1.2二次根式的性质同步练习（含解析）

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1.2二次根式的性质
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．估计的值在 （ ）
A．1到2之间 B．2到3之间
C．3到4之间 D．4到5之间
2．如果，那么x等于（ ）
A．9 B． C． D．
3．当a＜0，b＜0时，化简得（ ）
A． B．- C． D．
4．当0＜a＜1时，则的值为（　　）
A．a B．﹣a C．a﹣ D．﹣a
5．实数a，b的数轴上对应点的位置如图所示，则化简的结果是（ ）
A．1 B． C． D．
6．若，则x的取值范围是（ ）
A．x<5 B．x≤5 C．x≥5 D．x>5
7．下列各式化简结果为无理数的是（　　）
A． B． C． D．
8．已知是整数，则正整数n的最小值是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．12
9．二次根式的值是（ ）
A．－2 B．2或－2 C．4 D．2
10．下面的计算中，错误的是 （ ）
A． B．
C． D．
11．在中， ， c为斜边，a. b为直角边，则化简的结果为( )
A． B．
C． D．2a
12．若，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．填空：
， ；
， ；
， ．
比较左右两边的式子，议一议：与有什么关系？
当时， ；当时， ．
14．化简： .
15．计算= .
16．当x=-1时，代数式x2+2x+2的值是 ．
17．若，，且，则 ．
三、解答题
18．已知实数a，b，c所对应的点在数轴上的位置如图所示.
请化简：
19．阅读理解：如何根据坐标求出两点之间的距离？
如图，在坐标系中，，构造，则，，
∴
若，，则
∴
这就是两点间的距离公式，例如，
∴
(1)根据上述材料，老师让同学们求代数式的最小值．
小明同学的思路是：如图，可以看成是点与点的距离，可以看成是点与点的距离．
请完成如下填空：
作点B关于x轴的对称点（____，___），当A、C、三点共线时最小，连接，则的最小值等于，由两点间的距离公式得=______________，
∴的最小值是_____________．
(2)借助上面的思考过程，画图说明并求出代数式：
①最小值．
②的最大值．
20．计算：
(1)；
(2)．
21．如图，正方形ABCD的边长为4，正方形ECFG的边长为8，求阴影部分的面积和周长（提示：≈1.41，≈3.61，结果保留小数点后一位）．
22．已知0＜a＜b，化简
23．化简：
（1）； （2）； （3）； （4）．
24．如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右爬了2个单位长度到达点，点表示，设点所表示的数为．
(1)实数的值是 ．
(2)计算： ．
(3)在数轴上还有，两点分别表示实数和，且有与互为相反数，求的平方根．
《1.2二次根式的性质》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B C B B C C B D A
题号 11 12
答案 B D
1．D
【详解】试题分析：首先确定的范围，根据二次根式的性质即可得出答案．
解：∵＜＜，
∴4＜＜5．
故选D．
点评：本题考查了有理数的大小比较和二次根式的性质的应用，知道：16＜23＜25，=4，=5．
2．B
【分析】直接利用算术平方根的性质求解即可．
【详解】解：∵，
∴．
故选B．
【点睛】本题主要考查了二次根式的性质与化简，灵活运用算术平方根的性质是解答本题关键．
3．C
【分析】根据二次根式的性质化简即可；
【详解】，
∵a＜0，b＜0，
∴，
∴；
故答案选C．
【点睛】本题主要考查了二次根式的性质与化简，准确计算是解题的关键．
4．B
【分析】先根据0＜a＜1可得，由此可得，再根据二次根式的基本性质化简即可求得答案．
【详解】解：∵0＜a＜1，
∴，
∴，
∴，
∴
，
故选：B．
【点睛】本题考查了不等式的性质以及二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解决本题的关键．
5．B
【分析】本题主要考查了实数与数轴，实数的性质．先根据数轴推出，进而得到，，据此化简绝对值和求算术平方根，然后合并同类项即可得到答案．
【详解】解：由数轴可知，，且，
∴，，
∴
，
故选：B．
6．C
【分析】根据二次根式的性质即可求出答案．
【详解】解：由题意可知：x﹣5≥0，
∴x≥5，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次根式的基本性质，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，本题属于基础题型．
7．C
【分析】将各选项化简，然后再判断即可．
【详解】解：A、=﹣3，是有理数，不符合题意；
B、=1，是有理数，不符合题意；
C、，是无理数，符合题意；
D、，是有理数，不符合题意．
故选C．
【点睛】题目主要考查二次根式的化简及零次幂的计算，熟练掌握二次根式的化简是解题关键．
8．B
【分析】因为是整数，且，则6n是完全平方数，满足条件的最小正整数n为6．
【详解】∵且，且是整数，
∴是整数，即6n是完全平方数，
∴n的最小正整数值为6．
故选B．
【点睛】主要考查了二次根式的定义，关键是根据乘除法法则和二次根式有意义的条件．二次根式有意义的条件是被开方数是非负数进行解答．
9．D
【分析】根据二次根式的性质化简可得答案．
【详解】解：=2，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式的性质，当a≥0时，=a；当a<0时，=-a．
10．A
【分析】本题考查的是二次根式的性质，解答本题的关键是解答本题的关键是熟练掌握，当时，，当时，，根据二次根式的性质依次分析各项即可．
【详解】A、，本选项错误，符合题意；
