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第4章 平行四边形 单元综合强化提升卷
一、单选题
1．下面的图案是中国品牌新能源汽车标志，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．如图，跷跷板的支柱经过它的中点O，且垂直于地面于点C，当它的一端A着地时，另一端B离地面的高度为（ ）
A．0.6m B．1m C．1.1m D．1.2m
3．如图，平行四边形的对角线交于点，且，的周长为19，则的两条对角线的和是（ ）
A．12 B．13 C．26 D．24
4．如图，在 ABCD中，以点C为圆心，适当长度为半径作弧，分别交CD、BC于点F、G，再分别以点F、G为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点H，作射线CH交AD于点E，连接BE，若DE＝5，AE＝3，BE＝4，则CE的长为（ ）
A． B． C． D．8
5．如图，在△ABC中，M，N分别是边AB，AC上的点，延长MN至点P，连接PC，∠P+∠BCP=180°，要使四边形MBCP为平行四边形，甲、乙、丙三位同学给出三种不同的方案：
甲：添加BM=PC；乙：添加；丙：添加MP=BC．则正确的方案（ ）
A．只有甲、乙才对 B．只有乙、丙才对
C．只有甲、丙才对 D．甲、乙、丙都对
6．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知点A，B的坐标分别是（2，0），（4，2），若在x轴下方有一点P，使以O，A，P为顶点的三角形与△OAB全等，则满足条件的P点的坐标是（ ）
A．（4，﹣2） B．（﹣4，﹣2）
C．（4，﹣2）或（﹣2，﹣2） D．（4，﹣2）或（﹣4，﹣2）
7．如图，在中，连接，，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，DE垂直平分△ABC的边AB，交CB的延长线于点D，交AB于点E，F是AC的中点，连接AD、EF．若AD＝5，CD＝9，则EF的长为（ ）
A．3 B．2.5 C．2 D．1.5
9．如图，的面积为，点为边上的一点，延长交的平行线于点，连接，以、为邻边作平行四边形，交边于点，连结，当时，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，，点D在BC边上，，EC、ED与AB交于点F、G，则下列结论不正确的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．如图，在平行四边形中，为对角线，E、F分别是、的中点，连接．若，则的长为 ．
12．如图，在 中， 平分 ，垂足为点D，点M是 的中点，如果 ，那么 ．
13．如果一个多边形的内角和等于它的外角和的2倍，那么这个多边形是 边形．
14．若正多边形的一个外角是72°，则该正多边形的内角和是 。
15．一个多边形的内角和比外角和的3倍多180°，则它的边数是 ．
16．如图，在 ABCD中，AD=2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，连接EF，CF，则下列结论中一定成立的是 ．(把所有正确结论的序号都填在横线上)
①∠DCF= ∠BCD；②EF=CF；③S△BEC=2S△CEF；④∠DFE=3∠AEF．
三、综合题
17．如图
（1）求图形中的x的值；
（2）求：∠A、∠B、∠C、∠D的度数。
18．已知在四边形中，E，F分别是边，的中点．
（1）如图1，若，，，．求的长；
（2）如图2，若．求证：．
19．如图
（1）方法回顾：在学习三角形中位线时，为了探索三角形中位线的性质，思路如下：
第一步添加辅助线：如图1，在 中，延长 （ 分别是 的中点）到点 ，使得 ，连接 ；
第二步证明 ，再证四边形 是平行四边形，从而得出三角形中位线的性质结论： （请用DE与BC表示）
（2）问题解决：如图2，在正方形ABCD中，E为AD的中点，G、F分别为AB、CD边上的点，若AG＝2，DF＝3，∠GEF＝90°，求GF的长．
（3）拓展研究：如图3，在四边形ABCD中，∠A＝105°，∠D＝120°，E为AD的中点，G、F分别为AB、CD边上的点，若AG＝ ，DF＝2，∠GEF＝90°，求GF的长．
20．如图，在 ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点.
