2025年浙江中考数学一模卷数学精选02----二次函数和反比例函数
一、单选题
1．（2025·浙江温州·一模）已知点在反比例函数（k为常数）的图象上，，则下列说法中正确的是（ ）
A．若，则 B．，则
C．若，则 D．若，则
【答案】B
【分析】本题考查了反比例函数的性质，解题关键是掌握当比例系数时，函数图象在第一、三象限内，且在每个象限内，随的增大而减小；当比例系数时，函数图象在第二、四象限内，且在每个象限内，随的增大而增大．
根据反比例函数的性质可知，函数图象在第一、三象限内，且在每个象限内，随的增大而减小，对选项逐一进行分析，即可得到答案．
【详解】解：反比例函数，，
函数图象在第一、三象限内，且在每个象限内，随的增大而减小，
A、若，则或，
当时，；当时，，
原结论不一定成立，不符合题意，选项错误；
B、若，则，
∴，原结论成立，符合题意；
C、若，当时，，
当时，，原结论不一定成立，选项错误，不合题意；
D、若，则，则
原结论不成立，选项错误，不符合题意，
故选B．
2．（2025·浙江杭州·一模）若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，解题的关键是根据反比例函数中k的符号判断图象所在象限及增减性．由可知，反比例函数图象在第一、三象限，且在每个象限内随的增大而减小，即可求解．
【详解】解：反比例函数，
反比例函数图象在第一、三象限，且在每个象限内随的增大而减小，
点在第一象限内，
，
点和在第三象限内，
，
，
故选：A
3．（2025·浙江衢州·一模）已知a是一个正数，点，，都在反比例函数的图象上，则0，，，的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，依据题意，由点，，都在反比例函数的图象上，从而，，，结合a是一个正数和反比例函数的性质可得结论．
【详解】解：由题意，∵点，，都在反比例函数的图象上，
∴，，，
∵a是一个正数，
∴，，，
又∵反比例函数的图象分布在第二、第四象限，且在每个象限内y随x的增大而增大，
∴当时，，
∴．
故选：A．
4．（24-25九年级下·浙江杭州·阶段练习）若双曲线与直线的一个交点坐标为，则关于x的不等式的解集为（ ）
A． B．或
C．或 D．或
【答案】C
【分析】本题考查反比例函数及一次函数交点问题．根据题意利用交点坐标及图像即可得到本题答案．
【详解】解：∵双曲线与直线的一个交点坐标为，
∴反比例函数经过二，四象限，一次函数经过二，四象限，另一个交点为，
∴的解集为：或，
故选：C．
5．（22-23九年级上·福建福州·期中）已知点，为抛物线y＝ax2－4ax＋c（a≠0）上两点，且＜，则下列说法正确的是（ ）
A．若＋＜4，则y1＜y2 B．若＋＞4，则y1＜y2
C．若a（＋－4）＞0，则y1＞y2 D．若a（＋－4）＜0，则y1＞y2
【答案】D
【分析】根据抛物线的图象与性质，当开口向上时，离对称轴越近的点的纵坐标越小，当开口向下时，离对称轴越近的点的纵坐标越大．
【详解】解：抛物线对称轴为直线，
当时，，
则当时，；当时，；
当时，，
则当时，；当时，；
故A、B选项都不正确；
若，则与同号，由上可知，
故C不正确；
若，则与异号，由上可知，
故D正确；
故选D．
【点睛】本题考查了抛物线的图象与性质，解题关键是掌握当图象开口向上时，离对称轴越近的点的纵坐标越小，当开口向下时，离对称轴越近的点的纵坐标越大．
6．（2025·浙江·一模）将二次函数的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得图象的函数表达式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查二次函数图象平移规律，解决本题的关键是要熟练掌握二次函数平移规律；根据二次函数平移规律：上加下减，左加右减，进行求解即可．
【详解】解：将二次函数的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得图象的函数表达式是
故选：B
7．（2025·浙江·一模）已知二次函数的图象上有四个点：，，其中，则下列结论一定不正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数的图象性质，已知抛物线上对称的两点求对称轴，不等式的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先求出对称轴，再根据或来判断出对称轴在轴的负半轴，再结合抛物线上对称的两点表示出对称轴，结合开口方向进行分析，即可作答．
【详解】解：∵，
∴对称轴为直线，
当时，则，
∴，
此时对称轴在轴的负半轴，抛物线的开口方向向上，
∴越靠近对称轴的所对应的函数值越小，
∵，，
∴点与点关于对称轴对称，点C与点D关于对称轴对称，
∴，
∴，
即，故A选项不符合题意；
