第4章 《平行四边形》---浙教版数学八年级下册单元检测
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2017八下·澧县期中）下列图形属于中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（湖南省株洲市渌口区朱亭镇龙凤中学2024-2025学年八年级下学期3月月考数学试题）下列命题中，正确的是（ ）
A．对角线相等的四边形是平行四边形
B．对角线互相垂直的四边形是平行四边形
C．对角线互相平分的四边形是平行四边形
D．对角线互相垂直且相等的四边形是平行四边形
3．（2024八下·浙江期中）如图，在中，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023八下·丛台月考）如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，点F是线段DE上的一点连接AF，BF，∠AFB =90°，且AB=8，BC= 14，则EF的长是 （ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
5．（2024八下·湛江期中）如图，中，，，平分交于点，则的长为（ ）
A． B． C． D．
6．（2024八下·杭州期中）用反证法证明“直角三角形中的两个锐角不能都大于45°”，第一步应假设这个三角形中（ ）
A．每一个锐角都小于45° B．有一个锐角大于45°
C．有一个锐角小于45° D．每一个锐角都大于45°
7．（2024八下·天津市期中）如图，在中，点D，E分别是，边的中点，点F在的延长线上．添加一个条件，使得四边形为平行四边形，则这个条件可以是（ ）
A． B． C． D．
8．（2023八下·番禺期中）如图，四边形中，对角线、相交于点，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
9．（2024八下·大余期末）如图， 的周长是，对角线与交于点，，是中点，的周长比的周长多，则的长度为( )
A． B． C． D．
10．（2025八下·嘉兴月考）如图，在中，和的平分线相交于点，过点作分别交于点．喜欢探究的小东通过独立思考，得到以下结论：①当是的中点时；②当的形状变化时，点有可能为的中点．下列判断正确的是（ ）
A．①，②都正确 B．①，②都错误
C．①正确，②错误 D．①错误，②正确
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2019八下·醴陵期末）一个多边形的内角和是它的外角和的5倍，则这个多边形的边数为 。
12．（2024八下·左权期末）门窗是中国古代木构架建筑上的重要组成部分．如图①所示是一款冰裂纹窗格，图②是窗格中的部分图案．其中是五边形的4个外角，若，则的度数是 °．
13．（2024八下·滨城期中）如图，在平行四边形中，，的平分线交于点E，交的延长线于点F，则 cm．
14．（2024八下·梁平期末）如图，在等边中，，射线，点E从点A出发沿射线以的速度运动，点F从点B出发沿射线以的速度运动，如果点E、F同时出发，设运动时间为，当 s时，以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形.
15． 如图， 的对角线 交于点 ， 过点 的直线交 于点 ， 交 于点 ．若 的面积为 的面积为 7 ， 则 的面积为
16． 如图， 在 中， 分别是边 上的点， 与 相交于点 与 相交于点 ． 若 ， 则图中阴影部分的面积为 ．
三、解答题（共8题，共72分）
17．（湖南省株洲市渌口区朱亭镇龙凤中学2024-2025学年八年级下学期3月月考数学试题）如图，在平行四边形中，对角线，相交于点O，E是的中点，连接．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
18．（2025八下·丰顺开学考）如图所示，在中，点E，点F分别是的中点，连接．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若平分，，求平行四边形的周长．
19．（2023八下·罗山期末）如图，在四边形中，，，垂足分别为点，．
（1）请你只添加一个条件（不另加辅助线），使得四边形为平行四边形，你添加的条件是________；
（2）添加了条件后，证明四边形为平行四边形．
20．（2024八下·拱墅期末）如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O．已知AB∥CD，∠BAD＝∠BCD＝45°，AB＝2．
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）若BD⊥AB，求AC的长．
21．（2024八下·罗湖期末）如图， 在四边形中， 对角线与相交于点 O，垂足分别为E，F，．
（1）求证： 四边形是平行四边形．
（2）若，，，求的长．
22．（2024八下·顺德期末）如图，点为平行四边形的对称中心，经过点的直线交边于点，交的延长线于点，交边于点，交的延长线于点．
（1）若，，，求的长；
（2）连接、，判断四边形的形状，并证明；
（3）求证：．
23．（2025八下·丰顺开学考）已知：如图，∠EOF=60°，在射线OE上取一点A，使OA=10cm，在射线OF上取一点B，使OB=16cm．以OA、OB为邻边作平行四边形OACB．若点P在射线OF上，点Q在线段CA上，且CQ：OP=1：2．设CQ=a（a＞0）．
（1）连接PQ，当a=2时，求线段PQ的长度．
（2）若以点P、B、C、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求a的值．
（3）连接PQ，以PQ所在的直线为对称轴，作点C关于直线PQ的对称点C'，当点C'恰好落在平行四边形OACB的边上或者边所在的直线上时，直接写出a的值．
24．（2024八下·青白江期末）如图，在中，，点是所在平面内的一点，过点作交于点，交于点，交于点．
（1）当点在边上时，如图所示，此时点与点重合，则线段与线段、有何关系，说明理由；
（2）当点在内部时，如图所示，作交于，求证：
四边形、四边形都是平行四边形；
．
（3）当点在外部时，如图所示，、、、这四条线段之间又有着怎样的数量关系？请写出你的猜想，并说明理由．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项错误；
B、不是中心对称图形，故选项错误；
C、是中心对称图形，故选项正确；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项错误．
故选C．
【分析】根据中心对称图形的定义即可作出判断．
2．【答案】C
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：对角线相等的四边形不一定是平行四边形，如等腰梯形，故A选项不正确；
对角线互相垂直的四边形不一定是平行四边形；故B选项不正确；
对角线互相平分的四边形是平行四边形，故C选项正确；
对角线互相垂直且相等的四边形不一定是平行四边形，故D选项不正确；
故答案为：C．
【分析】利用对角线互相平分的四边形是平行四边形，可得答案.