（1）求证：四边形EBFD为平行四边形；
（2）对角线AC分别与DE、BF交于点M、N.求证：△ABN≌△CDM.
21．如图，已知菱形ABCD的周长是48cm， AE⊥BC，垂足为E，AF⊥CD，垂足为F，∠EAF＝2∠C．
（1）求∠C的度数；
（2）已知DF的长是关于x的方程x2－5x－a＝0的一个根，求该方程的另一个根．
22． ,其中y=2
（1）求A的值
（2）已知正多边形的边数为A，求该正多边形每个内角的度数.
23．如图，已知△ABC，AD平分∠BAC交BC于点D，BC的中点为M，ME∥AD，交BA的延长线于点E，交AC于点F．
（1）求证：AE=AF；
（2）求证：BE= （AB+AC）．
24．如图，在 中. 是 边上一点， 平分 是 上一点，Q是 边上一点.且 .
（1）若 ，直接写出 的度数（用含 的式子表示）.
（2）求证： .
25．我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形．
（1）如图1，四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点．
求证：中点四边形EFGH是平行四边形；
（2）如图2，点P是四边形ABCD内一点，且满足PA=PB，PC=PD，∠APB=∠CPD，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，猜想中点四边形EFGH的形状，并证明你的猜想；
（3）若改变（2）中的条件，使∠APB=∠CPD=90°，其他条件不变，直接写出中点四边形EFGH的形状．（不必证明）
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第4章 平行四边形 单元综合强化提升卷
一、单选题
1．下面的图案是中国品牌新能源汽车标志，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：A.该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故A选项不符合题意.
B.该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故B选项不符合题意.
C.该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故C选项符合题意.
D.该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故D选项不符合题意.
故答案为：B.
【分析】考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，熟悉的理解轴对称图形与中心对称图形的区别即可求出本题的答案.
2．如图，跷跷板的支柱经过它的中点O，且垂直于地面于点C，当它的一端A着地时，另一端B离地面的高度为（ ）
A．0.6m B．1m C．1.1m D．1.2m
【答案】D
3．如图，平行四边形的对角线交于点，且，的周长为19，则的两条对角线的和是（ ）
A．12 B．13 C．26 D．24
【答案】D
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，AB=CD=7，
∵的周长为19，
∴OC+OD=12，
∴的两条对角线的和是2（OC+OD）=24，
故答案为：D
【分析】先根据平行四边形的性质即可得到OA=OC，OB=OD，AB=CD=7，进而根据三角形的周长结合题意即可求解。
4．如图，在 ABCD中，以点C为圆心，适当长度为半径作弧，分别交CD、BC于点F、G，再分别以点F、G为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点H，作射线CH交AD于点E，连接BE，若DE＝5，AE＝3，BE＝4，则CE的长为（ ）
A． B． C． D．8
【答案】B
【解析】【解答】解：由作法得CE平分∠BCD，
∴∠BCE=∠DCE，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，AB=CD，
∵AD∥BC，
∴∠BCE=∠DEC，
∴∠DEC=∠DCE，
∴DC=DE=5，
∴AB=5，
在△ABE中，∵AE=3，BE=4，AB=5，
∴AE2+BE2=AB2，
∴△ABE为直角三角形，∠AEB=90°，
∵AD∥BC，
∴∠CBE=∠AEB=90°，
在Rt△BCE中，CE=．
故答案为：B．
【分析】利用四边形ABCD为平行四边形求得AB，根据勾股定理逆定理证得△ABE为直角三角形，在根据勾股定理即可解得CE。
5．如图，在△ABC中，M，N分别是边AB，AC上的点，延长MN至点P，连接PC，∠P+∠BCP=180°，要使四边形MBCP为平行四边形，甲、乙、丙三位同学给出三种不同的方案：
甲：添加BM=PC；乙：添加；丙：添加MP=BC．则正确的方案（ ）
A．只有甲、乙才对 B．只有乙、丙才对
C．只有甲、丙才对 D．甲、乙、丙都对
【答案】B
【解析】【解答】解：∵∠P+∠BCP=180°，
∴MP//BC，
甲：添加BM=PC后，一组对边平行，另一组对边相等，不能证明四边形MBCP为平行四边形；
乙：添加BM//PC后，满足两组对边分别平行，能证明四边形MBCP为平行四边形；
丙：添加MP=BC后，满足一组对边平行且相等，能证明四边形MBCP为平行四边形；
综上可知，只有乙、丙才对.
