3.3垂径定理及其推论（共11张PPT）浙教版数学九年级上册

(共11张PPT)
垂径定理及其推论
活动一：猜一猜
2、用“如果…那么…” 的形式表述上面的命题。
AE=BE
AC=BC
⌒
⌒
AD=BD
⌒
⌒
结论：
CD是直径
CD⊥AB
条件：
1、作图：画⊙O的一条直径CD，在CD上任取一点E，过E作一条与直径CD垂直的弦AB。
问题：（1）画出的图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？
（2）你能发现图中有哪些等量关系？
已知：如图，CD是⊙O的直径，AB是⊙O的一条弦，CD⊥AB，且交AB于点E．
求证：（1）AE=BE
活动二：证一证
如果直径垂直于弦，那么直径平分弦并且平分弦所对的弧。
AC=BC,
⌒
⌒
AD=BD
⌒
⌒
证明：（1）连接OA，OB，则OA=OB
∵CD⊥AB
∴AE=BE
（2）
弧相等
弧重合
沿直径CD所在的直线对折
点A与点B 重合
（2）
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦
所对的弧．
∵CD为直径，CD⊥AB
∴ EA=EB， AC=BC，AD=BD
⌒
⌒
⌒
⌒
几何语言：
活动三：理一理
活动四：探一探
逆命题1：如果直径平分弦，那么直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧。
逆命题2：如果直径平分弧，那么直径垂直于弦，并且平分弦。
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．
写一写：用“如果…那么…” 的形式写出垂径定理的逆命题。
CD是直径
CD⊥AB
条件：
结论：
EA=EB
AC=BC（或AD=BD）
⌒
⌒
⌒
⌒
②
③
①
大前提条件下
②
CD是直径
①③
CD是直径
③
①②
已知：如图，CD是⊙O的直径，AB是⊙O的一条弦， AE=BE ，且交AB
于点E。
求证：CD⊥AB ，
逆命题1：如果直径平分弦（不是直径），那么直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧。
AC=BC,
⌒
⌒
AD=BD
⌒
⌒
逆命题1：如果直径平分弦，那么直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧。
证明：
连接OA，OB，则OA=OB
∵AE=BE
∴ CD⊥AB
∴AC=BC, AD=BD
⌒
⌒
⌒
⌒
证明
逆命题2：如果直径平分弧，那么直径垂直平分弧所对的弦
已知：如图，CD是⊙O的直径，AB是⊙O的一条弦， 且交AB于点E．
AC=BC,
⌒
⌒
求证：CD⊥AB ，AE=BE
证明：
A，B关于直线CD对称
AC=BC
⌒
⌒
沿CD所在的直线对折AC与BC重合
⌒
⌒
点A与点B重合
CD垂直平分弦AB
证明
定理1
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的弧.
平分弧的直径，垂直平分弧所对的弦.
定理2
∵CD为直径， EA=EB
∴ CD⊥AB， AC=BC，AD=BD
几何语言：
⌒
⌒
⌒
⌒
几何语言：
∵CD为直径， AC=BC
∴ CD⊥AB， EA=EB
⌒
⌒
逆定理-得出
只要具备其中一个条件，就可推出其余两个结论.
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．
定理1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的弧.
定理2：平分弧的直径，垂直平分弧所对的弦.
在直径（CD）的前提下
②平分弦（ EA=EB ）
①垂直于弦（CD⊥AB）
⌒
⌒
归纳总结
③平分弧（ AC=BC，AD=BD）
⌒
⌒
如图，在⊙O中弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径。
活动五：用一用
总结——升华
轴对称图形
垂径定理及其逆定理
基本策略
证一证
理一理
猜一猜
应用（下节课）
探一探