新浙教版数学八年级（下）单元测验 第五章 特殊平行四边形基础能力测试卷（含参考答案）

第五章 特殊平行四边形基础能力测试卷
班级 姓名 学号
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1、如图，在菱形中，，∠，则对角线等于（ ）
A．20 B．15 C．10 D．5
2、下列命题是真命题的是（　　）
　 A． 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
　 B． 对角线互相垂直的平行四边形是矩形
　 C． 四条边相等的四边形是菱形
　 D． 正方形是轴对称图形，但不是中心对称图形
3、已知四边形ABCD是平行四边形，若要使它成为正方形，则应增加的条件是
（　　）
A． AC⊥BD B．AC=BD C．AC=BD且AC⊥BD D． AC平分∠BAD
4、如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于O点，E，F分别是AB，BC边上的中点，连接EF．若EF=，BD=4，则菱形ABCD的周长为（　　）
　A． 4 B． 4 C． 4 D．28
5、已知，在等腰△ABC中，AB=AC，分别延长BA，CA到D，E点，使DA=AB，EA=CA，则四边形BCDE是（　　）2·1·c·n·j·y
A． 任意四边形 B．矩形 C．菱形 D． 正方形
6、如图，若两条宽度为1的带子相交成30°的角，则重叠部分（图中阴影部分）
的面积是（　　）
A． 2 B． C．1 D．
7、如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=7，点E为BC上一动点，把△ABE沿
AE折叠，当点B的对应点B′落在∠ADC的角平分线上时，则点B′到BC的距离为（　　）
　 A．1或2 B．2或3 C．3或4 D． 4或5
8、在四边形ABCD中，∠A=60°，∠ABC=∠ADC=90°，BC=2，CD=11，自D作DH⊥AB于H，则DH的长是（　　）www-2-1-cnjy-com
A． 7.5 B．7 C．6.5 D． 5.5
9、△ABC中，∠C=90°，点O为△ABC三条角平分线的交点，OD⊥BC于D，OE⊥AC于E，OF⊥AB于F，且AB=10cm，BC=8cm，AC=6cm，则点O到三边AB、AC、BC的距离为（　　）【来源：21cnj*y.co*m】
A． 2cm，2cm，2cm B．3cm，3cm，3cm
C．4cm，4cm，4cm D．2cm， 3cm，5cm
10、如图1，是由两个正方形组成的长方形花坛ABCD，
小明从顶点A沿着花坛间小路直到走到长边中点O，
再从中点O走到正方形OCDF的中心O1，再从中心
O1走到正方形O1GFH的中心O2，又从中心O2走到正方形O2IHJ的中心O3，再从中心O3走到正方形O3KJP
的中心O4，一共走了31m，则长方形花坛ABCD的周长是（ ）m.
A.36 B. 48 C. 96 D. 60
二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）
11、在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=∠D，则四边形ABCD是　 　．
12、如图，菱形ABCD中，对角线AC交BD于O，AB=8，E是CB的中点，则OE的长等于　 　．
13、矩形的两邻边长的差为2，对角线长为4，则矩形的面积为　 　．
14、如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC．若AC=4，则四边形CODE的周长是　 　．
15、如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=10，E是AB上一点，将矩形ABCD沿CE折叠后，点B落在AD边的F点上，则DF的长为 　．
16、菱形ABCD在直角坐标系中的位置如图所示，其中点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（0，），动点P从点A出发，沿A→B→C→D→A→B→…的路径，在菱形的边上以每秒0.5个单位长度的速度移动，移动到第2015秒时，点P的坐标为　 　．21cnjy.com
三、解答题（本题有7个小题，共66分）解答应写出证明过程或推演步骤.
