4.3 中心对称-2024-2025学年浙教版八年级下册 同步分层作业（含解析）

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4.3 中心对称 同步分层作业
1．“二十四节气”是中国人通过观察太阳周年运动所形成的知识体系，被誉为“中国的第五大发明”，下列四幅作品分别代表“立春”“立夏“芒种”“大雪”，其中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（　　）
A．圆 B．等边三角形 C．平行四边形 D．正方形
3．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
4．围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史．以下是在棋谱中截取的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
5．如图，△ABC与△DEC关于点C成中心对称，，AE＝3，∠D＝90°，AC＝（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．如图，△AOB与△COD关于点O成中心对称，连接AD、BC，以下结论错误的是（　　）
A．AO＝CO B．∠BAO＝∠CDO C．S△AOB＝S△AOD D．△AOD与△COB关于点O成中心对称
7．如图，△ABC与△ADE关于点A成中心对称，则线段BC与DE的大小关系是 　 　 ．
8．如图，△ABC与△A′B′C′关于点O成中心对称，下列结论成立的是 　 　 （填序号）．
①点A与点A′是对应点；②BO＝B'O；③AB∥A′B′；④∠ACB＝∠C′A′B′．
9．若四边形ABCD与四边形A′B′C′D′关于点O成中心对称，若∠A＝80°，AB＝7cm，CO＝9cm，则∠A′＝　 　 ，A′B′＝　 　 cm，CC′＝　 　 cm．
10．如图，△ABC和△DEF关于点O成中心对称．
（1）找出它们的对称中心O；
（2）若AB＝7，AC＝5，BC＝6，求△DEF的周长．
11．如图，已知坐标系中△ABC．
（1）画出△ABC关于原点O对称的△A′B′C′，并写出B′的坐标；
（2）求△ABC的面积．
12．如图，△AGB与△CGD关于点G中心对称，若点E，F分别在GA，GC上，且AE＝CF，求证：BF＝DE．
13．如图是3×3的小方格构成的正方形ABCD，若将其中的两个小方格涂黑，使得涂黑后的整个ABCD图案（含阴影）既是轴对称图形，又是中心对称图形，则这样的图案有（　　）种．
A．8 B．6 C．4 D．2
14．下列说法中，正确的是（　　）
A．若A、B关于直线MN对称，则AB垂直平分MN
B．两个图形关于某直线对称，则这两个图形一定分别位于这条直线的两侧
C．成中心对称的两个图形中，对称点的连线被对称轴垂直平分
D．中心对称图形绕对称中心旋转180°后能与自身重合
15．如图， ABCO与 A′B′C′O关于点O成中心对称，∠BAO的平分线交BC于点D，若BD＝3，CD＝2，则 A′B′C′O的周长为 　 　 ．
16．如图，在直角坐标平面内，已知点A的坐标（0，﹣5），点B位置，点C与点B关于原点对称．
（1）图中点B的坐标是 　 　 ；点C的坐标是 　 　 ；
（2）画出△ABC关于x轴的对称图形△A′B′C′，那么四边形A′B′CC′的面积等于 　 　 ．
（3）已知点D的坐标为（2，0）在x轴上找一点E，能满足S△ADE＝S△ABC的点E坐标为 　 　 ．
17．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，是CD上一点，点D与点C关于点E成中心对称，连接AE并延长，与BC的延长线交于点F．
（1）E是线段CD的 　 　 ，点A与点F关于点 　 　 成中心对称；
（2）若AB＝AD+BC，求证：△ABF是等腰三角形．
18．如图一个大平行四边形被分割成2个全等的小平行四边形和三个菱形后仍是中心对称图形，已知哪个图形的周长，就能得到大平行四边形的周长（　　）
A．①或③ B．②或③ C．①或② D．①②③
19．知识背景：过中心对称图形的对称中心的任意一条直线都将其分成全等的两个部分．
（1）如图①，直线m经过平行四边形ABCD对角线的交点O，则S四边形AEFB　 　 S四边形DEFC（填“＞”“＜”“＝”）；
（2）如图②，两个正方形如图所示摆放，O为小正方形对角线的交点，求作过点O的直线将整个图形分成面积相等的两部分；