3．【答案】A
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：四边形是平行四边形，
∴AD∥BC，∠A=∠C，
，
，
，
．
故答案为：A．
【分析】根据平行四边形的性质得AD∥BC，∠A=∠C，由二直线平行，同旁内角互补得∠A+∠B=180°，结合已知可求出∠B的度数，进而即可求出答案.
4．【答案】B
【知识点】三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵∠AFB=90°，点D是AB的中点，∴DF=AB=4，
∵BC= 14，D、E分别是AB，AC的中点，
∴DE=BC=7，
∴EF=DE-DF=3，
故答案为：B
【分析】根据直角三角形的性质得到DF=4，根据BC= 14，由三角形中位线定理得到DE=7，再根据边之间的关系即可求出答案.
5．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD∥BC
∴∠DAE=∠AEB
∴∠BAE=∠AEB
∴BE=AB=3
∴CE=BC-BE=2
故答案为：．
【分析】
本题考查角平分线的定义、平行四边形的性质、平行线性质、等腰三角形的性质，熟知等腰三角形的性质是解题关键.
根据角平分线的定义可知：∠BAE=∠DAE，再根据平行四边形的性质：对边平行可知：AD∥BC，根据平行线的性质：两直线平行，内错角相等可知：∠DAE=∠AEB，等量代换可知：∠BAE=∠AEB，再根据等腰三角形的性质：等角对等边可知：BE=AB=3，最后由线段的和差运算可得：CE=BC-BE=2，即可得出答案.
6．【答案】D
【知识点】反证法
【解析】【解答】A、假设的就是结论，错误；
B、假设的不是结论的反论，错误；
C、假设的不是结论的反论，错误；
D、假设的是结论的反论，正确。
故答案为：D．
【分析】 反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立；反之则结论不成立.
7．【答案】B
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：∵在△ABC中，D，E分别是AB，BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥AC且DE=AC，
A、根据∠B=∠F不能判定CF∥AD，即不能判定四边形ADFC为平行四边形，故本选项错误；
B、根据DE=EF可以判定DF=AC，由“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”得到四边形ADFC为平行四边形，故本选项正确；
C、根据AC=CF不能判定AD∥DF，即不能判定四边形ADFC为平行四边形，故本选项错误；
D、根据AD=CF，FD∥AC不能判定四边形ADFC为平行四边形，故本选项错误．
故答案为：B．
【分析】利用三角形中位线平行于第三边且等于第三边的一半得到DE∥AC且DE=AC；根据平行四边形的判定方法“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”可得添加的条件能使DF=AC即可；根据平行四边形的判定方法“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”可得添加的条件能使CF∥AD即可，据此逐一判断得出答案.
8．【答案】B
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：
A、由“AB∥DC，AD∥BC"可知，四边形ABCD的两组对边互相平行，则该四边形是平行四边形，故选项A不符合题意；
B、由“AB∥DC，AD=BC"可知，四边形ABCD的一组对边相等，另一组对边平行，所以四边形可能是平行四边形，也可能是等腰梯形，所以不能判定该四边形是平行四边形，故选项B符合题意；
C、由“AO=CO，BO=DO”可知，四边形ABCD的两条对角线互相平分，则该四边形是平行四边形，故选项C不符合题意；
D、由“AB=DC，AD=BC”可知四边形ABCD的两组对边相等，则该四边形是平行四边形，故选项B不符合题意，
故答案为：B.
【分析】本题考查平行四边的判定定理，根据判定定理逐项判断即可.
9．【答案】C
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】ABCD为平行四边形，故OA=OC，OB=OD，
由AC⊥AB，E为BC中点，故EA=EB=EC，
C△AOD=AO+OD+AD=AD+OB+AD，C△AOB=AB+AO+OB，
故C△AOD-C△AOB=(AD+OB+AD)-(AB+AO+OB)=AD-AB=4，
而ABCD的周长为32cm，故AD+AB=16，解得AD=10，AB=6
故AE=5cm
答案：C.
【分析】结合平行四边形的性质可得△AOD和△AOB的周长之差为AD-AB=4，平行四边形的周长为32得AD+AB=16，解BC=10，即可得AE.
10．【答案】C
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：过点F作，交于点G，如图所示：
∵、分别平分，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
同理：，
结论①当是的中点
∴，
∴，
∵，，
∴四边形为平行四边形，（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）
∴，
又∵AE=BF
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故①正确；
∵和的平分线相交于点 ，连接，
∴平分，（三角形的三条内角平分线交于一点）
∴，
结论②若E为的中点，则，
又∵由①可知
∴，
∴，，
∵，
即2∠DAE+2∠ECD=180°，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵三角形ABC内角和为，
∴这与三角形内角和为矛盾，
∴当的形状变化时，点有可能为的中点，故②错误．
故选：C．
【分析】过点F作，交于点G，根据角平分线分两等角和两直线平行内错角相等，证明，，得出，，两组对边分别平行的四边形是平行四边形证明为平行四边形，得出，证明，得出，判断①正确；连接，三角形的三条内角平分线交于一点，则平分，由①中信息得，等边对等角，在△ACD中，等量代换证明，求出，得出，说明这与三角形内角和为矛盾，判断②错误．
11．【答案】12
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：设这个多边形是n边形，
根据题意得，（n-2） 180°=5×360°，
解得n=12．
故答案为：12．
【分析】根据多边形的内角和公式（n-2） 180°与外角和定理列出方程，然后求解即可．
12．【答案】
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：如图，
∴∠DEA+∠EAB+∠ABC+∠BCD=180°×4－（∠1+∠2+∠3+∠4）=420°，
∴∠D=180°×(5－2)－420°=120°.
