中小学教育资源及组卷应用平台
第5章 特殊平行四边形 单元综合查漏补缺卷
一、单选题
1．如图，正方形硬纸片ABCD的边长是4，点E、F分别是AB、BC的中点，若沿左图中的虚线剪开，拼成如图的一座“小别墅”，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．2 B．4 C．8 D．10
2．如图，反比例函数的图象过矩形的顶点分别在轴、轴的正半轴上，矩形的对角线和交于点，则的值为（ ）
A．32 B．16 C． D．
3．下列说法正确的是（ ）
A．平行四边形既是中心对称图形也是轴对称图形
B．矩形的对角线不可能垂直
C．菱形的对角线不可能相等
D．对角线互相平分、垂直且相等的四边形是正方形
4．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，M为BC的中点，H为AB上一点，过点C作CG∥AB，交HM的延长线于点G，若AC＝8，AB＝6，则四边形ACGH周长的最小值是（ ）
A．24 B．22 C．20 D．18
5．如图，将边长为2cm的正方形ABCD沿其对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD方向平移，得到△A'B'C'，若两个三角形重叠部分的面积为0.5cm2，则它移动的距离AA'等于（ ）
A．cm B．cm C．cm或cm D． cm
6．如图，在 ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，OA=3cm，若要使平行四边形ABCD为矩形，则OB的长度为（ ）
A．4cm B．3cm C．2cm D．1cm
7．如图，在矩形中，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点E，再分别以点C，E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点．若，，则的长为（ ）
A．5 B． C． D．
8．如图，三个边长相同的正方形叠放在一起，M，N是其中两个正方形的中心，阴影部分的面积和是4，则正方形的边长为（ ）
A．2 B． C． D．4
9．下列说法错误的是（ ）
A．连接对角线互相垂直的四边形各边中点所得的四边形是矩形
B．连接对角线互相平分的四边形各边中点所得的四边形是平行四边形
C．连接对角线相等的梯形各边中点所得的四边形是菱形
D．连接对角线互相垂直平分的四边形各边中点所得的四边形是正方形
10．如图，已知正方形的边长为2，点E是的中点，连结，点F在上，且，连结并延长交于点G．则的长是（ ）．
A． B． C． D．1
二、填空题
11．如图，在四边形中，，交于点，，且，若，，则的长为 ．
12．如图，AC是正方形ABCD的对角线，AE平分∠BAC，EF⊥AC交AC于点F，若BE=2，则CF长为 。
13．如图，在□ABCD中，，，M为AB的中点，，点E是线段CM上一个动点，以CD为对角线作□CEDF，则EF的最小值是 ．
14．如图1，正方形在直角坐标系中，其中边在y轴上，其余各边均与坐标轴平行，直线l：沿y轴的正方向以每秒1个单位的速度平移，在平移的过程中，该直线被正方形的边所截得的线段长为m，平移的时间为t（秒），m与t的函数图象如图2所示，则图2中b的值为 ．
15．如图，在矩形ABCD中，M为BC边上一点，连接AM，过点D作DE⊥AM，垂足为E，若DE＝DC＝1，AE＝2EM，则BM的长为 ．
16．如图，在正方形的外侧，作等边，则 ．
三、综合题
17．如图，在四边形AECF中， ．CE、CF分别是△ABC的内，外角平分线．
（1）求证：四边形AECF是矩形．
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？请说明理由．
18．如图，点E，F分别是菱形ABCD的边AB，AD的中点，且AB=5，AC=6，
（1） 是什么三角形？证明你的结论；
（2）求线段EF的长．
19．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的中线，CE∥AB，BE∥CD.
（1）求证：四边形BDCE是菱形；
（2）连接AE，若∠BAC=30°，CE=4，求AC及AE的长.
