第4章 《平行四边形》4.6 反证法---浙教版数学八（下） 课堂达标测试
一、选择题（每题5分，共25分）
1．（2024八下·辽阳期中）用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于”时，首先应假设这个直角三角形中（ ）
A．两个锐角都大于 B．两个锐角都小于
C．两个锐角都不大于 D．两个锐角都等于
【答案】A
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于”时，
应先假设两个锐角都大于45°．
故选：A．
【分析】顾名思义，反证法就是取原题设的相反条件进行论证．
2．（2023八下·江北期末）用反证法证明“在中，若，则”时，以下三个步骤正确的排列顺序是（ ）
步骤如下：
①假设在△ABC中，∠B≥90° .
②因此假设不成立，：∴∠B<90°.
③由AB=AC，得∠B=∠C≥90°，即∠B+∠C≥180°，∴∠A+∠B+∠C> 180°，这与“三角形三个内角的和等于180°”产生矛盾.
A．①③② B．①②③ C．③①② D．③②①
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；反证法
【解析】【解答】解：由题意知，第2步是反证法的结论，
∴排除B和D选项，
所以B和D选项，错误.
∵第3步既有原因又有结果，不能作为假设的结果，
∴C选项错误.
故答案为：A.
【分析】根据反证法的一般步骤即可求出，一般步骤为：假设命题成立；根据假设出发，推理论证，得出矛盾；由矛盾判断假设不成立，原命题正确.
3．（2024八下·杭州期末）若用反证法证明命题“在中，若，则”，则应假设（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：由题意，应假设，
故答案为：B．
【分析】根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，从而推出与已知条件（或已学过的性质等）相矛盾的结论，于是可得原假设不成立，原命题得证．
4．用反证法证明 “在同一平面内， 若 ， 则 ”时， 第一步应假设（ ）
A． 不平行于 B． 不垂直于
C． 不垂直于 D．
【答案】A
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：若用反证法时，应首先假设结论的否定成立，即假设b与c不平行（或b与c相交）.
故答案为：A.
【分析】反证法的第一步：假设结论不成立. 先找到题干中的结论，对其否定作为第一步假设.
5．（2024八下·榕城期中）牛顿曾说过：“反证法是数学家最精良的武器之一”那么我们用反证法证明：“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于”时，第一步先假设（ ）
A．三角形中有一个内角小于
B．三角形中有一个内角大于
C．三角形中没有一个内角小于
D．三角形中每个内角都大于
【答案】D
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：用反证法证明：“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于”时，
第一步先假设三角形中每个内角都大于，
故答案为：．
【分析】根据反证法，第一步是假设结论不成立，反面成立解答．
二、填空题（每题5分，共25分）
6．（2024八下·长兴期中）用反证法证明命题“四边形中至少有一个角是钝角或直角”时，应假设 ．
【答案】四边形中的每个内角都是锐角
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：用反证法证明命题“四边形中至少有一个角是钝角或直角”时，应假设四边形中的每个内角都是锐角.
故答案为：四边形中的每个内角都是锐角.
【分析】用反证法证明一个命题的第一步应该先假设命题结论的反面成立，据此可得答案.
7．（2024八下·宁波期中）反证法是数学中经常运用的一类“间接证明法”．用反证法证明：“已知，在中，AC为最长边，且．求证：不是直角三角形．”时，第一步应假设 ．
【答案】是直角三角形．
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：用反证法证明：“已知，在中，AC为最长边，且．求证：不是直角三角形．”时，
第一步应假设：是直角三角形，
故答案为：是直角三角形．
【分析】先假设命题的结论不成立，由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立，这种方法叫做反证法；据此可得反证法的第一步是假设结论不成立，反面成立，据此解答即可.
8．（2024八下·南海月考）命题“若中，如果，那么”，用反证法证明此命题时，应首先假设 成立．
【答案】
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：命题“若中，，则”，命题的结论为，
若用反证法证明此命题时，应假设：
故答案为：.
【分析】根据反证法的思路，从命题的结论反面出发进行假设即可.
9．用反证法证明命题“若a，b是整数，且ab能被5整除，则a，b中至少有一个能被5整除”时，应先假设 .
【答案】a，b都不能被5整除
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：反证法证明命题“若a，b是整数，且ab能被5整除，则a，b中至少有一个能被5整除”时，应先假设a，b不能被5整除.故答案为：a，b不能被5整除.
【分析】反证法的步骤：①首先假设原命题不成立，②推理出与定义、已有定理或已知条件明显矛盾的结果，③得出原假设不成立，即原命题成立；根据反证法的步骤并结合题意即可求解.
