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第4章：平行四边形培优训练试题答案
选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分）
温馨提示：每一题的四个答案中只有一个是正确的，请将正确的答案选择出来！
1.答案：B
解析：∵是平行四边形，
∴，
故选择：B．
2.答案：D
解析：∵正多边形的一个内角是，
∴它的外角是：，
．
即这个正多边形是九边形．
故选择：D．
3.答案：A
解析：令，
∴，
∵将该直线沿轴向下平移4个单位长度后，
∴平移后解析式为：，
同理可求，
∵点与关于原点对称，
∴，
解得：,
故选择：A．
4.答案：A
解析：如图，
由折叠的性质得：,
,
∵四边形ABCD是平行四边形
∴，
，
在中，，
,
∴,
故选择：A．
5.答案：A
解析：由旋转的性质可得，，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，解得，
故选择：A．
6.答案：B
解析：连接E,F两点，过点E作于点M，
，
∵四边形ABCD是平行四边形，
，
的FC边上的高与的FC边上的高相等，
，
，
同理：，
，
∵
，
故阴影部分的面积为．
故选择：B．
7.答案：A
解析：如图，设交于点，取的中点，连接，
，，
，，
是的中点，是的中点，
，，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
．
故选择：A．
8.答案：B
解析：尺规作图的过程，得是的垂直平分线，
∴．
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴．
∵，，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
故选择：B．
9.答案：B
解析：①∵四边形ABCD为平行四边形，
∴DC=BA，DC∥BA，
∵E、F、G分别是OC、OD、AB的中点，
∴DC∥EF，DC=2EF，BA=2GB，
∴FE=GB，DC∥FE∥BA，
∴四边形EFGB为平行四边形，
∴GN＝NE，①正确；
②∵四边形ABCD为平行四边形，
∴CB=DA，DO=BO，OA=OC，
∵BD＝2AD，
∴BO=CB，
∵E为CO的中点，
∴CA⊥EB，
∵四边形EFGB为平行四边形，
∴EB∥FG，
∴CA⊥FG，
∴AE⊥GF，②正确；
③∵CB=OB，
∴∠OCB=∠COB，
∴∠COB＞∠ACD，
∴∠DCA≠∠OCB，
∴AC不平分∠BCD，③错误；
④∵E为CO的中点，BC=OB，
∴CA⊥EB，
∴∠EOB≠90°，
∴AC⊥BD不成立，④错误；
故选择：B
10.答案：B
解析：如图所示，设和相交于点，
∵，于点，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴在和中，
∴，故①正确；
由①可得，
∴，
又∵，
∴为等腰直角三角形，故②正确；
∵，
∴，
∵为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵沿直线翻折至所在的平面内，得，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，故③正确；
∵，
∴在中，，
∵，
∴，
∴，
∵为等腰直角三角形，
∴设，
∴在中，，
∴，
解得：，负值舍去，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴四边形的周长为：
，故④错误．
综上所述，正确的个数是3．
故选择：B．
填空题（本题共6小题，每题3分，共18分）
温馨提示：填空题必须是最简洁最正确的答案！
11.答案：
解析：点关于原点对称的点的坐标是，
故答案为：．
12.答案：
解析：用反证法证明：“若的周长为16，
则较长边AB的长不小于4”，
则应先假设，
故答案为：
13.答案：42
解析：四边形各边中点分别是、、、，
、、、分别为、、、的中位线，
，，，，
四边形的周长为：，
故答案为：42．
14.答案：
解析：∵四边形ABCD是平行四边形.
∴AB//CD，AD//BC.
∴∠B+∠C=180°，∠BAD+∠CDA=180°.
又∵BC=2AB，E 为BC的中点.
∴AB=BE，CD=CE.
∴∠BAE=∠AEB，∠DEC=∠CDE.
∵AD//BC.
∴∠DAE=∠AEB，∠ADE=∠DEC.
∴∠BAE=∠DAE=∠BAD，∠ADE=∠CDE=∠CDA.
∵∠BAD+∠CDA=180°.
∴∠EAD+∠EDA=180°÷2=90°.
∴∠AED=180°-90°=90°.
故答案为：90°
15.答案：4
解析：如图，延长AE、BC交于点G，
∵点E是CD的中点，
∴ED=CE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠D=∠ECG，
又∵∠AED=∠GEC，
∴△ADE≌△GCE（ASA），
∴CG=AD=5，AE=GE，∠G=∠DAE，
∵ AE平分∠FAD，
∴∠DAE=∠FAD=30°，
∴∠G=∠FAE=30°，
∴AF=FG=3+5=8，
∴EF⊥AG，
∴Rt△AEF中，.
故答案为：4.
