新浙教版数学八年级（下）单元测验 第五章 特殊平行四边形综合能力测试卷（含参考答案）

第五章 特殊平行四边形综合能力测试卷
班级 姓名 学号
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1、菱形具有而矩形不一定具有的性质是（　　）
　 A． 对角线互相垂直 B． 对角线相等
　 C． 对角线互相平分 D． 对角互补
2、下列条件中，不能判定四边形ABCD为菱形的是（　　）
A． AC⊥BD，AC与BD互相平分 B． AB=BC=CD=DA
C． AB=BC，AD=CD，AC⊥BD D．AB=CD，AD=BC，AC⊥BD
3、在平行四边形ABCD中，增加一个条件能使它成为矩形，则增加的条件是（　　）
A． 对角线互相平分 B．AB=BC C．AB=AC D．∠A+∠C=180°
4、已知如图，在矩形ABCD中有两个一条边长为1的平行四边形．则它们的公共部分（即阴影部分）的面积是（　　）【来源：21·世纪·教育·网】
A． 大于1 B．等于1 C．小于1 D． 小于或等于1
5、已知点P是矩形ABCD内一点，连结AP、BP、CP、DP，若S△ABP+S△CDP=S△ADP+S△BCP，则关于点P的位置，正确的说法是（ ）
A．一定是对角线交点 B． 一定在对角线上
C．一定在对边中点的连线上 D． 可以是任意位置
6、数学兴趣小组开展以下折纸活动：
（1）对折矩形ABCD，使AD和BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；
（2）再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到线段BN．
观察，探究可以得到∠ABM的度数是（　　）
　 A．25° B．30° C．36° D． 45°
7、如图，在菱形ABCD中，∠BAD=80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，垂足为E，连接DF，则∠CDF等于（　　）21cnjy.com
A．50° B．60° C．70° D．80°
8、如图，在菱形ABCD中，AB=4，∠A=120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为（　　）www.21-cn-jy.com
　 A． 2 B．2 C．4 D．2+2
9、图为正三角形ABC与正方形DEFG的重叠情形，其中D、E两点分别在AB、BC上，且BD=BE．若AC=18，GF=6，则F点到AC的距离为何？（　　）
A．2 B．3 C．12﹣4 D．6﹣6
如图，在给定的一张平行四边形纸片上作一个菱形．甲、乙两人的作法如下：
甲：连接AC，作AC的垂直平分线MN分别交AD，AC，BC于M，O，N，连接AN，CM，则四边形ANCM是菱形．　　21*cnjy*com
乙：分别作∠A，∠B的平分线AE，BF，分别交BC，AD于E，F，连接EF，则四边形ABEF是菱形． 根据两人的作法可判断（　　）
A．甲正确，乙错误 B．乙正确，甲错误
C．甲、乙均正确 D．甲、乙均错误
二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）
11、如图，在矩形ABCD中，∠BOC=120°，AB=5，则BD的长为　 　．
12、将矩形ABCD沿AE折叠，得到如图的图形．已知∠CEB′=50°，则∠AEB′=　 　°．21教育名师原创作品
13、如图，三个边长均为2的正方形重叠在一起，O1、O2是其中两个正方形的中心，则阴影部分的面积是 . 21*cnjy*com
14、如图，在正方形ABCD中，点E在边DC上，DE=3，EC=2，把线段AE绕点A旋转后使点E落在直线BC上的点F处，则F、C两点的距离为　 　．
15、如图，凸五边形ABCDE中，∠A=∠B=120°，EA=AB=BC=2，CD=DE=4，则它的面积为 ．
第15题图 第16题图
16、按如图方式作正方形和等腰直角三角形．若第一个正方形的边长AB=1，第一个正方形与第一个等腰直角三角形的面积和为S1，第二个正方形与第二个等腰直角三角形的面积和为S2，…，则第n个正方形与第n个等腰直角三角形的面积和Sn=　 　．
三、解答题（本题有7个小题，共66分）解答应写出证明过程或推演步骤.
