第4章 《平行四边形》4.4 平行四边形的判定（2）—浙教版数学八（下） 课堂达标测试
一、选择题（每题5分，共25分）
1．（2020八下·泸县期末）在下列条件中，不能判定四边形为平行四边形的是（ ）
A．对角线互相平分
B．一组对边平行且相等
C．两组对边分别平行
D．一组对边平行，另一组对边相等
2．（2023八下·荔城期末）如图，在四边形中，对角线、相交于点，下列条件不能判定四边形为平行四边形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024八下·涧西期中）如图，四边形的对角线交于点，下列能判断四边形是平行四边形的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
4．（2024八下·新会期末）四边形中，对角线、相交于点，给出下列四个条件：；；；，从中任选两个条件，能使四边形为平行四边形的选法有( )
A．种 B．种 C．种 D．种
5．（2024八下·金沙期末）如图，在中，对角线与相交于点，要在对角线上找点，，分别连接，，，，使四边形为平行四边形.现有甲、乙两种方案，下列说法正确的是（ ）
甲方案：只需要满足；
乙方案：只需要满足.
A．只有甲方案正确 B．只有乙方案正确
C．甲、乙方案都正确 D．甲、乙方案都不正确
二、填空题（每题5分，共25分）
6．（2023八下·南海期末）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，E，F是对角线AC上两点，给出下列4个条件：①；②DE=BF；③；④，其中不能判定四边形DEBF是平行四边形的是 ；
7．（2024八下·宜州期中）如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，有以下条件：①∠BAD＝∠BCD，∠ABC＝∠ADC；②AB＝CD，AD＝AC；③AD//BC，AB＝CD；④OA＝OC，OB＝OD．其中能判定四边形ABCD是平行四边形的是 ．（填序号）
8．（2023八下·巴中期末）在四边形中，对角线、相交于点，在下列条件中，①，，②，；③，；④，；⑤，，能够判定四边形是平行四边形有 （填序号）．
9．（2022八下·巴中期末）已知：如图，四边形 中， ，要使四边形 为平行四边形，需添加一个条件是： .(只需填一个你认为正确的条件即可)
10．（2022八下·江北期中）下列命题：
①一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；
②对角线互相平分的四边形是平行四边形；
③两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
④一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形.
其中正确的命题是 (将命题的序号填上即可).
三、解答题（共5题，共50分）
11．（2023八下·阜新期末）如图，的对角线相交于点分别是的中点，连接AE，．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若．求的长．
12．（2024八下·海珠期末）如图，中，是边上任意一点，是中点，过点作交的延长线于点，连接，．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，，，求的长．
13．（2024八下·惠阳月考）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AC与BD相交于点O，AO=CO．
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）若AC⊥BD，AB=10，求BC的长．
14．（2018-2019学年初中数学人教版八年级下册 18.1.2平行四边形的判定（2）同步练习）如图，△ABC的中线BE，CF相交于点G，已知P，Q分别是BG，CG的中点．
（1）求证：四边形EFPQ是平行四边形；
（2）请判断BG与GE的数量关系，并证明．
15．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AO=CO，EF过点O且与AD， BC分别相交于点E，F，OE=OF．
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）连结AF，若EF⊥AC，△ABF的周长是15 ，求四边形ABCD的周长．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】∵对角线互相平分的四边形是平行四边形，
∴A不符合题意；
∵一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，
∴B不符合题意；
∵两组对边分别平行的四边形是平行四边形，
∴C不符合题意；
∵一组对边平行，另一组对边相等的四边形是等腰梯形，不一定是平行四边形，
∴D符合题意；
故答案为：D.
【分析】对角线互相平分的四边形、一组对边平行且相等的四边形、两组对边分别平行的四边形是平行四边形，据此逐一判断即可.
2．【答案】B
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A、根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可以判定，不符合题意；
B、无法判定，四边形可能是等腰梯形，也可能是平行四边形，符合题意；
C、根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可以判定，不符合题意；
D、根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可以判定，不符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据平行四边形的判定定理逐项进行判断即可求出答案.
3．【答案】C
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：根据，，不能判定四边形是平行四边形，故A不符合题意；
根据，，不能判定四边形是平行四边形，故B不符合题意；
，
，，
，
，
四边形是平行四边形，故C符合题意；
根据，，不能判定四边形是平行四边形，故D不符合题意；
故选：C.