∵，越靠近对称轴的所对应的函数值越小，
∴或或或，
故B选项不符合题意；
当时，则，
∴，
此时对称轴在轴的负半轴，抛物线的开口方向向下，
∴越靠近对称轴的所对应的函数值越大，
∵，，
∴点与点关于对称轴对称，点C与点D关于对称轴对称，
∴，
∴，
即，故C选项不符合题意；
∵，越靠近对称轴的所对应的函数值越大，
∴或或或，
故D选项符合题意；
故选：D．
8．（2025·浙江温州·一模）已知点，在反比例函数的图象上，下列说法正确的是（ ）．
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】C
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据反比例函数图象上点的坐标特征解答即可．
【详解】反比例函数的常量，
反比例函数的图象分布在第二、四象限，
点，在反比例函数图象上，
，，
A．若，则或，选项错误，不符合题意；
B．若，则或，选项错误，不符合题意；
C．若，则，选项正确，符合题意；
D．若，则，选项错误，不符合题意．
故选： C ．
9．（2025·浙江宁波·一模）已知一次函数的图象与反比例函数交于两点．当时，的面积为1，则当时，的面积为（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】B
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数的对称性，根据对称性求解是解题的关键．
分别联立直线和反比例函数解析式得到两次的交点关于原点成中心对称，则的面积不变，即可求解．
【详解】解：当时，联立直线与
得：，
解得：，
∴点，（顺序无关）
当联立直线与
得：，
解得：，
∴点，（顺序无关），
∴发现点与点关于原点成中心对称，点与点关于原点成中心对称，
∴，
故选：B．
10．（24-25九年级下·浙江温州·阶段练习）已知，两点在反比例函数的图象上，下列判断正确的是（ ）
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时，
【答案】A
【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，当时，反比例函数的图象位于第一、三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小，据此逐项判断即可．
【详解】解：反比例函数的图象位于第一、三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小，
∵，
当时，点，点都在第一象限，
∴，故选项A正确；
当时，，
∴点在第三象限，点在第一象限，
∴，故选项B、C错误；
当时，，则点，点都在第三象限，
∴，故选D错误；
故选：A．
二、填空题
11．（2025·浙江·一模）若二次函数的最大值不大于1，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】此题主要考查了二次函数的最值，正确掌握二次函数的性质是解题关键．先将配方成顶点式，再利用二次函数的性质求解，进而得出答案．
【详解】解：，
∵二次函数的最大值不大于1，，
∴，
∴．
故答案为：．
12．（2024·四川成都·中考真题）在平面直角坐标系中，，，是二次函数图象上三点．若，，则 （填“”或“”）；若对于，，，存在，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查二次函数的性质、不等式的性质以及解不等式组，熟练掌握二次函数的性质是解答的关键．先求得二次函数的对称轴，再根据二次函数的性质求解即可．
【详解】解：由得抛物线的对称轴为直线，开口向下，
∵，，
∴，
∴；
∵，，，，
∴，
∵存在，
∴，，且离对称轴最远，离对称轴最近，
∴，即，且，
∵，，
∴且，
解得，
故答案为：；．
13．（2025·浙江湖州·一模）如图，A是函数的图象上一点，过点A作轴，交函数的图象于点B，点C在x轴上，若的面积是2，则k的值是 ．
【答案】3
【分析】本题主要考查了根据图形面积求反比例函数系数，设点A的坐标为∶，，
根据题意可得出点B的纵坐标为：，由点B在反比例函数可得出，再根据三角形面积得出关于，即可得出k的值．
【详解】解：设点A的坐标为∶，，
∵轴，
∴点B的纵坐标为：，
∵点B在反比例函数，
∴，
解得：，
∴点，
∴，
∵点C在x轴上，轴，
∴边上的高为∶，
∵的面积是2，
即，
化简得：，
解得：，
故答案为：3．
三、解答题
14．（2025·浙江温州·一模）已知抛物线（a，b为常数）经过点，．
(1)求抛物线的函数表达式．
(2)若点B向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度后，恰好落在抛物线的顶点处，求m，n的值．