10．如图①，我们想要证明“如果直线AB，CD被直线EF所截，AB∥CD，那么∠EOB=∠EO'D．”如图②，假设∠EOB≠∠EO'D，过点O作直线A'B'，使∠EOB'=∠EO'D，可得A'B'∥CD．这样过点O就有两条直线AB，A'B’都平行于直线CD，这与基本事实“ “矛盾，说明∠EOB≠∠EO'D的假设是不对的，于是有∠EOB=∠EO'D．
【答案】经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行
【知识点】平行线的判定与性质；反证法
【解析】【解答】解：证明：假设∠EOB≠∠EO′D，过点O作直线A′B′，使∠EOB′=∠EO′D．可得A′B′∥CD．
这样过点O就有两条直线AB，A′B′都平行于直线CD，这与基本事实“经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行”矛盾，
说明∠EOB≠∠EO′D的假设是不对的，于是有∠EOB=∠EO′D，
故答案为：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行．
【分析】根据平行公理解答即可．
三、解答题（共5题，共50分）
11． 用反证法证明下列问题：
已知： 如图， 直线 被 所截， 是同位角， 且 ．
求证： 不平行于 ．
【答案】证明：假设a∥b，∴∠1=∠2.
这与已知∠1≠∠2相矛盾，∴假设不成立，
∴a不平行于b.
【知识点】反证法；两直线平行，同位角相等
【解析】【分析】根据平行线的判定定理、反证法，得出答案.
12． 已知： 如图， 在 中， 是 边上的中点， 交 于点 ．请你用反证法证明： ．
【答案】证明：假设AE≠CE，即E不是AC的中点.
取AC边的中点F，连结DF
∴DF是△ABC的中位线，
∴DF//BC.
∵DE/ /BC，与“过直线外一点有且只有一.条直线平行于这条直线”矛盾.
∴假设不成立， . AE= CE.
【知识点】平行公理及推论；反证法；三角形的中位线定理
【解析】【分析】采用反证法证明，先假设命题不成立，然后利用命题的条件或有关的结论，通过推理导出矛盾，从而得出假设不成立，即所证明的命题正确.本题要证明AE=CE，先假设AE≠CE，取AC中点F，连接DF，则DF为三角形中位线，根据中位线定理DF∥BC，与DE∥BC矛盾，故得到AE=CE.
13． 如图， 在 中， 分别是 的中点， 且 ， 求证： ．
【答案】证明：设AB= AC，则∠ABC= ∠ACB，
∴AB=AC，
D、E分别是AC， AB的中点，
∴BE=CD，
∴△BCD≌△CBE，
∴BD=CE，与BD≠CE相矛盾，
∴AB≠AC.
【知识点】反证法；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】本题中要证明 AB≠AC，当直接证明有困难时，可采用反证法，先假设 AB=AC，证得△BCD≌△CBE，得到BD=CE，与题干相矛盾，最终得到 AB≠AC；采用反证法证明，先假设命题不成立，然后利用命题的条件或有关的结论，通过推理导出矛盾，从而得出假设不成立，即所证明的命题正确.
14．（2024八下·榕江月考）用反证法证明：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.
解：已知：如图所示，∠ACD是△ABC的一个外角.
求证：∠ACD=∠A+∠B.
【答案】证明：假设∠ACD≠∠A+∠B.
在△ABC中，∠A+∠B+∠ACB=180°，
∴∠A+∠B=180°-∠ACB.
∵∠ACD+∠ACB=180°，
∴∠ACD=180°-∠ACB，
∴∠ACD=∠A+∠B.
这与假设相矛盾，∴假设不成立，
∴原命题成立，即∠ACD=∠A+∠B.
【知识点】反证法
【解析】【分析】利用反证法分析证明，先假设∠ACD≠∠A+∠B，再通过角的运算及等量代换求出∠ACD=∠A+∠B，这与假设相矛盾，从而可证 原命题成立，即∠ACD=∠A+∠B.
15．如图，已知AB∥CD，CD⊥EF，垂足为N，AB与EF交于点M，求证：AB⊥EF．（用反证法证明）
【答案】证明：假设AB与EF不垂直，则∠AME≠90°，
∵AB∥CD，
∴∠AME=∠CNE，
∴∠CNE≠90°，
这与CD⊥EF相矛盾，
∴AB⊥EF．
【知识点】反证法
【解析】【分析】根据反证法的一般步骤，假设AB与EF不垂直，根据平行线的性质证明∠CNE≠90°，与已知相矛盾，从而肯定原命题的结论正确．
1 / 1第4章 《平行四边形》4.6 反证法---浙教版数学八（下） 课堂达标测试
一、选择题（每题5分，共25分）
1．（2024八下·辽阳期中）用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于”时，首先应假设这个直角三角形中（ ）
A．两个锐角都大于 B．两个锐角都小于
C．两个锐角都不大于 D．两个锐角都等于
2．（2023八下·江北期末）用反证法证明“在中，若，则”时，以下三个步骤正确的排列顺序是（ ）
步骤如下：
①假设在△ABC中，∠B≥90° .