【分析】根据平行四边形的判定方法对各个选项逐一进行判断．
4．【答案】C
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：如图，
条件1：； ，
，
四边形ABCD是平行四边形；
条件2：； ，
，
四边形ABCD是平行四边形；
条件3：； ，
，
，
，
，
，
四边形ABCD是平行四边形；
条件4：； ，
，
，
，
，
，
四边形ABCD是平行四边形.
故答案为：C.
【分析】对角线互相平分的四边形是平行四边形.
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
5．【答案】C
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：甲方案：在 ABCD中，OA=OC，OB=OD．
∵BF=DE，
∴BF-EF=DE-EF，即BE=DF．
∴OB-BE=OD-DF，即OE=OF．
在四边形AECF中，∵OA=OC，OE=OF，
∴四边形AECF为平行四边形．
故该方案符合题意．
乙方案：在 ABCD中，OA=OC，∠AOE=∠COF．
∵AE∥CF，
∴∠EAO=∠FCO．
在△AOE与△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（ASA）．
∴AE=CF．
在四边形AECF中，∵AE∥CF、AE=CF，
∴四边形AECF为平行四边形．
故该方案符合题意．
观察选项，选项C符合题意．
故答案为：C．
【分析】甲方案：根据平行四边形ABCD的对角线互相平分的性质得到OA=OC，OB=OD；结合BF=DE推知OE=OF；在四边形AECF中，对角线互相平分，则该四边形是平行四边形；
乙方案：首先证明△AOE≌△COF，然后由该全等三角形的对应边相等推知AE=CF，则由“AE∥CF、AE=CF”可以判定四边形AECF为平行四边形．
6．【答案】②③
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】①∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO，BO=DO，
又∵OE=OF，
∴四边形DEBF是平行四边形，故①正确，不符合题意，①错误；
②当DE=BF时，根据已知条件不能证明四边形DEBF是平行四边形，故②符合题意，②正确；
③.当时，不能证明四边形DEBF是平行四边形，故③符合题意，③正确；
④.当时，根据已知可得，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴四边形DEBF是平行四边形；故④正确，不符合题意，④错误；
故答案是②③．
【分析】本题考查平行四边形的性质和判断.根据平行四边形的性质可得AO=CO，BO=DO，再结合OE=OF，利用平行四边形的判定定理可证明四边形DEBF是平行四边形，据此可判断说法①；当DE=BF时，利用平行四边形的判定定理不能证明四边形DEBF是平行四边形，据此可判断说法②；当 时，利用平行四边形的判定定理不能证明四边形DEBF是平行四边形，据此可判断说法③；根据题意可得，，利用全都三角形的判定定理可证明，利用全等三角形的性质可得，，进而可推出，利用平行四边形的判定定理可证明四边形DEBF是平行四边形，据此可判断说法④.
7．【答案】①④
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：①∵，，
∴四边形是平行四边形，①正确；
②∵，，不能判定四边形是平行四边形，②错误；
③∵，，不能判定四边形是平行四边形，可能是等腰梯形，③错误；
④∵，，∴ 四边形是平行四边形，④正确；
故答案为：①④.
【分析】根据两组对角分别相等的四边形是平行四边形可判断①；根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形可判断②；根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可判断③；根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可判断④；
8．【答案】①②④⑤
【知识点】三角形全等及其性质；平行四边形的判定
【解析】【解答】解：①∵AB//CD，AD//BC，
∴四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形），
∴①符合题意；
②∵AB=CD，AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形），
∴②符合题意；
③∵AB//CD，AD=BC，
∴该情况不能判定平行四边形，
∴③不符合题意；
④∵OA=OC，OB=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形），
∴④符合题意；
⑤∵AB//CD，
∴∠ABD = ∠BDC，
∵∠ABD = ∠BDC， ∠BAD= ∠BCD， BD= BD，
∴△ABD≌△CDB，
∴AB= CD，
∴四边形ABCD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），
∴⑤符合题意；
综上所述： 能够判定四边形是平行四边形有①②④⑤，
故答案为：①②④⑤.