17、（6分）如图，在△ABC中，点D是BC的中点，点E、F分别是线段AD及其延长线上，且DE=DF，给出下列条件：①BE⊥EC；②BF∥EC；③AB=AC，从中选择一个条件使四边形BECF是菱形，并给出证明，选择的条件是　 　（只填写序号）．
18、（8分）为美化环境，某单位需要在一块正方形空地上分别种植四种不同的花草，计划将这块空地按如下要求分成四块：⑴分割后的整个图形必须是中心对称图形；⑵四块图形的形状相同；⑶四块图形的面积相等．
请按照上述三个要求，分别在下面的正方形中给出4种不同的分割方法．
（尺规或徒手作图均可，但要尽可能准确、美观些，不写画法）
19、（8分）在平面直角坐标系xoy中 ,直线y=－x+3 与x轴、y轴分别教育A、B ，在△AOB内部作正方形，使正方形的四个顶点都落在该三角形的边上，求正方形落在x轴正半轴的顶点坐标。
20、（10分）如图1，纸片□ABCD中，AD＝5，S□ABCD＝15．过点A作AE⊥BC，垂足为E，沿AE剪下△ABE，将它平移至△DCE'的位置，拼成四边形AEE'D，则四边形AEE'D的形状为( )
A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形
(2)如图2，在(1)中的四边形纸片AEE'D中，在EE'上取一点F，使EF＝4，剪下△AEF，将它平移至△DE'F'的位置，拼成四边形AFF'D．
①求证：四边形AFF'D是菱形；
②求四边形AFF'D的两条对角线的长．
21、（10分）如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN与AD相交于点M，与BD相交于点O，与BC相交于N，连接MN，DN．
（1）求证：四边形BMDN是菱形；
（2）若AB=6，BC=8，求MD的长．
22、（12分）如图1，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PA=PE，PE交CD于F．21教育网
（1）证明：PC=PE；
（2）求∠CPE的度数；
（3）如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC=120°时，连接CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系，并说明理由．
23、（12分）如图1所示，在正方形ABCD和正方形CGEF中，点B、C、G在同一条直线上，M是线段AE的中点，DM的延长线交EF于点N，连接FM，易证：DM=FM，DM⊥FM（无需写证明过程）【出处：21教育名师】
（1）如图2，当点B、C、F在同一条直线上，DM的延长线交EG于点N，其余条件不变，试探究线段DM与FM有怎样的关系？请写出猜想，并给予证明；
（2）如图3，当点E、B、C在同一条直线上，DM的延长线交CE的延长线于点N，其余条件不变，探究线段DM与FM有怎样的关系？请直接写出猜想．
答案详解
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
【解答】 解：
A、一组对边平行，且相等的四边形是平行四边形，所以A选项错误；
B、对角线互相垂直，且相等的平行四边形是矩形，所以B选项错误；
C、四条边相等的四边形是菱形，所以C选项正确；
D、正方形是轴对称图形，也是中心对称图形，所以D选项错误．
故选C．
3、已知四边形ABCD是平行四边形，若要使它成为正方形，则应增加的条件是（　　）
A． AC⊥BD B．AC=BD C．AC=BD且AC⊥BD D． AC平分∠BAD
【解答】 解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形，故错误；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，AC=BD，
∴四边形ABCD是矩形，故错误；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形，
∵AC=BD， ∴四边形ABCD是正方形，故正确；
D、∵四边形ABCD是平行四边形，AC平分∠BAD，
∴四边形ABCD是矩形，故错误．
故选C．
4、如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于O点，E，F分别是AB，BC边上的中点，连接EF．若EF=，BD=4，则菱形ABCD的周长为（　　）
　A． 4 B． 4 C． 4 D．28
【解答】 解：∵E，F分别是AB，BC边上的中点，EF=，
∴AC=2EF=2，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA=AC=，OB=BD=2，
∴AB==，
∴菱形ABCD的周长为4．
故选：C．
5、已知，在等腰△ABC中，AB=AC，分别延长BA，CA到D，E点，使DA=AB，EA=CA，则四边形BCDE是（　　）21教育名师原创作品
A． 任意四边形 B．矩形 C．菱形 D． 正方形
【解答】 解：如图所示，
∵AC=AE，AB=AD
∴四边形BCDE为平行四边形，
∵AB=AE，∴∠AEB=∠ABE，
∵∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°
∠ABC=∠ACB
∴∠ABC+∠EBA=90°
∴四边形BCDE为矩形．
故选B．
6、如图，若两条宽度为1的带子相交成30°的角，则重叠部分（图中阴影部分）的面积是（　　）
A． 2 B． C．1 D．
【解答】 解：因为在直角三角形中30度角对应的直角边是斜边的一半，
在题目中的菱形中，已知菱形的高为1，可得边长为2，
所以面积为2．
故选：A．
7、如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=7，点E为BC上一动点，把△ABE沿AE折叠，当点B的对应点B′落在∠ADC的角平分线上时，则点B′到BC的距离为（　　）21*cnjy*com