16.答案：
（1）如图，
由题意设，则，，
∴
∴
故答案为：
（2）如图，由勾股定理可得，
，，
又平行四边形的周长比长方形③的周长大18，
，
，
．
故答案为：
三．解答题（共8题，共72分）
温馨提示：解答题应将必要的解答过程呈现出来！
17.证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴．
18.解析：（1）选择①，
证明：∵，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形；
选择②，
（1）证明：∵，，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形；
（2）解：由（1）得，
∵，，
∴．
19.(1)证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∵，
∴即，
在与中，
，
∴；
(2)添加（答案不唯一）
如图所示，连接．
∵四边形是平行四边形，
∴，即，
当时，四边形是平行四边形．
20.解析：（1）如图，平行四边形ABCD即为所求；
（2）如图所示，
过点A作
∴平行四边形ABCD的面积=
又∵的面积
∴上的高线
∴较长边上的高为
如图所示，过点D作
∴平行四边形ABCD的面积=
又∵的面积,
∴上的高线
∴较长边上的高为
综上所述，平行四边形的面积及较长边上高线的长度分别为7，或5，
21.解析：（1）证明：，，
．
又是边的中点，
∴，
为的中位线，
，
，
四边形是平行四边形．
（2）解：四边形是平行四边形，
，
、分别是、的中点，
，
，
．
22.解析：（1）∵四边形OABC是平行四边形，
∴AB∥OC，AB＝OC，
∴AB可由OC平移得到，
∵点A（﹣2，4），点C（5，1），O（0，0），
∴B（5﹣2，1+4），
即B（3，5），
故答案为：（3，5）；
（2）将B（3，5）代入y＝kx+b，得：3k+b＝5，
∴b＝5﹣3k；
（3）一次函数y＝kx+b（k、b为常数，且k≠0）的图象过点B，
∴当一次函数y＝kx+b的图象将平行四边形OABC分成面积相等的两部分时，图象必过（0，0）点，
由（2）知：y＝kx+5﹣3k，
∴5﹣3k＝0，
∴；
（4）当直线y＝kx+b经过A点时，得，
解得：，
当直线y＝kx+b经过C点时，得：，
解得：k＝﹣2，
∵一次函数y＝kx+b的图象与平行四边形OABC的边只有两个公共点，
∴或k＜﹣2．
23．解析：（1）6；8
（2）解：根据题意可知：
由于AD∥BC，
∴当PD=CQ时，四边形PQCD是平行四边形，
∴6-0.5x=2x，
解得x=2.4
∴当点 P、Q同时出发，并运动了2.4秒后，四边形PQCD是平行四边形；
（3）解：∵AD=6cm，P点的速度每秒为0.5cm，
∴0∴Q点移动的最大距离为：12×2=24cm，
∵AD=BC=6cm，Q点的速度每秒为2cm，
∴Q点走完6cm的距离所需时间为6÷2=3秒
根据题意可知：AP=0.5tcm，点Q的运动距离为2tcm，
∴PD= AD-AP=（6-0.5t）cm，当P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形，即有PD=BQ
①当0∴6-0.5t = 6-2t，
解得t=0（不符合题意，舍去）；
②当3＜t≤6时，PD=(6-0.5x)cm，BQ=(2t-6)cm，
∴6-0.5t=2t-6
解得t=4.8；
③当6解得t=8；
④9＜t≤12时，PD=(6-0.5x)cm，BQ=(2t-18)cm，
解得t=9.6；
综上所述，当t为4.8秒货8秒货9.6秒时，以点P、D、Q、B四点组成的四边形是平行四边形.
