第4章 《平行四边形》4.5 三角形的中位线---浙教版数学八（下） 课堂达标测试
一、选择题（每题5分，共25分）
1．（2025八下·青秀开学考）如图中，对角线相交于点，点是的中点，若，则的长为（ ）
A．16 B．6 C．4 D．10
2．（2024八下·琼海期末）如图，的对角线相交于点O，的平分线与边相交于点P，E是的中点，若，，则的长为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．1.5
3．（2024八下·长沙期中）如图，在△ABC中，点D是BC的中点，点E是AC的中点，若DE=3，则AB等于( )
A．4 B．5 C．5.5 D．6
4．（2024八下·番禺期中）如图，在△ABC中，AB=6，AC=10，点D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，则四边形ADEF的周长为（ ）．
A．16 B．12 C．10 D．8
5．（2024八下·杭州期末）如图，的平分线交的中位线于点，若，，则的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（每题5分，共25分）
6．（2023八下·普陀期末）如图，在中，，是的中线，点，分别是，的中点，连接，若，则的长为 ．
7．（2024八下·深圳期末）如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，点E、F分别是AB、CD的中点，AD＝BC，∠EPF＝140°，则∠EFP的度数是
8．（2024八下·左权期末）如图，，两地被古城墙阻隔，为测量， 两地间的距离，先在城墙外地上取一个可以直接到达，两地的点， 连接，， 分别取，的中点，，连接．若的长为， 则，两地间的距离为 ．
9．（2024八下·松原期末）如图，在平行四边形中，E为边上的点，连接，F、G分别为、的中点．若，则的长为 ．
10．（2024八下·广州期中）如图，在四边形中，点E，F分别是边的中点，，，，，则的度数为 ．
三、解答题（共5题，共50分）
11．（2024八下·东莞期中）如图，在等腰直角三角形中，，D，E分别为边的中点，延长至点F，使，连接．
（1）求证：四边形为平行四边形；
（2）求的长．
12．（2019八下·镇江期中）如图，点O是△ABC内一点，连接OB、OC，线段AB、OB、OC、AC的中点分别为D、E、F、G.
（1）判断四边形DEFG的形状，并说明理由；
（2）若M为EF的中点，OM=2，∠OBC和∠OCB互余，求线段BC的长.
13．（2024八下·深圳期中）如图所示，在中，点D，E分别为，的中点，点H在线段上，连接，点G，F分别为，的中点．
（1）求证：四边形为平行四边形；
（2）若，，，求的长．
14．（2024八下·南山期末）如图，在中，点G、H分别是、中点，点E、F在对角线上，
（1）在不添加新的点和线的前提下，请增加一个条件 ，使得四边形是平行四边形并说明理由；
（2）连接交于点O，若，，，求的长.
15．（2025八下·青秀开学考）阅读与思考
下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务．
瓦里尼翁平行四边形 我们知道，如图1，在四边形中，点分别是边的中点，顺次连接，得到的四边形是平行四边形．此结论可借助图1证明如下： 证明：如图2，连接， 分别为的中点， ．（依据1） 分别为的中点， ． 同理： 四边形是平行四边形．（依据2） 我查阅了许多资料，得知这个平行四边形被称为瓦里尼翁平行四边形．瓦里尼翁（Varingnon，Pierte1654 1722）是法国数学家，力学家．瓦里尼翁平行四边形与原四边形关系密切．例如：瓦里尼翁平行四边形的周长与原四边形对角线的长度有一定关系．
任务：
（1）填空：材料中的依据1是：_______．依据2是：_______．
（2）如图2，猜想瓦里尼翁平行四边形的周长与对角线长度的关系，并证明你的结论．
（3）请用刻度尺，三角板等工具，画出四边形的对角线与及它的瓦里尼翁平行四边形，且四边形的对角线与的夹角为，求瓦里尼翁平行四边形中的度数．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
又∵点是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∵，
∴，
故答案为：C．
【分析】先根据平行四边形的对角线互相平分可得OB=OD，再根据三角形的中位线等于第三边的一半可得答案.
