浙教版八下数学1-5章拓展培优题（含解析）

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八下数学1-5章拓展培优题（含解析）
一、选择题
1．（2024九上·任丘期中）有31位学生参加学校举行的“最强大脑”智力游戏比赛，比赛结束后根据每个学生的最后得分计算出中位数、平均数、众数和方差，如果去掉一个最高分和一个最低分，则一定不发生变化的是（　　）
A．中位数 B．平均数 C．众数 D．方差
2．（2024八下·东阳期中）2021 年，党中央国务院赋予浙江省建设“共同富裕示范区”的光荣使命，共同富裕的要求是： 在消除两极分化和贫穷基础上实现普遍富裕．下列有关人均收入的统计量特征中，最能体现共同富裕要求的是（　　）
A．平均数大，方差大 B．平均数大，方差小 C．平均数小，方差小 D．平均数小，方差大
3．（2025八下·温州月考）某商家常将单价不同的A、B两种糖混合成“什锦糖”出售，记“什锦糖”的单价为：A、B两种糖的总价与A、B两种糖的总质盘的比、现有两种“什锦糖”：一种是由相同千克数的A种糖和B种糖混合而成的“什锦糖”甲另一种是由相同金额数的A种糖和B种糖混合而成的“什锦糖”乙，则下列判断正确的是（　　）
A．甲的单价比乙的单价贵 B．甲的单价比乙的单价便宜
C．甲的单价和乙的单价相同 D．无法判断
4．（2024八下·钱塘期中）已知关于x的一元二次方程，有下列结论：①当时，方程有两个不相等的实数根；②当时，方程不可能有两个异号的实数根；③当时，方程的两个实数根不可能都小于1．其中正确的个数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
5．（2025八下·杭州月考）关于的一元二次方程的两个根为，且．下列说法正确是（　　）
①；②；③④关于x的一元二次方程的两个相头．
A．①②③ B．①②④ C．③④ D．①③④
6．（2024八下·杭州期中）《周髀算经》中有一种几何方法可以用来解形如的方程的正数解，方法为：如图，将四个长为，宽为x的长方形纸片（面积为16）拼成一个大正方形，于是大正方形的面积为，边长为10，故得的正数解为．小明用此方法解关于x的方程时，构造出同样的图形，已知大正方形的面积为14，小正方形的面积为4，则（　　）
A． B． C． D．
7．（2024八下·义乌月考）对于一元二次方程，下列说法：
①若c是方程的一个根，则一定有成立；
②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；
③若，则它有一根为；
④若，则一元二次方程两个不相等的实数根；
其中正确的是（　　）
A．②③④ B．①③④ C．②③ D．①②
8．（2024八下·义乌期中） 四个正方形如图所示放置，若要求出四边形的面积则需要知道下列选项中哪个面积(　　)
A． B． C． D．
9．（2024八下·杭州期中）对于一元二次方程，下列说法其中正确的是（　　）
①若方程的两个根是和2，则；
②若是方程的一个根，则一定有成立；
③若，则它有一个根是；
④若方程有一个根是，则方程一定有一个实数根．
A．①②③④ B．②③④ C．①③④ D．①②③
10．（2024九下·闵行模拟）如图，在矩形中，为对角线的中点，．动点在线段上，动点在线段上，点同时从点出发，分别向终点运动，且始终保持．点关于的对称点为；点关于的对称点为．在整个过程中，四边形形状的变化依次是（　　）
A．菱形→平行四边形→矩形→平行四边形→菱形
B．菱形→正方形→平行四边形→菱形→平行四边形
C．平行四边形→矩形→平行四边形→菱形→平行四边形
D．平行四边形→菱形→正方形→平行四边形→菱形
二、填空题
11．（2024八上·安吉期中）如图，在矩形中，，，将矩形折叠，使点与点重合，点落在点处，折痕为，则　 　，　 　．
12．（2025八下·杭州月考）如果关于x的一元二次方程a2+bx+c=0有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的有　 　（填序号）
①方程x2-x-2=0是倍根方程；
②若（x-2)（mx+n)=0是倍根方程：则4m2+5mn+n2=0；
③若p，q满足pq=2，则关于x的方程叔px2+3x+q=0是倍根方程；
④若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0是倍根方程，则必有2b2=9ac·
三、解答题
13．（2024八下·东阳期中）【基础感知】若一元二次方程的两个实数根为a，b且，求的值；
【尝试应用】已知，，…，现将两个实数根分别代入方程得：；得：；
对①式和②式分别乘以和得：；得：；
请根据以上过程算出和的值；
【拓展提升】观察、、之间的数量关系，试给出，，的数量关系，并证明．
14．（2024八下·杭州期中）小辰在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解的：
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴．
请你根据小辰的分析过程，解决如下问题：
（1）①化简 ．
②当时，求的值．
（2）化简．
15．（2025八下·杭州月考）数学项目化学习课上，要子牙和申公豹在讨论师父元始天尊出的一道求值问题：
已知非零实数x，y同时满足等式x2+4x=y+4，y2+4y=x+4，求的值.