②因此假设不成立，：∴∠B<90°.
③由AB=AC，得∠B=∠C≥90°，即∠B+∠C≥180°，∴∠A+∠B+∠C> 180°，这与“三角形三个内角的和等于180°”产生矛盾.
A．①③② B．①②③ C．③①② D．③②①
3．（2024八下·杭州期末）若用反证法证明命题“在中，若，则”，则应假设（ ）
A． B． C． D．
4．用反证法证明 “在同一平面内， 若 ， 则 ”时， 第一步应假设（ ）
A． 不平行于 B． 不垂直于
C． 不垂直于 D．
5．（2024八下·榕城期中）牛顿曾说过：“反证法是数学家最精良的武器之一”那么我们用反证法证明：“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于”时，第一步先假设（ ）
A．三角形中有一个内角小于
B．三角形中有一个内角大于
C．三角形中没有一个内角小于
D．三角形中每个内角都大于
二、填空题（每题5分，共25分）
6．（2024八下·长兴期中）用反证法证明命题“四边形中至少有一个角是钝角或直角”时，应假设 ．
7．（2024八下·宁波期中）反证法是数学中经常运用的一类“间接证明法”．用反证法证明：“已知，在中，AC为最长边，且．求证：不是直角三角形．”时，第一步应假设 ．
8．（2024八下·南海月考）命题“若中，如果，那么”，用反证法证明此命题时，应首先假设 成立．
9．用反证法证明命题“若a，b是整数，且ab能被5整除，则a，b中至少有一个能被5整除”时，应先假设 .
10．如图①，我们想要证明“如果直线AB，CD被直线EF所截，AB∥CD，那么∠EOB=∠EO'D．”如图②，假设∠EOB≠∠EO'D，过点O作直线A'B'，使∠EOB'=∠EO'D，可得A'B'∥CD．这样过点O就有两条直线AB，A'B’都平行于直线CD，这与基本事实“ “矛盾，说明∠EOB≠∠EO'D的假设是不对的，于是有∠EOB=∠EO'D．
三、解答题（共5题，共50分）
11． 用反证法证明下列问题：
已知： 如图， 直线 被 所截， 是同位角， 且 ．
求证： 不平行于 ．
12． 已知： 如图， 在 中， 是 边上的中点， 交 于点 ．请你用反证法证明： ．
13． 如图， 在 中， 分别是 的中点， 且 ， 求证： ．
14．（2024八下·榕江月考）用反证法证明：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.
解：已知：如图所示，∠ACD是△ABC的一个外角.
求证：∠ACD=∠A+∠B.
15．如图，已知AB∥CD，CD⊥EF，垂足为N，AB与EF交于点M，求证：AB⊥EF．（用反证法证明）
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于”时，
应先假设两个锐角都大于45°．
故选：A．
【分析】顾名思义，反证法就是取原题设的相反条件进行论证．
2．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；反证法
【解析】【解答】解：由题意知，第2步是反证法的结论，
∴排除B和D选项，
所以B和D选项，错误.
∵第3步既有原因又有结果，不能作为假设的结果，
∴C选项错误.
故答案为：A.
【分析】根据反证法的一般步骤即可求出，一般步骤为：假设命题成立；根据假设出发，推理论证，得出矛盾；由矛盾判断假设不成立，原命题正确.
3．【答案】B
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：由题意，应假设，
故答案为：B．
【分析】根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，从而推出与已知条件（或已学过的性质等）相矛盾的结论，于是可得原假设不成立，原命题得证．
4．【答案】A
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：若用反证法时，应首先假设结论的否定成立，即假设b与c不平行（或b与c相交）.
故答案为：A.
【分析】反证法的第一步：假设结论不成立. 先找到题干中的结论，对其否定作为第一步假设.
5．【答案】D
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：用反证法证明：“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于”时，
第一步先假设三角形中每个内角都大于，
故答案为：．
【分析】根据反证法，第一步是假设结论不成立，反面成立解答．
6．【答案】四边形中的每个内角都是锐角
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：用反证法证明命题“四边形中至少有一个角是钝角或直角”时，应假设四边形中的每个内角都是锐角.