（3）八个大小相同的正方形如图③所示摆放，求作直线将整个图形分成面积相等的两部分（用三种方法分割）．
20．已知：如图，三角形ABM与三角形ACM关于直线AF成轴对称，三角形ABE与三角形DCE关于点E成中心对称，点E、D、M都在线段AF上，BM的延长线交CF于点P．
（1）求证：AC＝CD；
（2）若∠BAC＝2∠MPC，请你判断∠F与∠MCD的数量关系，并说明理由．
答案与解析
1．“二十四节气”是中国人通过观察太阳周年运动所形成的知识体系，被誉为“中国的第五大发明”，下列四幅作品分别代表“立春”“立夏“芒种”“大雪”，其中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【点拨】根据中心对称图形的定义，和轴对称图形的定义，即可判断答案．
【解析】解：A、图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意；
B、图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意；
C、图形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
D、图形是轴对称图形，是中心对称图形，符合题意，
故选：D．
【点睛】此题主要考查了轴对称图形，中心对称图形的定义，解题的关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心是解题的关键．
2．下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（　　）
A．圆 B．等边三角形 C．平行四边形 D．正方形
【点拨】中心对称图形是在平面内，把一个图形绕某一定点旋转180°，能够与自身重合的图形．轴对称图形是在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．依据定义求解．
【解析】解：A．是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意．
B．不是中心对称图形，是轴对称图形，符合题意．
C．是中心对称图形，不能确定是否为轴对称图形（正方形、菱形、长方形为轴对称，其他的平行四边形不是轴对称），不符合题意．
D．是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题主要考查中心对称图形和轴对称图形的定义，解题的关键是中心对称图形可以找到对称中心，旋转180度后能与原图形重合，轴对称是能找到对称轴，然后能对称重合．
3．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【点拨】根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【解析】解：A．该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B．该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；
C．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D．该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，常见的中心对称图形有平行四边形、圆形、正方形、长方形等等．常见的轴对称图形有等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．
4．围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史．以下是在棋谱中截取的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【点拨】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．据此判断即可．
【解析】解：选项A、B、C不都能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项D能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：D．
【点睛】本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