(3)点C在抛物线上，且在第一象限，若点C的纵坐标小于16，求点C的横坐标的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】本题考查了利用待定系数法求二次函数解析式，配方法把二次函数一般式化成顶点式，以及二次函数的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）根据二次函数的顶点坐标公式计算解题即可；
（3）求出和时x的值，然后根据二次函数的增减性结合图象解题即可．
【详解】（1）解：把，代入，
得解得
∴抛物线的函数表达式为．
（2）解：当时，，
∴抛物线的顶点坐标为，
∴解得
（3）令，则，解得．
令，则，解得．
∵点C在抛物线上，且在第一象限，
∴由图象可得，的取值范围是或．
15．（2025·浙江衢州·一模）对于二次函数．
(1)若二次函数的图象经过了，，三点中的某一个点．
①判定该二次函数的图象应经过上述三点中的哪一个点，并说明理由．
②当时，该函数的最小值是，求m的值．
(2)若二次函数的图象经过点，，求当时，n的取值范围．
【答案】(1)①，见解析；②
(2)
【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值．
（1）①将题目中3个点坐标分别代入验证即可；
②因为，则函数，根据二次函数的性质以及图象上点的坐标特征可知图象开口向上，对称轴是直线，与y轴交于点，则点关于直线的对称点为，根据二次函数增减性即可求得当时，该函数的最小值是；
（2）由，得到，因为，所以，解得．
【详解】（1）解：①当时，，不合题意，舍去；
当时，，
∴，符合题意，
这时二次函数的表达式是；
当时，，
∴，不合题意，舍去；
∴二次函数的图象应经过；
②∵二次函数的图象开口向上，对称轴是直线，与y轴交于点，
∴当时，y随x的增大而增大，点关于直线的对称点为，
∵当时，该函数的最小值是，
∴；
（2）解：当时代入：，
当时代入：，
∴，
∴，
∵，
∴即．
16．（2025·浙江·一模）已知二次函数（为常数）
(1)求证：不论取何值，该二次函数图象与轴总有两个公共点．
(2)若函数图象在时，总有随着的增大而先减小后增大，求的取值范围．
(3)若函数图象经过，，，，求的值（用含有的代数式表示）．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数图象与轴的交点等知识点，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
（1）利用一元二次方程根的判别式，即可解答；
（2）利用二次函数的对称轴，且图象开口向上，即可求解；
（3）先将点代入函数中，得到，再把点、点代入函数中，表示的值，进行化简即可求解．
【详解】（1）解：，
该二次函数图象与轴总有两个公共点；
（2）函数图象的对称轴为直线，图像开口向上，
根据题意，得，
解得；
（3）将点代入原函数，得，且，
，
把点、点代入原函数中，
得：，，
．
17．（24-25九年级下·浙江杭州·阶段练习）已知二次函数，其中．
(1)若二次函数经过，求二次函数解析式．
(2)若该抛物线开口向上，当时，抛物线的最高点为M，最低点为N，点M的纵坐标为9，求点M和点N的坐标．
(3)在二次函数图象上任取两点，，当时，总有，求a的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)当时，；当时，
【分析】本题主要考查二次函数的性质，熟练掌握待定系数法求函数解析式及二次函数的性质是解题的关键．
（1）把点的坐标代入函数解析式中求出即可；
（2）根据抛物线开口向上得，根据函数图象的性质确定最高点和最低点，从而得出的值，即可求出点和点的坐标；
（3）分开口方向向上和开口方向向下两种情况，根据图象的增减性分类讨论的取值范围．
【详解】（1）解：二次函数经过，
，
，
∴二次函数的解析式是．
（2）解：∵抛物线开口方向向上，
，
，
∴这个抛物线的顶点为，
∴当时，随增大而减小，当时，随增大而增大，
∴最低点，
∵，
∴当时，，
∴最高点，
∴，解得：，
∴点和点坐标为：；
（3）解：①当时，如图所示：
则有当时，随增大而减小；当时，随增大而增大，
又 ∵当时，总有，此时，
；
②当时，如图所示：
则有当时，随增大而增大，当时，随增大而减小，
又 ∵当时，总有，此时，
综上，当时，；当时，．
18．（2025·浙江·一模）已知二次函数（t为常数）的图象经过的图象顶点．
(1)求的值．
(2)若二次函数的图象经过点，求的最小值．
(3)若二次函数在时，，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)的最小值为
(3)的取值范围是
【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质.