故答案为：四边形中的每个内角都是锐角.
【分析】用反证法证明一个命题的第一步应该先假设命题结论的反面成立，据此可得答案.
7．【答案】是直角三角形．
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：用反证法证明：“已知，在中，AC为最长边，且．求证：不是直角三角形．”时，
第一步应假设：是直角三角形，
故答案为：是直角三角形．
【分析】先假设命题的结论不成立，由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立，这种方法叫做反证法；据此可得反证法的第一步是假设结论不成立，反面成立，据此解答即可.
8．【答案】
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：命题“若中，，则”，命题的结论为，
若用反证法证明此命题时，应假设：
故答案为：.
【分析】根据反证法的思路，从命题的结论反面出发进行假设即可.
9．【答案】a，b都不能被5整除
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：反证法证明命题“若a，b是整数，且ab能被5整除，则a，b中至少有一个能被5整除”时，应先假设a，b不能被5整除.故答案为：a，b不能被5整除.
【分析】反证法的步骤：①首先假设原命题不成立，②推理出与定义、已有定理或已知条件明显矛盾的结果，③得出原假设不成立，即原命题成立；根据反证法的步骤并结合题意即可求解.
10．【答案】经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行
【知识点】平行线的判定与性质；反证法
【解析】【解答】解：证明：假设∠EOB≠∠EO′D，过点O作直线A′B′，使∠EOB′=∠EO′D．可得A′B′∥CD．
这样过点O就有两条直线AB，A′B′都平行于直线CD，这与基本事实“经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行”矛盾，
说明∠EOB≠∠EO′D的假设是不对的，于是有∠EOB=∠EO′D，
故答案为：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行．
【分析】根据平行公理解答即可．
11．【答案】证明：假设a∥b，∴∠1=∠2.
这与已知∠1≠∠2相矛盾，∴假设不成立，
∴a不平行于b.
【知识点】反证法；两直线平行，同位角相等
【解析】【分析】根据平行线的判定定理、反证法，得出答案.
12．【答案】证明：假设AE≠CE，即E不是AC的中点.
取AC边的中点F，连结DF
∴DF是△ABC的中位线，
∴DF//BC.
∵DE/ /BC，与“过直线外一点有且只有一.条直线平行于这条直线”矛盾.
∴假设不成立， . AE= CE.
【知识点】平行公理及推论；反证法；三角形的中位线定理
【解析】【分析】采用反证法证明，先假设命题不成立，然后利用命题的条件或有关的结论，通过推理导出矛盾，从而得出假设不成立，即所证明的命题正确.本题要证明AE=CE，先假设AE≠CE，取AC中点F，连接DF，则DF为三角形中位线，根据中位线定理DF∥BC，与DE∥BC矛盾，故得到AE=CE.
13．【答案】证明：设AB= AC，则∠ABC= ∠ACB，
∴AB=AC，
D、E分别是AC， AB的中点，
∴BE=CD，
∴△BCD≌△CBE，
∴BD=CE，与BD≠CE相矛盾，
∴AB≠AC.
【知识点】反证法；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】本题中要证明 AB≠AC，当直接证明有困难时，可采用反证法，先假设 AB=AC，证得△BCD≌△CBE，得到BD=CE，与题干相矛盾，最终得到 AB≠AC；采用反证法证明，先假设命题不成立，然后利用命题的条件或有关的结论，通过推理导出矛盾，从而得出假设不成立，即所证明的命题正确.
14．【答案】证明：假设∠ACD≠∠A+∠B.
在△ABC中，∠A+∠B+∠ACB=180°，
∴∠A+∠B=180°-∠ACB.
∵∠ACD+∠ACB=180°，
∴∠ACD=180°-∠ACB，
∴∠ACD=∠A+∠B.
这与假设相矛盾，∴假设不成立，
∴原命题成立，即∠ACD=∠A+∠B.
【知识点】反证法
【解析】【分析】利用反证法分析证明，先假设∠ACD≠∠A+∠B，再通过角的运算及等量代换求出∠ACD=∠A+∠B，这与假设相矛盾，从而可证 原命题成立，即∠ACD=∠A+∠B.
15．【答案】证明：假设AB与EF不垂直，则∠AME≠90°，
∵AB∥CD，
∴∠AME=∠CNE，
∴∠CNE≠90°，
这与CD⊥EF相矛盾，
∴AB⊥EF．
【知识点】反证法
【解析】【分析】根据反证法的一般步骤，假设AB与EF不垂直，根据平行线的性质证明∠CNE≠90°，与已知相矛盾，从而肯定原命题的结论正确．
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