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第4章 平行四边形 单元综合诊断自查卷
一、单选题
1.2024年7月27日,第33届夏季奥运会在法国巴黎举行,如图所示巴黎奥运会项目图标,它( )
A.是轴对称图形
B.是中心对称图形
C.既不是轴对称图形也不是中心对称图形
D.既是轴对称图形又是中心对称图形
2.剪纸艺术是中国优秀的传统文化.在下列剪纸图案中,是中心对称图形的是( )
A. B.
C. D.
3.下列命题是假命题的是( )
A.到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上
B.三个角都相等的三角形是等边三角形
C.成中心对称的两个图形中,对应点连线段经过对称中心,且被对称中心平分
D.斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等
4.如图,把剪成三部分,边放在同一直线上,点都落在直线上,直线.在中,若,则的度数为( )
A.70° B.75° C.80° D.85°
5.如图所示,四边形 的对角线 和 相交于点 ,下列判断正确的是( )
A.若 ,则 是平行四边形
B.若 ,则 是平行四边形
C.若 , ,则 是平行四边形
D.若 , ,则 是平行四边形
6.如图:小明从点A出发,沿直线前进5m后向左转30°,再沿直线前进5m后,又向左转30°,照这样方式走下去,他第一次回到出发点A时,一共走了( )
A.50m B.60m C.70m D.80m
7.如图,中,,、分别是、上两点,,,点、、分别是、、的中点,则的长为( )
A. B. C. D.
8.在平面直角坐标系中,平行四边形 的边 在 轴上,顶点 , ,对角线 、 相交于点 、分别以点 、 为圆心,以大于 长为半径画弧,两弧交于点 ,连接 交 于点 ,则点 的横坐标为( ).
A.5 B.4 C.3 D.1
9.正六边形蜂巢的建筑结构密合度最高、用材最少、空间最大、也最为坚固.如图,某蜂巢的房孔是边长为6的正六边形,点O是正六边形的中心,则的长为( )
A.12 B. C. D.
10.如图,以任意△ABC的边AB和AC向形外作等腰Rt△ABD和等腰Rt△ACE,F、G分别是线段BD和CE的中点,则的值等于( )
A. B. C. D.
二、填空题
11.如图,在中,轴,,,反比例函数的图象经过点,且与交于点.若,则点的坐标为 .
12.将正三角形、正四边形、正五边形按如图所示的位置摆放.如果∠3=30°,那么∠1+∠2= °
13.点P(5,﹣3)关于原点的对称点的坐标为 .
14.如图,平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O,EF过点O与AD、BC相交于点E、F,若AB=5,BC=6,OF=2,那么四边形ABFE的周长是 .
15.如图,在四边形ABCD中,E,F分别是AB,AD的中点,若EF=2,BC=5,CD=3,则点D到直线BC的距离为 .
16.正十二边形的内角和等于 ,外角和等于 ,每个内角等于 .
三、综合题
17.如图,矩形ABCD中,E是AD的中点,延长CE、BA交于点F,连接AC、DF.
(1)求证:四边形ACDF是平行四边形;
(2)当CF平分∠BCD时,写出BC与CD的数量关系,并说明理由.
18.某同学要证明命题“平行四边形的对边相等.”是正确,他画出了图形,并写出了如下已知和不完整的求证.
已知:如图,四边形ABCD是平行四边形.
求证:AB=CD,
(1)补全求证部分;
(2)请你写出证明过程.
19.如图,在四边形ABCD中,AB=CD,BF=DE,AE⊥BD,CF⊥BD,垂足分别是E、F.
(1)求证:△ABE≌△CDF;
(2)若AC与BD交于点O,求证:AO=CO.
20.课后,老师在黑板上留了一道练习题,其中部分条件被遮盖
已知:如图,E,F是平行四边形对角线上两点,____求证:四边形是平行四边形.
(1)请你从①,②,,③中选择一个条件补全命题并证明此命题成立.
已知:如图,E,F是平行四边形对角线上两点,( )(填写条件内容)
求证:四边形是平行四边形.