申公豹：哈哈！x=y时结果为正数.
姜子牙：x，y不一定相等哦.
结合他们的对话，请解答下列问题：
（1）当x=y时，求x的值：
（2）判断x和y之间的关系，并说明理由：
（3）的值.
16．（2024八下·义乌期中） 配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．
（1）解决问题：若可配方成、为常数），则　 　；
（2）探究问题：已知，则　 　；
（3）已知（x、y都是整数，k是常数），要使S的最小值为2，试求出K的值．
（4）拓展结论：已知实数、满足，求的最值．
17．（2024八下·萧山期中）【综合与实践】
【问题情境】对于关于的一元二次方程（，，为常数，且），求方程的根的实质是找到一个的具体的值，代入之后等式成立．一般情况下，如果有两个不同的的具体值都满足，这就说明这个方程有两个根，且两根与，，之间具有一定的关系．
【操作判断】项目研究小组经过讨论得到两个结论：
（1）当时，则一元二次方程必有一根是．
（2）当时，则一元二次方程必有一根是．
请判断两个结论的真假，并说明原因．
【实践探究】项目研究小组经过讨论编制了以下问题，请帮助解决：
方程的较大的根为，方程的较小的根为，求的值．
18．（2024九上·苏州月考）根据以下信息，探索完成任务．
如何设计种植方案？
素材1 小明以“种植农作物”为主题在自己家平方米的土地上进行课外实践，现有、两种作物的相关信息如下表所示： 　作物作物每平方米种植株树（株）单株产量（千克）
素材2 由于作物植株间距较大，可增加作物每平方米的种植株树．经过调研发现，每平方米种植作物每增加株，作物的单株产量减少千克．
素材3 若同时种植、两种作物，实行分区域种植．
问题解决
单一种植（全部种植作物） 任务1：明确数量关系 设每平方米增加株作物（为正整数），则每平方米有 　 　株，单株产量为 　 　千克．（用含的代数式表示）
任务2：计算产量 要使作物每平方米产量为千克，则每平方米应种植多少株？
分区种植（种植、两种作物） 任务3：规划种植方案 设这平方米的土地中有平方米用于种植作物，且每平方米产量最大，其余区域按照每平方米株种植作物，当这平方米总产量不低于千克时，则的取值范围是 　 　．
19．（2024八下·北仑期中）根据以下素材，完成探索任务．
探索果园土地规划和销售利润问题
素材1 某农户承包了一块长方形果园，图1是果园的平面图，其中米，BC=300米，准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路的宽度都为米，左右两条纵向道路的宽度都为米，中间部分种植水果，出于货车通行等因素的考虑，道路宽度x不超过12米，且不小于5米.
素材2 该农户发现某一种草莓销售前景比较不错，经市场调查，草莓培育一年可产果，若每平方米的草莓销售平均利润为100元，每月可销售5000平方米的草莓；受天气原因，农户为了快速将草莓出手，决定降价，若每平方米的草莓平均利润下调3元，每月可多销售300平方米草莓，果园每月的承包费为2万元
问题解决
任务1 解决果园中路面宽度的设计对种植面积的影响. （1）请直接写出纵向道路宽度x的取值范围． （2）若中间种植的面积是，则路面设置的宽度是否符合要求.