【分析】根据多边形的内角与外角互补，以及题意求出 ∠DEA+∠EAB+∠ABC+∠BCD 的度数，再结合多边形的内角和公式，即可求出∠D的度数．
13．【答案】3
【知识点】等腰三角形的判定；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，AB=4，AD=7，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴BC=CF，
∴AD=CF=CD+DF
∴7=4+DF，
∴DF=3
故答案为：3．
【分析】根据平行四边形的性质得，由平行线的性质、角平分线的定义证出，从而根据等腰三角形判定“等角对等边”得BC=CF，进而得AD=CF=CD+DF，代入AD、CD的值，即可求DF的值.
14．【答案】2或6
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：①如图，当点F在C的左侧时，
根据题意得：
AE=tcm，BF=2tcm，
∴CF=BC-BF=(6-2t)cm，
∵AG∥BC，
∴当AE=CF时，四边形AECF是平行四边形，
即t=6-2t，
解得：t=2；
②如图，当点F在C的右侧时，
根据题意得：
AE=tcm，BF=2tcm，
∴CF=BC-BF=(2t-6)cm，
∵AG∥BC，
∴当AE=CF时，四边形AEFC是平行四边形，
即t=2t-6，
解得：t=6；
综上所述：当t=2或6时，以A，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形.
故答案为：2或6.
【分析】分别从当点F在C的左侧与当点F在C的右侧时去分析，由AG∥BC，得AE=CF时，以A，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形，用t表示出AE和CF，从而可得方程，解方程即可求得答案.
15．【答案】5
【知识点】三角形的面积；平行四边形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，OA=OC，
∴∠OAE=∠OCF，∠AEO=∠CFO，△BOC的面积=△AOB的面积=7.
在△AOE与△COF中
∴△AOE≌△COF（AAS）
∴△COF的面积=△AOE的面积=2.
∴△BOF的面积=△BOC的面积－△COF的面积=7－2=5.
故答案为：5.
【分析】利用平行四边形的性质可得△BOC的面积=△AOB的面积=7. 再证明△AOE≌△COF，可得△COF的面积=△AOE的面积=2，进而可得△BOF的面积.
16．【答案】9
【知识点】三角形的面积；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：连接EF，过A作AG⊥DC与点G，如图：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，
∵，，，
∴cm2，
同理，cm2，
∴阴影部分的面积为：cm2.
故答案为：9.
【分析】连接EF，过A作AG⊥DC与点G，由平行四边形的性质得AB//CD，于是有，用割补法表示出△ADP和△BCQ的面积，可得，，相加即可得到结论.
17．【答案】（1）证明：因为四边形是平行四边形，
所以
又因为E是的中点，
所以是的中位线，
所以
（2）解：由（1）是的中位线，
所以
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）利用平行四边形的对角线互相平分可证得可得，然后证明出是的中位线，即可得到；
（2）根据三角形中位线定理求解即可．
（1）证明：因为四边形是平行四边形，
所以
又因为E是的中点，
所以是的中位线，
所以；
（2）解：由（1）是的中位线，
所以．
18．【答案】（1）证明∶四边形是平行四边形，
，
点E，点F分别是的中点，
，
，
又，
四边形是平行四边形；
（2）解：平分，
，
又，
，
，
，
，
平行四边形的周长．
【知识点】平行线的性质；平行四边形的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）根据平行四边形性质可得，再根据线段中点可得，再根据想四边形判定定理即可求出答案.
（2）根据角平分线定义可得，再根据直线平行性质可得，则，由等角对等边可得，再根据平行四边形周长即可求出答案.
19．【答案】（1）（答案不唯一，符合题意即可）；
（2）证明：∵，，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形．
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】（1）显然，直接添加，可根据定义得到结果，
故答案为：（答案不唯一，符合题意即可）；
【分析】
（1）根据平行四边形的判定定理解答即可；
（2）根根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形解答即可．
20．【答案】（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠BAD＋∠ADC＝180°，
∵∠BAD＝∠BCD，
∴∠BCD＋∠ADC＝180°，
∴AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形；
（2）解：过点C作CE⊥AB于点E，如图所示：
则∠CEA＝90°，CE∥BD，
∵BD⊥AB，
∴∠ABD＝90°，
∵∠BAD＝45°，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴BD＝AB＝2，
由（1）可知，AD∥BC，四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB＝2，
∴四边形CDBE是平行四边形，
∴BE＝CD＝2，CE＝BD＝2，
∴AE＝AB＋BE＝4，
∴AC＝．
故答案为：.
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据平行线的性质得∠BAD＋∠ADC＝180°，再证明AD∥BC，然后由平行四边形的判定即可得出结论；
（2）过点C作CE⊥AB于点E，则∠E＝90°，CE∥BD，证明△ABD是等腰直角三角形，得BD＝AB＝2，再证明四边形CDBE是平行四边形，得BE＝CD＝2，CE＝BD＝2，则AE＝AB＋BE＝4，然后由勾股定理求出AC的长即可．
21．【答案】（1）证明：，，，
在和中，
，
，
∴，
四边形是平行四边形；
（2）解：四边形是平行四边形，
，，
，
，
由勾股定理得：，
，
．
【知识点】三角形的面积；勾股定理；平行四边形的性质；平行四边形的判定
【解析】【分析】（1）根据已知条件的边角信息进行读图标量，易判断，进而由全等三角形的性质及平行四边形的判定进行判断即可；
（2）由平行四边形的性质和勾股定理求出的长，结合等积法进一步求出斜边AO上的高，即目标线段DE长.
