2.1一元二次方程同步练习（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台
2.1一元二次方程
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．用公式法解一元二次方程时，首先要确定a、b、c的值，下列叙述正确的是（　　）
A． B．
C． D．
2．下列方程中是一元二次方程的是（　　）
A． B． C． D．
3．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．x2=﹣1 B． C．x2+y+1=0 D．x3﹣2x2=1
4．若关于的一元二次方程的一个根是，则的值是（ ）
A．2017 B．2019 C．2021 D．2023
5．若方程(k－1)x2＋x＝1是关于x的一元二次方程，则k的取值范围是(　　)
A．k≠1 B．k≥0 C．k≥0且k≠1 D．k为任意实数
6．下列关于x的方程中，一元二次方程的个数是（　　）
（1）
（2）
（3）
（4）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．在下列方程中，一定是关于的一元二次方程的是（ ）
A．； B．x2=0； C． ； D．x(x-1)=x2.
8．若关于的方程是一元二次方程，则的值是（ ）
A． B． C．3 D．
9．已知m是一元二次方程的一个根，则的值是（ ）．
A． B． C．2022 D．2023
10．方程2x2﹣3x﹣5=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（　　）
A．3、2、5 B．2、3、5 C．2、﹣3、﹣5 D．﹣2、3、5
11．根据下列表格的对应值,判断方程ax2+bx+c=0一个解的范围是( )
A．3＜x＜3．23 B．3．23＜x＜3．24
C．3．24＜x＜3．25 D．3．25＜x＜3．26
12．下列方程一定是关于x的一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．已知m是关于x的方程的一个根，则代数式的值为 ．
14．若a是方程的解，计算：= .
15．当m 时，方程（m－1）x2－(2m－1)x＋m＝0是关于x的一元一次方程；当m 时，上述方程才是关于x的一元二次方程.
16．已知x=3是方程x2﹣6x+k=0的一个根，则k= ．
17．一元二次方程有实根的条件是： ．
三、解答题
18．已知实数a是一元二次方程x2－2016x＋1＝0的根，求代数式a2－2015a－的值．
19．若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1，且a＝＋－2，求的值.
20．填空：
（1）一元二次方程的一般式是 __________．
（2）把一元二次方程化成一般式是__________．
（3）把一元二次方程化成一般式是__________．
（4）一元二次方程的二次项的系数是__________，一次项的系数是__________， 常数项是__________．
（5）一元二次方程的二次项的系数是_______，一次项的系数是_______，常数项是_______．
（6）当__________ 时，关于的方程是一元二次方程．
21．已知关于x的一元二次方程(m－1)x2＋5x＋m2－1＝0的常数项为0，求m的值．
22．k为何值时，(k2－1)x2＋(k＋1)x－2＝0；（1）是一元一次方程？（2）是一元二次方程？
23．已知关于x的一元二次方程2-3-5=0，试写出满足要求的所有a，b的值．
24．小贝在做“一块矩形铁片，面积为，长比宽多，求铁片的长”时是这样做的：设铁片的长为，列出的方程为，整理，得小贝列出方程后，想知道铁片的长到底是多少下面是它的探索过程：
第一步：


所以
第二步：


所以 ．
(1)请你帮小贝填完空格，完成她未完成的部分．
(2)通过以上探索，可以估计出矩形铁片的长的整数部分为多少十分位为多少
《2.1一元二次方程》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C A C C A B A D C
题号 11 12
答案 C D
1．D
【分析】本题考查一元二次的一般形式，将方程整理成一般形式后，判断的值即可．
【详解】解：，
移项，得，
这里，
故选：D．
2．C
【分析】根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的次数是2次的整式方程叫做一元二次方程，即可判断答案．
【详解】解：A、含有2个未知数，不是一元二次方程，故不符合题意；
B、不是整式方程，不是一元二次方程，故不符合题意；
C、是一元二次方程，故符合题意；
D、中的二次项系数可能为0，不一定是一元二次方程，故不符合题意，
故选：C．
【点睛】本题考查了对一元二次方程和一元一次方程的理解，关键是知道一元二次方程含有3个条件：①整式方程；②含有一个未知数；③所含未知数的项的次数是2．
3．A
【分析】利用一元二次方程的定义判断即可．
【详解】A、是一元二次方程，故A正确；
B、方程不是整式方程，故B错误；
C、方程含有两个未知数，故C错误；
D、未知数的最高次数是3，故D错误；
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程的定义，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
4．C
【分析】先将代数式变形整理，然后将代入原方程，利用整体思想代入求值．
【详解】解：关于的一元二次方程的一个根是，
，
，
．
，
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义，理解方程的解的概念，运用整体思想解题是关键．
5．C
【详解】根据题意可得，解得k≥0且k≠1，
故选C.