5．如图，△ABC与△DEC关于点C成中心对称，，AE＝3，∠D＝90°，AC＝（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【点拨】根据中心对称的性质，得出，AC＝CD，再根据勾股定理求出AD＝2，即可求解．
【解析】解：∵△ABC与△DEC关于点C成中心对称，AB＝，
∴，AC＝CD，
∵AE＝3，∠D＝90°，
根据勾股定理可得：，
∴．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了中心对称，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．
6．如图，△AOB与△COD关于点O成中心对称，连接AD、BC，以下结论错误的是（　　）
A．AO＝CO B．∠BAO＝∠CDO C．S△AOB＝S△AOD D．△AOD与△COB关于点O成中心对称
【点拨】根据中心对称的性质和全等三角形的性质判断即可．
【解析】解：∵△AOB与△COD关于点 O 成中心对称，
∴△AOB≌△COD，
∴OA＝OC，∠BAO＝∠DCO，故A不符合要求，B符合题意；
∵OD＝OB，
∴S△AOB＝S△AOD，故C不符合要求；
∵OA＝OC，OB＝OD，∠AOD＝∠BOD，
∴△AOD≌△BOC（SAS），
∴△AOD与△COB关于点O成中心对称，故D不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了中心对称，三角形的面积，熟练掌握中心对称的性质是解题的关键．
7．如图，△ABC与△ADE关于点A成中心对称，则线段BC与DE的大小关系是 　BC＝DE　 ．
【点拨】根据中心对称的定义：把一个图形绕着某个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，来求解可得可得BC＝DE．
【解析】解：∵△ABC与△DEA关于点A成中心对称，
∴BC＝DE．
故答案为：BC＝DE．
【点睛】本题主要考查了中心对称的定义，解题的关键是熟记中心对称的定义．也可用三角形全等来求解．
8．如图，△ABC与△A′B′C′关于点O成中心对称，下列结论成立的是 　①②③　 （填序号）．
①点A与点A′是对应点；②BO＝B'O；③AB∥A′B′；④∠ACB＝∠C′A′B′．
【点拨】利用中心对称的性质解决问题即可．
【解析】解：∵△ABC与△A′B′C′关于点O成中心对称，
∴△ABC≌△A′B′C′，
∴点A与点A′是对称点，BO＝B′O，AB∥A′B′，
故①②③正确，
故答案为：①②③．
【点睛】本题考查中心对称，全等三角形的性质，平行线的判定和性质等知识，解题的关键是掌握中心对称的性质，属于中考常考题型．
9．若四边形ABCD与四边形A′B′C′D′关于点O成中心对称，若∠A＝80°，AB＝7cm，CO＝9cm，则∠A′＝　80°　 ，A′B′＝　7　 cm，CC′＝　18　 cm．
【点拨】根据中心对称的性质：①关于中心对称的两个图形能够完全重合；②关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分，即可得出答案．
【解析】解：∵四边形ABCD与四边形A′B′C′D′关于点O成中心对称，
∴∠A'＝∠A＝80°，A'B'＝AB＝7cm，CC'＝CO+OC'＝2CO＝18cm．
故答案为：80°、7cm、18cm．
【点睛】本题考查了中心对称的知识，解答本题的关键是熟练记忆中心对称的性质．
10．如图，△ABC和△DEF关于点O成中心对称．
（1）找出它们的对称中心O；
（2）若AB＝7，AC＝5，BC＝6，求△DEF的周长．
【点拨】（1）按中心对称的作法求解即可；
（2）根据中心对称的性质及三角形周长公式计算即可．
【解析】解：（1）如图所示，点O即为所求．（作法不唯一）；
（2）∵△ABC 和△DEF 关于点O成中心对称，
∴AB＝DE＝7，AC＝DF＝5，BC＝EF＝6，
∴△DEF的周长＝DE+DF+EF＝7+5+6＝18．
答：△DEF 的周长为18．
【点睛】此题考查的是中心对称，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．
11．如图，已知坐标系中△ABC．
（1）画出△ABC关于原点O对称的△A′B′C′，并写出B′的坐标；
（2）求△ABC的面积．
【点拨】（1）按照作与已知图形成中心对称的图形的方法和一般步骤作出△ABC关于原点O对称的△A′B′C′即可，然后直接写出B′的坐标；
（2）根据△ABC的面积等于图中矩形面积减去三个三角形面积即可求出答案．