（1）先求出的图象顶点坐标，再代入即可求出的值；
（2）将代入中，再利用二次函数的性质即可求出的最小值.
（3）先求出的对称轴，再根据时，即可求出的取值范围.
【详解】（1）解：∵，
的图象顶点坐标为，
的图象经过，
∴，
∴；
（2）解：由（1）得
的图象经过，
，
，
∴的最小值为；
（3）解：，
∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为.
∵时，，
∴，
当时， ，
解得，
∴，
∴的取值范围是．
19．（2025·浙江·模拟预测）已知二次函数的图象经过点．
(1)求二次函数解析式及其对称轴；
(2)将函数图象向上平移个单位长度，图象与轴相交于点（在原点左侧），当时，求的值；
(3)当时，二次函数的最小值为，求的值．
【答案】(1)，对称轴为直线
(2)
(3)
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数的最值，二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数的图象和性质，利用分类讨论思想，数形结合思想是解题的关键．
（1）代入点B坐标计算，求出b，再根据求出对称轴即可；
（2）设点、，则平移后抛物线的对称轴仍然为直线，通过对称轴不变来解出t，从而得出上移距离m．
（3）先求出抛物线的顶点为，再分和两种情况来讨论函数的最小值即可，注意求出的值和和得到的范围一致才是有解．
【详解】（1）解：将代入函数表达式得：，则，
即抛物线的表达式为：，
则抛物线的对称轴为直线；
（2）解：当时，
设点、，
则平移后抛物线的对称轴仍然为直线，则，
则点、的坐标分别为：、，
则新抛物线的表达式为：，
即；
（3）解：由（1）知，抛物线的顶点为，
当，即时，
抛物线在顶点处取得最小值，即，则；
当时，即时，
则抛物线在时取得最小值，即，
解得：（舍去）或6（舍去），
综上，．
20．（2025·浙江湖州·一模）在平面直角坐标系中，点的纵坐标y与横坐标x的差“”称为点A的“纵横差”．某范围内函数图象上所有点的“纵横差”中的最大值称为该范围内函数的“纵横极差”．
例如：点的“纵横差”为；函数图象上所有点的“纵横差”可以表示为，当时，的最大值为，所以函数的“纵横极差”为7．
根据定义，解答下列问题：
(1)求点的“纵横差”；
(2)求函数的“纵横极差”；
(3)若函数的“纵横极差”为4，求h的值．
【答案】(1)5
(2)
(3)或
【分析】本题主要考查了新定义下的运算，一次函数的图像和性质以及二次函数的图像和性质，掌握新定义下的运算是解题的关键．
（1）根据“纵横差”的定义求解即可．
（2）根据“纵横极差”的定义求解即可．
（3）根据“纵横极差”的定义得出的最大值为4．根据对h分三种情况，利用二次函数的图像和性质即可求解．
【详解】（1）解：点的“纵横差”为，
（2）解：因为，
所以，，
因为，
所以时，的最大值是，
所以，函数的“纵横极差”为．
（3）解：因为函数的“纵横极差”为4，
所以，当时，的最大值为4．
①若，则当时，有最大值为4，
所以，，解得．
②若，则当时，有最大值为4，
所以，，解得或（舍去）．
③若，则当时，有最大值为4，
所以，，解得（舍去）．
综上所述，或
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页2025年浙江中考数学一模卷数学精选02----二次函数和反比例函数
一、单选题
1．（2025·浙江温州·一模）已知点在反比例函数（k为常数）的图象上，，则下列说法中正确的是（ ）
A．若，则 B．，则
C．若，则 D．若，则
2．（2025·浙江杭州·一模）若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·浙江衢州·一模）已知a是一个正数，点，，都在反比例函数的图象上，则0，，，的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
4．（24-25九年级下·浙江杭州·阶段练习）若双曲线与直线的一个交点坐标为，则关于x的不等式的解集为（ ）
A． B．或
C．或 D．或