22．【答案】（1）解：解：，，，
，
，
点为平行四边形的对称中心，
，
；
（2）解：四边形是平行四边形，理由如下：
如图，四边形是平行四边形，
，
，
，，
≌，
，
四边形是平行四边形；
（3）证明：由知：≌，
，
四边形是平行四边形，
，
，，
，
≌，
，
，
即．
【知识点】三角形全等的判定；含30°角的直角三角形；平行四边形的判定与性质；中心对称的性质
【解析】【分析】（1）先根据题意结合含30°角的直角三角形的性质得到BN=2，进而运用勾股定理求出OB，再根据对称中心的定义结合题意即可求解；
（2）根据平行四边形的性质结合平行线的性质得到，进而根据三角形全等的判定与性质证明≌得到，从而根据平行四边形的判定即可求解；
（3）根据三角形全等的性质得到，进而根据平行四边形的性质结合平行线的性质得到，，再根据三角形全等的判定与性质证明≌得到，从而即可求解。
23．【答案】（1）解：如图1，过A作AN⊥OB于N，过B作BD⊥AC于D，过Q作QM⊥OF于M，则AN∥BD∥MQ，
Rt△AON中，∠AOB=∠EOF=60°，OA=10，
∴ON=OA=5，AN=5，
同理得：CD=5，BD=5，
∵四边形OACB是平行四边形，
∴OB∥AC，
∴MQ=BD=5，
当a=2时，CQ=2，OP=4，
∴BM=DQ=5-2=3，
∴PM=PB+BM=16-4+3=15，
Rt△PMQ中，由勾股定理得：PQ===10（cm）；
（2）解：分两种情况：
①当P在边OB上时，如图2，四边形PBCQ是平行四边形，
∴PB=CQ，
即16-2a=a，
a=；
②当P在OB的延长线上时，如图3，四边形BPCQ是平行四边形，
∴PB=CQ
即2a-16=a，
a=16，此时Q与A重合，
综上，a的值为或16；
（3）解：a的值为7或14-2或12
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：（3）分三种情况：
①如图4，当C'在边AC上时，PQ⊥AC，过B作BD⊥AC于D时，则BD∥PQ，
∴PB=QD，
16-2a=a-5，
3a=21，
a=7；
②如图5，当C'在边OB上时，连接PC、CC'、C'Q，过C作CR⊥OP于R，
∵C与C'关于PQ对称，
∴PQ是CC'的垂直平分线，
∴PC=PC'，CQ=C'Q，
∴∠PCC'=∠PC'C，
∵AC∥OP，
∴∠PC'C=∠QCC'，
∴∠QCC'=∠PCC'，
∵CC'⊥PQ，
∴PC=CQ=a，
∵OP=2a，
∴BP=2a-16，
Rt△BCR中，∠CBR=60°，
∴∠BCR=30°，
∵BC=10，
∴BR=5，CR=5，
∴PR=5-（2a-16）=21-2a，
由勾股定理得：，
a=14+2（舍）或14-2；
③如图6，当C'在直线CB上时，连接PC、PC'、C'Q，
Rt△PBR中，∠PBR=60°，
∴∠BPR=30°，
∵PB=2a-16，
∴BR=BP=a-8，
同理得：CR=CQ=a，
∵BC=BR+CR，
∴a-8+a=10，a=12，
综上，a的值为7或14-2或12．
【分析】（1）过A作AN⊥OB于N，过B作BD⊥AC于D，过Q作QM⊥OF于M，则AN∥BD∥MQ，根据含30°角的直角三角形性质可得ON=OA=5，AN=5，同理得：CD=5，BD=5，根据平行四边形性质可得OB∥AC，则MQ=BD=5，当a=2时，CQ=2，OP=4，再根据边之间的关系可得PM=15，再根据勾股定理即可求出答案.
（2）分情况讨论：①当P在边OB上时，四边形PBCQ是平行四边形；②当P在OB的延长线上时，四边形BPCQ是平行四边形，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
（3）分情况讨论：①当C'在边AC上时，PQ⊥AC，过B作BD⊥AC于D时，则BD∥PQ，根据题意建立方程，解方程即可求出答案；②当C'在边OB上时，连接PC、CC'、C'Q，过C作CR⊥OP于R，根据垂直平分线性质可得PC=PC'，CQ=C'Q，则∠PCC'=∠PC'C，再根据直线平行性质可得∠PC'C=∠QCC'，则∠QCC'=∠PCC'，根据边之间的关系可得BP=2a-16，再根据含30°角的直角三角形性质可得PR=21-2a，再根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案；③当C'在直线CB上时，连接PC、PC'、C'Q，根据含30°角的直角三角形性质可得BR=BP=a-8，同理得：CR=CQ=a，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
24．【答案】（1）解：如图，
，，
四边形为平行四边形，，
，
，
，
，
，
，
即：．
（2）解：证明：如图，
，
，
，
而，
四边形、都为平行四边形．
证明：四边形、都为平行四边形，
，，，
与中一样可得，
，
，
即：．
（3）解：解：结论：．
理由：作交的延长线于点，如图，
，，
四边形、都为平行四边形，
，，
与中一样可得，
，
即．
【知识点】等边三角形的性质；平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的判定与性质得到四边形为平行四边形，，，进而根据等腰三角形的性质（等边对等角）得到，等量代换得到，根据等腰三角形的判定结合线段的运算即可求解；
(2)①根据平行公理及其推论结合题意即可得到，，进而根据平行四边形的判定即可求解；
②先根据平行四边形的性质得到，，，与中一样可得，再根据线段的运算即可求解；
(3)作交的延长线于点，根据平行四边形的判定与性质得到，，与中一样可得，再进行线段的运算即可求解。
1 / 1第4章 《平行四边形》---浙教版数学八年级下册单元检测
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2017八下·澧县期中）下列图形属于中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项错误；
B、不是中心对称图形，故选项错误；
C、是中心对称图形，故选项正确；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项错误．
故选C．
【分析】根据中心对称图形的定义即可作出判断．
2．（湖南省株洲市渌口区朱亭镇龙凤中学2024-2025学年八年级下学期3月月考数学试题）下列命题中，正确的是（ ）
A．对角线相等的四边形是平行四边形
B．对角线互相垂直的四边形是平行四边形
C．对角线互相平分的四边形是平行四边形
D．对角线互相垂直且相等的四边形是平行四边形
【答案】C
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：对角线相等的四边形不一定是平行四边形，如等腰梯形，故A选项不正确；
对角线互相垂直的四边形不一定是平行四边形；故B选项不正确；
对角线互相平分的四边形是平行四边形，故C选项正确；
对角线互相垂直且相等的四边形不一定是平行四边形，故D选项不正确；
故答案为：C．
【分析】利用对角线互相平分的四边形是平行四边形，可得答案.