20．已知：如图，在四边形ABCD中，AC为对角线，AD∥BC，BC＝2AD，∠BAC＝90°，过点A作AE∥DC交BC于点E．
（1）求证：四边形AECD为菱形；
（2）若AB＝AE＝2，求四边形AECD的面积．
21．已知是菱形的对角线，，点E是直线上的一个动点，连接，以为边作菱形，并且使，连接，当点E在线段上时，如图，易证：．
（1）当点E在线段的延长线上时（如图），猜想，，之间的关系并证明；
（2）当点E在线段的延长线上时（如图），直接写出，，之间的关系．
22．如图，△ABC中，∠BCA=90°，CD是边AB上的中线，分别过点C，D作BA和BC的平行线，两线交于点E，且DE交AC于点O，连接AE．
（1）求证：四边形ADCE是菱形；
（2）若∠B=60°，BC=6，求四边形ADCE的面积．
23．如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D，AE∥BC，DE∥AB．
证明：
（1）AE=DC；
（2）四边形ADCE为矩形．
24．如图，在每个小正方形的边长为1的格中，点 均在格点上， 与 相交于点
（1） 的长等于
（2）在如图所的网格中，用无刻度的直尺，画出以 为一边的正方形以 为邻边的矩形
25．如图1，在正方形ABCD中，E为AD的中点，G、F分别为AB、CD边上的点，∠GEF=90°．
（1）若∠AGE=50°，求∠DFE的度数；
（2）若AG=2，DF=3，求GF的长；
（3）拓展研究：
如图2，在四边形ABCD中，∠A=105°，∠D=120°，E为AD的中点，G、F分别为AB、CD边上的点，若AG=3，DF=2 ，∠GEF=90°，求GF的长．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
第5章 特殊平行四边形 单元综合查漏补缺卷
一、单选题
1．如图，正方形硬纸片ABCD的边长是4，点E、F分别是AB、BC的中点，若沿左图中的虚线剪开，拼成如图的一座“小别墅”，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．2 B．4 C．8 D．10
【答案】B
2．如图，反比例函数的图象过矩形的顶点分别在轴、轴的正半轴上，矩形的对角线和交于点，则的值为（ ）
A．32 B．16 C． D．
【答案】A
3．下列说法正确的是（ ）
A．平行四边形既是中心对称图形也是轴对称图形
B．矩形的对角线不可能垂直
C．菱形的对角线不可能相等
D．对角线互相平分、垂直且相等的四边形是正方形
【答案】D
【解析】【解答】解：A.平行四边形是中心对称图形不是轴对称图形，故该选项错误；
B.矩形如果是正方形的时候，它的对角线可能垂直，故该选项错误；
C.菱形如果是正方形的时候，它的对角线可能相等，故该选项错误；
D.根据正方形的判定方法，故该选项正确.
故答案为：D.
【分析】平行四边形不是轴对称图形，据此判断A；根据矩形的性质可判断B；根据菱形的性质可判断C；根据正方形的判定定理可判断D.
4．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，M为BC的中点，H为AB上一点，过点C作CG∥AB，交HM的延长线于点G，若AC＝8，AB＝6，则四边形ACGH周长的最小值是（ ）
A．24 B．22 C．20 D．18
【答案】B
【解析】【解答】解：∵CG∥AB，
∴∠B＝∠MCG，
∵M是BC的中点，
∴BM＝CM，
在△BMH和△CMG中，
，
∴△BMH≌△CMG（ASA），
∴HM＝GM，BH＝CG，
∵AB＝6，AC＝8，
∴四边形ACGH的周长＝AC+CG+AH+GH＝AB+AC+GH＝14+GH，
∴当GH最小时，即MH⊥AB时四边形ACGH的周长有最小值，
∵∠A＝90°，MH⊥AB，
∴GH∥AC，
∴四边形ACGH为矩形，
∴GH＝8，
∴四边形ACGH的周长最小值为14+8＝22，
故答案为：B．
【分析】根据直线平行性质可得∠B＝∠MCG，再根据全等三角形判定定理可得△BMH≌△CMG（ASA），则HM＝GM，BH＝CG，再根据四边形周长可得四边形ACGH的周长＝14+GH，当GH最小时，即MH⊥AB时四边形ACGH的周长有最小值，根据矩形判定定理可得四边形ACGH为矩形，则GH＝8，即可求出答案.