17、（6分）如图所示，顺次延长正方形ABCD的各边AB，BC，CD，DA至E，F，G，H，且使BE=CF=DG=AH．
求证：四边形EFGH是正方形．
18、（8分）如图，将平行四边形ABCD的边DC延长到点E，使CE=DC，连接AE，交BC于点F．
（1）求证：AC=BE；
（2）若∠AFC=2∠D，连接AC，BE．求证：四边形ABEC是矩形．
19、（8分）如图，点E、F为线段BD的两个三等分点，四边形AECF是菱形．
（1）试判断四边形ABCD的形状，并加以证明；
（2）若菱形AECF的周长为20，BD为24，试求四边形ABCD的面积．
20、（10分）如图所示，有四个动点P，Q，E，F分别从正方形ABCD的四个顶
点出发，沿着AB，BC，CD，DA以同样速度向B，C，D，A各点移动．
（1）试判断四边形PQEF是否是正方形，并证明；
（2）PE是否总过某一定点，并说明理由．
21、（10分）（1）如图矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，过点D作DP∥OC，且DP=OC，连接CP，判断四边形CODP的形状并说明理由．
（2）如果题目中的矩形变为菱形，结论应变为什么？说明理由．
（3）如果题目中的矩形变为正方形，结论又应变为什么？说明理由．
22、（12分）已知，如图，O为正方形对角线的交点，BE平分∠DBC，交DC于点E，延长BC到点F，使CF=CE，连结DF，交BE的延长线于点G，连结OG．
（1）求证：△BCE≌△DCF．
（2）判断OG与BF有什么关系，证明你的结论．
（3）若DF2=8﹣4，求正方形ABCD的面积？
23、（12分）如图，菱形ABCD中，AB=6，∠A=60°，点E是线段AB上一点（不与A， B重合），作∠EDF交BC于点F，且∠EDF=60°．21·世纪*教育网
（1）直接写出菱形ABCD的面积；
（2）当点E在边AB上运动时，
①连结EF，求证：△DEF是等边三角形；
②探究四边形DEBF的面积的变化规律，写出这个规律，并说明理由；
③直接写出四边形DEBF周长的最小值．
答案详解
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
3、在平行四边形ABCD中，增加一个条件能使它成为矩形，则增加的条件是（　　）
A． 对角线互相平分 B．AB=BC C．AB=AC D． ∠A+∠C=180°
【解答】 解：：答案D中∠A与∠C为对角，∠A=∠C，又∠A+∠C=180°，
∴∠A=∠C=90°，又四边形为平行四边形，所以可得其为矩形；故该选项正确，
故选D．
4、已知如图，在矩形ABCD中有两个一条边长为1的平行四边形．则它们的公共部分（即阴影部分）的面积是（　　）www-2-1-cnjy-com
A． 大于1 B．等于1 C．小于1 D． 小于或等于1
【解答】 解：如图所示：作EN∥AB，FM∥CD，过点E作EG⊥MN于点G，
可得阴影部分面等于四边形EFMN的面积，
则四边形EFMN是平行四边形，且EN=FM=1，
∵EN=1，
∴EG＜1，
∴它们的公共部分（即阴影部分）的面积小于1．
故选：C．
5、已知点P是矩形ABCD内一点，连结AP、BP、CP、DP，若S△ABP+S△CDP=S△ADP+S△BCP，则关于点P的位置，正确的说法是（ ）
A．一定是对角线交点 B． 一定在对角线上
C．一定在对边中点的连线上 D． 可以是任意位置
【解答】 解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，AB=CD，
作PE⊥AD于E，延长EP交BC于F，如图所示：
则PF⊥BC，EF=AB，
∵△ADP的面积+△BCP的面积=AD?PE+BC?PF=BC（PE+PF）=BC?EF=BC?AB，【来源：21cnj*y.co*m】
∴△ADP的面积+△BCP的面积=矩形ABCD的面积，
同理：△ABP的面积+△CDP的面积=矩形ABCD的面积，