(2)在(1)中备用的条件中,是否还有可选的条件使命题成立?若有,请直接写出条件,若没有,请说明理由.
21.如图,在四边形ABCD中,已知∠B=∠D=90,∠A:∠C=1:5,AB=6,CD=,求:
(1)∠A,∠C的度数。
(2)AD、BC的长度。
(3)四边形ABCD的面积。
22.如图,△ABC中,AD是边BC上的中线,过点A作AE∥BC,过点D作DE∥AB,DE与AC、AE分别交于点O、点E,连接EC.
(1)求证:AD=EC;
(2)当∠BAC=90°时,求证:四边形ADCE是菱形.
23.如图, 的周长是 ,对角线 与 交于点O, 于点A,点E是 中点, 的周长比 的周长多 .
(1)求边 、 的长;
(2)求 的长度;
(3)求 的面积.
24.已知,如图在△ABC中,点D、E、F分别是BC、CA、AB边上的中点.
求证:
(1)四边形AFDE是平行四边形;
(2) 周长等于AB+AC.
25.在平行四边形ABCD中,以AB为边作等边△ABE,点E在CD上,以BC为边作等边△BCF,点F在AE上,点G在BA延长线上且FG=FB.
(1)若CD=6,AF=3,求△ABF的面积;
(2)求证:BE=AG+CE.
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第4章 平行四边形 单元综合诊断自查卷
一、单选题
1.2024年7月27日,第33届夏季奥运会在法国巴黎举行,如图所示巴黎奥运会项目图标,它( )
A.是轴对称图形
B.是中心对称图形
C.既不是轴对称图形也不是中心对称图形
D.既是轴对称图形又是中心对称图形
【答案】D
2.剪纸艺术是中国优秀的传统文化.在下列剪纸图案中,是中心对称图形的是( )
A. B.
C. D.
【答案】D
3.下列命题是假命题的是( )
A.到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上
B.三个角都相等的三角形是等边三角形
C.成中心对称的两个图形中,对应点连线段经过对称中心,且被对称中心平分
D.斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等
【答案】A
【解析】【解答】解:A、∵在角的内部,到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上,∴A是假命题,符合题意;
B、∵三个角都相等的三角形是等边三角形,∴B是真命题,不符合题意;
C、∵成中心对称的两个图形中,对应点连线段经过对称中心,且被对称中心平分,∴C是真命题,不符合题意;
D、∵斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等,∴D是真命题,不符合题意;
故答案为:A.
【分析】利用角平分线的判定、等边三角形的判定、中心对称图形的定义及全等三角形的判定方法逐项分析判断即可.
4.如图,把剪成三部分,边放在同一直线上,点都落在直线上,直线.在中,若,则的度数为( )
A.70° B.75° C.80° D.85°
【答案】C
【解析】【解答】解:过点分别作于,于,于,如图所示:
∵直线,
∴,
∴点是的内心,即点为三个内角平分线的交点,
∴,
∴,
故答案为:C.
【分析】过点分别作于,于,于,根据,得到是的内心,然后利用角平分线和三角形的内角和定理解题即可.
5.如图所示,四边形 的对角线 和 相交于点 ,下列判断正确的是( )
A.若 ,则 是平行四边形
B.若 ,则 是平行四边形
C.若 , ,则 是平行四边形
D.若 , ,则 是平行四边形
【答案】D
【解析】【解答】∵AO=OC,BO=OD,
∴四边形的对角线互相平分
所以D能判定ABCD是平行四边形.
故答案为:D.
【分析】若AO=OC,BO=OD,则四边形的对角线互相平分,根据平行四边形的判定定理可知,该四边形是平行四边形.
6.如图:小明从点A出发,沿直线前进5m后向左转30°,再沿直线前进5m后,又向左转30°,照这样方式走下去,他第一次回到出发点A时,一共走了( )
A.50m B.60m C.70m D.80m
【答案】B
【解析】【解答】解:∵小明每次都是沿直线前进5米后向左转30度,
∴他走过的图形是正多边形,
∴边数n=360÷30=12,
∴他第一次回到出发点A时,一共走了12×5=60(米).
故选:B.