2．【答案】D
【知识点】平行四边形的性质；角平分线的概念；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵O是中点，E是中点，
∴是的中位线，
∴．
故答案为：D．
【分析】根据平行四边形性质可得，则，再根据角平分线定义可得，则，即，再根据三角形中位线定理即可求出答案.
3．【答案】D
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】∵点D是BC的中点，点E是AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴AB=2DE=6，
故答案为：D.
【分析】根据由两个中点连线得到DE是中位线，进而即可求解.
4．【答案】A
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵点D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，
∴DE∥AC，EF∥AB，DE=AC=5，EF=AB=3，
∴四边形ADEF是平行四边形，
∴AD=EF，DE=AF，
∴四边形ADEF的周长为2（DE+EF）=16，
故选：A．
【分析】
根据三角形的中位线定理可得：DE=AC=5，EF=AB=3，DE∥AC，EF∥AB，进而可判断出四边形ADEF平行四边形，根据平行四边形的性质对边相等可得： AD=EF，DE=AF， 进而根据ADEF的周长公式求解即可．
5．【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：是的中位线，，，
∴AD=BD=AB=3，，，
，
平分，
，
，
，
，
故答案为：B．
【分析】根据三角形的中位线定理“三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半”可得，，AD=BD=AB，由平行线的性质“两直线平行内错角相等”和角平分线的定义可得，根据等腰三角形的判定“等角对等边”可得，然后由线段的构成EF=DE-DF即可求解．
6．【答案】6
【知识点】三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】∵点E，F分别是AD，AC的中点，
∴EF是△ACD的中位线，
∴EF＝CD，
∴CD=6，
∵∠BAC=90°，AD是△ABC的中线，
∴AD=CD=6．
【分析】由题意知，EF是△ACD的中位线，则EF＝CD，CD=6，由∠BAC=90°，AD是△ABC的中线，可知AD=CD，最后得解。
7．【答案】20°
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵P是BD的中点，F是DC的中点，
∴PF是△BCD的中位线，
∴.
∵P是BD的中点，E是AB的中点，
∴.
∵AD＝BC，
∴PE＝PF，
∴
故答案为：20°．
【分析】根据三角形中位线定理得到，，可得PE＝PF，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求出∠EFP．
8．【答案】
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：点，分别为，的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
，
故答案为：．
【分析】根据三角形的中位线定理即可求出AB的长.
9．【答案】3
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴
∵F、G分别为、的中点．
∴是的中位线，
∴
故填：3．
【分析】根据平行四边形的性质得再由三角形中位线定理即可得出答案．
10．【答案】
【知识点】平行线的性质；勾股定理的逆定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，连接，
∵点、分别是边、的中点，
∴是的中位线，
，
，
，
，
在中，，
，
，
，
故答案为：．
【分析】
连接，根据三角形中位线定理得到，根据平行线的性质求出，根据勾股定理的逆定理求出，最后根据角度的运算计算即可．
11．【答案】（1）证明：∵D，E分别为边的中点，
∴是的中位线．
∴，．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴四边形为平行四边形．
（2）解：∵D为边的中点，
∴．
∵，
∴在中，．
∵四边形为平行四边形，
∴．
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；平行四边形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）先证出是的中位线，利用中位线的性质可得，，证出，再结合，证出边形为平行四边形即可；
（2）先利用线段中点性质可得，再利用勾股定理求出CD的长，最后利用平行四边形的性质可得．
12．【答案】（1）解：四边形DEFG是平行四边形，
理由如下：∵E、F分别为线段OB、OC的中点，
∴EF= BC，EF∥BC，
同理DG= BC，DG∥BC，
∴EF=DG，EF∥DG，
∴四边形DEFG是平行四边形
（2）解：∵∠OBC和∠OCB互余，
∴∠BOC=90°，
∵M为EF的中点，OM=2，
∴EF=2OM=4，
∴BC=2EF=8.
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）根据三角形中位线定理、平行四边形的判定定理解答；（2）根据直角三角形的性质求出EF，根据三角形中位线定理计算即可.