【解析】解：（1）△ABC关于原点O对称的△A′B′C′，如图即为所求；
由图可知，B′的坐标为（﹣2，﹣3）；
（2）△ABC的面积为：
S△ABC＝3×3﹣×1×3﹣×1×3﹣×2×2
＝9﹣﹣﹣2
＝4．
【点睛】本题主要考查了中心对称，三角形的面积，熟练掌握中心对称的性质是解题的关键．
12．如图，△AGB与△CGD关于点G中心对称，若点E，F分别在GA，GC上，且AE＝CF，求证：BF＝DE．
【点拨】先根据中心对称的性质得到BG＝DG，AG＝CG，再证明EG＝FG即可利用SAS证明△DGE≌△BGF，由此即可证明BF＝DE
【解析】证明：∵△AGB与△CGD关于点G中心对称，
∴BG＝DG，AG＝CG，
∵AE＝CF，
∴AG﹣AE＝CG﹣CF，
∴EG＝FG，
又∵∠DGE＝∠BGF，
∴△DGE≌△BGF（SAS），
∴BF＝DE．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，中心对称图形的性质，灵活运用所学知识是解题的关键．
13．如图是3×3的小方格构成的正方形ABCD，若将其中的两个小方格涂黑，使得涂黑后的整个ABCD图案（含阴影）既是轴对称图形，又是中心对称图形，则这样的图案有（　　）种．
A．8 B．6 C．4 D．2
【点拨】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解析】解：如图所示：，既是轴对称图形，又是中心对称图形，则这样的图案有4种．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了轴对称图形，中心对称图形，关键掌握“一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形”，“如果一个图形绕一点旋转180度后能与自身重合，这个图形叫做中心对称图形”．
14．下列说法中，正确的是（　　）
A．若A、B关于直线MN对称，则AB垂直平分MN
B．两个图形关于某直线对称，则这两个图形一定分别位于这条直线的两侧
C．成中心对称的两个图形中，对称点的连线被对称轴垂直平分
D．中心对称图形绕对称中心旋转180°后能与自身重合
【点拨】若A，B关于直线MN对称，则MN垂直平分AB，据此可对A作出判断；根据轴对称的性质判断选项B；根据中心对称图形的定义判断选项C与D．
【解析】解：A．若A，B关于直线MN对称，则MN垂直平分AB，原说法错误，不符合题意；
B．两个图形关于某直线对称，则这两个图形不一定分别位于这条直线的两侧，原说法错误，不符合题意；
C．如果两个图形成轴对称，那么对称点的连线被对称轴垂直平分，原说法错误，不符合题意；
D．中心对称图形绕对称中心旋转180°后能与自身重合，正确，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查中心对称图形，对称轴的性质以及线段垂直平分线的性质，解题的关键是掌握轴对称图形的定义及其性质．
15．如图， ABCO与 A′B′C′O关于点O成中心对称，∠BAO的平分线交BC于点D，若BD＝3，CD＝2，则 A′B′C′O的周长为 　16　 ．
【点拨】根据平行四边形的性质和等角对等边得出BA＝BD，确定BA＝3，BC＝5，结合中心对称图形的性质即可求解．
【解析】解：∵AO∥BC，
∴∠OAD＝∠BDA，
∵∠OAD＝∠BAD，
∴∠BDA＝∠BAD，
∴BA＝BD，
∵BD＝3，CD＝2，
∴BA＝3，BC＝BD+CD＝5，
∴ ABCO的周长为：2×（3+5）＝16，
∵ ABCO与 A′B′C′O关于点O成中心对称，
∴ A′B′C′O的周长为16，
故答案为：16．
【点睛】题目主要考查平行四边形的性质及中心对称图形的性质，等角对等边等，正确进行计算是解题关键．
16．如图，在直角坐标平面内，已知点A的坐标（0，﹣5），点B位置，点C与点B关于原点对称．
（1）图中点B的坐标是 　（﹣2，3）　 ；点C的坐标是 　（2，﹣3）　 ；
（2）画出△ABC关于x轴的对称图形△A′B′C′，那么四边形A′B′CC′的面积等于 　22　 ．
（3）已知点D的坐标为（2，0）在x轴上找一点E，能满足S△ADE＝S△ABC的点E坐标为 　（0，0）或（4，0）　 ．
【点拨】（1）利用关于原点对称的点的坐标写出C点坐标，然后描点得到△ABC；
（2）利用关于y轴对称的点的坐标特征写出A、B、C的对称点A′、B′、C′，再描点得到△A'B'C'，然后通过计算三个三角形的面积去计算四边形A'B'C'C的面积；
（3）根据三角形的面积公式解答即可．