【点睛】本题考查一元二次方程的定义，解本题的关键是要注意k要为非负数.
6．A
【分析】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为是一元二次方程．
【详解】解：（1）符合一元二次方程的定义，是一元二次方程；
（2）由已知方程得到，属于一元一次方程，不是一元二次方程；
（3）方程二次项系数可能为0，不是一元二次方程；
（4）不是整式方程，不是一元二次方程．
∴是一元二次方程是（1），共有1个，
故选：A．
7．B
【分析】本题根据一元二次方程的定义解答. 一元二次方程必须满足四个条件:
(1)未知数的最高次数是2;
(2)二次项系数不为0;
(3)是整式方程;
(4)含有一个未知数.由这四个条件对四个选项进行验证,满足这四个条件者为正确答案.
【详解】方程二次项系数可能为0,故错误;
B、符合一元二次方程的定义,故正确.
C、不是整式方程,故错误;
D、方程二次项系数为0,故错误;
所以B选项是正确的.
【点睛】本题考查了一元二次方程的概念,判断一个方程是否是一元二次方程,首先要看是否是整式方程,然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2.
8．A
【分析】根据题意列方程即可求解；
【详解】解：∵是一元二次方程，
∴，
∴．
故选：A．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的定义，掌握相关知识是解题的关键．
9．D
【分析】利用方程的解的定义和整体思想进行计算即可．
【详解】解：m是一元二次方程的一个根，
∴，
∴，
∴；
故选D．
【点睛】本题考查一元二次方程的解以及已知式子的值求代数式的值．解题的关键是：理解方程的解的定义，利用整体思想进行解题．
10．C
【分析】对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的a、b、c分别是二次项系数、一次项系数、常数项．
【详解】解：2x2﹣3x﹣5=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别为2、﹣3、﹣5
故选C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式： ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0），特别要注意a≠0的条件.这是在做题过程中容易忽视的知识点.在一般形式中ax2叫二次项， bx叫一次项，c是常数项.其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
11．C
【详解】解：函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点就是方程ax2+bx+c=0的根，
函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点的纵坐标为0；
由表中数据可知：y=0在y=-0.02与y=0.03之间，
∴对应的x的值在3.24与3.25之间，即3.24＜x＜3.25．
故选：C．
12．D
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，正确理解一元二次方程的定义是解答本题的关键．“方程两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2次，这样的方程叫做一元二次方程”．根据一元二次方程的定义，即可逐步判断．
【详解】选项A，不是整式，所以不是一元二次方程，不符合题意；
选项B，含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意；
选项C，当时，不是一元二次方程，不符合题意；
选项D，是一元二次方程，符合题意．
故选：D．
13．
【分析】把代入已知方程，可以求得，然后整体代入所求的代数式求值即可．
【详解】解：是关于的方程的一个根，
，
，
∴
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解．能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
14．0
【分析】根据一元二次方程的解的定义得a2﹣3a+1=0，即a2﹣3a=﹣1，再代入，然后利用整体思想进行计算即可．
【详解】∵a是方程x2﹣3x+1=0的一根，
∴a2﹣3a+1=0，即a2﹣3a=﹣1，a2+1=3a
∴
故答案为0．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解：使一元二次方程两边成立的未知数的值叫一元二次方程的解．也考查了整体思想的运用．
15． =1 ≠1
【详解】试题解析：当时，方程是关于的一元一次方程；当时，上述方程才是关于的一元二次方程.
故答案为
点睛：只含有一个未知数,并且未知数的次数是1的方程叫做一元一次方程.