【分析】根据平行四边形的判定方法，全等三角形的判定与性质，结合图形，判断求解即可。
9．【答案】BO=OD(答案不唯一)
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：∵OA=OC，OB=OD，
∴四边形 为平行四边形（对角线互相平分的四边形为平行四边形），
故答案为：BO=OD.
【分析】由于OA=OC，根据对角线互相平分的四边形为平行四边形，则可添加条件BO=OD.
10．【答案】②③④
【知识点】平行四边形的判定；真命题与假命题
【解析】【解答】解：一组对边平行，且这组对边相等的四边形是平行四边形，所以①错误；
对角线互相平分的四边形是平行四边形，所以②正确；
两组对角分别相等的四边形是平行四边形，所以③正确；
一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形，所以④正确.
故答案为：②③④.
【分析】 一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形，只有当一组对边平行，且这组对边相等的四边形是平行四边形，据此判断①；由平行四边形的判定方法，对角线互相平分的四边形是平行四边形，据此判断②；由平行四边形的判定方法，两组对角分别相等的四边形是平行四边形，据此判断③；由平行四边形的判定方法，一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形，据此判断④.
11．【答案】（1）证明：四边形ABCD是平行四边形，
，
是的中点，
．
同理：．
，
四边形是平行以边形；
（2）解：由（1）可知：，
，
，，
根据勾股定理得：
.
.
在中，由勾股定理得：
，
.
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；平行四边形的判定
【解析】【分析】（1）根据平行四边形性质证明AO=CO，BO=DO，根据E，F分别是BO，OD的中点，证明OF=OE，从而根据对角线互相平分的四边形为平行四边形，证明四边形是平行四边形；
（2）勾股定理求出线段AC的长度，得到AO的长，然后再根据勾股定理求出BO的长，即可求出答案
12．【答案】（1）证明：，
，，
又，
≌，
，
又，
四边形是平行四边形；
（2）解：如图，作于，
，
，
由勾股定理得，，
解得，，
，
由勾股定理得，，
的长为．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定
【解析】【分析】(1)由平行的性质得，，由中点得AF=BF，可得≌，即可得ADBE为平行四边形；
(2)作AGBC，利用勾股定理可得AB、BG、AG的长，即可得CG的长，由勾股定理得AC的长.
13．【答案】（1）证明：∵，
∴，
在和中，
∴，
∴AB=CD，
∵AB∥CD，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：∵由勾股定理得：，，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定
【解析】【分析】（1）根据平行线的性质得到，然后利用"ASA"证明，得到进而根据平行四边形的判定定理即可求解；
（2）利用勾股定理得到：，，即可证明，进而即可求解.
14．【答案】（1）证明：∵BE，CF是三角形ABC的中线
∴EF为三角形ABC的中位线
∴EF∥BC且EF=BC，同理可得PQ∥BC且PQ=BC
∴EF∥PQ，EF=PQ
∴四边形EFPQ为平行四边形。
（2）解：∵四边形EFPQ为平行四边形
∴GE=PG，GF=OG
∵P为BG的中点
∴BG=2PG
∵GE=PG，BG=2PG
∴BG=2GE。
【知识点】平行四边形的性质；平行四边形的判定
【解析】【分析】（1）根据三角形的中位线定理进行证明，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可进行证明。
（2）根据平行四边形的对角线互相平分和线段中点的含义，即可解答题目。
15．【答案】（1）证明∵AO=CO，∠AOE=∠COF，OE=OF，
∴△AOE≌△COF(SAS)，
∴∠OAE=∠OCF，
∵AD∥BC，∴∠EDO= ∠FBO．
又∵OE=OF，∠EOD= ∠FOB，
∴△EOD≌△FOB(AAS)，
∴OD=OB．
∵OA=OC，∴四边形ABCD是平行四边形．
（2）解：∵EF⊥AC，AO=CO，
∴AF=FC，
∴AB+BF+AF=AB+BF+FC=15，
即AB+BC=15，
∴ABCD的周长= 2(AB+BC)= 2×15=30．
【知识点】线段垂直平分线的性质；平行四边形的性质；平行四边形的判定
【解析】【分析】（1）由可证，可得，由可证，可得，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，即可证明四边形是平行四边形；
（2）由线段中垂线的性质可得，可得，即可求四边形的周长．
1 / 1第4章 《平行四边形》4.4 平行四边形的判定（2）—浙教版数学八（下） 课堂达标测试
一、选择题（每题5分，共25分）
1．（2020八下·泸县期末）在下列条件中，不能判定四边形为平行四边形的是（ ）
A．对角线互相平分
B．一组对边平行且相等
C．两组对边分别平行
D．一组对边平行，另一组对边相等
【答案】D
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】∵对角线互相平分的四边形是平行四边形，
∴A不符合题意；
∵一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，
∴B不符合题意；
∵两组对边分别平行的四边形是平行四边形，
∴C不符合题意；
∵一组对边平行，另一组对边相等的四边形是等腰梯形，不一定是平行四边形，
∴D符合题意；
故答案为：D.