3．（2024八下·浙江期中）如图，在中，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：四边形是平行四边形，
∴AD∥BC，∠A=∠C，
，
，
，
．
故答案为：A．
【分析】根据平行四边形的性质得AD∥BC，∠A=∠C，由二直线平行，同旁内角互补得∠A+∠B=180°，结合已知可求出∠B的度数，进而即可求出答案.
4．（2023八下·丛台月考）如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，点F是线段DE上的一点连接AF，BF，∠AFB =90°，且AB=8，BC= 14，则EF的长是 （ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【知识点】三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵∠AFB=90°，点D是AB的中点，∴DF=AB=4，
∵BC= 14，D、E分别是AB，AC的中点，
∴DE=BC=7，
∴EF=DE-DF=3，
故答案为：B
【分析】根据直角三角形的性质得到DF=4，根据BC= 14，由三角形中位线定理得到DE=7，再根据边之间的关系即可求出答案.
5．（2024八下·湛江期中）如图，中，，，平分交于点，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD∥BC
∴∠DAE=∠AEB
∴∠BAE=∠AEB
∴BE=AB=3
∴CE=BC-BE=2
故答案为：．
【分析】
本题考查角平分线的定义、平行四边形的性质、平行线性质、等腰三角形的性质，熟知等腰三角形的性质是解题关键.
根据角平分线的定义可知：∠BAE=∠DAE，再根据平行四边形的性质：对边平行可知：AD∥BC，根据平行线的性质：两直线平行，内错角相等可知：∠DAE=∠AEB，等量代换可知：∠BAE=∠AEB，再根据等腰三角形的性质：等角对等边可知：BE=AB=3，最后由线段的和差运算可得：CE=BC-BE=2，即可得出答案.
6．（2024八下·杭州期中）用反证法证明“直角三角形中的两个锐角不能都大于45°”，第一步应假设这个三角形中（ ）
A．每一个锐角都小于45° B．有一个锐角大于45°
C．有一个锐角小于45° D．每一个锐角都大于45°
【答案】D
【知识点】反证法
【解析】【解答】A、假设的就是结论，错误；
B、假设的不是结论的反论，错误；
C、假设的不是结论的反论，错误；
D、假设的是结论的反论，正确。
故答案为：D．
【分析】 反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立；反之则结论不成立.
7．（2024八下·天津市期中）如图，在中，点D，E分别是，边的中点，点F在的延长线上．添加一个条件，使得四边形为平行四边形，则这个条件可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：∵在△ABC中，D，E分别是AB，BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥AC且DE=AC，
A、根据∠B=∠F不能判定CF∥AD，即不能判定四边形ADFC为平行四边形，故本选项错误；
B、根据DE=EF可以判定DF=AC，由“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”得到四边形ADFC为平行四边形，故本选项正确；
C、根据AC=CF不能判定AD∥DF，即不能判定四边形ADFC为平行四边形，故本选项错误；
D、根据AD=CF，FD∥AC不能判定四边形ADFC为平行四边形，故本选项错误．
故答案为：B．
【分析】利用三角形中位线平行于第三边且等于第三边的一半得到DE∥AC且DE=AC；根据平行四边形的判定方法“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”可得添加的条件能使DF=AC即可；根据平行四边形的判定方法“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”可得添加的条件能使CF∥AD即可，据此逐一判断得出答案.
8．（2023八下·番禺期中）如图，四边形中，对角线、相交于点，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：
A、由“AB∥DC，AD∥BC"可知，四边形ABCD的两组对边互相平行，则该四边形是平行四边形，故选项A不符合题意；
B、由“AB∥DC，AD=BC"可知，四边形ABCD的一组对边相等，另一组对边平行，所以四边形可能是平行四边形，也可能是等腰梯形，所以不能判定该四边形是平行四边形，故选项B符合题意；
C、由“AO=CO，BO=DO”可知，四边形ABCD的两条对角线互相平分，则该四边形是平行四边形，故选项C不符合题意；
D、由“AB=DC，AD=BC”可知四边形ABCD的两组对边相等，则该四边形是平行四边形，故选项B不符合题意，
故答案为：B.
【分析】本题考查平行四边的判定定理，根据判定定理逐项判断即可.