B、C、D均正确，不符合题意；
故选：A．
11．B
【分析】根据三角形三边的关系得到a+b＞c，a+c＞b，则根据二次根式的性质得原式=|a-b+c|-2|c-a-b|=a-b+c+2（c-a-b），然后去括号后合并即可．
【详解】∵∠C=90°，c为斜边，a、b为直角边，
∴a+b＞c，a+c＞b，
∴原式=|a-b+c|-2|c-a-b|
=a-b+c+2（c-a-b）
=a-b+c+2c-2a-2b
=-a-3b+3c．
故选B．
【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简：=|a|．也考查了三角形三边的关系．
12．D
【分析】根据二次根式的性质可知，求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
解得，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式的性质，熟知二次根式的性质是解题的关键．
13．
【分析】根据二次根式的性质进行化简即可．
【详解】，；，；
，．
当时，；当时，．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
14．
【分析】根据二次根式的性质化简即可．
【详解】∵9a3≥0，∴a≥0，∴．
故答案为．
【点睛】本题考查了二次根式的性质，比较简单，熟记性质：|a|是解题的关键．
15．1
【详解】分析：直接利用平方差公式和二次根式的性质（=a（a≥0））进行解答即可．
详解：原式=-
=3-2
=1．
故答案为1．
点睛：本题考查了平方差公式的应用和二次根式性质的应用，熟记公式和性质是解决此题的关键．
16．6
【详解】解：当时，
故答案为：6．
17．
【分析】根据，，且，得出，，代入求值即可．
【详解】解：∵，，且，
∴，，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了二次根式的性质，代数式求值，解题的关键是求出，．
18．-a
【分析】利用数轴得出a＜0，a+b＜0，b+c＜0，c-a＞0，进而化简各式得出答案．
【详解】由题中数轴可知，，，，且，
所以，，，
所以，
【点睛】此题考查二次根式的性质与化简，实数与数轴，解题关键在于确定a，，，的符号，然后根据二次根式的性质分别去掉根号和绝对值符号.
19．(1)0，；13；13
(2)①10；②
【分析】本题考查的是轴对称-最短路线问题，解答此题的关键是利用数形结合思想解决问题，学会用转化的思想解决问题．
（1）根据题目提供的思路解答即可；
（2）①按照（1）的思路解答即可；
②若不在同一条直线上可构成一个三角形，则有，当在同一条直线上则有故可得结论
【详解】（1）解：如图，可以看成是点与点的距离，可以看成是点与点的距离．
作点B关于x轴的对称点，当A、C、三点共线时最小，连接，则的最小值等于，由两点间的距离公式得，
∴的最小值是13．
故答案为：0，；13；13；
（2）解：①如图，可以看成是点与点的距离，可以看成是点与点的距离．
作点B关于x轴的对称点，当A、C、三点共线时最小，连接，则的最小值等于，
由两点间的距离公式得，
∴的最小值是10．
②表示,
若点不在直线上，则在中，有，
若点在直线上时，有，
故原代数式的最大值即为线段的长度，当且仅当点在直线上，
此时，,
即的最大值为
20．(1)-10
(2)
【分析】（1）利用立方根的性质、二次根式的性质分别化简即可得出答案；
（2）先计算乘法，绝对值与二次根式，后计算加减即可．
【详解】（1）原式；
（2）原式
【点睛】本题考查实数的混合运算中立方根的性质，二次根式的性质，平方，确定准确的运算顺序是关键．
21．S阴影=24；L阴影≈32.1．
【分析】根据S阴影=S正方形ABCD+S正方形ECFG﹣S△BFG﹣S△ABD即可求出阴影部分的面积，根据勾股定理可求出BD与BG，然后根据四边形的周长代入数据计算即可．
【详解】解：∵BF=BC+CF，BC=4，CF=8，
∴BF=12；
∴S△BFG=GF BF=48，S△ABD=AB AD=8，
∴S阴影=S正方形ABCD+S正方形ECFG﹣S△BFG﹣S△ABD=16+64﹣48﹣8=24；
∵BD==4，ED=4，EG=8，BG==4，
∴L阴影=BD+ED+EG+BG=12+4（+）≈32.1．
【点睛】本题考查了勾股定理和二次根式的性质，正确理解题意、准确计算是关键．
22．
【分析】先判断ab＞0，b﹣a＞0，a+b＞0，再利用完全平方公式和提公因式法化简根号内的分式，再根据已知和二次根式的性质化简即可．
【详解】解：∵0＜a＜b，
∴ab＞0，b﹣a＞0，a+b＞0，
=
=
=．
【点睛】本题考查分式的化简、二次根式的化简，涉及完全平方公式、提公因式法分解因式、分式的性质、二次根式的性质、实数的运算法则等知识，解答的关键是熟知成立的条件是＞0；若＜0，则．
23．（1）77；（2）15；（3）；（4）
【分析】（1）根据二次根式的性质即可化解求解；
（2）根据二次根式的性质即可化解求解；
（3）根据二次根式的性质即可化解求解；
（4）根据二次根式的性质即可化解求解．
【详解】（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【点睛】此题主要考查二次根式的运算，解题的关键是熟知二次根式的性质化简．
24．(1)
(2)7
(3)
【分析】本题考查实数与数轴，平方根，绝对值和算术平方根的非负性，数值数轴上的点所表示数的特征及绝对值和算术平方根的非负性是解题的关键．
（1）根据点B在点A右边2个单位长度即可解决问题．
（2）根据（1）中求出的m的值，进行计算即可．
（3）根据与互为相反数可得出c，d的值，进而解决问题．
【详解】（1）∵点表示，点沿数轴向右爬了2个单位长度到达点，
∴
故答案为：；
（2）∵
∴，
∴
故答案为：7
（3）∵与互为相反数
∴
∴
∴或
∴或（无平方根，舍去）
∴的平方根为
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