∴△ADP的面积+△BCP的面积=△ABP的面积+△CDP的面积；
故选：D．
6、数学兴趣小组开展以下折纸活动：
（1）对折矩形ABCD，使AD和BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；
（2）再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到线段BN．
观察，探究可以得到∠ABM的度数是（　　）
　 A．25° B．30° C．36° D． 45°
【解答】 解：：连接AN，
∵EF垂直平分AB，
∴AN=BN，
由折叠知AB=BN，
∴AN=AB=BN，
∴△ABN为等边三角形，
∴∠ABN=60°，
∴∠ABM=∠NBM=30°．
故选B．
7、如图，在菱形ABCD中，∠BAD=80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，垂足为E，连接DF，则∠CDF等于（　　）【版权所有：21教育】
A．50° B．60° C．70° D．80°
【解答】 解：如图，连接BF，
在菱形ABCD中，∠BAC=∠BAD=×80°=40°，∠BCF=∠DCF，BC=CD，
∵∠BAD=80°，
∴∠ABC=180°﹣∠BAD=180°﹣80°=100°，
∵EF是线段AB的垂直平分线，
∴AF=BF，∠ABF=∠BAC=40°，
∴∠CBF=∠ABC﹣∠ABF=100°﹣40°=60°，
∵在△BCF和△DCF中，
， ∴△BCF≌△DCF（SAS），
∴∠CDF=∠CBF=60°．
故选B．
8、如图，在菱形ABCD中，AB=4，∠A=120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为（　　）
　 A． 2 B．2 C．4 D．2+2
【解答】 解：作点P关于BD的对称点P′，
作P′Q⊥CD交BD于K，交CD于Q，
∵AB=4，∠A=120°，
∴点P′到CD的距离为4×=2，
∴PK+QK的最小值为2，
故选：B．
9、图为正三角形ABC与正方形DEFG的重叠情形，其中D、E两点分别在AB、BC上，且BD=BE．若AC=18，GF=6，则F点到AC的距离为何？（　　）
A．2 B．3 C．12﹣4 D．6﹣6
【解答】 解：如图，过点B作BH⊥AC于H，交GF于K，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠ABC=60°，
∵BD=BE，
∴△BDE是等边三角形，
∴∠BDE=60°，
∴∠A=∠BDE，
∴AC∥DE，
∵四边形DEFG是正方形，GF=6，
∴DE∥GF，
∴AC∥DE∥GF，
∴KH=18×﹣6×﹣6=9﹣3﹣6=6﹣6，
∴F点到AC的距离为6﹣6．
故选D．
如图，在给定的一张平行四边形纸片上作一个菱形．甲、乙两人的作法如下：
甲：连接AC，作AC的垂直平分线MN分别交AD，AC，BC于M，O，N，连接AN，CM，则四边形ANCM是菱形．
乙：分别作∠A，∠B的平分线AE，BF，分别交BC，AD于E，F，连接EF，则四边形ABEF是菱形． 根据两人的作法可判断（　　）
A．甲正确，乙错误 B．乙正确，甲错误
C．甲、乙均正确 D．甲、乙均错误
【解答】 解：甲的作法正确；
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAC=∠ACN，
∵MN是AC的垂直平分线，
∴AO=CO，
在△AOM和△CON中，∴△AOM≌△CON（ASA），
∴MO=NO，
∴四边形ANCM是平行四边形，
∵AC⊥MN，
∴四边形ANCM是菱形；
乙的作法正确；
∵AD∥BC，
∴∠1=∠2，∠6=∠7，
∵BF平分∠ABC，AE平分∠BAD，
∴∠2=∠3，∠5=∠6，
∴∠1=∠3，∠5=∠7，
∴AB=AF，AB=BE，
∴AF=BE