9．（2024八下·大余期末）如图， 的周长是，对角线与交于点，，是中点，的周长比的周长多，则的长度为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】ABCD为平行四边形，故OA=OC，OB=OD，
由AC⊥AB，E为BC中点，故EA=EB=EC，
C△AOD=AO+OD+AD=AD+OB+AD，C△AOB=AB+AO+OB，
故C△AOD-C△AOB=(AD+OB+AD)-(AB+AO+OB)=AD-AB=4，
而ABCD的周长为32cm，故AD+AB=16，解得AD=10，AB=6
故AE=5cm
答案：C.
【分析】结合平行四边形的性质可得△AOD和△AOB的周长之差为AD-AB=4，平行四边形的周长为32得AD+AB=16，解BC=10，即可得AE.
10．（2025八下·嘉兴月考）如图，在中，和的平分线相交于点，过点作分别交于点．喜欢探究的小东通过独立思考，得到以下结论：①当是的中点时；②当的形状变化时，点有可能为的中点．下列判断正确的是（ ）
A．①，②都正确 B．①，②都错误
C．①正确，②错误 D．①错误，②正确
【答案】C
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：过点F作，交于点G，如图所示：
∵、分别平分，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
同理：，
结论①当是的中点
∴，
∴，
∵，，
∴四边形为平行四边形，（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）
∴，
又∵AE=BF
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故①正确；
∵和的平分线相交于点 ，连接，
∴平分，（三角形的三条内角平分线交于一点）
∴，
结论②若E为的中点，则，
又∵由①可知
∴，
∴，，
∵，
即2∠DAE+2∠ECD=180°，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵三角形ABC内角和为，
∴这与三角形内角和为矛盾，
∴当的形状变化时，点有可能为的中点，故②错误．
故选：C．
【分析】过点F作，交于点G，根据角平分线分两等角和两直线平行内错角相等，证明，，得出，，两组对边分别平行的四边形是平行四边形证明为平行四边形，得出，证明，得出，判断①正确；连接，三角形的三条内角平分线交于一点，则平分，由①中信息得，等边对等角，在△ACD中，等量代换证明，求出，得出，说明这与三角形内角和为矛盾，判断②错误．
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2019八下·醴陵期末）一个多边形的内角和是它的外角和的5倍，则这个多边形的边数为 。
【答案】12
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：设这个多边形是n边形，
根据题意得，（n-2） 180°=5×360°，
解得n=12．
故答案为：12．
【分析】根据多边形的内角和公式（n-2） 180°与外角和定理列出方程，然后求解即可．
12．（2024八下·左权期末）门窗是中国古代木构架建筑上的重要组成部分．如图①所示是一款冰裂纹窗格，图②是窗格中的部分图案．其中是五边形的4个外角，若，则的度数是 °．
【答案】
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：如图，
∴∠DEA+∠EAB+∠ABC+∠BCD=180°×4－（∠1+∠2+∠3+∠4）=420°，
∴∠D=180°×(5－2)－420°=120°.
【分析】根据多边形的内角与外角互补，以及题意求出 ∠DEA+∠EAB+∠ABC+∠BCD 的度数，再结合多边形的内角和公式，即可求出∠D的度数．
13．（2024八下·滨城期中）如图，在平行四边形中，，的平分线交于点E，交的延长线于点F，则 cm．
【答案】3
【知识点】等腰三角形的判定；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，AB=4，AD=7，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴BC=CF，
∴AD=CF=CD+DF
∴7=4+DF，
∴DF=3
故答案为：3．
【分析】根据平行四边形的性质得，由平行线的性质、角平分线的定义证出，从而根据等腰三角形判定“等角对等边”得BC=CF，进而得AD=CF=CD+DF，代入AD、CD的值，即可求DF的值.
14．（2024八下·梁平期末）如图，在等边中，，射线，点E从点A出发沿射线以的速度运动，点F从点B出发沿射线以的速度运动，如果点E、F同时出发，设运动时间为，当 s时，以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形.
【答案】2或6
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：①如图，当点F在C的左侧时，
根据题意得：
AE=tcm，BF=2tcm，
∴CF=BC-BF=(6-2t)cm，
∵AG∥BC，
∴当AE=CF时，四边形AECF是平行四边形，
即t=6-2t，
解得：t=2；
②如图，当点F在C的右侧时，
根据题意得：
AE=tcm，BF=2tcm，
∴CF=BC-BF=(2t-6)cm，
∵AG∥BC，
∴当AE=CF时，四边形AEFC是平行四边形，
即t=2t-6，
解得：t=6；
综上所述：当t=2或6时，以A，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形.
故答案为：2或6.
【分析】分别从当点F在C的左侧与当点F在C的右侧时去分析，由AG∥BC，得AE=CF时，以A，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形，用t表示出AE和CF，从而可得方程，解方程即可求得答案.
15． 如图， 的对角线 交于点 ， 过点 的直线交 于点 ， 交 于点 ．若 的面积为 的面积为 7 ， 则 的面积为
【答案】5
【知识点】三角形的面积；平行四边形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，OA=OC，
∴∠OAE=∠OCF，∠AEO=∠CFO，△BOC的面积=△AOB的面积=7.
在△AOE与△COF中
∴△AOE≌△COF（AAS）
∴△COF的面积=△AOE的面积=2.
∴△BOF的面积=△BOC的面积－△COF的面积=7－2=5.
故答案为：5.
【分析】利用平行四边形的性质可得△BOC的面积=△AOB的面积=7. 再证明△AOE≌△COF，可得△COF的面积=△AOE的面积=2，进而可得△BOF的面积.
16． 如图， 在 中， 分别是边 上的点， 与 相交于点 与 相交于点 ． 若 ， 则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】9
【知识点】三角形的面积；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：连接EF，过A作AG⊥DC与点G，如图：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，
∵，，，
∴cm2，
同理，cm2，
∴阴影部分的面积为：cm2.
