2.2一元二次方程的解法同步练习（含解析）

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2.2一元二次方程的解法
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．方程x2﹣4x+5＝0根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．有一个实数根 D．没有实数根
2．把方程 化成 的形式，则 m、n的值是：（ ）
A．4， B．4，15 C．， D．，15
3．用配方法解方程，配方后的方程是（ ）
A． B． C． D．
4．已知a、b、5分别是等腰三角形（非等边三角形）三边的长，且a、b是关于x的一元二次方程的两个根，则k的值等于（ ）
A．3 B．7 C．3或7 D．-3或7
5．解方程x2+2x+1=4较适宜的方法是（　　）
A．实验法 B．公式法 C．因式分解法 D．配方法
6．若一元二次方程x2＋bx＋4＝0的两个实数根中较小的一个根是m（m≠0），则b＋＝（ ）
A．m B．﹣m C．2m D．﹣2m
7．若方程（b，c是常数）的解是，则方程的解是（　　）
A． B．
C． D．
8．已知方程可以配方成的形式，那么可以配方成下列的（ ）
A． B．
C． D．
9．下列方程有实数根的是（ ）
A． B．
C． D．
10．一元二次方程的根为（　　）
A．或 B．或
C．或 D．
11．若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（　　）
A． B．
C．且 D．且
12．在实数范围内因式分解，下列四个答案中正确的是（ ）．
A．
B．
C．2
D．2
二、填空题
13．在实数范围内因式分解： .
14．方程用 法求解较宜，解得方程的根是
15．方程的根为 ．
16．关于x的一元二次方程x2﹣10x＋m＝0的两个实数根分别是x1，x2，且以x1，x2，6为三边的三角形恰好是等腰三角形，则m的值为 ．
17．等腰三角形一条边的边长为3，它的另两条边的边长是关于的一元二次方程的两个根，则该三角形的周长是
三、解答题
18．解方程
(1)2（x－1）2－16＝0
(2)5x2－2x－
(3)
(4)x2＋3＝2x
19．解下列方程：
(1)；
(2)．
20．已知：关于x的一元二次方程mx2+(3m+1)x+3=0．
（1）求证：不论m为任何实数，此方程总有实数根；
（2）如果该方程有两个不等的整数根，且m为正整数，求m的值；
21．解方程：
(1)
(2)
22．解方程：
(1)
(2)
23．公式法求一元二次方程x2-3x-2=0的解
24．（1）化简：
（2）解方程：
《2.2一元二次方程的解法》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D D A C C D A B B C
题号 11 12
答案 C C
1．D
【分析】先计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．
【详解】解：∵，
∵＝﹣4＜0，
∴方程没有实数根．
故选：D．
【点睛】本题考查了根的判别式，一元二次方程（a≠0）的根与如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根；当Δ＜0时，方程无实数根，熟练掌握判别式的意义是解题的关键．
2．D
【分析】把方程的常数项1移项后，左边配成完全平方式，右边化为常数．本题考查了配方法解一元二次方程．配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
【详解】解：，
，
故选：D．
3．A
【分析】将方程常数移到右边，再配方—方程两边同时加上4即可得到答案．
【详解】解：方程，
移项得：，
配方得：，
即，
故选：A．
【点睛】此题考查了解一元二次方程的方法—配方法，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
4．C
【分析】分两种情况讨论：当a=5或b=5，则把x=5代入方程得k=3，当a=b时，利用根的判别式的意义得到Δ=（-6）2-4（k+2）=0，解得k=7，解此时方程得到a=b=3，利用三角形三边的关系可判断k=7符合题意．
【详解】解：当a=5或b=5， 把x=5代入方程x2-6x+k+2=0