5．如图，将边长为2cm的正方形ABCD沿其对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD方向平移，得到△A'B'C'，若两个三角形重叠部分的面积为0.5cm2，则它移动的距离AA'等于（ ）
A．cm B．cm C．cm或cm D． cm
【答案】D
6．如图，在 ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，OA=3cm，若要使平行四边形ABCD为矩形，则OB的长度为（ ）
A．4cm B．3cm C．2cm D．1cm
【答案】B
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， OA=3cm，
∴AC=2OA=6cm，BD=2OB，
∵ 要使平行四边形ABCD为矩形，
∴BD=AC=6cm，
∴OB=3cm.
故答案为：B.
【分析】根据平行四边形的性质得出AC=2OA=6cm，BD=2OB，再根据矩形的性质得出BD=AC=6cm，即可求出OB的长.
7．如图，在矩形中，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点E，再分别以点C，E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点．若，，则的长为（ ）
A．5 B． C． D．
【答案】B
8．如图，三个边长相同的正方形叠放在一起，M，N是其中两个正方形的中心，阴影部分的面积和是4，则正方形的边长为（ ）
A．2 B． C． D．4
【答案】B
【解析】【解答】解：连接、，如图：
∵，，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，，
在和中，
∴，
∴，
∴M、N两个正方形阴影部分的面积是，同理另外两个正方形阴影部分的面积也是，
∴阴影部分的面积和，
∴，
∴．
故答案为：B．
【分析】连接、，先利用“ASA”证出，再利用全等三角形的性质可得，再求出阴影部分的面积和，可得，最后求出即可．
9．下列说法错误的是（ ）
A．连接对角线互相垂直的四边形各边中点所得的四边形是矩形
B．连接对角线互相平分的四边形各边中点所得的四边形是平行四边形
C．连接对角线相等的梯形各边中点所得的四边形是菱形
D．连接对角线互相垂直平分的四边形各边中点所得的四边形是正方形
【答案】D
【解析】【解答】依次连接四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形.不管原四边形的形状怎样改变，中点四边形的形状始终是平行四边形（可通过三角形中位线证明）.
A.连接对角线互相垂直的四边形各边中点所得的四边形是矩形，正确
B.连接对角线互相平分的四边形各边中点所得的四边形是平行四边形，正确
C.连接对角线相等的梯形各边中点所得的四边形是菱形，正确
D.连接对角线互相垂直平分的四边形各边中点所得的四边形是矩形，故错误.
【分析】根据矩形、平行四边形、菱形和正方形的判定方法逐一判断即可.
10．如图，已知正方形的边长为2，点E是的中点，连结，点F在上，且，连结并延长交于点G．则的长是（ ）．
A． B． C． D．1
【答案】A
二、填空题
11．如图，在四边形中，，交于点，，且，若，，则的长为 ．
【答案】
12．如图，AC是正方形ABCD的对角线，AE平分∠BAC，EF⊥AC交AC于点F，若BE=2，则CF长为 。
【答案】2
【解析】【解答】∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝90°，∠ACB＝ ∠DCB＝45°，
∵AE平分∠BAC，EF⊥AC，
∴BE＝EF，
∵EF⊥AC，
∴∠EFC＝90°，
∵∠ACB＝45°，
∴∠FEC＝45°＝∠FCE，
∴EF＝FC＝BE＝2．
故答案为：2．
【分析】由于AE平分∠BAC，根据角平分线上的点到角两边距离相等的性质可得BE=EF，在Rt△CEF中，∠ACB=45°，故CF=EF=BE=2。
13．如图，在□ABCD中，，，M为AB的中点，，点E是线段CM上一个动点，以CD为对角线作□CEDF，则EF的最小值是 ．
【答案】
14．如图1，正方形在直角坐标系中，其中边在y轴上，其余各边均与坐标轴平行，直线l：沿y轴的正方向以每秒1个单位的速度平移，在平移的过程中，该直线被正方形的边所截得的线段长为m，平移的时间为t（秒），m与t的函数图象如图2所示，则图2中b的值为 ．
【答案】
15．如图，在矩形ABCD中，M为BC边上一点，连接AM，过点D作DE⊥AM，垂足为E，若DE＝DC＝1，AE＝2EM，则BM的长为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：∵矩形ABCD，DE⊥AM，
∴∠C=∠AED=∠B=90°，AB=DE=CD=1，AD∥BC，
∴∠DAE=∠AEM，
在△ADE和△MAB中
∴△ADE≌△MAB（AAS），
∴AE=BM=2EM；
在Rt△ABM中
AB2+BM2=AM2即12+（2EM）2+（3EM）2
解之：
∴.