故答案为：B.
【分析】首先根据同旁内角互补，两直线平行推出MP∥BC，利用平行四边形的判定方法“两组对边分别平行得四边形是平行四边形”及“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”逐项分析判断即可.
6．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知点A，B的坐标分别是（2，0），（4，2），若在x轴下方有一点P，使以O，A，P为顶点的三角形与△OAB全等，则满足条件的P点的坐标是（ ）
A．（4，﹣2） B．（﹣4，﹣2）
C．（4，﹣2）或（﹣2，﹣2） D．（4，﹣2）或（﹣4，﹣2）
【答案】C
【解析】【解答】解：点P关于x轴的对称点为点B，
点P1的坐标为（4，-2），
在△OAB和△OAP1中，
∵ ，
∴△OAB和△OAP1（SSS），
过点A作AP∥BO，过点O作OP∥BA，
则四边形PABO为平行四边形，
所以OP=AB，AP=OB，
在△OAP和△AOB中，
∵ ，
△OAP≌△AOB（SSS），
∴ ， ，
点P（-2，-2），
∴满足条件的P点的坐标（-2，-2）或（4，-2）.
故答案为：C.
【分析】点P关于x轴的对称点为点B，点P1的坐标为（4，-2），证明△OAB和△OAP1，过点A作AP∥BO，过点O作OP∥BA，则四边形PABO为平行四边形，得到OP=AB，AP=OB，证明△OAP≌△AOB，据此不难求出点P的坐标.
7．如图，在中，连接，，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD 是平行四边形
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：B．
【分析】
根据平行四边形的性质可得，由，求出的值，进而可得．
8．如图，DE垂直平分△ABC的边AB，交CB的延长线于点D，交AB于点E，F是AC的中点，连接AD、EF．若AD＝5，CD＝9，则EF的长为（ ）
A．3 B．2.5 C．2 D．1.5
【答案】C
9．如图，的面积为，点为边上的一点，延长交的平行线于点，连接，以、为邻边作平行四边形，交边于点，连结，当时，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
10．如图，，点D在BC边上，，EC、ED与AB交于点F、G，则下列结论不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：A、∵，
∴AC=CD，故A正确；
B、∵，
∴∠B=∠E，
∵，
∴，
∴∠ABC=90°，故B正确；
C、∵，
∴∠B=∠E，
∵∠B+∠BGD=90°，∠BGE=∠EGF，
∴∠E+∠EGF=90°，
∴∠EFG=90°，
∴，故C正确；
D、若EG=BG，
又∵B=∠E， ∠BGD=∠EGF，
∴△BGD≌△EGF，
∴DG=FG，
∴BF=BG+GF=EG+DG=DE=BC，这与BF故答案为：D．
【分析】（1）根据全等三角形的性质（全等三角形对应边相等）可判断A正确；
（2）根据全等三角形的性质（全等三角形对应角相等）和 可判断B正确；
（3）根据全等三角形的性质（全等三角形对应角相等）和直角三角形两锐角互余可判断C正确；
（4）可假设EG=BG，通过推理证明△BGD≌△EGF，进而证明BF=BC，所以D错误.