24.解析：（1）由折叠性质得，，
∴，
∵是的中点，
∴，
∴，则，
∴，即；
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
故答案为：，，；
（2）在的值发生变化的过程中，（1）中的结论仍然成立，
理由如下：由折叠，可得，．
∵为的中点，
∴．
∴．
∴，
又，
∴．
∴，
∵四边形是平行四边形．
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∴；
（3）作于点，则，
∵，
∴，
∴，则为等腰直角三角形，
∵，
∴，
在中，由勾股定理可得，
∴．
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第4章：平行四边形培优训练试题
选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分）
温馨提示：每一题的四个答案中只有一个是正确的，请将正确的答案选择出来！
1.如图，平行四边形ABCD的对角线与相交于点O，则下列结论一定正确的是（ ）
A. B. C. D.
2.如果一个正多边形每个内角都为，那么该正多边形的边数是（ ）
A．六 B．七 C．八 D．九
3.在平面直角坐标系中，直线（m为常数）与轴交于点，将该直线沿轴向下平移4个单位长度后，与轴交于点．若点与关于原点对称，则的值为（ ）
A．2 B． C．4 D．-4
4.如图，将一张平行四边形纸片ABCD以DE为折痕进行折叠，点C的对应点为．若,，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5.如图，在△ABC中，∠A＝70°，AC=BC，以点B为旋转中心把△ABC按顺时针旋转一定角度，得到，点恰好落在AC上，连接，则度数为（ ）
A． B． C． D．
6.如图E,F分别是平行四边形ABCD的边AB，CD上的点，AF与DE相交于点P，BF与CE相交于点Q，若，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
7.如图，在四边形中，，平分交于中点，点在边上，且，若，，则（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
8.如图，在中，小美同学按如下步骤尺规作图：①分别以点A、C为圆心，以大于为半径作弧，两弧交于点E、F；②作直线，交于点O，交于点G；③作射线，在射线上截取（B与D不重合），使得；④作直线．若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
9．在 ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD＝2AD，E、F、G分别是OC、OD、AB的中点，下列结论：①GN＝NE；②AE⊥GF；③AC平分∠BCD；④AC⊥BD，其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．如图，在中，，，于点D，于点E，，
连接，将沿直线翻折至所在的平面内，得，连接．
过点D作交于点G． 则下列结论：①；②为等腰直角三角形；
③四边形平行四边形；④四边形的周长为．其中正确的有（ ）个
A．4 B．3 C．2 D．1
填空题（本题共6小题，每题3分，共18分）
温馨提示：填空题必须是最简洁最正确的答案！
11 .点关于原点中心对称的点的坐标是_______________
12.用反证法证明“若的周长为16，则较长边的长不小于4”时，应假设___________
13.如图，四边形各边中点分别是，若对角线，则四边形的周长是______
14．如图，在 ABCD中，BC=2AB，E 为BC的中点，则∠AED=
15．如图，在 ABCD，点F是BC上的一点，连接AF，AE平分∠FAD，交CD于中点E，连接EF．若∠FAD＝60°，AD＝5，CF＝3，则EF＝ ．
16.图1是由两个全等直角三角形和两个长方形组成的，将其剪拼成不重叠，无缝隙的大正方形（如图2）．记①，②，③，④的面积分别为，，，，已知．
（1） ．；
（2）若平行四边形ABCD的周长比长方形③的周长大18，则BC为 ．
三．解答题（共8题，共72分）
温馨提示：解答题应将必要的解答过程呈现出来！
17.（本题6分）如图，在平行四边形ABCD中，E，F是对角线上的点，且．求证：．
18（本题6分）如图，在四边形中，，点E在边上， ．请从“①；②，”这两组条件中任选一组作为已知条件，填在横线上（填序号），再解决下列问题：
（1）求证：四边形为平行四边形；
（2）若，，，求线段的长．
19.（本题8分）如图，在平行四边形ABCD中，点，分别在边，上，．
（1）求证：；
（2）连接．请添加一个与线段相关的条件，使四边形是平行四边形．（不需要说明理由）
20（本题8分）在如图所示的方格中，每个小方格的边长都为1．
(1)请在网格中画一个相邻两边长分别为、的平行四边形，使它的顶点都在格点上．
(2)求出题（1）中平行四边形的面积及较长边上高线的长度．
21.(本题10分）如图，在中，点是边的中点，点，G在边上，，交于E， ．(1)求证：四边形是平行四边形；(2)若，求的长．
22.（本题10分）如图，在平面直角坐标系中，点A、C的坐标分别为（﹣2，4），（5，1），以OA、OC为邻边作平行四边形OABC，一次函数y＝kx+b（k、b为常数，且k≠0）的图象过点B．
（1）点B的坐标为 ；
（2）求用含k的代数式表示b；
（3）当一次函数y＝kx+b的图象将OABC分成面积相等的两部分时，求k的值．
（4）直接写出一次函数y＝kx+b的图象与OABC的边只有两个公共点时k的取值范围．
23．（本题12分）如图1，在四边形ABCD中，AD//BC，AD=acm，BC=bcm，b满足，若动点P从A点出发，以每秒0.5cm的速度沿线段AD向点D运动；点Q从C点出发以每秒2cm的速度沿 CB 方向运动，动点P、Q同时停止运动，回答下列问题：
（1）AD= cm，BC= cm.
（2）设点 P、Q同时出发，并运动了x秒，求当x为多少秒时，四边形 PQCD 成为平行四边形？
（3）如图2，若四边形ABCD变为平行四边形ABCD，AD=BC=6cm，动点P以每秒0.5cm的速度沿线段AD向点D运动；动点Q从C点出发以每秒2cm的速度在BC间往返运动，P，Q两点同时出发，当点P到达点 D时停止运动（同时Q点也停止），求当t为多少秒时，以 P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形.
24.（本题12分）综合与实践课上，李老师以“发现—探究—应用”的形式，培养学生数学思想，训练学生数学思维，以下是王老师的课堂主题展示：
【问题情境】在中，，，，是的中点，连接，将沿折叠得到（点不与点重合），作直线交于点．
【观察发现】（1）如图1，若，则与的大小关系是 ；线段与的数量关系是__________________，位置关系是___________________；
【类比探究】（2）在的值发生变化的过程中，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请仅就图2的情形给出证明；若不成立，请说明理由；
【拓展应用】（3）当，且点在内部时，请直接写出线段的长．
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