【分析】根据题意可得他走过的图形是正多边形,利用多边形的外角和除以外角度数可得边数,然后再计算正多边形的周长即可.
7.如图,中,,、分别是、上两点,,,点、、分别是、、的中点,则的长为( )
A. B. C. D.
【答案】B
8.在平面直角坐标系中,平行四边形 的边 在 轴上,顶点 , ,对角线 、 相交于点 、分别以点 、 为圆心,以大于 长为半径画弧,两弧交于点 ,连接 交 于点 ,则点 的横坐标为( ).
A.5 B.4 C.3 D.1
【答案】C
【解析】【解答】∵四边形 是平行四边形,∴ 为对角线 中点,
由作图可知, 垂直平分线段 ,
连接 ,则 ,
延长 交 轴于点 ,则 轴,
∵ , ,平行四边形
∴OC=AB=6,AM=2,OM=4
设 ,则 ,
在 中,有 ,
解得, ,
∴ME=3
∴点 的横坐标为3.
故答案为:C.
【分析】由作图可知:DE垂直平分线段OB,连接OE,则OE=BE,延长BA交y轴于点M,则AM⊥
y轴,由A、C的坐标以及平行四边形的性质可得OC=AB=6,AM=2,OM=4,设AE=x,则OE=6-x,然后在Rt△OME中,应用勾股定理可得x的值,进而求出ME的值,据此可得点E的横坐标.
9.正六边形蜂巢的建筑结构密合度最高、用材最少、空间最大、也最为坚固.如图,某蜂巢的房孔是边长为6的正六边形,点O是正六边形的中心,则的长为( )
A.12 B. C. D.
【答案】C
【解析】【解答】解:由题知,,
,
,
作于点,
,,
,
,
,
故答案为:C
【分析】根据正多边形性质得到,,利用等腰三角形性质和三角形内角和求得,作于点,利用等腰三角形性质得到,根据30度所对直角边等于斜边一半求得,再利用勾股定理求得,即可求出答案.
10.如图,以任意△ABC的边AB和AC向形外作等腰Rt△ABD和等腰Rt△ACE,F、G分别是线段BD和CE的中点,则的值等于( )
A. B. C. D.
【答案】B
二、填空题
11.如图,在中,轴,,,反比例函数的图象经过点,且与交于点.若,则点的坐标为 .
【答案】
12.将正三角形、正四边形、正五边形按如图所示的位置摆放.如果∠3=30°,那么∠1+∠2= °
【答案】72
【解析】【解答】解:如图,
∵∠3=30°,正三角形的内角是60°,正四边形的内角是90°,正五边形的内角是108°,
∴∠4=180°-60°-30°=90°,
∴∠5+∠6=180°-90°=90°,
∴∠5=180°-∠2-108° ①,
∠6=180°-90°-∠1=90°-∠1 ②,
∴①+②得,180°-∠2-108°+90°-∠1=90°,
即∠1+∠2=72°.
故答案为:72.
【分析】根据正三角形,正四边形,正五边形各个内角的度数以及平角的定义进行解答即可。
13.点P(5,﹣3)关于原点的对称点的坐标为 .
【答案】(﹣5,3)
【解析】【解答】解:∵5的相反数是﹣5,﹣3的相反数是3,
∴点P(5,﹣3)关于原点的对称点的坐标为 (﹣5,3),
故答案为:(﹣5,3).
【分析】两点关于原点对称,横坐标互为相反数,纵坐标互为相反数.
14.如图,平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O,EF过点O与AD、BC相交于点E、F,若AB=5,BC=6,OF=2,那么四边形ABFE的周长是 .
【答案】15
【解析】【解答】解:∵四边形ABCD是平行四边形,AB=5,
∴AD∥BC,OA=OC,
∴∠EAO=∠FCO,
在△AOE和△COF中,
,
∴△AOE≌△COF(ASA),
∴AE=CF,OE=OF=2,
∴EF=4,
∴四边形EFCD的周长=EF+AE+AB+BF=EF+BC+AB=4+6+5=15.
故答案为:15.