二、填空题
11．如图，在平行四边形中，为对角线，E、F分别是、的中点，连接．若，则的长为 ．
【答案】6
12．如图，在 中， 平分 ，垂足为点D，点M是 的中点，如果 ，那么 ．
【答案】
【解析】【解答】解：延长AD交BC于E，如图，
在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，
∴BC= ，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠ECD，
∵CD⊥AD，
∴∠CDA=∠CDE=90°，
在△CDA和△CDE中，
，
∴△CDA≌△CDE（ASA），
∴AD=ED，CE=CA=10，
∵点M是AB的中点，
∴DM为△ABE的中位线，
∴DM= BE= （BC-CE）= ×（ ）= ，
故答案为： ．
【分析】延长AD交BC于E，先利用勾股定理求出AC的长，再证明△CDA≌△CDE得到AD=ED，CE=CA=10，然后利用三角形中位线的定理求解即可。
13．如果一个多边形的内角和等于它的外角和的2倍，那么这个多边形是 边形．
【答案】六
【解析】【解答】解：设多边形的边数为n，
根据题意得（n-2）×180°=2×360°，
∴n=6，
∴这个多边形时六边形.
故答案为：六.
【分析】设多边形的边数为n，再根据内角和为（n-2）×180°，外角和为360°，列出方程，解方程求出n的值，即可得出答案.
14．若正多边形的一个外角是72°，则该正多边形的内角和是 。
【答案】540°
【解析】【解答】解：∵正多边形的一个外角是72°，
∴这个正多边形的边数为360°÷72°=5.
∴这个正多边形的内角和为：（5-2）×180°=540°.
故答案为：540°.
【分析】利用360°÷一个外角的度数求出这个正多边形的边数，再利用n边形的内角和为（n-2）×180°，代入计算可求出结果。
15．一个多边形的内角和比外角和的3倍多180°，则它的边数是 ．
【答案】9
【解析】【解答】解：根据题意，得
（n﹣2） 180°=3×360°+180°，
解得：n=9．
则这个多边形的边数是9．
故答案为：9．
【分析】多边形的内角和比外角和的3倍多180°，而多边形的外角和是360°，则内角和是3×360°+180°．n边形的内角和可以表示成（n﹣2） 180°，设这个多边形的边数是n，得到方程，从而求出边数．
16．如图，在 ABCD中，AD=2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，连接EF，CF，则下列结论中一定成立的是 ．(把所有正确结论的序号都填在横线上)
①∠DCF= ∠BCD；②EF=CF；③S△BEC=2S△CEF；④∠DFE=3∠AEF．
【答案】①②④
【解析】【解答】解：如图，
①∵F是AD的中点，
∴AF=FD，
∵在 ABCD中，AD=2AB，
∴AF=FD=CD，
∴∠DFC=∠DCF，
∵AD∥BC，
∴∠DFC=∠FCB，
∴∠DCF=∠BCF，
∴∠DCF=∠BCD，符合题意；
② 延长EF，交CD延长线于M，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠A=∠MDF，
∵F为AD中点，
∴AF=FD，
在△AEF和△DFM中，
∠A=∠FDMAF=DF∠AFE=∠DFM，
∴△AEF≌△DMF(ASA)，
∴FE=MF，∠AEF=∠M，
∵CE⊥AB，
∴∠AEC=90 ，
∴∠AEC=∠ECD=90 ，
∵FM=EF，
∴FC=EF，符合题意；
③∵EF=FM，
∴S△EFC=S△CFM，
∵BE∴S△BEC∴S△BEC<2S△EFC
故S△BEC<2S△CEF， 不符合题意；
④设∠FEC=x，则∠FCE=x，
∴∠DCF=∠DFC=90 x，
∴∠EFC=180 2x，
∴∠EFD=90 x+180 2x=270 3x，
∵∠AEF=90 x，
∴∠DFE=3∠AEF，符合题意。
故答案为：①②④.