　 A．1或2 B．2或3 C．3或4 D． 4或5
【解答】 解：如图，连接B′D，过点B′作B′M⊥AD于M．
∵点B的对应点B′落在∠ADC的角平分线上，
∴设DM=B′M=x，则AM=7﹣x，
又由折叠的性质知AB=AB′=5，
∴在直角△AMB′中，由勾股定理得到：AM2=AB′2﹣B′M2
即（7﹣x）2=25﹣x2，
解得x=3或x=4，
则点B′到BC的距离为2或1．
故选：A．
8、在四边形ABCD中，∠A=60°，∠ABC=∠ADC=90°，BC=2，CD=11，自D作DH⊥AB于H，则DH的长是（　　）【版权所有：21教育】
A． 7.5 B．7 C．6.5 D． 5.5
【解答】 解：过C作DH的垂线CE交DH于E，
∵DH⊥AB，CB⊥AB，
∴CB∥DH又CE⊥DH，
∴四边形BCEH是矩形．
∵HE=BC=2，在Rt△AHD中，∠A=60°，
∴∠ADH=30°，
又∵∠ADC=90°
∴∠CDE=60°，
∴∠DCE=30°，
∴在Rt△CED中，DE=CD=5.5，
∴DH=2+5.5=7.5．
故选A．
9、△ABC中，∠C=90°，点O为△ABC三条角平分线的交点，OD⊥BC于D，OE⊥AC于E，OF⊥AB于F，且AB=10cm，BC=8cm，AC=6cm，则点O到三边AB、AC、BC的距离为（　　）
A． 2cm，2cm，2cm B．3cm，3cm，3cm
C．4cm，4cm，4cm D．2cm， 3cm，5cm
【解答】 解：解答：解：连接OA，OB，OC，则△BDO≌△BFO，△CDO≌△CEO，△AEO≌△AFO，21·世纪*教育网
∴BD=BF，CD=CE，AE=AF，
又∵∠C=90，OD⊥BC于D，OE⊥AC于E，且O为△ABC三条角平分线的交点
∴四边形OECD是正方形，
则点O到三边AB、AC、BC的距离=CD，
∴AB=8﹣CD+6﹣CD=﹣2CD+14，又根据勾股定理可得：AB=10，
即﹣2CD+14=10
∴CD=2，
即点O到三边AB、AC、BC的距离为2cm．
故选A
10、如图1，是由两个正方形组成的长方形花坛ABCD，
小明从顶点A沿着花坛间小路直到走到长边中点O，
再从中点O走到正方形OCDF的中心O1，再从中心
O1走到正方形O1GFH的中心O2，又从中心O2走到正方形O2IHJ的中心O3，再从中心O3走到正方形O3KJP
的中心O4，一共走了31m，则长方形花坛ABCD的周长是（ ）m.
A.36 B. 48 C. 96 D. 60
【解答】 解：设AB=BO=a，根据勾股定理，得AO=a，
所以001=，O1O2=，0203=，0304=.
由A0+001+0102+0203+0304=31，得，
所以，解得a=16，即AB=B0=16，所以BC=32，
所以长方形花坛ABCD的周长是2(16+32)=96m.
二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）
11、在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=∠D，则四边形ABCD是　矩形　．
【解答】 解：∵∠A+∠B+∠C+∠D=360°，且∠A=∠B=∠C=∠D，
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°．
∴四边形ABCD是矩形．
故答案为：矩形
12、如图，菱形ABCD中，对角线AC交BD于O，AB=8，E是CB的中点，则OE的长等于　 　．21世纪教育网版权所有
【解答】 解：∵四边形ABCD是菱形，
∴DO=OB，
∵E是AD的中点，
∴OE=AB，
∵AB=8，
∴OE=4．
故答案为4．
13、矩形的两邻边长的差为2，对角线长为4，则矩形的面积为　 　．
【解答】 解： 设矩形一条边长为x，则另一条边长为x﹣2，
由勾股定理得，x2+（x﹣2）2=42，
整理得，x2﹣2x﹣6=0，
解得：x=1+或x=1﹣（不合题意，舍去），
另一边为：﹣1，
则矩形的面积为：（1+）（﹣1）=6．
故答案为：6．
14、如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC．若AC=4，则四边形CODE的周长是　8　．www.21-cn-jy.com
【解答】 解：∵CE∥BD，DE∥AC，
∴四边形CODE是平行四边形，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OC=AC=2，OD=BD，AC=BD，
∴OC=OD=2，
∴四边形CODE是菱形，
∴DE=CEOC=OD=2，
∴四边形CODE的周长=2×4=8；
故答案为：8．
15、如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=10，E是AB上一点，将矩形ABCD沿CE折叠后，点B落在AD边的F点上，则DF的长为　6　．
【解答】 解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=DC=8，∠D=90°，
∵将矩形ABCD沿CE折叠后，点B落在AD边的F点上，
∴CF=BC=10，
在Rt△CDF中，由勾股定理得：DF===6，
故答案为：6．
16、菱形ABCD在直角坐标系中的位置如图所示，其中点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（0，），动点P从点A出发，沿A→B→C→D→A→B→…的路径，在菱形的边上以每秒0.5个单位长度的速度移动，移动到第2015秒时，点P的坐标为　（0.5，﹣）　．21·cn·jy·com
【解答】 解：∵A（1，0），B（0，），
∴AB==2．
∵点P的运动速度为0.5米/秒，
∴从点A到点B所需时间==4秒，
∴沿A→B→C→D→A所需的时间=4×4=16秒．
∵=125…15，
∴移动到第2015秒时，点P恰好运动到AD的中点，
∴P（0.5，﹣）．
故答案为：（0.5，﹣）．
三、解答题（本题有7个小题，共66分）解答应写出证明过程或推演步骤.