故答案为：9.
【分析】连接EF，过A作AG⊥DC与点G，由平行四边形的性质得AB//CD，于是有，用割补法表示出△ADP和△BCQ的面积，可得，，相加即可得到结论.
三、解答题（共8题，共72分）
17．（湖南省株洲市渌口区朱亭镇龙凤中学2024-2025学年八年级下学期3月月考数学试题）如图，在平行四边形中，对角线，相交于点O，E是的中点，连接．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明：因为四边形是平行四边形，
所以
又因为E是的中点，
所以是的中位线，
所以
（2）解：由（1）是的中位线，
所以
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）利用平行四边形的对角线互相平分可证得可得，然后证明出是的中位线，即可得到；
（2）根据三角形中位线定理求解即可．
（1）证明：因为四边形是平行四边形，
所以
又因为E是的中点，
所以是的中位线，
所以；
（2）解：由（1）是的中位线，
所以．
18．（2025八下·丰顺开学考）如图所示，在中，点E，点F分别是的中点，连接．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若平分，，求平行四边形的周长．
【答案】（1）证明∶四边形是平行四边形，
，
点E，点F分别是的中点，
，
，
又，
四边形是平行四边形；
（2）解：平分，
，
又，
，
，
，
，
平行四边形的周长．
【知识点】平行线的性质；平行四边形的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）根据平行四边形性质可得，再根据线段中点可得，再根据想四边形判定定理即可求出答案.
（2）根据角平分线定义可得，再根据直线平行性质可得，则，由等角对等边可得，再根据平行四边形周长即可求出答案.
19．（2023八下·罗山期末）如图，在四边形中，，，垂足分别为点，．
（1）请你只添加一个条件（不另加辅助线），使得四边形为平行四边形，你添加的条件是________；
（2）添加了条件后，证明四边形为平行四边形．
【答案】（1）（答案不唯一，符合题意即可）；
（2）证明：∵，，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形．
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】（1）显然，直接添加，可根据定义得到结果，
故答案为：（答案不唯一，符合题意即可）；
【分析】
（1）根据平行四边形的判定定理解答即可；
（2）根根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形解答即可．
20．（2024八下·拱墅期末）如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O．已知AB∥CD，∠BAD＝∠BCD＝45°，AB＝2．
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）若BD⊥AB，求AC的长．
【答案】（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠BAD＋∠ADC＝180°，
∵∠BAD＝∠BCD，
∴∠BCD＋∠ADC＝180°，
∴AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形；
（2）解：过点C作CE⊥AB于点E，如图所示：
则∠CEA＝90°，CE∥BD，
∵BD⊥AB，
∴∠ABD＝90°，
∵∠BAD＝45°，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴BD＝AB＝2，
由（1）可知，AD∥BC，四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB＝2，
∴四边形CDBE是平行四边形，
∴BE＝CD＝2，CE＝BD＝2，
∴AE＝AB＋BE＝4，
∴AC＝．
故答案为：.
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据平行线的性质得∠BAD＋∠ADC＝180°，再证明AD∥BC，然后由平行四边形的判定即可得出结论；
（2）过点C作CE⊥AB于点E，则∠E＝90°，CE∥BD，证明△ABD是等腰直角三角形，得BD＝AB＝2，再证明四边形CDBE是平行四边形，得BE＝CD＝2，CE＝BD＝2，则AE＝AB＋BE＝4，然后由勾股定理求出AC的长即可．
21．（2024八下·罗湖期末）如图， 在四边形中， 对角线与相交于点 O，垂足分别为E，F，．
（1）求证： 四边形是平行四边形．
（2）若，，，求的长．
【答案】（1）证明：，，，
在和中，
，
，
∴，
四边形是平行四边形；
（2）解：四边形是平行四边形，
，，
，
，
由勾股定理得：，
，
．
【知识点】三角形的面积；勾股定理；平行四边形的性质；平行四边形的判定
【解析】【分析】（1）根据已知条件的边角信息进行读图标量，易判断，进而由全等三角形的性质及平行四边形的判定进行判断即可；
（2）由平行四边形的性质和勾股定理求出的长，结合等积法进一步求出斜边AO上的高，即目标线段DE长.
