析】∵E是CD的中点，EF=EB
∴四边形CFDB是平行四边形
∴DF=BC=2，CF∥DB，DF∥BC
∴∠A=∠FCA=30°，∠FGC=∠ACB=90°
∴FG＝CF＝
∴CG＝
∴DG＝2－＝
∴CD＝＝
故答案为：.
15．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°点D在AC边上，AD=BC，点E是CD的中点，点F是AB的中点，若AD=2，则EF的长为 .
【答案】
【解析】如图所示，取BD中点G，连接GF、EG，
∵点E是CD的中点，点F是AB的中点，
∴FGAD，EGBC
∵AD=2 ， AD=BC
∴FG=EG=1
∵∠C=90°
∴∠FGE=90°
在Rt△FEG中，
故答案为：
16．如图，在□ABCD中，过对角线 BD上一点 P 作EF∥AB，GH∥AD，与各边的交点分别为E，F，G，H.若 ABCD的面积为 40，四边形BGPF的面积为 5，四边形 PEDH 的面积为21，则四边形 AGPE 的面积为 .
【答案】7
【解析】∵平行四边形ABCD的面积为40，
∴S△ABD=S平行四边形ABCD=×40=20，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∵EF∥AB，GH∥AD，
∴EF∥AB∥CD，AD∥GH∥BC，
∴四边形BGPF、四边形 PEDH，四边形AGPE是平行四边形，
∵四边形BGPF的面积为 5，四边形 PEDH 的面积为21，
∴S△BGD=S平行四边形BGPF=，S△PED=S平行四边形PEDH=，
∴S平行四边形AGPE=S△ABD-S△BGD-S△PED=20--=7.
故答案为：7.
三、解答题（本题有8小题，第17～21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共72分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．如图，在 中， 于 ， 于 ， ．
（1）求证： ；
（2）求 的度数．
【答案】（1）证明： 在平行四边形 中， ，
又 ，
，
， ．
，
在 和 中，
（2）解：在 中， ， ，
．
18．如图所示，在中，点E，点F分别是的中点，连接．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若平分，，求平行四边形的周长．
【答案】（1）证明∶四边形是平行四边形，
，
点E，点F分别是的中点，
，
，
又，
四边形是平行四边形；
（2）解：平分，
，
又，
，
，
，
，
平行四边形的周长．
19．如图，已知，，四边形是平行四边形，请仅用无刻度的直尺按要求作图：
（1）在图中作的高；
（2）在图中边上作一点，使．
【答案】
（1）即为所求； （2）点即为所求．
20．如图，已知平行四边形ABCD中，BD是它的一条对角线，过A、C两点作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F，延长AE、CF分别交CD、AB于点M、N．
（1）求证：四边形CMAN是平行四边形．
（2）若DM=2，AN=3，求AB的长．
【答案】（1）证明：∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴AM∥CN，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CM∥AN，
∴四边形CMAN是平行四边形；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，
∵四边形CMAN是平行四边形，AN=3
∴CM=AN=3，
∴CD=DM+CM=5，
∴AB=CD=5．
21．如图，在中，是边的中点，连接并延长交的延长线于点．
（1）求证：；
（2）若，平分，则的长为________．
【答案】（1）证明：是边的中点，
，
四边形是平行四边形，
，
，
在和中，，
；
（2）4
【解析】（2）解：四边形是平行四边形，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
平分，
，
，
．
故答案为：4．
22．如图，在中，分别平分和，交于点E、F．
（1）求证：；
（2）过点E作于点G，若的周长为，求的面积．
【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
，
∴∠BAE=∠DCF，
分别平分和，
，
，
，
；
（2）解：过点E作于点P，
∵分别平分和，
∴，
的周长为36，
，
．
23．如图，点E为平行四边形的边上的一点，连接并延长，使，连接并延长，使，连接，为的中点，连接，．
（1）若，，求的度数；
（2）求证：四边形为平行四边形；
（3）连接，交于点O，若，，直接写出的长度．
【答案】（1）解：四边形为平行四边形，
，，
，
，
；
（2）证明：四边形为平行四边形，
，，，
，，
是的中位线，
，，
为的中点，
，
，，
，，
四边形为平行四边形；
（3）解：=2
【解析】（3）连接，，，如图所示：
，，
，，
，
，
四边形为平行四边形，
，，
，
，
，
．
24．在中，，，点，为边上的一个动点，以为边作等边，与相交于，连接，将等边绕点旋转．
（1）如图1，当点在上，四边形是平行四边形时，求线段的长；
（2）如图2，当点恰好落在上时，此时点与点重合，连接，若，，共线，求线段的长；
（3）如图3，在等边在旋转的过程中，所在的直线与相交于点，当时，若，，求线段的长．
【答案】（1）解：，，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
是等边三角形，
，，
；
（2）解： 如图1，
作于，
，
是等边三角形，