13．【答案】（1）证明：∵点D、E分别为AB，AC的中点
，，
∵点G、F分别为BH，CH的中点，
，
，
∴四边形DEFG为平行四边形
（2）解：四边形为平行四边形，
，
，
，
，
为中点，
即线段的长度为．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定；平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理以及勾股定理，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
（1）由三角形中位线定理：三角形的中位线平行且等于底边的一半可得：，，，，等量代换得，，再由平行四边形的判定：一组对边平行 且相等的四边形是平行四边形，可知：四边形为平行四边形，即可得出结论；
（2）由平行四边形的性质：对边相等可知：，再由勾股定理在Rt△BDG中 ，求出的长，最后结合中点的定义可知：，即可得到答案．
14．【答案】（1）（答案不唯一）
（2）解：连接交于点O，如图：
∵四边形是平行四边形，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
又∵点G是的中点，
是的中位线，
．
的长为2.5．
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；三角形的中位线定理
【解析】【解答】（1）解：添加AE=CF（答案不唯一）；
理由：∵四边形ABCD是平行四边形，
，AB=CD，
，
点G，H分别是AB，CD的中点，
，
，
，
，，
∴180°-∠AEG=180°-∠CFH
即，
，
∴四边形EGFH是平行四边形；
故答案为：AE=CF；
【分析】（1）先由平行四边形的对边平行且相等得AB∥CD，AB=CD，结合中点定义推出AG=CH，由二直线平行，内错角相等得∠BAC=∠DCA，从而用SAS判断出△AGE≌△CHF，然后由全等三角形的性质得GE=FH，∠AEG=∠CFH，由邻补角定义及等角得补角相等推出∠GEF=∠HFE，由内错角相等，两直线平行，得GE∥FH，从而根据一组对边平行且相等得四边形是平行四边形则可得出结论；
（2）先由平行四边形的对角线互相平分得出OB=OD=5，OA=OC，再根据AE=CF、AE+CF=EF及推出AE=OE，从而可得EG是△ABO的中位线，利用中位线等于第三边的一半可得EG的长度．
15．【答案】（1）三角形的中位线定理．两组对边分别平行的四边形是平行四边形
（2）解：瓦里尼翁平行四边形的周长等于对角线与长度之和．证明如下：
分别为的中点，
∴．
分别为的中点，
∴．
∴，
同理：，
∴瓦里尼翁平行四边形的周长为
．
（3）解：由题意，画出图形如下：
①如图1，当时，
分别为的中点，
∴，
∴，
∵分别为的中点，
∴，
∴；
②如图2，当时，则，
分别为的中点，
∴，
∴，
∵分别为的中点，
∴，
∴；
综上，瓦里尼翁平行四边形中的度数为或．
【知识点】平行线的性质；平行四边形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【解答】（1）证明：如图2，连接，
分别为的中点，
，（三角形的中位线定理）
分别为的中点，
．
，
同理：，
四边形是平行四边形，（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）
故答案为：三角形的中位线定理．两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
【分析】（1）根据三角形的中位线平行于第三边、两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可得答案；
（2）根据三角形的中位线等于第三边的一半可得，，进而根据四边形周长计算方法列式计算可得答案；
（3）分两种情况画出图形，①如图1，当时，先根据三角形的中位线平行于第三边可得，，再根据二直线平行同位角相等，内错角相等得出；②如图2，当时，由邻补角得，先根据三角形的中位线平行于第三边可得，，再根据二直线平行同位角相等，内错角相等得出，综上即可得出答案.
（1）证明：如图2，连接，
分别为的中点，
．（三角形的中位线定理）
分别为的中点，
．
，
同理：，
四边形是平行四边形．（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）
故答案为：三角形的中位线定理．两组对边分别平行的四边形是平行四边形．
（2）解：瓦里尼翁平行四边形的周长等于对角线与长度之和．证明如下：
分别为的中点，
∴．
分别为的中点，
∴．
∴，
同理：，
∴瓦里尼翁平行四边形的周长为
．
（3）解：由题意，画出图形如下：
①如图1，当时，
分别为的中点，
∴，
∴，
∵分别为的中点，
∴，
∴；
②如图2，当时，则，
分别为的中点，
∴，
∴，
∵分别为的中点，
∴，
∴；
综上，瓦里尼翁平行四边形中的度数为或．
1 / 1第4章 《平行四边形》4.5 三角形的中位线---浙教版数学八（下） 课堂达标测试
一、选择题（每题5分，共25分）
1．（2025八下·青秀开学考）如图中，对角线相交于点，点是的中点，若，则的长为（ ）
A．16 B．6 C．4 D．10
【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
又∵点是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∵，
∴，
故答案为：C．
【分析】先根据平行四边形的对角线互相平分可得OB=OD，再根据三角形的中位线等于第三边的一半可得答案.