22．（2024八下·顺德期末）如图，点为平行四边形的对称中心，经过点的直线交边于点，交的延长线于点，交边于点，交的延长线于点．
（1）若，，，求的长；
（2）连接、，判断四边形的形状，并证明；
（3）求证：．
【答案】（1）解：解：，，，
，
，
点为平行四边形的对称中心，
，
；
（2）解：四边形是平行四边形，理由如下：
如图，四边形是平行四边形，
，
，
，，
≌，
，
四边形是平行四边形；
（3）证明：由知：≌，
，
四边形是平行四边形，
，
，，
，
≌，
，
，
即．
【知识点】三角形全等的判定；含30°角的直角三角形；平行四边形的判定与性质；中心对称的性质
【解析】【分析】（1）先根据题意结合含30°角的直角三角形的性质得到BN=2，进而运用勾股定理求出OB，再根据对称中心的定义结合题意即可求解；
（2）根据平行四边形的性质结合平行线的性质得到，进而根据三角形全等的判定与性质证明≌得到，从而根据平行四边形的判定即可求解；
（3）根据三角形全等的性质得到，进而根据平行四边形的性质结合平行线的性质得到，，再根据三角形全等的判定与性质证明≌得到，从而即可求解。
23．（2025八下·丰顺开学考）已知：如图，∠EOF=60°，在射线OE上取一点A，使OA=10cm，在射线OF上取一点B，使OB=16cm．以OA、OB为邻边作平行四边形OACB．若点P在射线OF上，点Q在线段CA上，且CQ：OP=1：2．设CQ=a（a＞0）．
（1）连接PQ，当a=2时，求线段PQ的长度．
（2）若以点P、B、C、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求a的值．
（3）连接PQ，以PQ所在的直线为对称轴，作点C关于直线PQ的对称点C'，当点C'恰好落在平行四边形OACB的边上或者边所在的直线上时，直接写出a的值．
【答案】（1）解：如图1，过A作AN⊥OB于N，过B作BD⊥AC于D，过Q作QM⊥OF于M，则AN∥BD∥MQ，
Rt△AON中，∠AOB=∠EOF=60°，OA=10，
∴ON=OA=5，AN=5，
同理得：CD=5，BD=5，
∵四边形OACB是平行四边形，
∴OB∥AC，
∴MQ=BD=5，
当a=2时，CQ=2，OP=4，
∴BM=DQ=5-2=3，
∴PM=PB+BM=16-4+3=15，
Rt△PMQ中，由勾股定理得：PQ===10（cm）；
（2）解：分两种情况：
①当P在边OB上时，如图2，四边形PBCQ是平行四边形，
∴PB=CQ，
即16-2a=a，
a=；
②当P在OB的延长线上时，如图3，四边形BPCQ是平行四边形，
∴PB=CQ
即2a-16=a，
a=16，此时Q与A重合，
综上，a的值为或16；
（3）解：a的值为7或14-2或12
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：（3）分三种情况：
①如图4，当C'在边AC上时，PQ⊥AC，过B作BD⊥AC于D时，则BD∥PQ，
∴PB=QD，
16-2a=a-5，
3a=21，
a=7；
②如图5，当C'在边OB上时，连接PC、CC'、C'Q，过C作CR⊥OP于R，
∵C与C'关于PQ对称，
∴PQ是CC'的垂直平分线，
∴PC=PC'，CQ=C'Q，
∴∠PCC'=∠PC'C，
∵AC∥OP，
∴∠PC'C=∠QCC'，
∴∠QCC'=∠PCC'，
∵CC'⊥PQ，
∴PC=CQ=a，
∵OP=2a，
∴BP=2a-16，
Rt△BCR中，∠CBR=60°，
∴∠BCR=30°，
∵BC=10，
∴BR=5，CR=5，
∴PR=5-（2a-16）=21-2a，
由勾股定理得：，
a=14+2（舍）或14-2；
③如图6，当C'在直线CB上时，连接PC、PC'、C'Q，
Rt△PBR中，∠PBR=60°，
∴∠BPR=30°，
∵PB=2a-16，
∴BR=BP=a-8，
同理得：CR=CQ=a，
∵BC=BR+CR，
∴a-8+a=10，a=12，
综上，a的值为7或14-2或12．
【分析】（1）过A作AN⊥OB于N，过B作BD⊥AC于D，过Q作QM⊥OF于M，则AN∥BD∥MQ，根据含30°角的直角三角形性质可得ON=OA=5，AN=5，同理得：CD=5，BD=5，根据平行四边形性质可得OB∥AC，则MQ=BD=5，当a=2时，CQ=2，OP=4，再根据边之间的关系可得PM=15，再根据勾股定理即可求出答案.
（2）分情况讨论：①当P在边OB上时，四边形PBCQ是平行四边形；②当P在OB的延长线上时，四边形BPCQ是平行四边形，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
（3）分情况讨论：①当C'在边AC上时，PQ⊥AC，过B作BD⊥AC于D时，则BD∥PQ，根据题意建立方程，解方程即可求出答案；②当C'在边OB上时，连接PC、CC'、C'Q，过C作CR⊥OP于R，根据垂直平分线性质可得PC=PC'，CQ=C'Q，则∠PCC'=∠PC'C，再根据直线平行性质可得∠PC'C=∠QCC'，则∠QCC'=∠PCC'，根据边之间的关系可得BP=2a-16，再根据含30°角的直角三角形性质可得PR=21-2a，再根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案；③当C'在直线CB上时，连接PC、PC'、C'Q，根据含30°角的直角三角形性质可得BR=BP=a-8，同理得：CR=CQ=a，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
24．（2024八下·青白江期末）如图，在中，，点是所在平面内的一点，过点作交于点，交于点，交于点．
（1）当点在边上时，如图所示，此时点与点重合，则线段与线段、有何关系，说明理由；
（2）当点在内部时，如图所示，作交于，求证：
四边形、四边形都是平行四边形；
．
（3）当点在外部时，如图所示，、、、这四条线段之间又有着怎样的数量关系？请写出你的猜想，并说明理由．
【答案】（1）解：如图，
，，
四边形为平行四边形，，
，
，
，
，
，
，
即：．
（2）解：证明：如图，
，
，
，
而，
四边形、都为平行四边形．
证明：四边形、都为平行四边形，
，，，
与中一样可得，
，
，
即：．
（3）解：解：结论：．
理由：作交的延长线于点，如图，
，，
四边形、都为平行四边形，
，，
与中一样可得，
，
即．
【知识点】等边三角形的性质；平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的判定与性质得到四边形为平行四边形，，，进而根据等腰三角形的性质（等边对等角）得到，等量代换得到，根据等腰三角形的判定结合线段的运算即可求解；
(2)①根据平行公理及其推论结合题意即可得到，，进而根据平行四边形的判定即可求解；
②先根据平行四边形的性质得到，，，与中一样可得，再根据线段的运算即可求解；
(3)作交的延长线于点，根据平行四边形的判定与性质得到，，与中一样可得，再进行线段的运算即可求解。
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