【分析】对角线互相平分的四边形、一组对边平行且相等的四边形、两组对边分别平行的四边形是平行四边形，据此逐一判断即可.
2．（2023八下·荔城期末）如图，在四边形中，对角线、相交于点，下列条件不能判定四边形为平行四边形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A、根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可以判定，不符合题意；
B、无法判定，四边形可能是等腰梯形，也可能是平行四边形，符合题意；
C、根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可以判定，不符合题意；
D、根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可以判定，不符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据平行四边形的判定定理逐项进行判断即可求出答案.
3．（2024八下·涧西期中）如图，四边形的对角线交于点，下列能判断四边形是平行四边形的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：根据，，不能判定四边形是平行四边形，故A不符合题意；
根据，，不能判定四边形是平行四边形，故B不符合题意；
，
，，
，
，
四边形是平行四边形，故C符合题意；
根据，，不能判定四边形是平行四边形，故D不符合题意；
故选：C.
【分析】根据平行四边形的判定方法对各个选项逐一进行判断．
4．（2024八下·新会期末）四边形中，对角线、相交于点，给出下列四个条件：；；；，从中任选两个条件，能使四边形为平行四边形的选法有( )
A．种 B．种 C．种 D．种
【答案】C
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：如图，
条件1：； ，
，
四边形ABCD是平行四边形；
条件2：； ，
，
四边形ABCD是平行四边形；
条件3：； ，
，
，
，
，
，
四边形ABCD是平行四边形；
条件4：； ，
，
，
，
，
，
四边形ABCD是平行四边形.
故答案为：C.
【分析】对角线互相平分的四边形是平行四边形.
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
5．（2024八下·金沙期末）如图，在中，对角线与相交于点，要在对角线上找点，，分别连接，，，，使四边形为平行四边形.现有甲、乙两种方案，下列说法正确的是（ ）
甲方案：只需要满足；
乙方案：只需要满足.
A．只有甲方案正确 B．只有乙方案正确
C．甲、乙方案都正确 D．甲、乙方案都不正确
【答案】C
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：甲方案：在 ABCD中，OA=OC，OB=OD．
∵BF=DE，
∴BF-EF=DE-EF，即BE=DF．
∴OB-BE=OD-DF，即OE=OF．
在四边形AECF中，∵OA=OC，OE=OF，
∴四边形AECF为平行四边形．
故该方案符合题意．
乙方案：在 ABCD中，OA=OC，∠AOE=∠COF．
∵AE∥CF，
∴∠EAO=∠FCO．
在△AOE与△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（ASA）．
∴AE=CF．
在四边形AECF中，∵AE∥CF、AE=CF，
∴四边形AECF为平行四边形．
故该方案符合题意．
观察选项，选项C符合题意．
故答案为：C．
【分析】甲方案：根据平行四边形ABCD的对角线互相平分的性质得到OA=OC，OB=OD；结合BF=DE推知OE=OF；在四边形AECF中，对角线互相平分，则该四边形是平行四边形；
乙方案：首先证明△AOE≌△COF，然后由该全等三角形的对应边相等推知AE=CF，则由“AE∥CF、AE=CF”可以判定四边形AECF为平行四边形．
二、填空题（每题5分，共25分）
6．（2023八下·南海期末）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，E，F是对角线AC上两点，给出下列4个条件：①；②DE=BF；③；④，其中不能判定四边形DEBF是平行四边形的是 ；
【答案】②③
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】①∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO，BO=DO，
又∵OE=OF，
∴四边形DEBF是平行四边形，故①正确，不符合题意，①错误；
②当DE=BF时，根据已知条件不能证明四边形DEBF是平行四边形，故②符合题意，②正确；
③.当时，不能证明四边形DEBF是平行四边形，故③符合题意，③正确；
④.当时，根据已知可得，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴四边形DEBF是平行四边形；故④正确，不符合题意，④错误；
故答案是②③．
【分析】本题考查平行四边形的性质和判断.根据平行四边形的性质可得AO=CO，BO=DO，再结合OE=OF，利用平行四边形的判定定理可证明四边形DEBF是平行四边形，据此可判断说法①；当DE=BF时，利用平行四边形的判定定理不能证明四边形DEBF是平行四边形，据此可判断说法②；当 时，利用平行四边形的判定定理不能证明四边形DEBF是平行四边形，据此可判断说法③；根据题意可得，，利用全都三角形的判定定理可证明，利用全等三角形的性质可得，，进而可推出，利用平行四边形的判定定理可证明四边形DEBF是平行四边形，据此可判断说法④.