得25-30+k+2=0， 解得k=3，
此时，三角形三边长为：5，5，1，符合题意；
当a=b时，Δ=（-6）2-4（k+2）=0， 解得k=7，
此时方程为x2-6x+9=0， 解方程得a=b=3，
则a+b＞5， 所以k=7符合题意，
综上所述，k的值为3或7．
故选：C．
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与Δ=b2-4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．也考查了三角形三边的关系和等腰三角形的性质．
5．C
【分析】先移项，再将方程左边进行因式分解，转化成一次方程，求解即可．
【详解】移项得：x2+2x-3=0，
方程左边因式分解得：（x+3）（x-1）=0，
x+3=0或x-1=0，
解得：x1=-3，x2=1，
较适宜的方法是因式分解法，
故选C．
【点睛】本题考查解一元二次方程，掌握多种方法解一元二次方程，并针对不同的题目找到最适宜的方法是解决本题的关键．
6．D
【分析】根据公式法解方程，结合题意得出，求出即可．
【详解】∵的两个实数根中较小的一个根是，
∴，
解得：b＋＝﹣2m，
故选：D．
【点睛】此题考查了解一元二次方程-公式法，熟记求根公式是解此题的关键．
7．A
【分析】本题考查了一元二次方程求解方法中的换元法，熟悉换元法的解题步骤是解题关键．用换元法即可求解即可．
【详解】解：∵方程（b，c是常数）的解是，
∴方程的解是或，
解得：．
故选：A．
8．B
【分析】本题考查了解一元二次方程，能够正确配方是解此题的关键．
根据完全平方公式展开，求出p和q的值，再代入求出即可．
【详解】解：∵方程可以配方成的形式，
∴，
∴
∴，
∴，
∴代入得，
∴
∴
∴
∴．
故选：B．
9．B
【分析】对每个方程进行一一判断即可．
【详解】解：A.
所以没有是实数根，故选项错误；
B.的实数根是x=0，故选项正确；
C. 去掉分母后x=1有实数根，但是使分式方程无意义，所以舍去，故选项错误；
D.,两边平方得的
也没有实数根，故选项错误．
故选B．
【点睛】本题是根的判别式的应用试题，不解方程而又准确的判断出方程解的情况，那只有根的判别式．
当时，方程有两个不相等的实数根．
当时，方程有两个相等的实数根．
当时，方程没有实数根．
10．C
【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，熟练掌握因式分解法解一元二次方程是解题的关键．利用因式分解法解方程即可．
【详解】解：，
∴，
∴或，
∴或，
故选：C．
11．C
【分析】本题考查了一元二次方程的定义以及判别式的应用，根据关于的一元二次方程有实数根，得出，再解出的取值范围，即可作答．
【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根，
∴
∴且
故选：C
12．C
【分析】把y看作已知数，求出的根，然后根据一元二次方程ax2+bx+c=0的两个实数根为x1、x2，则a(x-x1)(x-x2)=0，进而分解因式即可．
【详解】对于=0，
∴，
∴，
故选C．
【点睛】本题考查因式分解法解一元二次方程：若一元二次方程的两根为x1，x2，那么一元二次方程可整理为(x－x1)(x－x2)＝0．
13．
【分析】先求出方程﹣2x2+4x﹣3=0的解，然后分解因式即可．
【详解】﹣2x2+4x﹣3=0的解是x1，x2，∴﹣2x2+4x+3=﹣2（x）（x）．
故答案为﹣2（x）（x）．
【点睛】本题考查了实数范围内的因式分解，因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式，在实数范围内进行因式分解的式子的结果一般要分到出现无理数为止，求根公式法分解因式：ax2+bx+c=a（x﹣x1）（x﹣x2），其中x1，x2是方程ax2+bx+c=0的两个根．
14． 因式分解
【分析】先移项，然后利用因式分解法进行解方程，即可求出方程的根．
【详解】解：∵，
∴，
利用因式分解法，得
，
∴，
∴或，
∴
∴原方程的根是
故答案为：因式分解；
【点睛】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握因式分解法解方程．
15．
【分析】运用因式分解法可解得.
【详解】由得
故答案为
【点睛】考核知识点：因式分解法解一元二次方程.