∵AF∥BE，且AF=BE，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∵AB=AF，
∴平行四边形ABEF是菱形；
故选：C．
二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）
11、如图，在矩形ABCD中，∠BOC=120°，AB=5，则BD的长为　10　．
【解答】 解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=2AO，BD=2BO，AC=BD，
∴OA=OB，
∵∠BOC=120°，
∴∠AOB=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴OB=AB=5，
∴BD=2BO=10，
故答案为：10．
12、将矩形ABCD沿AE折叠，得到如图的图形．已知∠CEB′=50°，则∠AEB′=　65　°．
【解答】 解：∵∠AEB′是△AEB沿AE折叠而得，
∴∠AEB′=∠AEB．
又∵∠BEC=180°，即∠AEB′+∠AEB+∠CEB′=180°，
又∵∠CEB′=50°，∴∠AEB′==65，
故答案为：65．
13、如图，三个边长均为2的正方形重叠在一起，O1、O2是其中两个正方形的中心，则阴影部分的面积是 . 21教育网
【解答】 解：连接O1B、O1C，如图：
∵∠BO1F+∠FO1C=90°，∠FO1C+∠CO1G=90°，
∴∠BO1F=∠CO1G，
∵四边形ABCD是正方形，∴∠O1BF=∠O1CG=45°，
在△O1BF和△O1CG中
∴△O1BF≌△O1CG，
∴O1、O2两个正方形阴影部分的面积是S正方形，
同理另外两个正方形阴影部分的面积也是S正方形，
∴S阴影部分=S正方形=2．
故答案为：2．
14、如图，在正方形ABCD中，点E在边DC上，DE=3，EC=2，把线段AE绕点A旋转后使点E落在直线BC上的点F处，则F、C两点的距离为　2或8　．
【解答】 解：当点F落在边BC上时，如图，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=AD=DE+CE=3+2=5，∠ABF=∠D=90°，
∵线段AE绕点A旋转后使点E落在直线BC上的点F处，
∴AF=AE，
在Rt△ABF和Rt△ADE中
，∴Rt△ABF≌Rt△ADE，
∴BF=DE=3，∴CF=BC﹣BF=5﹣3=2；
当点F落在BC的延长线上的点F′时，如图，
同样可证明Rt△ABF′≌Rt△ADE，
∴BF′=DE=3，∴CF=BC+BF′=5+3=8，
∴F、C两点的距离为2或8．
故答案为2或8．
15、如图，凸五边形ABCDE中，∠A=∠B=120°，EA=AB=BC=2，CD=DE=4，则它的面积为　7　．2-1-c-n-j-y
【解答】 解：如图，延长EA，BC相交于点F，CG⊥EF于G，BH⊥EF于H，
因为∠EAB=∠CBA=120°，
所以∠FAB=∠FBA=60°，
所以△FAB为等边三角形，
AF=FB=AB=2，
所以CD=DE=EF=FC=4，
所以四边形EFCD是菱形，
所以SABCDE=SCDEF﹣S△ABF
16、按如图方式作正方形和等腰直角三角形．若第一个正方形的边长AB=1，第一个正方形与第一个等腰直角三角形的面积和为S1，第二个正方形与第二个等腰直角三角形的面积和为S2，…，则第n个正方形与第n个等腰直角三角形的面积和Sn=　　．【出处：21教育名师】
【解答】 解：：∵第一个正方形的边长为1，
第2个正方形的边长为（）1=，
第3个正方形的边长为（）2=，
…，
第n个正方形的边长为（）n﹣1，
∴第n个正方形的面积为：[（）2]n﹣1=，
则第n个等腰直角三角形的面积为：×=，
故第n个正方形与第n个等腰直角三角形的面积和Sn=+=．
三、解答题（本题有7个小题，共66分）解答应写出证明过程或推演步骤.