2．（2024八下·琼海期末）如图，的对角线相交于点O，的平分线与边相交于点P，E是的中点，若，，则的长为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．1.5
【答案】D
【知识点】平行四边形的性质；角平分线的概念；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵O是中点，E是中点，
∴是的中位线，
∴．
故答案为：D．
【分析】根据平行四边形性质可得，则，再根据角平分线定义可得，则，即，再根据三角形中位线定理即可求出答案.
3．（2024八下·长沙期中）如图，在△ABC中，点D是BC的中点，点E是AC的中点，若DE=3，则AB等于( )
A．4 B．5 C．5.5 D．6
【答案】D
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】∵点D是BC的中点，点E是AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴AB=2DE=6，
故答案为：D.
【分析】根据由两个中点连线得到DE是中位线，进而即可求解.
4．（2024八下·番禺期中）如图，在△ABC中，AB=6，AC=10，点D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，则四边形ADEF的周长为（ ）．
A．16 B．12 C．10 D．8
【答案】A
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵点D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，
∴DE∥AC，EF∥AB，DE=AC=5，EF=AB=3，
∴四边形ADEF是平行四边形，
∴AD=EF，DE=AF，
∴四边形ADEF的周长为2（DE+EF）=16，
故选：A．
【分析】
根据三角形的中位线定理可得：DE=AC=5，EF=AB=3，DE∥AC，EF∥AB，进而可判断出四边形ADEF平行四边形，根据平行四边形的性质对边相等可得： AD=EF，DE=AF， 进而根据ADEF的周长公式求解即可．
5．（2024八下·杭州期末）如图，的平分线交的中位线于点，若，，则的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：是的中位线，，，
∴AD=BD=AB=3，，，
，
平分，
，
，
，
，
故答案为：B．
【分析】根据三角形的中位线定理“三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半”可得，，AD=BD=AB，由平行线的性质“两直线平行内错角相等”和角平分线的定义可得，根据等腰三角形的判定“等角对等边”可得，然后由线段的构成EF=DE-DF即可求解．
二、填空题（每题5分，共25分）
6．（2023八下·普陀期末）如图，在中，，是的中线，点，分别是，的中点，连接，若，则的长为 ．
【答案】6
【知识点】三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】∵点E，F分别是AD，AC的中点，
∴EF是△ACD的中位线，
∴EF＝CD，
∴CD=6，
∵∠BAC=90°，AD是△ABC的中线，
∴AD=CD=6．
【分析】由题意知，EF是△ACD的中位线，则EF＝CD，CD=6，由∠BAC=90°，AD是△ABC的中线，可知AD=CD，最后得解。
7．（2024八下·深圳期末）如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，点E、F分别是AB、CD的中点，AD＝BC，∠EPF＝140°，则∠EFP的度数是
【答案】20°
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵P是BD的中点，F是DC的中点，
∴PF是△BCD的中位线，
∴.
∵P是BD的中点，E是AB的中点，
∴.
∵AD＝BC，
∴PE＝PF，
∴
故答案为：20°．
【分析】根据三角形中位线定理得到，，可得PE＝PF，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求出∠EFP．
8．（2024八下·左权期末）如图，，两地被古城墙阻隔，为测量， 两地间的距离，先在城墙外地上取一个可以直接到达，两地的点， 连接，， 分别取，的中点，，连接．若的长为， 则，两地间的距离为 ．
【答案】
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：点，分别为，的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
，
故答案为：．
【分析】根据三角形的中位线定理即可求出AB的长.