故答案为：.
【分析】利用矩形的性质可证得∠C=∠AED=90°，AB=DE=CD=1，AD∥BC，利用平行线的性质可证得∠DAE=∠AEM，利用AAS证明△ADE≌△MAB，可推出AE=BM=2EM；在Rt△ABM中，利用勾股定理可得到关于EM的方程，解方程求出EM的长，即可求出BM的长.
16．如图，在正方形的外侧，作等边，则 ．
【答案】
三、综合题
17．如图，在四边形AECF中， ．CE、CF分别是△ABC的内，外角平分线．
（1）求证：四边形AECF是矩形．
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？请说明理由．
【答案】（1）证明：∵CE、CF分别是 的内、外角平分线，
， ．
，即 ．
，
∴四边形AECF是矩形．
（2）解：当 满足 时，四边形AECF是正方形．
理由：
． ．
∵四边形AECF是矩形，∴四边形AECF是正方形．
【解析】【分析】（1）求出∠ECF=90°=∠E=∠F，即可推出答案；（2）∠ACB=90°，推出∠ACE=∠EAC=45°，AE=CE即可．
18．如图，点E，F分别是菱形ABCD的边AB，AD的中点，且AB=5，AC=6，
（1） 是什么三角形？证明你的结论；
（2）求线段EF的长．
【答案】（1）解：由菱形ABCD知，O是对角线AC与BD的交点，
∴O是AC、BD的中点，
又∵E，F分别是菱形ABCD的边AB，AD的中点，
∴根据三角形中位线可知： ， ，BC=DC，
∴ ，
∴△OEF是等腰三角形．
（2）解：由菱形的对角线互相垂直平分得，
，
在 中， ， ，
∴ ，
得到： ， ，
∵ 是△ABD的中位线，
∴ ．
【解析】【分析】（1）证出OE、OF是△ABD的中位线，得到 ， ，BC=DC，即可得出结论；
（2）由菱形的性质和勾股定理得到OB=4，得到BD=8，证明EF是△ABD的中位线，由三角形中位线定理即可得到答案。
19．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的中线，CE∥AB，BE∥CD.
（1）求证：四边形BDCE是菱形；
（2）连接AE，若∠BAC=30°，CE=4，求AC及AE的长.
【答案】（1）证明：∵CE∥AB，BE∥CD，
∴四边形BDCE是平行四边形，
∵∠ACB=90°，CD是AB边上的中线，
∴CD==BD，
∴平行四边形BDCE是菱形；
（2）解：过点E作AC的垂线，交AC的延长线于点F，
∵四边形BDCE是菱形，
∴CD=CE=4，
∴AB=2CD=8，
∵在Rt△ABC中，∠BAC=30°，
∴BC==4，
∴，
∵CE∥AB，
∴∠ECF=∠BAC=30°.
∴在Rt△ECF中，EF==2，
∴，
∴AF=AC+CF=
∴在Rt△AEF中，.