【分析】由等边对等角，两直线平行内错角相等，等量代换推得∠DCF等于∠BCF，则∠DCF=∠BCD；延长EF，交CD延长线于M，分别利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质得出△AEF≌△DMF（ASA），得FE=MF，再利用直角三角形斜面中线等于斜边一半，得EF=FC； CF为△ECM的中线，把△ECM的面积平分，△BEC和△ECM等高不同底，BE三、综合题
17．如图
（1）求图形中的x的值；
（2）求：∠A、∠B、∠C、∠D的度数。
【答案】（1）解：依题意有：3x+3x+4x+2x =360°，
解得x=30°
（2）解：∠A=∠B=3×30°=90°，∠C=2×30°=60°，∠D=4×30°=120°
【解析】【分析】（1）根据四边形内角和等于360°，列出关于x的一元一次方程，即可求解；
（2）求出x的值，代入各个内角的代数式，即可.
18．已知在四边形中，E，F分别是边，的中点．
（1）如图1，若，，，．求的长；
（2）如图2，若．求证：．
【答案】（1）解：如图1，取的中点H，连接，
∵，，
∴分别是的中位线
∴，，，
∴，，，
∴
∴
在中，由勾股定理得
∴的长为5．
（2）证明：如图2，取的中点G，连接，
∵，，
∴分别是的中位线
∴，，，
∴，
∵
∴
在中，由勾股定理得
∴
∴．
【解析】【分析】（1）取的中点H，连接，，由，，，得出分别是的中位线，利用勾股定理即可得出答案；
（2）取的中点G，连接，，由，，，得出分别是的中位线，在中，由勾股定理得，求解即可。
19．如图
（1）方法回顾：在学习三角形中位线时，为了探索三角形中位线的性质，思路如下：
第一步添加辅助线：如图1，在 中，延长 （ 分别是 的中点）到点 ，使得 ，连接 ；
第二步证明 ，再证四边形 是平行四边形，从而得出三角形中位线的性质结论： （请用DE与BC表示）
（2）问题解决：如图2，在正方形ABCD中，E为AD的中点，G、F分别为AB、CD边上的点，若AG＝2，DF＝3，∠GEF＝90°，求GF的长．
（3）拓展研究：如图3，在四边形ABCD中，∠A＝105°，∠D＝120°，E为AD的中点，G、F分别为AB、CD边上的点，若AG＝ ，DF＝2，∠GEF＝90°，求GF的长．
【答案】（1）DE∥BC，DE= BC
（2）解：如图2，延长GE、FD交于点H，∵E为AD中点，∴EA=ED，且∠A=∠EDH=90°，在△AEG和△DEH中∴△AEG≌△DEH(ASA)
∴AG=HD=2， EG=EH
∵∠GEF=90°
∴EF垂直平分GH，
∴GF=HF=DH+DF=2+3=5；
（3）解：如图3，过点D作AB的平行线交GE的延长线于点H，过H作CD的垂线，垂足为P，连接HF：同(1)可知△AEG≌△DEH，GF=HF
△AEG≌△HDE ，AG=HD=
∵∠ADC=120°
∠HDF=360°-105°-120°=135°
∴∠HDP=45°
∴△PDH为等腰直角三角形
∴PH=PD=1
又∵DF=2
∴PF=3
∴GF=HF= ，
【解析】【分析】 (1)在 Δ A B C 中，延长 D E 到点 F ，使得 E F = D E ，连接 C F ；然后根据SAS判断出 Δ A D E Δ C F E ，得出AD=CF，∠A=∠ACF，根据内错角相等两直线平行得出AD∥CF，然后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判断出四边形 D B C F 是平行四边形，根据平行四边形对边相等且平行得出DF=BC，DF∥BC，从而得出结论DE∥BC，DE= BC；
（2），延长GE、FD交于点H，根据中点定义及正方形的性质得出EA=ED，∠A=∠EDH=90°，然后根据ASA判断出AG=HD=2， EG=EH，进而判断出EF垂直平分GH，根据垂直平分线的性质，垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得出GF=HF=DH+DF=2+3=5；
（3）过点D作AB的平行线交GE的延长线于点H，过H作CD的垂线，垂足为P，连接HF：同(1)可知△AEG≌△DEH，GF=HF ，△AEG≌△HDE ，AG=HD= ，然后根据二直线平行内错角相等，及周角的定义，得出∠HDF=360°-105°-120°=135°，进而根据平角的定义得出∠HDP=45°，从而判断出△PDH为等腰直角三角形，根据等腰三角形的性质得出PH=PD=1，根据线段的和差得出PF=3，根据勾股定理即可得出答案。
20．如图，在 ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点.