9．（2024八下·松原期末）如图，在平行四边形中，E为边上的点，连接，F、G分别为、的中点．若，则的长为 ．
【答案】3
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴
∵F、G分别为、的中点．
∴是的中位线，
∴
故填：3．
【分析】根据平行四边形的性质得再由三角形中位线定理即可得出答案．
10．（2024八下·广州期中）如图，在四边形中，点E，F分别是边的中点，，，，，则的度数为 ．
【答案】
【知识点】平行线的性质；勾股定理的逆定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，连接，
∵点、分别是边、的中点，
∴是的中位线，
，
，
，
，
在中，，
，
，
，
故答案为：．
【分析】
连接，根据三角形中位线定理得到，根据平行线的性质求出，根据勾股定理的逆定理求出，最后根据角度的运算计算即可．
三、解答题（共5题，共50分）
11．（2024八下·东莞期中）如图，在等腰直角三角形中，，D，E分别为边的中点，延长至点F，使，连接．
（1）求证：四边形为平行四边形；
（2）求的长．
【答案】（1）证明：∵D，E分别为边的中点，
∴是的中位线．
∴，．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴四边形为平行四边形．
（2）解：∵D为边的中点，
∴．
∵，
∴在中，．
∵四边形为平行四边形，
∴．
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；平行四边形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）先证出是的中位线，利用中位线的性质可得，，证出，再结合，证出边形为平行四边形即可；
（2）先利用线段中点性质可得，再利用勾股定理求出CD的长，最后利用平行四边形的性质可得．
12．（2019八下·镇江期中）如图，点O是△ABC内一点，连接OB、OC，线段AB、OB、OC、AC的中点分别为D、E、F、G.
（1）判断四边形DEFG的形状，并说明理由；
（2）若M为EF的中点，OM=2，∠OBC和∠OCB互余，求线段BC的长.
【答案】（1）解：四边形DEFG是平行四边形，
理由如下：∵E、F分别为线段OB、OC的中点，
∴EF= BC，EF∥BC，
同理DG= BC，DG∥BC，
∴EF=DG，EF∥DG，
∴四边形DEFG是平行四边形
（2）解：∵∠OBC和∠OCB互余，
∴∠BOC=90°，
∵M为EF的中点，OM=2，
∴EF=2OM=4，
∴BC=2EF=8.
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）根据三角形中位线定理、平行四边形的判定定理解答；（2）根据直角三角形的性质求出EF，根据三角形中位线定理计算即可.
13．（2024八下·深圳期中）如图所示，在中，点D，E分别为，的中点，点H在线段上，连接，点G，F分别为，的中点．
（1）求证：四边形为平行四边形；
（2）若，，，求的长．
【答案】（1）证明：∵点D、E分别为AB，AC的中点
，，
∵点G、F分别为BH，CH的中点，
，
，
∴四边形DEFG为平行四边形
（2）解：四边形为平行四边形，
，
，
，
，
为中点，
即线段的长度为．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定；平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理以及勾股定理，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
（1）由三角形中位线定理：三角形的中位线平行且等于底边的一半可得：，，，，等量代换得，，再由平行四边形的判定：一组对边平行 且相等的四边形是平行四边形，可知：四边形为平行四边形，即可得出结论；
（2）由平行四边形的性质：对边相等可知：，再由勾股定理在Rt△BDG中 ，求出的长，最后结合中点的定义可知：，即可得到答案．
14．（2024八下·南山期末）如图，在中，点G、H分别是、中点，点E、F在对角线上，
（1）在不添加新的点和线的前提下，请增加一个条件 ，使得四边形是平行四边形并说明理由；
（2）连接交于点O，若，，，求的长.