【解析】解：（1）如图，如图，△ABC为所作；
B点坐标为（﹣2，3），C点坐标为（2，﹣3）；
故答案为：（﹣2，3）；（2，﹣3）；
（2）如图，△A'B'C'为所作，四边形A'B'C'C的面积＝＝22，
故答案为：27；
（3）△ABC的面积为：＝10，
已知点D的坐标为（2，0）在x轴上找一点E，能满足S△ADE＝S△ABC，则DE＝4，
∴点E坐标为（6，0）或（﹣2，0）．
故答案为：（6，0）或（﹣2，0）．
【点睛】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了轴对称变换．
17．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，是CD上一点，点D与点C关于点E成中心对称，连接AE并延长，与BC的延长线交于点F．
（1）E是线段CD的 　中点　 ，点A与点F关于点 　E　 成中心对称；
（2）若AB＝AD+BC，求证：△ABF是等腰三角形．
【点拨】（1）利用中心对称的定义回答即可，
（2）证得AB＝BF，利用等腰三角形的性质判定等腰三角形即可．
【解析】（1）解：∵点D与点C关于点E中心对称，
∴E是线段CD的中点，DE＝EC，
∵AD∥BC，
∴∠D＝∠DCF，
在△ADE与△FCE中，
，
∴△ADE≌△FCE（ASA），
∴AE＝FE，AD＝CF，
∴点A与点F关于点E成中心对称，
故答案为：中点，E；
（2）证明：∵AB＝AD+BC，
∴AB＝BF，
∴△ABF是等腰三角形．
【点睛】本题考查了中心对称，全等三角形的判定与性质，解题的关键是了解中心对称的定义，利用中心对称的定义判定两点关于某点成中心对称．
18．如图一个大平行四边形被分割成2个全等的小平行四边形和三个菱形后仍是中心对称图形，已知哪个图形的周长，就能得到大平行四边形的周长（　　）
A．①或③ B．②或③ C．①或② D．①②③
【点拨】根据中心对称图形，全等图形的定义进行判断．
【解析】解：知道图形①的周长，就能得到大平行四边形的周长；
知道图形②的周长，就能得到大平行四边形的周长．
故选：C．
【点睛】本题考查了中心对称图形，全等图形，掌握中心对称图形，全等图形的定义是关键．
19．知识背景：过中心对称图形的对称中心的任意一条直线都将其分成全等的两个部分．
（1）如图①，直线m经过平行四边形ABCD对角线的交点O，则S四边形AEFB　＝　 S四边形DEFC（填“＞”“＜”“＝”）；
（2）如图②，两个正方形如图所示摆放，O为小正方形对角线的交点，求作过点O的直线将整个图形分成面积相等的两部分；
（3）八个大小相同的正方形如图③所示摆放，求作直线将整个图形分成面积相等的两部分（用三种方法分割）．
【点拨】（1）根据知识背景即可求解；
（2）先找到两个矩形的中心，然后过中心作直线即可；
（3）先分成两个矩形，找到中心，然后过中心作直线即可．
【解析】解：（1）如图①，直线m经过平行四边形ABCD对角线的交点O，则S四边形AEFB＝S四边形DEFC；
（2）如图所示：
（3）如图所示：
故答案为：＝．
【点睛】本题考查中心对称及矩形的性质，有一定难度，注意掌握中心与中心对称点之间的关系．
20．已知：如图，三角形ABM与三角形ACM关于直线AF成轴对称，三角形ABE与三角形DCE关于点E成中心对称，点E、D、M都在线段AF上，BM的延长线交CF于点P．
（1）求证：AC＝CD；
（2）若∠BAC＝2∠MPC，请你判断∠F与∠MCD的数量关系，并说明理由．
【点拨】（1）利用中心对称图形的性质以及轴对称图形的性质得出全等三角形进而得出对应线段相等；
（2）利用（1）中所求，进而得出对应角相等，进而得出答案．
【解析】（1）证明：∵△ABM与△ACM关于直线AF成轴对称，
∴△ABM≌△ACM，
∴AB＝AC，
又∵△ABE与△DCE关于点E成中心对称，
∴△ABE≌△DCE，
∴AB＝CD，
∴AC＝CD；
（2）解：∠F＝∠MCD．
理由：由（1）可得∠BAE＝∠CAE＝∠CDE，∠CMA＝∠BMA，
∵∠BAC＝2∠MPC，∠BMA＝∠PMF，
∴设∠MPC＝α，则∠BAE＝∠CAE＝∠CDE＝α，
设∠BMA＝β，则∠PMF＝∠CMA＝β，
∴∠F＝∠CPM﹣∠PMF＝α﹣β，
∠MCD＝∠CDE﹣∠DMC＝α﹣β，
∴∠F＝∠MCD．
【点睛】此题主要考查了中心对称图形的性质以及全等三角形的性质等知识，根据题意得出对应角相等进而得出是解题关键．
基础过关
能力提升
培优拔尖
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