【分析】根据平行四边形的性质可得AD∥BC,OA=OC, 由平行线的性质可得∠EAO=∠FCO, 利用ASA证明△AOE≌△COF,得到AE=CF,OE=OF=2, 则EF=4, 据此不难求出四边形EFCD的周长.
15.如图,在四边形ABCD中,E,F分别是AB,AD的中点,若EF=2,BC=5,CD=3,则点D到直线BC的距离为 .
【答案】
【解析】【解答】连接BD,∵AB,AD的中点,EF=2,∴BD=2EF=4,∵BC=5,CD=3,∴DB2+CD2=BC2,∴∠BDC=90°,设点D到BC的距离为h,∴S△BDC= ,∴4×3=5h,∴h= ,故答案为: .
【分析】连接BD,根据中位线的性质得BD=4,由勾股定理的逆定理得∠BDC=90°,结合三角形的面积公式,即可求解.
16.正十二边形的内角和等于 ,外角和等于 ,每个内角等于 .
【答案】;;
【解析】【解答】解:多边形的内角和为(n-2)×180°,
正十二边形的内角和等于(12-2)×180°=1800°;
正十二边形的外角和等于360°;
正十二边形的每个内角为1800°÷12=150°.
故答案为:1800°;360°;150°.
【分析】根据多边形的内角和公式计算,以及多边形外角和定理即可得到答案.
三、综合题
17.如图,矩形ABCD中,E是AD的中点,延长CE、BA交于点F,连接AC、DF.
(1)求证:四边形ACDF是平行四边形;
(2)当CF平分∠BCD时,写出BC与CD的数量关系,并说明理由.
【答案】(1)证明:∵四边形ABCD是矩形,∴AB∥CD,∴∠FAE=∠CDE.
∵E是AD的中点,∴AE=DE.
又∵∠FEA=∠CED,∴△FAE △CDE(AAS),
∴CD=FA.
又∵CD∥AF,
∴四边形ACDF是平行四边形.
(2)BC=2CD.
理由如下:
∵CF平分∠BCD,∴∠DCE=45°.
∵∠CDE=90°,∴△CDE是等腰直角三角形,
∴CD=DE,
∵E是AD的中点,∴AD=2CD.
∵AD=BC,∴BC=2CD.
【解析】【分析】(1)此题方法不唯一,例如:证明△FAE △CDE,则CD=FA,又由CD∥FA即可判定,依据是:有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形;(2)由CF平分∠BCD,得∠DCE=45°,则CD=DE,而BC=AD=2DE,从而可证明.
18.某同学要证明命题“平行四边形的对边相等.”是正确,他画出了图形,并写出了如下已知和不完整的求证.
已知:如图,四边形ABCD是平行四边形.
求证:AB=CD,
(1)补全求证部分;
(2)请你写出证明过程.
【答案】(1)BC=DA
(2)解:连接AC,如图所示: ∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AB∥CD,AD∥BC,
∴∠BAC=∠DCA,∠BCA=∠DAC,
在△ABC和△CDA中, , ∴△ABC≌△CDA(ASA), ∴AB=CD,BC=DA;
【解析】【分析】(1)根据题意容易得出结论;(2)连接AC,与平行四边形的性质得出AB∥CD,AD∥BC,证出∠BAC=∠DCA,∠BCA=∠DAC,由ASA证明△ABC≌△CDA,得出对应边相等即可.
19.如图,在四边形ABCD中,AB=CD,BF=DE,AE⊥BD,CF⊥BD,垂足分别是E、F.
(1)求证:△ABE≌△CDF;
(2)若AC与BD交于点O,求证:AO=CO.
【答案】(1)证明:∵BE=DF,
∴BE-EF=DF-EF,
即BF=DE, ∵AE⊥BD,CF⊥BD, ∴∠AED=∠CFB=90°, 在Rt△ADE与Rt△CBF中, ∵AD=BC,
DE=BF,
∴Rt△ADE≌Rt△CBF(HL);
(2)证明:如图,连接AC交BD于O, ∵Rt△ADE≌Rt△CBF,
∴∠ADE=∠CBF,
∴AD∥BC, ∴四边形ABCD是平行四边形, ∴AO=CO.