16．9
【分析】一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值，即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．
【详解】把x=3代入方程x2﹣6x+k=0，可得9﹣18+k=0，解得k=9．
故答案为：9
17．
【详解】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．
根据一元二次方程根与系数的关系直接进行解答即可．
解：∵关于x的一元二次方程x2+bx+c=0有实数解，
∴b2-4c≥0．
18．－1
【分析】根据方程的解的定义把x=a代入一元二次方程x2－2016x＋1＝0，得到a2－2016a＋1＝0，变形可得a2＋1＝2016a，a2－2016a＝－1，然后将其整体代入所求的代数式进行求值即可．
【详解】∵实数a是一元二次方程x2－2016x＋1＝0的根，
∴a2－2016a＋1＝0.
∴a2＋1＝2016a，a2－2016a＝－1.
∴a2－2015a－＝a2－2015a－＝a2－2015a－a＝a2－2016a＝－1.
【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义．一元二次方程的根就是能够使方程左右两边相等的未知数的值，即用这个数代替未知数所得式子仍然成立；注意解题中的整体代入思想的应用．
19．0
【分析】将x=-1代入原方程即可求得a、b、c之间的关系，根据二次根式的性质可求出a的值，进而求出c的值，再根据a、b、c之间的关系求出b的值，代入原式求值即可得答案.
【详解】∵a＝＋－2，
∴c－4≥0且4－c≥0，即c＝4，则a＝－2.
又∵－1是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根，
∴a－b＋c＝0，
∴b＝a＋c＝－2＋4＝2.
∴原式＝＝0.
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值，即用这个数代替未知数所得式子仍然成立，本题需注意当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．
20．（1）ax2＋bx＋c＝0（a≠0）；（2），（3）；（4）4，0，-3；（5）3，-5，-5；（6）≠3.
【分析】根据一元二次方程的一般形式、二次项系数、一次项系数及常数项的定义求解即可.
【详解】解：（1）一元二次方程的一般式是：ax2＋bx＋c＝0（a≠0）；
（2）把一元二次方程化成一般式是：；
（3）把一元二次方程化成一般式是：．
（4）一元二次方程的二次项的系数是：4，一次项的系数是：0， 常数项是：-3；
（5）一元二次方程的二次项的系数是：3，一次项的系数是：-5，常数项是：-5．
（6）当m≠3时，关于的方程是一元二次方程．
【点睛】本题考查一元二次方程的定义及一般形式，一元二次方程的一般形式是ax2＋bx＋c＝0（且a≠0），在一般形式中，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项.
21．－1
【分析】根据一元二次方程成立的条件及常数项为0列出方程组，求出m的值即可．
【详解】∵关于x的一元二次方程(m－1)x2＋5x＋m2－1＝0的常数项为0，
∴，
解得m=-1
【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0），特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
22．（1）k＝1时，原方程为一元一次方程，（2）k≠±1，原方程为一元二次方程.
【分析】由一元一次方程或一元二次方程的定义解答即可.
【详解】（1）当，即k＝1时，原方程为一元一次方程，
（2）依据题意，有k2－1≠0，∴k≠±1，即k≠±1，原方程为一元二次方程．
【点睛】本题考查了一元一次方程和一元二次方程的定义，灵活运用定义解决问题是解答本题的关键.
23．a=2，b=2或a=2，b=1或a=2，b=0，或a=1，b=2或a=0，b=2
【试题分析】根据一元二次方程的定义，要求未知数的最高次数为2次，分类讨论：
若a=2,b=2,则方程化简为 ；
若a=2,b=0,则方程化简为 ；
若a=2,b=1,则方程化简为 ；
若a=0,b=2,则方程化简为；
若a=1,b=2,则方程化简为；
【试题解析】根据题意，若a=2,b=2,则方程化简为 ；若a=2,b=0,则方程化简为 ；若a=2,b=1,则方程化简为 ；若a=0,b=2,则方程化简为；若a=1,b=2,则方程化简为；故答案为a=2，b=2或a=2，b=1或a=2，b=0，或a=1，b=2或a=0，b=2.
24．(1)见解析
(2)矩形铁片的长的整数部分为3，十分位为3
【分析】本题考查了求一元二次方程的近似解，解题的关键是掌握求一元二次方程近似解的方法和步骤．
（1）分别计算当、、、时代数式的值，即可补充表格；
（2）根据（1）中得出的x的取值范围，即可解答．
【详解】（1）解：当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
∴补充表格如下：
第一步：

3
所以
第二步：


所以 ．
（2）解：由（1）可得：，
∴矩形铁片的长的整数部分为3，十分位为3．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)