，，
，，
，
，，
，
，
在中，，，
，
，
，
，
；
（3）解： 如图2，
将绕点顺时针旋转至，连接，
，，，
是等边三角形，
，，
，
，
，
．
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浙教版2024-2025学年八年级下数学第4章平行四边形 培优测评卷
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．下列四个图形中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在中，AE平分交BC于点，则（ ）
A． B． C． D．
（第2题） （第3题） （第4题） （第5题）
3．如图，平行四边形中，下列说法一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，四边形中，对角线，相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ）
A． B．
C． D．，
5．在平行四边形ABCD中，AB=3，BC=5，对角线AC，BD相交于点O，则OA的取值范围是（ ）
A．1＜OA＜4 B．2＜OA＜8 C．2＜OA＜5 D．3＜OA＜ 8
6．用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于”时，首先应假设这个直角三角形中（ ）
A．两个锐角都大于 B．两个锐角都小于
C．两个锐角都不大于 D．两个锐角都等于
7．如图，在中，平分，，交边于点E，且，则的长为（ ）
A． B．3 C．4 D．5
（第7题） （第8题） （第9题） （第10题）
8．如图，EF过平行四边形ABCD对角线的交点O，交AD于点E，交BC于点F，若平行四边形ABCD的周长是36，OE＝3，则四边形ABFE的周长是（ ）
A．21 B．24 C．27 D．18
9．在ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD＝2AD，E、F、G分别是OC、OD、AB的中点，下列结论：①GN＝NE；②AE⊥GF；③AC平分∠BCD；④AC⊥BD，其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．如图，在平行四边形中，，E是的中点，于点F，则的面积为（ ）
A． B． C．4 D．6
二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．正八边形每个外角的度数为 ．
12．在平面直角坐标系中，点A(a，2)与点B(b，-2)关于原点成中心对称，则a+b= .
13．如图，在ABCD中，BC=2AB，E 为BC的中点，则∠AED= °.
（第13题） （第14题） （第15题） （第16题）
14．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D为边 AB 上一点，连结CD，E为CD的中点，连结BE 并延长至点F，使得EF=EB，连结DF 交AC 于点G，连结CF.若∠A=30°，BC=2，CF=3，则CD的长为 .
15．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°点D在AC边上，AD=BC，点E是CD的中点，点F是AB的中点，若AD=2，则EF的长为 .
16．如图，在□ABCD中，过对角线 BD上一点 P 作EF∥AB，GH∥AD，与各边的交点分别为E，F，G，H.若 ABCD的面积为 40，四边形BGPF的面积为 5，四边形 PEDH 的面积为21，则四边形 AGPE 的面积为 .
三、解答题（本题有8小题，第17～21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共72分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．如图，在 中， 于 ， 于 ， ．
（1）求证： ；
（2）求 的度数．
18．如图所示，在中，点E，点F分别是的中点，连接．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若平分，，求平行四边形的周长．
19．如图，已知，，四边形是平行四边形，请仅用无刻度的直尺按要求作图：
（1）在图中作的高；
（2）在图中边上作一点，使．
20．如图，已知平行四边形ABCD中，BD是它的一条对角线，过A、C两点作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F，延长AE、CF分别交CD、AB于点M、N．
（1）求证：四边形CMAN是平行四边形．
（2）若DM=2，AN=3，求AB的长．
21．如图，在中，是边的中点，连接并延长交的延长线于点．
（1）求证：；
（2）若，平分，求的长．
22．如图，在中，分别平分和，交于点E、F．
（1）求证：；
（2）过点E作于点G，若的周长为，求的面积．
23．如图，点E为平行四边形的边上的一点，连接并延长，使，连接并延长，使，连接，为的中点，连接，．
（1）若，，求的度数；
（2）求证：四边形为平行四边形；
（3）连接，交于点O，若，，直接写出的长度．
24．在中，，，点，为边上的一个动点，以为边作等边，与相交于，连接，将等边绕点旋转．
（1）如图1，当点在上，四边形是平行四边形时，求线段的长；
（2）如图2，当点恰好落在上时，此时点与点重合，连接，若，，共线，求线段的长；
（3）如图3，在等边在旋转的过程中，所在的直线与相交于点，当时，若，，求线段的长．
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