【解析】【分析】（1）易得四边形BDCE是平行四边形，根据直角三角形斜边上中线的性质可得CD=AB=BD，然后结合菱形的判定定理进行证明；
（2）过点E作AC的垂线，交AC的延长线于点F，根据菱形的性质可得CD=CE=4，则AB=2CD=8，根据含30°角的直角三角形的性质可得BC=AB=4，利用勾股定理可得AC，根据平行线的性质可得∠ECF=∠BAC=30°，由含30°角的直角三角形的性质可得EF=CE=2，利用勾股定理可得CF，根据AF=AC+CF可得AF，然后利用勾股定理进行计算.
20．已知：如图，在四边形ABCD中，AC为对角线，AD∥BC，BC＝2AD，∠BAC＝90°，过点A作AE∥DC交BC于点E．
（1）求证：四边形AECD为菱形；
（2）若AB＝AE＝2，求四边形AECD的面积．
【答案】（1）证明：∵AD∥BC，AE∥DC，
∴四边形AECD为平行四边形，
∴AD＝EC，
∵BC＝2AD，
∴BC＝2EC．
∴E为BC的中点
∵∠BAC＝90°，
∴BC＝2AE
∴AE＝EC，
∵四边形AECD为平行四边形，
∴四边形AECD为菱形；
（2）解：连接DE，
∵AB＝AE＝2，AE＝BE，
∴AB＝AE＝BE＝2，
∴△ABE是等边三角形．
∴∠B＝60°．
∵AD＝BE，AD∥BC，
∴四边形ABED为平行四边形．
∴DE＝AB＝2，
∵∠B＝60°，∠BAC＝90°，AB＝2，
∴BC＝4．
∴ ．
∴SAECD＝
【解析】【分析】（1）先证明四边形AECD为平行四边形，再由直角三角形的性质求得AE＝EC，进而由菱形的判定定理得结论；（2）连接DE，证明△ABE是等边三角形，进而求得AC，再证明四边形ABED是平行四边形，便可求得DE，最后根据菱形的面积公式得结果．
21．已知是菱形的对角线，，点E是直线上的一个动点，连接，以为边作菱形，并且使，连接，当点E在线段上时，如图，易证：．
（1）当点E在线段的延长线上时（如图），猜想，，之间的关系并证明；
（2）当点E在线段的延长线上时（如图），直接写出，，之间的关系．
【答案】（1）解：结论：，
理由如下：
四边形是菱形，四边形是菱形，
，，
，
是等边三角形，
∴，
，
，
即，
在和中，
，
≌，
，
，
；
（2）AB=CE-CG
【解析】【解答】解：结论：，
理由如下：理由如下：
四边形是菱形，
，
，
是等边三角形，
∴．
，
，
即，
在和中，
，
≌，
，
，
．
【分析】（1）先证出 ≌，可得BE=CG，再利用线段的和差及等量代换可得；
（2）先证出≌，可得BE=CG，再利用线段的和差及等量代换可得。
22．如图，△ABC中，∠BCA=90°，CD是边AB上的中线，分别过点C，D作BA和BC的平行线，两线交于点E，且DE交AC于点O，连接AE．
（1）求证：四边形ADCE是菱形；
（2）若∠B=60°，BC=6，求四边形ADCE的面积．
【答案】（1）证明：∵DE∥BC，EC∥AB，
∴四边形DBCE是平行四边形．
∴EC∥DB，且EC=DB．
在Rt△ABC中，CD为AB边上的中线，
∴AD=DB=CD．
∴EC=AD．
∴四边形ADCE是平行四边形．
∴ED∥BC．
∴∠AOD=∠ACB．
∵∠ACB=90°，
∴∠AOD=∠ACB=90°．
∴平行四边形ADCE是菱形
（2）解：Rt△ABC中，CD为AB边上的中线，∠B=60°，BC=6，
∴AD=DB=CD=6．
∴AB=12，由勾股定理得 ．
∵四边形DBCE是平行四边形，
∴DE=BC=6．
∴
【解析】【分析】（1）欲证明四边形ADCE是菱形，需先证明四边形ADCE为平行四边形，然后再证明其对角线相互垂直；（2）根据勾股定理得到AC的长度，由含30度角的直角三角形的性质求得DE的长度，然后由菱形的面积公式：S= AC DE进行解答．