任务2 解决果园种植的预期利润问题． （总利润＝销售利润﹣承包费） （3）若农户预期一个月的总利润为52万元，则从购买草莓客户的角度应该降价多少元？
答案解析部分
1．【答案】A
【解析】【解答】去掉一个最高分和一个最低分对中位数没有影响，故答案为：A．
【分析】根据中位数的定义：位于中间位置或中间两数的平均数可以得到去掉一个最高分和一个最低分不影响中位数．
2．【答案】B
【解析】【解答】解：∵平均数越大，说明总收入越多，总体更加富裕；
方差越小，数据的波动性越小，越稳定，说明每个人的收入相差不大；
∴平均数大，方差小，最能体现共同富裕要求.
故答案为：B.
【分析】根据平均数和方差的意义进行分析，方差反映的是数据在它的平均数附近波动的情况，是用来衡量一组数据波动大小的量，依此分析即可作答.
3．【答案】A
【解析】【解答】解：分别设A种糖每千克x元，B种糖每千克y元，则
故答案为：A.
【分析】分别设出A、B两中糖果的价格为每千克x和y元，则1千克A与1千克B型糖果混合可求出甲型什锦糖的单价，y千克A型和x千克B型糖果混合时金额相同，利用加权平均值可求出乙型什锦糖的单价，最后再利用异分母分式的减法运算作差，再利用完全平方公式的非负性结合已知A、B型糖果单价不同即可比较.
4．【答案】C
【解析】【解答】解： ① ∵中，
∴①当时，，方程有两个不相等的实根，故①正确，
②当时，两根之积，方程的两根异号，故②错误，
③∵，
∴方程的根为，
∴，，
∴方程的两个实根不可能都小于1，故③正确．
故答案为：C．
【分析】先求出关于的一元二次方程根的判别式，再利用求根公式可写出两个根，最后根据题设分别验证结论即可．
5．【答案】B
【解析】【解答】解： 一元二次方程的两个根为
、
所以 ① 、 ② 都正确；
即
所以 ③ 错误；
整理关于x的一元二次方程得：
方程的两个根分别为：
、
所以 ④ 正确.
故答案为：B.
【分析】先根据已知可判断一元二次方程的常数项的性质符号为正，则根据根与系数的关系可判断两个根的和与积的符号；另外由根的判别式可判定出；再整理关于x的一元二次方程为，再利用根与系数的关系对给出的两个根进行验证即可.
6．【答案】D
【解析】【解答】解：∵ 大正方形的面积为14，小正方形的面积为4，
∴关于 x的方程 化为，
∴图中长方形的长为，宽为x ，
∴图中小正方形的边长是 ，
大正方形的边长是 ，
∴ ，
∴ ，
故 ， ，
故答案为：D．
【分析】根据题意将x的方程 化为，即长方形的长为，宽为x ，再依据大正方形的面积为14，小正方形的面积为4，用代数式表示出边长即可．
7．【答案】A
【解析】【解答】解：①若是方程的一个根，则，当时，，所以①错误；
②若方程有两个不相等的实根，则，
因为方程的根的判别式，
所以方程必有两个不相等的实根，所以②正确；
③若时，则，则，
，
解得，，所以③正确；
④若，则，所以一元二次方程有两个不相等的实数根，所以④正确．
故选A．
【分析】
① 把代入到原方程中得：，只有时才有，故结论不正确；
② 由方程有两个不相等的实根得异号，则，故结论正确；
③ 把代入到原方程中得：，故结论正确；
④ 由于，则配方法可将根的判别式表示成的形式，显然结论正确．
8．【答案】A
【解析】【解答】解：如图，连接FJ，
∵四边形AEFG、BEJK是正方形，
∴AE=EF，BE=EJ=JK，∠AEF=∠BEJ=∠BAE=∠EFG=∠MKJ=∠LJE=90°，
∴∠AEB+∠BEF=∠BEF+∠FEJ，
∴∠AEB=∠FEJ，
在和中，
，
∴，
∴∠EFJ=∠BAE=90°，，
∴∠EFJ+∠EFG=180°，
∴M，F，J三点共线，
∵∠EFJ=90°，
∴∠FJE+∠FEJ=90°，
∵∠LJE=∠KJM+∠FJE=90°，
∴∠FEJ=∠KJM，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：A.