17、（6分）如图，在△ABC中，点D是BC的中点，点E、F分别是线段AD及其延长线上，且DE=DF，给出下列条件：①BE⊥EC；②BF∥EC；③AB=AC，从中选择一个条件使四边形BECF是菱形，并给出证明，选择的条件是　③　（只填写序号）．【来源：21·世纪·教育·网】
【解答】 解：∵BD=CD，DE=DF，
∴四边形BECF是平行四边形，
①BE⊥EC时，四边形BECF是矩形，不一定是菱形；
②四边形BECF是平行四边形，则BF∥EC一定成立，故不一定是菱形；
③AB=AC时，∵D是BC的中点，
∴AF是BC的中垂线，
∴BE=CE，
∴平行四边形BECF是菱形．
故答案是：③．
18、（8分）为美化环境，某单位需要在一块正方形空地上分别种植四种不同的花草，计划将这块空地按如下要求分成四块：⑴分割后的整个图形必须是中心对称图形；⑵四块图形的形状相同；⑶四块图形的面积相等．
请按照上述三个要求，分别在下面的正方形中给出4种不同的分割方法．
（尺规或徒手作图均可，但要尽可能准确、美观些，不写画法）
【解答】 解：分割方案如下：
点评：本题是方法开放型问题，按要求的分法很多，要想将正方形分成面积相等的四部分，只要过正方形的中心画两条垂直的直线即可，另外探索性学习方式是新课程的要求，也是新课标的要求，能改变学生的学习方式
19、（8分）在平面直角坐标系xoy中 ,直线y=－x+3 与x轴、y轴分别教育A、B ，在△AOB内部作正方形，使正方形的四个顶点都落在该三角形的边上，求正方形落在x轴正半轴的顶点坐标。2-1-c-n-j-y
【解答】 解：分两种情况；
①如图1，令x=0，则y=3，令y=0，则x=3，
∴OA=OB=3，
∴∠BAO=45°，
∵DE⊥OA，
∴DE=AE，
∵四边形COED是正方形，
∴OE=DE，
∴OE=AE，
∴OE=OA=，
∴E（，0）；
②如图2，由①知△OFC，△EFA是等腰直角三角形，
∴CF=OF，AF=EF，
∵四边形CDEF是正方形，
∴EF=CF，
∴AF=OF=2OF，
∴OA=OF+2OF=3，
∴OF=1，
∴F（1，0）．
20、（10分）如图1，纸片□ABCD中，AD＝5，S□ABCD＝15．过点A作AE⊥BC，垂足为E，沿AE剪下△ABE，将它平移至△DCE'的位置，拼成四边形AEE'D，则四边形AEE'D的形状为( )　　21*cnjy*com
A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形
(2)如图2，在(1)中的四边形纸片AEE'D中，在EE'上取一点F，使EF＝4，剪下△AEF，将它平移至△DE'F'的位置，拼成四边形AFF'D．
①求证：四边形AFF'D是菱形；
②求四边形AFF'D的两条对角线的长．
【解答】 解：(1) 由平移知：AEDE′,
∴四边形AEE′D是平行四边形，又AE⊥BC, ∴∠AEE′=90°,

∴四边形AEE′D是矩形，∴C选项正确.
① ∵AFDF′, ∴四边形AFF′D是平行四边形，
∵AE=3, EF=4 ,∠E=90°, ∴AF=5,
∵S□ABCD=AD·AE=15, ∴AD=5 , ∴AD=AF , ∴四边形AFF′D是菱形.
② 如下图， 连接AF′, DF ，
在Rt△AEF′中， AE=3, EF′=9, ∴AF′=
在Rt△DFE′中， FE′=1, DE′=AE=3, ∴DF=
∴四边形AFF′D两条对角线的长分别是和 .