【解析】【分析】(1)根据已知条件得到BF=DE,由垂直的定义得到∠AED=∠CFB=90°,根据全等三角形的判定定理即可得到结论;(2)如图,连接AC交BD于O,根据全等三角形的性质得到∠ADE=∠CBF,由平行线的判定得到AD∥BC,根据平行四边形的性质即可得到结论.
20.课后,老师在黑板上留了一道练习题,其中部分条件被遮盖
已知:如图,E,F是平行四边形对角线上两点,____求证:四边形是平行四边形.
(1)请你从①,②,,③中选择一个条件补全命题并证明此命题成立.
已知:如图,E,F是平行四边形对角线上两点,( )(填写条件内容)
求证:四边形是平行四边形.
(2)在(1)中备用的条件中,是否还有可选的条件使命题成立?若有,请直接写出条件,若没有,请说明理由.
【答案】(1)解:①
已知:如图,E,F是平行四边形对角线上两点, AE=CF求证:四边形是平行四边形.证明:∵四边形ABCD是平行四边形∴AB=CD且AB∥CD,∴∠BAE=∠DCF,又∵AE=CF,∴△BAE≌△DCF(SAS),∴BE=DF,∠AEB=∠CFD,∴∠BEF=180°-∠AEB,∠DFE=180°-∠CFD∴∠BEF=∠DFE,∴BE∥DF,而BE=DF,∴四边形BFDE是平行四边形;
(2)②能够使命题成立
【解析】【解答】解:(2)取②,四边形BFDE是平行四边形,∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=CD且AB∥CD,∴∠BAE=∠DCF,∵BE⊥AC,DF⊥AC,∴∠BEA=∠DFC=90°,∴BE∥DF,∴△BAE≌△DCF(AAS),∴BE=DF,∴四边形BFDE是平行四边形.
【分析】(1)利用平行四边形的判定方法证明即可;
(2)先求出∠BAE=∠DCF,再求出BE∥DF,最后证明即可。
21.如图,在四边形ABCD中,已知∠B=∠D=90,∠A:∠C=1:5,AB=6,CD=,求:
(1)∠A,∠C的度数。
(2)AD、BC的长度。
(3)四边形ABCD的面积。
【答案】(1)解:∵四边形ABCD的内角和为360°,∠B=∠D=90°,
∠A+∠C=180°.
∠A:∠C=1:5,
∴∠A=30°,∠C=150°.
(2)解:延长BC与AD的延长线相交于点E.
在Rt△ABE中,∠A=30°,AB=6,
BE=2,AE=4..
在Rt△CDE中,∵∠ECD=180°-∠BCD=30°,CD=,
ED=1,CE=2,
AD=AE-ED=4-1,
BC=BE-CE=2-2。
(3)解:S△ABE=BE·AB=×2×6=6,
S△CDE=CD·ED=××1=
S四边形ABCD=S△ABE-S△CDE=6-=
【解析】【分析】(1)利用四边形内角和为360°,得出方程 ∠A+∠C=180° ,再利用比例,得出结果。
(2)利用特殊角的作用 30° ,添出辅助线,然后利用 30° 直接按三角形三边关系,得出 BE=2,AE=4,同时利用补角,得出 ∠ECD=180°-∠BCD=30° ,再利用30° 直接按三角形三边关系,得出 ED=1,CE=2 ,从而得出结果。
(3)利用直角三角形面积等于两直角边乘积的一半,得出 S△ABE和S△CDE,再利用 S四边形ABCD=S△ABE-S△CDE ,得出结果。
22.如图,△ABC中,AD是边BC上的中线,过点A作AE∥BC,过点D作DE∥AB,DE与AC、AE分别交于点O、点E,连接EC.
(1)求证:AD=EC;
(2)当∠BAC=90°时,求证:四边形ADCE是菱形.
【答案】(1)证明:∵AE∥BC,DE∥AB , ∴四边形ABDE是平行四边形,
∴AE=BD,
∵AD是边BC上的中线,
∴BD=DC,
∴AE=DC,
又∵AE∥BC,
∴四边形ADCE是平行四边形
(2)证明:∵∠BAC=90°,AD是边BC上的中线.