16．24或25/25或24
【分析】分6为底边和6为腰两种情况分类讨论即可确定m的值．
【详解】解：当6为底边时，则x1＝x2，
∴Δ＝100﹣4m＝0，
∴m＝25，
∴方程为x2﹣10x+25＝0，
∴x1＝x2＝5，
∵5+5＞6，
∴5，5，6能构成等腰三角形；
当6为腰时，则设x1＝6，
∴36﹣60+m＝0，
∴m＝24，
∴方程为x2﹣10x+24＝0，
∴x1＝6，x2＝4，
∵6+4＞6，
∴4，6，6能构成等腰三角形；
综上所述：m＝24或25，
故答案为24或25．
【点睛】本题考查了根的判别式，三角形的三边关系，等腰三角形的性质，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．
17．15
【分析】本题考查了根的判别式、三角形的三边关系以及等腰三角形的性质．分3为等腰三角形的腰与3为等腰三角形的底两种情况考虑，当3为等腰三角形的腰时，将代入原方程可求出的值，再利用分解因式法解一元二次方程可求出等腰三角形的底，由三角形的三边关系可确定此情况不存在；当3为等腰三角形的底时，由方程的系数结合根的判别式可得出，解之即可得出值，进而可求出方程的解，再利用三角形的三边关系确定此种情况符合题意．此题得解．
【详解】解：当3为等腰三角形的腰时，将代入原方程得，
解得：，
此时原方程为，即，
解得：，，
，
不能为等腰三角形的腰；
当3为等腰三角形的底时，方程有两个相等的实数根，
，
解得：，
此时，
、6、6可以围成等腰三角形，
该三角形的周长是：．
故答案为：15．
18．(1)，
(2)，
(3)，
(4)
【分析】（1）先将（x－1）当作一个整体求解，然后再求出x即可；
（2）先化简原方程，然后再运用直接开平方法求解即可；
（3）先将原方程化成一般式，然后再运用公式法求解即可；
（4）先将原方程化成一般式，然后再运用因式分解法求解即可．
【详解】（1）解：2（x－1）2－16＝0
2（x－1）2＝16
（x－1）2＝8
x-1=
所以，．
（2）解：
所以，．
（3）解：
∵△=
∴
∴，．
（4）解：x2＋3＝2x，
x2-2x+3＝0
=0
所以．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解法，灵活利用直接开平方法、公式法和因式分解法是解答本题的关键．
19．(1)
(2)
【分析】（1）利用因式分解法解方程；
（2）利用求根公式法解方程．
【详解】（1）解：
，
；
（2）解：，
，
，
，
【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．也考查了公式法解一元二次方程．
20．（1）见解析；（2）m=1
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△=（3m﹣1）2≥0，由此即可证出：不论m为任何实数，此方程总有实数根；
（2）利用分解因式法解一元二次方程，可得出方程的解，根据该方程有两个不等的整数根结合m为正整数，即可求出m的值．
【详解】（1）△=（3m+1）2﹣4×3m=9m2﹣6m+1=（3m﹣1）2．
∵不论m为任何实数时总有（3m﹣1）2≥0，即△≥0，
∴不论m为任何实数，此方程总有实数根；
（2）mx2+（3m+1）x+3=0，
即（mx+1）（x+3）=0，
解得：x1=﹣3，x2=﹣．
∵方程mx2+（3m+1）x+3=0有两个不等的整数根，且m为正整数，
∴m=1．
【点睛】本题考查了根的判别式以及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当△≥0时，方程有两个实数根”；（2）利用因式分解法求出原方程的解．
21．(1)，
(2)，
【分析】（1）根据求根公式求解即可；
（2）先移项，再根据因式分解进行求解即可．
【详解】（1）解：
，
∴，
∴
，
∴，
∴，；
（2）解：
．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，正确的计算是解决本题的关键．
22．(1)
(2)，
【分析】（1）将看作一个整体，利用十字相乘法进行因式分解，即可求解；
（2）用提公因式法，提取公因式，即可求解．
【详解】（1）解：，
，
，
.
（2）解：
，.
【点睛】本题考查解一元二次方程，解题的关键在于熟练掌握因式分解法中的十字相乘和提公因式法．
23．
【详解】试题分析：找出a、b、c的值，代入求根公式即可．
试题解析：解：∵a=1，b=-3，c=-2；∴b2-4ac =（-3）2-4×1×（-2）=9+8=17，∴x=．
24．（1）1；（2）x=1
【分析】（1）直接利用分式的性质化简即可得到答案；
（2）先利用平方差公式去分母，然后利用因式分解的方法解方程即可.
【详解】解：（1）
；
（2）∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得或，
经检验是方程的增根，故不符合题意；
经检验是方程的根，
∴.
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程和解分式方程，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
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