21、（10分）如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN与AD相交于点M，与BD相交于点O，与BC相交于N，连接MN，DN．
（1）求证：四边形BMDN是菱形；
（2）若AB=6，BC=8，求MD的长．
【解答】 解：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠A=90°，
∴∠MDO=∠NBO，∠DMO=∠BNO，
在△DMO和△BNO中，
，
∴△DMO≌△BNO（ASA），
∴OM=ON，
∵OB=OD，
∴四边形BMDN是平行四边形，
∵MN⊥BD，
∴平行四边形BMDN是菱形．
（2）解：∵四边形BMDN是菱形，
∴MB=MD，
设MD长为x，则MB=DM=x，
在Rt△AMB中，BM2=AM2+AB2
即x2=（8﹣x）2+62，
解得：x=．
答：MD长为．
22、（12分）如图1，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PA=PE，PE交CD于F．
（1）证明：PC=PE；
（2）求∠CPE的度数；
（3）如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC=120°时，连接CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系，并说明理由．
【解答】 解：（1）证明：在正方形ABCD中，AB=BC，
∠ABP=∠CBP=45°，
在△ABP和△CBP中，
， ∴△ABP≌△CBP（SAS），
∴PA=PC，
∵PA=PE，
∴PC=PE；
（2）由（1）知，△ABP≌△CBP，
∴∠BAP=∠BCP，
∴∠DAP=∠DCP，
∵PA=PC，
∴∠DAP=∠E，
∴∠DCP=∠E，
∵∠CFP=∠EFD（对顶角相等），
∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF=180°﹣∠DFE﹣∠E，
即∠CPF=∠EDF=90°；
（3）在正方形ABCD中，AB=BC，∠ABP=∠CBP=45°，
在△ABP和△CBP中，
∴△ABP≌△CBP（SAS），
∴PA=PC，∠BAP=∠BCP，
∵PA=PE，
∴PC=PE，
∴∠DAP=∠DCP，
∵PA=PC，
∴∠DAP=∠E，
∴∠DCP=∠E
∵∠CFP=∠EFD（对顶角相等），
∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF=180°﹣∠DFE﹣∠E，
即∠CPF=∠EDF=180°﹣∠ADC=180°﹣120°=60°，
∴△EPC是等边三角形，
∴PC=CE，
∴AP=CE；
23、（12分）如图1所示，在正方形ABCD和正方形CGEF中，点B、C、G在同一条直线上，M是线段AE的中点，DM的延长线交EF于点N，连接FM，易证：DM=FM，DM⊥FM（无需写证明过程）
（1）如图2，当点B、C、F在同一条直线上，DM的延长线交EG于点N，其余条件不变，试探究线段DM与FM有怎样的关系？请写出猜想，并给予证明；
（2）如图3，当点E、B、C在同一条直线上，DM的延长线交CE的延长线于点N，其余条件不变，探究线段DM与FM有怎样的关系？请直接写出猜想．
解答： 解：（1）如图2，DM=FM，DM⊥FM，
证明：连接DF，NF，
∵四边形ABCD和CGEF是正方形，
∴AD∥BC，BC∥GE，
∴AD∥GE，
∴∠DAM=∠NEM，
∵M是AE的中点，
∴AM=EM，
在△MAD与△MEN中，
，∴△MAD≌△MEN，
∴DM=MN，AD=EN，
∵AD=CD，
∴CD=NE，
∵CF=EF，∠DCF=∠DCB=90°，
在△DCF与△NEF中，
，∴△MAD≌△MEN，
∴DF=NF，∠CFD=∠EFN，
∵∠EFN+∠NFC=90°，
∴∠DFC+∠CFN=90°，
∴∠DFN=90°，
∴DM⊥FM，DM=FM
（2）猜想：DM⊥FM，DM=FM，
证明如下：如图3，连接DF，NF，
连接DF，NF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，
∵点E、B、C在同一条直线上，
∴AD∥CN，
∴∠ADN=∠MNE，
在△MAD与△MEN中，
，∴△MAD≌△MEN，
∴DM=MN，AD=EN，
∵AD=CD，
∴CD=NE，
∵CF=EF，
∵∠DCF=90°+45°=135°，∠NEF=180°﹣45°=135°，
∴∠DCF=∠NEF，
在△DCF与△NEF中，
，∴△MAD≌△MEN，
∴DF=NF，∠CFD=∠EFN，
∵∠CFD+∠EFD=90°，
∴∠NFE+∠EFD=90°，
∴∠DFN=90°，
∴DM⊥FM，DM=FM．