（1）求证：四边形EBFD为平行四边形；
（2）对角线AC分别与DE、BF交于点M、N.求证：△ABN≌△CDM.
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∵E、F分别是AB、CD的中点，
∴BE=DF，
∵BE∥DF，
∴四边形EBFD为平行四边形；
（2）证明：∵四边形EBFD为平行四边形，
∴DE∥BF，
∴∠CDM=∠CFN，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD.
∴∠BAC=∠DCA，∠ABN=∠CFN，
∴∠ABN=∠CDM，在△ABN与△CDM中，
∵∠BAN=∠DCM，AB=CD，∠ABN=∠CDM，
∴△ABN≌△CDM （ASA）.
【解析】【分析】（1）由平行四边形的性质得AB∥CD，AB=CD，进而根据中点的定义得BE=DF，根据对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形EBFD为平行四边形；
（2）根据平行四边形的对边平行且相等可得DE∥BF， AB∥CD，AB=CD，根据平行线的性质可得∠CDM=∠CFN， ∠BAC=∠DCA，∠ABN=∠CFN， 推出∠ABN=∠CDM， 用ASA得△ABN≌△CDM.
21．如图，已知菱形ABCD的周长是48cm， AE⊥BC，垂足为E，AF⊥CD，垂足为F，∠EAF＝2∠C．
（1）求∠C的度数；
（2）已知DF的长是关于x的方程x2－5x－a＝0的一个根，求该方程的另一个根．
【答案】（1）解：∵AE⊥BC，AF⊥CD
∴∠F＝∠E＝900
在四边形AECF中，
∠C＋∠FAE＝180°
∵∠EAF＝2∠C
∴∠C＝60°
（2）解：∵菱形ABCD的周长是48cm
∴AD＝12 cm ∠ADC＝1200
∴∠ADF＝600
在Rt△ADF中，∠DAF＝300
∴DF＝ AD＝6cm
DF的长是关于x的方程x2－5x－a＝0的一个根
设方程的另外一个根为x1
根据根与系数的关系得：x1＋6＝5
∴x1＝－1
该方程的另一个根为－1
【解析】【分析】（1）根据∠EAF＝2∠C和四边形的内角和即可求解；（2）根据含30°的直角三角形求出DF的长，设方程的另外一个根为x1，根据根与系数的关系即可求解.
22． ,其中y=2
（1）求A的值
（2）已知正多边形的边数为A，求该正多边形每个内角的度数.
【答案】（1）解：A= =-12xy2+12xy2+4y=4y,
代入y=2,原式=8，即A=8
（2）解：正多边形的内角和为（8-2）×180°=1080°，故每个内角为1080°÷8=135°
【解析】【分析】（1）先利用整式的乘法法则化简A，代入求出A的值；（2）先求出正多边形的内角和，再除以边数即可.