17、（6分）如图所示，顺次延长正方形ABCD的各边AB，BC，CD，DA至E，F，G，H，且使BE=CF=DG=AH．
求证：四边形EFGH是正方形．
【解答】 解：证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=DA，∠EBF=∠HAE=∠GDH=∠FCG，
又∵BE=CF=DG=AH，
∴CG=DH=AE=BF
∴△AEH≌△CGF≌△DHG，
∴EF=FG=GH=HE，∠EFB=∠HEA，
∴四边形EFGH为菱形，
∵∠EFB+∠FEB=90°，∠EFB=∠HEA，
∴∠FEB+∠HEA=90°，
∴四边形EFGH是正方形．
18、（8分）如图，将平行四边形ABCD的边DC延长到点E，使CE=DC，连接AE，交BC于点F．
（1）求证：AC=BE；
（2）若∠AFC=2∠D，连接AC，BE．求证：四边形ABEC是矩形．
【解答】 解：证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∵CE=DC，
∴AB=EC，AB∥EC，
∴四边形ABEC是平行四边形，
∴AC=BE；
（2）∵AB=EC，AB∥EC，
∴四边形ABEC是平行四边形，
∴FA=FE，FB=FC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC=∠D，
又∵∠AFC=2∠D，
∴∠AFC=2∠ABC，
∵∠AFC=∠ABC+∠BAF，
∴∠ABC=∠BAF，
∴FA=FB，
∴FA=FE=FB=FC，
∴AE=BC，
∴四边形ABEC是矩形．
19、（8分）如图，点E、F为线段BD的两个三等分点，四边形AECF是菱形．
（1）试判断四边形ABCD的形状，并加以证明；
（2）若菱形AECF的周长为20，BD为24，试求四边形ABCD的面积．
【解答】 解：（1）四边形ABCD为菱形．
理由如下：如图，连接AC交BD于点O，
∵四边形AECF是菱形，
∴AC⊥BD，AO=OC，EO=OF，
又∵点E、F为线段BD的两个三等分点，
∴BE=FD，
∴BO=OD，
∵AO=OC，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴四边形AECF为菱形；
（2）∵四边形AECF为菱形，且周长为20，
∴AE=5，
∵BD=24，
∴EF=8，OE=EF=×8=4，
由勾股定理得，AO===3，
∴AC=2AO=2×3=6，
∴S四边形ABCD=BD?AC=×24×6=72．
20、（10分）如图所示，有四个动点P，Q，E，F分别从正方形ABCD的四个顶点出发，沿着AB，BC，CD，DA以同样速度向B，C，D，A各点移动．
（1）试判断四边形PQEF是否是正方形，并证明；
（2）PE是否总过某一定点，并说明理由．
【解答】 解：（1）在正方形ABCD中，AP=BQ=CE=DF，AB=BC=CD=DA，
∴BP=QC=ED=FA．
又∵∠BAD=∠B=∠BCD=∠D=90°，
∴△AFP≌△BPQ≌△CQE≌△DEF．
∴FP=PQ=QE=EF，∠APF=∠PQB．
∴四边形PQEF是菱形，
∵∠FPQ=90°，
∴四边形PQEF为正方形．
（2）连接AC交PE于O，
∵AP平行且等于EC，
∴四边形APCE为平行四边形．
∵O为对角线AC的中点，
∴对角线PE总过AC的中点．
21、（10分）（1）如图矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，过点D作DP∥OC，且DP=OC，连接CP，判断四边形CODP的形状并说明理由．
（2）如果题目中的矩形变为菱形，结论应变为什么？说明理由．
（3）如果题目中的矩形变为正方形，结论又应变为什么？说明理由．
【解答】 解：（1）四边形CODP的形状是菱形，
理由是：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，OA=OC=AC，OB=OD=BD，