【分析】连接FJ，根据正方形的性质得AE=EF，BE=EJ=JK，∠AEF=∠BEJ=∠BAE=∠EFG=∠MKJ=∠LJE=90°，从而得∠AEB=∠FEJ，进而证出，根据全等三角形的性质得∠EFJ=∠BAE=90°，，于是有M，F，J三点共线，得∠EFJ=90°，然后得∠FEJ=∠KJM，证出，则有，最后得.
9．【答案】C
【解析】【解答】解：若方程的两个根是和2，则，
∴，
∴；
故①正确；
若是方程的一个根，则，
∴或，
故②错误；
若，则，
即有一个根是；
故③正确；
若方程有一个根是，则，
当时，，
即若方程有一个根是，则方程一定有一个实数根．
故④正确；
综上可知，正确的是①③④，
故答案为：C
【分析】 ① 由一元二次方程根与系数的关系可得出，显然结论成立； ② 由方程解的概念，把 代入到方程中进行验证可发现可能等于0，故结论不成立； ③ 把代入到方程中验证发现结论成立； ④ 由方程解的概念可分别验证，发现结论成立．
10．【答案】A
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，
∴，，
∴，，
∵、，
∴
∵对称，
∴，
∴
∵对称，
∴，
∴，
同理，
∴
∴
∴四边形是平行四边形，
如图所示，
当三点重合时，，
∴
即
∴四边形是菱形，
如图所示，当分别为的中点时，
设，则，，
在中，，
连接，，
∵，
∴是等边三角形，
∵为中点，
∴，，
∴，
根据对称性可得，
∴，
∴，
∴是直角三角形，且，
∴四边形是矩形，
当分别与重合时，都是等边三角形，则四边形是菱形
∴在整个过程中，四边形形状的变化依次是菱形→平行四边形→矩形→平行四边形→菱形，
故答案为：A．
【分析】根据矩形性质可得，，则，，根据边之间的关系可得，再根据对称性质可得，，同理，再根据平行四边形判定定理可得四边形是平行四边形，当三点重合时，，则，即，再根据菱形判定定理可得四边形是菱形，当分别为的中点时，设，则，，连接，，根据等边三角形判定定理可得是等边三角形，再根据勾股定理可得AE，根据对称性可得，再根据勾股定理逆定理可得是直角三角形，且，再根据矩形判定定理可得四边形是矩形，当分别与重合时，都是等边三角形，则四边形是菱形，即可求出答案.
11．【答案】5；
【解析】【解答】解：∵四边形为矩形，
，
由折叠可知，，
设，则，
在中，，
，
解得：，
，，
，
，
，
，
如图，过点E作于点H，
则，
∴四边形为矩形，
，
，
在中，．
故答案为：5；．
【分析】
（1）由折叠的性质知，AE等于EC，在Rt中应用勾股定理即可；
（2）如图所示，过点E作于点H，则EH等于AB、FH等于CE减去BE，再在Rt中应用勾股定理即可．
12．【答案】①④
【解析】【解答】解： ①
不是倍根方程，故 ① 错误；
②
③
④ 设方程的两个根分别为和
当时，，化简得：
当时，，化简得：
故④正确；
故答案为：①④.
【分析】（1）先利用因式分解法求出方程的两个根再进行验证即可；
（2）（3）信息不全，无法作答；
（4）先设出方程的两个根，再利用公式法求出两个根，最后再进行验证即可.