23．如图，已知△ABC，AD平分∠BAC交BC于点D，BC的中点为M，ME∥AD，交BA的延长线于点E，交AC于点F．
（1）求证：AE=AF；
（2）求证：BE= （AB+AC）．
【答案】（1）证明：∵DA平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∵AD∥EM，
∴∠BAD=∠AEF，∠CAD=∠AFE，
∴∠AEF=∠AFE，
∴AE=AF
（2）证明：作CG∥EM，交BA的延长线于G．
∵EF∥CG，
∴∠G=∠AEF，∠ACG=∠AFE，
∵∠AEF=∠AFE，
∴∠G=∠ACG，
∴AG=AC，
∵BM=CM．EM∥CG，
∴BE=EG，
∴BE= BG= （BA+AG）= （AB+AC）．
【解析】【分析】（1）欲证明AE=AF，只要证明∠AEF=∠AFE即可．（2）作CG∥EM，交BA的延长线于G，先证明AC=AG，再证明BE=EG即可解决问题．本题考查三角形中位线定理、角平分线的性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是添加辅助线，构造等腰三角形，以及三角形中位线，属于中考常考题型．
24．如图，在 中. 是 边上一点， 平分 是 上一点，Q是 边上一点.且 .
（1）若 ，直接写出 的度数（用含 的式子表示）.
（2）求证： .
【答案】（1）a
（2）证明：连接PC
∵AB=AC， 平分
∴AD垂直平分BC
∵P是AD上一点
∴PB=PC
在△ABP和△ACP中
∴△ABP≌△ACP（SSS）
∴∠ABP=∠ACP
又由（1）已证
∴
∴PQ=PC
∴PB=PQ
【解析】【解答】解：（1）在四边形ABPQ中，
∴
∵
∴
故答案为：a.
【分析】（1）由四边形的内角和等于360°并结合已知可求得∠ABP+∠AQP=180°，根据邻补角的意义得∠CQP+∠AQP=180°，由同角的补角相等可求解；
（2）连接PC，由等腰三角形的三线合一可得AD垂直平分BC，在△ABP和△ACP中，用边边边可证△ABP≌△ACP，由全等三角形的对应角相等可得∠ABP=∠ACP，结合（1）的结论得∠ACP=∠CQP，再根据等角对等边和线段的垂直平分线的性质可求解.
25．我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形．
（1）如图1，四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点．
求证：中点四边形EFGH是平行四边形；
（2）如图2，点P是四边形ABCD内一点，且满足PA=PB，PC=PD，∠APB=∠CPD，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，猜想中点四边形EFGH的形状，并证明你的猜想；
（3）若改变（2）中的条件，使∠APB=∠CPD=90°，其他条件不变，直接写出中点四边形EFGH的形状．（不必证明）
【答案】（1）证明：如图1中，连接BD．
∵点E，H分别为边AB，DA的中点，
∴EH∥BD，EH= BD，
∵点F，G分别为边BC，CD的中点，
∴FG∥BD，FG= BD，
∴EH∥FG，EH=GF，
∴中点四边形EFGH是平行四边形．
（2）四边形EFGH是菱形．
证明：如图2中，连接AC，BD．
∵∠APB=∠CPD，
∴∠APB+∠APD=∠CPD+∠APD
即∠APC=∠BPD，
在△APC和△BPD中，
，
∴△APC≌△BPD，
∴AC=BD
∵点E，F，G分别为边AB，BC，CD的中点，
∴EF= AC，FG= BD，
∵四边形EFGH是平行四边形，
∴四边形EFGH是菱形．
（3）四边形EFGH是正方形．
证明：如图2中，
设AC与BD交于点O．AC与PD交于点M，AC与EH交于点N．
∵△APC≌△BPD，
∴∠ACP=∠BDP，
∵∠DMO=∠CMP，
∴∠COD=∠CPD=90°，
∵EH∥BD，AC∥HG，
∴∠EHG=∠ENO=∠BOC=∠DOC=90°，
∵四边形EFGH是菱形，
∴四边形EFGH是正方形．
【解析】【分析】（1）如图1中，连接BD，根据三角形中位线定理只要证明EH∥FG，EH=FG即可．（2）四边形EFGH是菱形．先证明△APC≌△BPD，得到AC=BD，再证明EF=FG即可．（3）四边形EFGH是正方形，只要证明∠EHG=90°，利用△APC≌△BPD，得∠ACP=∠BDP，即可证明∠COD=∠CPD=90°，再根据平行线的性质即可证明．
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