∴AD=CD
∵四边形ADCE是平行四边形,
∴四边形ADCE是菱形.
【解析】【分析】(1)先证四边形ABDE是平行四边形,再证四边形ADCE是平行四边形即可;(2)由∠BAC=90°,AD是边BC上的中线,得AD=BD=CD,即可证明.
23.如图, 的周长是 ,对角线 与 交于点O, 于点A,点E是 中点, 的周长比 的周长多 .
(1)求边 、 的长;
(2)求 的长度;
(3)求 的面积.
【答案】(1)解: ,
, , ,
的周长是 ,
,
的周长比 的周长多 ,
,
, ;
(2)解: ,点E是 中点,
;
(3)解:在 中, ,
的面积 .
【解析】【分析】(1)根据平行四边形的性质及周长,可求出AD+AB=16①,由的周长比的周长多 ,可得AD-AB=4②,联立①②即可求出AB、BC的长;
(2)根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,可得,据此计算即得 ;
(3)在 中 ,利用勾股定理求出AC的长,利用的面积进行计算即可.
24.已知,如图在△ABC中,点D、E、F分别是BC、CA、AB边上的中点.
求证:
(1)四边形AFDE是平行四边形;
(2) 周长等于AB+AC.
【答案】(1)证明:∵D、E分别是BC、AC的中点,F为AB的中点, ∴DE=AF,DE∥AF,
∴四边形AFDE是平行四边形
(2)证明:∵点D、E、F分别是BC、CA、AB边上的中点,
∴DF=EC,DE=BF, ∴四边形AFDE的周长=AF+DF+DE+AE=AF+BF+EC+AE=AB+AC
【解析】【分析】(1)由三角形的中位线定理可得DE=AF=BF=AB,DE∥AF,根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形AFDE是平行四边形;
(2)由三角形的中位线定理可得DF=AE=EC=AC,结合(1)中的平行四边形的性质可得四边形AFDE的周长=AF+DF+DE+AE=AF+BF+EC+AE=AB+AC。
25.在平行四边形ABCD中,以AB为边作等边△ABE,点E在CD上,以BC为边作等边△BCF,点F在AE上,点G在BA延长线上且FG=FB.
(1)若CD=6,AF=3,求△ABF的面积;
(2)求证:BE=AG+CE.
【答案】(1)解:“△ABE是等边三角形,∴∠BAF=60°,AB=AE,
∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=CD=6,∴AE=AB=6,
∵AF=3,∴AF=EF, ∴S△ABF= S△ABE= .
(2)证明:作FH⊥AB于H,CJ⊥AE交AE的延长线于J.
∵△ABE,△FBC都是等边三角形,
∴BA=BE,BF=BC,∠ABE=∠FBC=60°, ∴∠ABF=∠EBC,
∴△ABF≌△EBC(SAS),∴AF=EC, ∵AB∥CD, ∴∠CEJ=∠FAH,
∵∠FHA=∠J=90°,∴△FHA≌△CJE(AAS),
∴FH=CJ,AH=EJ, ∵FB=FG=FC,FH=CJ,
∴Rt△FGH≌Rt△CJF(HL), ∴GH=FEJ, ∵AH=EU,
∴EF=AG,∵BE=AE=AF+EF, ∴BE=RC+AG
【解析】【分析】(1)利用等边三角形的性质,可得
∠BAF=60°,AB=AE,根据平行四边形的性质AB=CD=6,AE=AB=6,由于AF=3,可得AF=EF,从而可得S△ABF= S△BEF= S△ABE,求出△ABE的面积即可.
(2)
作FH⊥AB于H,CJ⊥AE交AE的延长线于J. 根据“SAS”可证
△ABF≌△EBC, 可得
AF=EC ;根据“AAS”可证
FHA≌△CJE ,可得
FH=CJ,AH=EJ ,根据“HL”可证
Rt△FGH≌Rt△CJF,可得GH=FJ,继而求出BE=RC+AG.
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