7．（2024八下·宜州期中）如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，有以下条件：①∠BAD＝∠BCD，∠ABC＝∠ADC；②AB＝CD，AD＝AC；③AD//BC，AB＝CD；④OA＝OC，OB＝OD．其中能判定四边形ABCD是平行四边形的是 ．（填序号）
【答案】①④
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：①∵，，
∴四边形是平行四边形，①正确；
②∵，，不能判定四边形是平行四边形，②错误；
③∵，，不能判定四边形是平行四边形，可能是等腰梯形，③错误；
④∵，，∴ 四边形是平行四边形，④正确；
故答案为：①④.
【分析】根据两组对角分别相等的四边形是平行四边形可判断①；根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形可判断②；根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可判断③；根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可判断④；
8．（2023八下·巴中期末）在四边形中，对角线、相交于点，在下列条件中，①，，②，；③，；④，；⑤，，能够判定四边形是平行四边形有 （填序号）．
【答案】①②④⑤
【知识点】三角形全等及其性质；平行四边形的判定
【解析】【解答】解：①∵AB//CD，AD//BC，
∴四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形），
∴①符合题意；
②∵AB=CD，AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形），
∴②符合题意；
③∵AB//CD，AD=BC，
∴该情况不能判定平行四边形，
∴③不符合题意；
④∵OA=OC，OB=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形），
∴④符合题意；
⑤∵AB//CD，
∴∠ABD = ∠BDC，
∵∠ABD = ∠BDC， ∠BAD= ∠BCD， BD= BD，
∴△ABD≌△CDB，
∴AB= CD，
∴四边形ABCD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），
∴⑤符合题意；
综上所述： 能够判定四边形是平行四边形有①②④⑤，
故答案为：①②④⑤.
【分析】根据平行四边形的判定方法，全等三角形的判定与性质，结合图形，判断求解即可。
9．（2022八下·巴中期末）已知：如图，四边形 中， ，要使四边形 为平行四边形，需添加一个条件是： .(只需填一个你认为正确的条件即可)
【答案】BO=OD(答案不唯一)
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：∵OA=OC，OB=OD，
∴四边形 为平行四边形（对角线互相平分的四边形为平行四边形），
故答案为：BO=OD.
【分析】由于OA=OC，根据对角线互相平分的四边形为平行四边形，则可添加条件BO=OD.
10．（2022八下·江北期中）下列命题：
①一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；
②对角线互相平分的四边形是平行四边形；
③两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
④一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形.
其中正确的命题是 (将命题的序号填上即可).
【答案】②③④
【知识点】平行四边形的判定；真命题与假命题
【解析】【解答】解：一组对边平行，且这组对边相等的四边形是平行四边形，所以①错误；
对角线互相平分的四边形是平行四边形，所以②正确；
两组对角分别相等的四边形是平行四边形，所以③正确；
一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形，所以④正确.
故答案为：②③④.
【分析】 一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形，只有当一组对边平行，且这组对边相等的四边形是平行四边形，据此判断①；由平行四边形的判定方法，对角线互相平分的四边形是平行四边形，据此判断②；由平行四边形的判定方法，两组对角分别相等的四边形是平行四边形，据此判断③；由平行四边形的判定方法，一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形，据此判断④.