13．【答案】解：【基础感知】∵，
∴，
解得：，，
∵ 一元二次方程的两个实数根为a，b且，
∴，，
∴；
【尝试应用】∵，，
∴，
∵，
∴；
【拓展提升】猜想：，证明如下：
∵a为一元二次方程的两个实数根，
∴，两边都乘以，得：①，
同理可得：②，
，得：，
∵，，，
∴，
∴．
【解析】【分析】【基础感知】先利用因式分解法解一元二次方程得出，，结合题意得出，，代入数值进行计算即可得的值；
【尝试应用】由基础感知得，由，可求出，再由，可求出；
【拓展提升】根据题意得，两边都乘以，得①，同理可得②，再由得出，即可得出答案．
14．【答案】（1）解：（1）①；
②原式
当时，原式
（2）解：
【解析】【分析】（1）①利用平方差公式给分数的分子与分母同时乘以即可化分母为整数1；
②先利用配方法把整式表示成一个完全平方式的倍数与一个常数和的形式，再代入的值，可达到简化计算的目的；
（2）先对每个分数进行分母有理化，可把原算式转化成同分母分数的加法运算．
（1）解：（1）①；
②
；
（2）解：
．
15．【答案】（1）解：当x=y时，则 x2+4x=x+4
即：x2+3x－4=0
答： 当x=y时， x的值为1或－4；
（2）解：
得：
或
（3）解：当时，；
当时，得：
即：
【解析】【分析】（1）当x=y时，直接得到关于x或y的一元二次方程，直接利用因式分解法解方程即可验证结论；
（2）观察两个等式的特点，可利用等式的基本性质进行作差，从而对新的等式进行变形使等号右边变为0，再利用提公因式法对等式左边分解因式，从而得到可 x和y之间的关系 ；
（3）利用（2）中的结论进行分类讨论，当x=y时计算非常简单，但当时，需要利用等式的基本性质进行求和，可先求出与的平方和，再利用完全平方公式可求出与的乘积，则所求代数式的值可求.
16．【答案】（1）-2
（2）-2
（3）解：∵（x、y都是整数，k是常数），要使S的最小值为2，
∴，
∴，
∴；
（4）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴当时，的最大值为6.
【解析】【解答】解：（1）∵，
∴，
∴，
故答案为：-2；
（2）∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：-2.
【分析】（1）利用完全平方公式配方得，从而得m，n的值，即可求解；
（2）利用完全平方公式配方得，根据偶次方的非负性求出x，y的值，即可求解；
（3）利用完全平方公式配方得，根据S的最小值为2得k-8=2，从而求出k的值；
（4）先求出，然后得，利用完全平方公式配方得，最后利用偶次方的非负性即可求出最大值.
17．【答案】解：（1）结论正确，理由如下：令代入得，符合题意；
（2）结论正确，理由如下：
令代入得：，即，符合题意；
实践探究：
∵
，
是方程的根．
设方程的另外一个根是，则，
；
又，
是方程的一个根，
设方程的另外一个根为，
则，
，
．
【解析】【分析】（1）把代入得到，然后判断解题即可；
（2）把代入得到，即可解题；
实践探究：通过计算得到是方程的根，设方程的另一个根是，根据根与系数的关系可得：，即可得道；将代入可推出是方程的一个根，同理求出，代入计算解题．
18．【答案】解：任务一：，；
任务二：根据题意得：，
整理得：，
解得：，
∴或，
答：每平方米应种植株或株；
任务三：
【解析】【解答】
任务一：设每平方米增加株作物（为正整数），则每平方米有株，单株产量为千克，故答案为：，；
任务三：设种植作物每平方米的产量为千克，
根据题意得：，
∵，
∴当时，有最大值，最大值为，
∴种植作物每平方米最大产量为千克，
根据题意得：，
解得，
则的取值范围是，
故答案为：．
【分析】任务一：设每平方米增加株作物，则每平方米有株，单株产量为千克；
任务二：由等量关系“单株产量每平米的株数等于4.8千克”，列出方程并解方程即可；
任务三：由于总产量y是每平方米株数x的二次函数，可根据二次函数的性质求出其最大值，再根据不等关系“平米种植作物和作物的产量之和”列出不等式并解不等式即可．
19．【答案】解：（1）根据题意得：；
（2）根据题意得：，
整理得：，
解得：，
，
即：路面设置的宽度符合要求；
（3）设每平方米草莓平均利润下调元，则根据题意得：，
整理得：，
解得：，，
又要让利于顾客，
．
答：每平方米草莓平均利润下调元.
【解析】【分析】（1）由货车通行需求“道路宽度不超过米，且不小于米”知，即有；
（2）由题意知种植园即矩形MPQN的宽等于、长等于，则由面积可列关于的一元二次方程并解方程即可，注意实际问题应对该二元一次方程的解予以取舍；
（3）设每平方米草莓平均利润下调元，则每平方米草莓平均利润为元，每月可售出平方米草莓，利用总利润销售利润承包费，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，再结合要让利于顾客，即可确定结论．
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