【答案】（1）（答案不唯一）
（2）解：连接交于点O，如图：
∵四边形是平行四边形，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
又∵点G是的中点，
是的中位线，
．
的长为2.5．
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；三角形的中位线定理
【解析】【解答】（1）解：添加AE=CF（答案不唯一）；
理由：∵四边形ABCD是平行四边形，
，AB=CD，
，
点G，H分别是AB，CD的中点，
，
，
，
，，
∴180°-∠AEG=180°-∠CFH
即，
，
∴四边形EGFH是平行四边形；
故答案为：AE=CF；
【分析】（1）先由平行四边形的对边平行且相等得AB∥CD，AB=CD，结合中点定义推出AG=CH，由二直线平行，内错角相等得∠BAC=∠DCA，从而用SAS判断出△AGE≌△CHF，然后由全等三角形的性质得GE=FH，∠AEG=∠CFH，由邻补角定义及等角得补角相等推出∠GEF=∠HFE，由内错角相等，两直线平行，得GE∥FH，从而根据一组对边平行且相等得四边形是平行四边形则可得出结论；
（2）先由平行四边形的对角线互相平分得出OB=OD=5，OA=OC，再根据AE=CF、AE+CF=EF及推出AE=OE，从而可得EG是△ABO的中位线，利用中位线等于第三边的一半可得EG的长度．
15．（2025八下·青秀开学考）阅读与思考
下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务．
瓦里尼翁平行四边形 我们知道，如图1，在四边形中，点分别是边的中点，顺次连接，得到的四边形是平行四边形．此结论可借助图1证明如下： 证明：如图2，连接， 分别为的中点， ．（依据1） 分别为的中点， ． 同理： 四边形是平行四边形．（依据2） 我查阅了许多资料，得知这个平行四边形被称为瓦里尼翁平行四边形．瓦里尼翁（Varingnon，Pierte1654 1722）是法国数学家，力学家．瓦里尼翁平行四边形与原四边形关系密切．例如：瓦里尼翁平行四边形的周长与原四边形对角线的长度有一定关系．
任务：
（1）填空：材料中的依据1是：_______．依据2是：_______．
（2）如图2，猜想瓦里尼翁平行四边形的周长与对角线长度的关系，并证明你的结论．
（3）请用刻度尺，三角板等工具，画出四边形的对角线与及它的瓦里尼翁平行四边形，且四边形的对角线与的夹角为，求瓦里尼翁平行四边形中的度数．
【答案】（1）三角形的中位线定理．两组对边分别平行的四边形是平行四边形
（2）解：瓦里尼翁平行四边形的周长等于对角线与长度之和．证明如下：
分别为的中点，
∴．
分别为的中点，
∴．
∴，
同理：，
∴瓦里尼翁平行四边形的周长为
．
（3）解：由题意，画出图形如下：
①如图1，当时，
分别为的中点，
∴，
∴，
∵分别为的中点，
∴，
∴；
②如图2，当时，则，
分别为的中点，
∴，
∴，
∵分别为的中点，
∴，
∴；
综上，瓦里尼翁平行四边形中的度数为或．
【知识点】平行线的性质；平行四边形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【解答】（1）证明：如图2，连接，
分别为的中点，
，（三角形的中位线定理）
分别为的中点，
．
，
同理：，
四边形是平行四边形，（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）
故答案为：三角形的中位线定理．两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
【分析】（1）根据三角形的中位线平行于第三边、两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可得答案；
（2）根据三角形的中位线等于第三边的一半可得，，进而根据四边形周长计算方法列式计算可得答案；
（3）分两种情况画出图形，①如图1，当时，先根据三角形的中位线平行于第三边可得，，再根据二直线平行同位角相等，内错角相等得出；②如图2，当时，由邻补角得，先根据三角形的中位线平行于第三边可得，，再根据二直线平行同位角相等，内错角相等得出，综上即可得出答案.
（1）证明：如图2，连接，
分别为的中点，
．（三角形的中位线定理）
分别为的中点，
．
，
同理：，
四边形是平行四边形．（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）
故答案为：三角形的中位线定理．两组对边分别平行的四边形是平行四边形．
（2）解：瓦里尼翁平行四边形的周长等于对角线与长度之和．证明如下：
分别为的中点，
∴．
分别为的中点，
∴．
∴，
同理：，
∴瓦里尼翁平行四边形的周长为
．
（3）解：由题意，画出图形如下：
①如图1，当时，
分别为的中点，
∴，
∴，
∵分别为的中点，
∴，
∴；
②如图2，当时，则，
分别为的中点，
∴，
∴，
∵分别为的中点，
∴，
∴；
综上，瓦里尼翁平行四边形中的度数为或．
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