三、解答题（共5题，共50分）
11．（2023八下·阜新期末）如图，的对角线相交于点分别是的中点，连接AE，．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若．求的长．
【答案】（1）证明：四边形ABCD是平行四边形，
，
是的中点，
．
同理：．
，
四边形是平行以边形；
（2）解：由（1）可知：，
，
，，
根据勾股定理得：
.
.
在中，由勾股定理得：
，
.
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；平行四边形的判定
【解析】【分析】（1）根据平行四边形性质证明AO=CO，BO=DO，根据E，F分别是BO，OD的中点，证明OF=OE，从而根据对角线互相平分的四边形为平行四边形，证明四边形是平行四边形；
（2）勾股定理求出线段AC的长度，得到AO的长，然后再根据勾股定理求出BO的长，即可求出答案
12．（2024八下·海珠期末）如图，中，是边上任意一点，是中点，过点作交的延长线于点，连接，．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，，，求的长．
【答案】（1）证明：，
，，
又，
≌，
，
又，
四边形是平行四边形；
（2）解：如图，作于，
，
，
由勾股定理得，，
解得，，
，
由勾股定理得，，
的长为．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定
【解析】【分析】(1)由平行的性质得，，由中点得AF=BF，可得≌，即可得ADBE为平行四边形；
(2)作AGBC，利用勾股定理可得AB、BG、AG的长，即可得CG的长，由勾股定理得AC的长.
13．（2024八下·惠阳月考）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AC与BD相交于点O，AO=CO．
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）若AC⊥BD，AB=10，求BC的长．
【答案】（1）证明：∵，
∴，
在和中，
∴，
∴AB=CD，
∵AB∥CD，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：∵由勾股定理得：，，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定
【解析】【分析】（1）根据平行线的性质得到，然后利用"ASA"证明，得到进而根据平行四边形的判定定理即可求解；
（2）利用勾股定理得到：，，即可证明，进而即可求解.
14．（2018-2019学年初中数学人教版八年级下册 18.1.2平行四边形的判定（2）同步练习）如图，△ABC的中线BE，CF相交于点G，已知P，Q分别是BG，CG的中点．
（1）求证：四边形EFPQ是平行四边形；
（2）请判断BG与GE的数量关系，并证明．
【答案】（1）证明：∵BE，CF是三角形ABC的中线
∴EF为三角形ABC的中位线
∴EF∥BC且EF=BC，同理可得PQ∥BC且PQ=BC
∴EF∥PQ，EF=PQ
∴四边形EFPQ为平行四边形。
（2）解：∵四边形EFPQ为平行四边形
∴GE=PG，GF=OG
∵P为BG的中点
∴BG=2PG
∵GE=PG，BG=2PG
∴BG=2GE。
【知识点】平行四边形的性质；平行四边形的判定
【解析】【分析】（1）根据三角形的中位线定理进行证明，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可进行证明。
（2）根据平行四边形的对角线互相平分和线段中点的含义，即可解答题目。
15．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AO=CO，EF过点O且与AD， BC分别相交于点E，F，OE=OF．
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）连结AF，若EF⊥AC，△ABF的周长是15 ，求四边形ABCD的周长．
【答案】（1）证明∵AO=CO，∠AOE=∠COF，OE=OF，
∴△AOE≌△COF(SAS)，
∴∠OAE=∠OCF，
∵AD∥BC，∴∠EDO= ∠FBO．
又∵OE=OF，∠EOD= ∠FOB，
∴△EOD≌△FOB(AAS)，
∴OD=OB．
∵OA=OC，∴四边形ABCD是平行四边形．
（2）解：∵EF⊥AC，AO=CO，
∴AF=FC，
∴AB+BF+AF=AB+BF+FC=15，
即AB+BC=15，
∴ABCD的周长= 2(AB+BC)= 2×15=30．
【知识点】线段垂直平分线的性质；平行四边形的性质；平行四边形的判定
【解析】【分析】（1）由可证，可得，由可证，可得，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，即可证明四边形是平行四边形；
（2）由线段中垂线的性质可得，可得，即可求四边形的周长．
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