5．（22-23九年级上·福建福州·期中）已知点，为抛物线y＝ax2－4ax＋c（a≠0）上两点，且＜，则下列说法正确的是（ ）
A．若＋＜4，则y1＜y2 B．若＋＞4，则y1＜y2
C．若a（＋－4）＞0，则y1＞y2 D．若a（＋－4）＜0，则y1＞y2
6．（2025·浙江·一模）将二次函数的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得图象的函数表达式是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2025·浙江·一模）已知二次函数的图象上有四个点：，，其中，则下列结论一定不正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
8．（2025·浙江温州·一模）已知点，在反比例函数的图象上，下列说法正确的是（ ）．
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
9．（2025·浙江宁波·一模）已知一次函数的图象与反比例函数交于两点．当时，的面积为1，则当时，的面积为（ ）
A． B．1 C． D．2
10．（24-25九年级下·浙江温州·阶段练习）已知，两点在反比例函数的图象上，下列判断正确的是（ ）
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时，
二、填空题
11．（2025·浙江·一模）若二次函数的最大值不大于1，则的取值范围是 ．
12．（2024·四川成都·中考真题）在平面直角坐标系中，，，是二次函数图象上三点．若，，则 （填“”或“”）；若对于，，，存在，则的取值范围是 ．
13．（2025·浙江湖州·一模）如图，A是函数的图象上一点，过点A作轴，交函数的图象于点B，点C在x轴上，若的面积是2，则k的值是 ．
三、解答题
14．（2025·浙江温州·一模）已知抛物线（a，b为常数）经过点，．
(1)求抛物线的函数表达式．
(2)若点B向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度后，恰好落在抛物线的顶点处，求m，n的值．
(3)点C在抛物线上，且在第一象限，若点C的纵坐标小于16，求点C的横坐标的取值范围．
15．（2025·浙江衢州·一模）对于二次函数．
(1)若二次函数的图象经过了，，三点中的某一个点．
①判定该二次函数的图象应经过上述三点中的哪一个点，并说明理由．
②当时，该函数的最小值是，求m的值．
若二次函数的图象经过点，，求当时，n的取值范围．
16．（2025·浙江·一模）已知二次函数（为常数）
(1)求证：不论取何值，该二次函数图象与轴总有两个公共点．
(2)若函数图象在时，总有随着的增大而先减小后增大，求的取值范围．
(3)若函数图象经过，，，，求的值（用含有的代数式表示）．
17．（24-25九年级下·浙江杭州·阶段练习）已知二次函数，其中．
(1)若二次函数经过，求二次函数解析式．
(2)若该抛物线开口向上，当时，抛物线的最高点为M，最低点为N，点M的纵坐标为9，求点M和点N的坐标．
(3)在二次函数图象上任取两点，，当时，总有，求a的取值范围．
18．（2025·浙江·一模）已知二次函数（t为常数）的图象经过的图象顶点．
(1)求的值．
(2)若二次函数的图象经过点，求的最小值．
(3)若二次函数在时，，求的取值范围．
19．（2025·浙江·模拟预测）已知二次函数的图象经过点．
(1)求二次函数解析式及其对称轴；
(2)将函数图象向上平移个单位长度，图象与轴相交于点（在原点左侧），当时，求的值；
(3)当时，二次函数的最小值为，求的值．
20．（2025·浙江湖州·一模）在平面直角坐标系中，点的纵坐标y与横坐标x的差“”称为点A的“纵横差”．某范围内函数图象上所有点的“纵横差”中的最大值称为该范围内函数的“纵横极差”．
例如：点的“纵横差”为；函数图象上所有点的“纵横差”可以表示为，当时，的最大值为，所以函数的“纵横极差”为7．
根据定义，解答下列问题：
(1)求点的“纵横差”；
(2)求函数的“纵横极差”；
(3)若函数的“纵横极差”为4，求h的值．
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