∴OC=OD，
∵DP∥OC，DP=OC，
∴四边形CODP是平行四边形，
∵OC=OD，
∴平行四边形CODP是菱形；
（2）四边形CODP的形状是矩形，
理由是：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠DOC=90°，
∵DP∥OC，DP=OC，
∴四边形CODP是平行四边形，
∵∠DOC=90°，
∴平行四边形CODP是矩形；
（3）四边形CODP的形状是正方形，
理由是：∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，AC=BD，OA=OC=AC，OB=OD=BD，
∴∠DOC=90°，OD=OC，
∵DP∥OC，DP=OC，
∴四边形CODP是平行四边形，
∵∠DOC=90°，OD=OC
∴平行四边形CODP是正方形．
22、（12分）已知，如图，O为正方形对角线的交点，BE平分∠DBC，交DC于点E，延长BC到点F，使CF=CE，连结DF，交BE的延长线于点G，连结OG．
（1）求证：△BCE≌△DCF．
（2）判断OG与BF有什么关系，证明你的结论．
（3）若DF2=8﹣4，求正方形ABCD的面积？
【解答】 解：（1）证明：在△BCE和△DCF中，，
∴△BCE≌△DCF（SAS）；
（2）OG∥BF且OG=BF，
理由：如图，
∵BE平分∠DBC，
∴∠2=∠3，
在△BGD和△BGF中，，∴△BGD≌△BGF（ASA），
∴DG=GF，
∵O为正方形ABCD的中心，
∴DO=OB，
∴OG是△DBF的中位线，
∴OG∥BF且OG=BF；
（3）设BC=x，则DC=x，BD=x，由（2）知△BGD≌△BGF，
∴BF=BD，
∴CF=（﹣1）x，
∵DF2=DC2+CF2，
∴x2+[（﹣1）x]2=8﹣4，解得x2=2，
∴正方形ABCD的面积是2．
23、（12分）如图，菱形ABCD中，AB=6，∠A=60°，点E是线段AB上一点（不与A， B重合），作∠EDF交BC于点F，且∠EDF=60°．21世纪教育网版权所有
（1）直接写出菱形ABCD的面积；
（2）当点E在边AB上运动时，
①连结EF，求证：△DEF是等边三角形；
②探究四边形DEBF的面积的变化规律，写出这个规律，并说明理由；
③直接写出四边形DEBF周长的最小值．
【解答】 解：（1）连接BD、AC．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=AB，AC⊥BD，∠DAO=∠A=30°．
∵AD=AB，∠A=60°，
∴△ABD为等边三角形．
∴BD=AD=AB=6．
∵在Rt△ADO中，∠DAO=30°，
∴OD=AD=3，AO==3．
∴AC=6．
∴菱形ABCD的面积===18．
（2）①由（1）可知：△ABD为等边三角形．
∴AD=BD，∠ADB=60°．
∵∠ADE+∠EDB=60°，∠FBD+∠EDB=60°，
∴∠AED=∠FDB．
∵四边形ABCD是菱形，∠A=60°，
∴∠DBF=∠ABC=．
∴∠DAE=∠DBF．
在△DAE和△DBF中，
，∴△DAE≌△DBF．
∴DE=DF．
又∵∠EDF=60°
∴△EDF为等边三角形．
②四边形DEBF的面积=9．
理由：∵△DAE≌△DBF．
∴S△ADE=S△BDF，
∴四边形DEBF的面积=△EDB的面积+△DBF的面积=△EDB的面积+△DAE的面积=×菱形ABCD的面积=．21·cn·jy·com
③∵△DAE≌△DBF．∴BF=AE．
∴BF+BE=AE+BE=AB=6．
∴当ED、DF有最小值时，四边形的周长最短．
由垂线最短，可知当DE⊥AB时，ED、DF最短．
在Et△ADE中，∠DAE=60°，
∴sin60°=．∴DE==3．
∴四边形DEBF的周长的最小值=DE+DF+BE+BF=DE+DF+AB=3+3+6=6+6．2·1·c·n·j·y