23．如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D，AE∥BC，DE∥AB．
证明：
（1）AE=DC；
（2）四边形ADCE为矩形．
【答案】（1）证明：在△ABC中，∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=DC，
∵AE∥BC，DE∥AB，
∴四边形ABDE为平行四边形，
∴BD=AE，
∵BD=DC，
∴AE=DC．
（2）证明：∵AE∥BC，AE=DC，
∴四边形ADCE为平行四边形．
又∵AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∴四边形ADCE为矩形．
【解析】【分析】（1）等腰三角形的三线合一，可证明BD=CD，因为AE∥BC，DE∥AB，所以四边形ABDE为平行四边形，所以BD=AE，从而得出结论．（2）先证明四边形ADCE为平行四边形，再证明有一个角是直角即可．
24．如图，在每个小正方形的边长为1的格中，点 均在格点上， 与 相交于点
（1） 的长等于
（2）在如图所的网格中，用无刻度的直尺，画出以 为一边的正方形以 为邻边的矩形
【答案】（1）
（2）解：如图所示，正方形 即为所求；矩形 即为所求.
【解析】【解答】解：（1）由勾股定理得， ，
故答案为： ；
【分析】（1）直接利用勾股定理计算即可求解；
（2）利用网格特点及正方形的性质取格点Q，连接CQ、EQ即得正方形 ；取格点A、B，交CQ于点P，连接TP，即得以 为邻边的矩形 .
25．如图1，在正方形ABCD中，E为AD的中点，G、F分别为AB、CD边上的点，∠GEF=90°．
（1）若∠AGE=50°，求∠DFE的度数；
（2）若AG=2，DF=3，求GF的长；
（3）拓展研究：
如图2，在四边形ABCD中，∠A=105°，∠D=120°，E为AD的中点，G、F分别为AB、CD边上的点，若AG=3，DF=2 ，∠GEF=90°，求GF的长．
【答案】（1）解：∵ABCD是正方形，
∴∠A=∠D=90°，
∵∠AGE=50°，
∴∠GEA=90°－50°=40°．
∵∠GEF=90°，
∴∠GEA+∠FED=90°，
∴∠FED=90°－40°=50°．
∵∠D=90°，
∴∠DFE=90°－50°=40°
（2）解：如图2，延长GE、FD交于点H．
∵E为AD中点，∴EA=ED，且∠A=∠EDH=90°．在△AEG和△DEH中，∵∠A=∠HDE，EA=ED，∠AEG=∠HED，∴△AEG≌△DEH（ASA），∴AG=HD=2，EG=EH．∵∠GEF=90°，∴EF垂直平分GH，∴GF=HF=DH+DF=2+3=5
（3）解：如图3，过点D作AB的平行线交GE的延长线于点H，过H作CD的垂线，垂足为P，连接HF．
同（2）可知△AEG≌△DEH，GF=HF，∴∠A=∠HDE=105°，AG=HD=3．
∵∠ADC=120°，
∴∠HDF=360°﹣105°﹣120°=135°，
∴∠HDP=45°，
∴△PDH为等腰直角三角形，
∴PD=PH= ，
∴PF=PD+DF= = ．
在Rt△HFP中，∠HPF=90°，HP= ，PF= ，
∴HF= = = ，
∴GF= ．
【解析】【分析】（1）根据正方形的性质，得到四边相等，四个角都是90°，由∠AGE=50°，求出∠DFE的度数；（2）由正方形的性质和E为AD中点，根据ASA得到△AEG≌△DEH，得到对应边AG=HD，EG=EH，得到EF垂直平分GH，得到GF=HF=DH+DF的值；（3）由（2）知△AEG≌△DEH，GF=HF；得到∠A=∠HDE的值和AG=HD的值，由∠ADC=120°，得到△PDH为等腰直角三角形，根据勾股定理求出HF的值，得到GF的值.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
