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2024-2025八年级下册数学同步练习重难点突破【浙教版】
专题5.2.2 菱形（二）九大题型（一课一练）
[本试卷包含了常见考题，对基础知识进行巩固测试]
一、单选题（本大题共10个小题，每题3分，共30分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定）
1．矩形具有而菱形不一定具有的性质是（ ）
A．对边相等 B．对角相等 C．对角线相等 D．对角线互相平分
【答案】C
【分析】本题考查矩形和菱形的性质，矩形具有平行四边形的性质，又具有自己的特性，要注意运用矩形具备而菱形不具备的性质．如：矩形的对角线相等；四个角都是直角等．根据矩形和菱形的性质进行解答即可．
【详解】解：矩形的对角线互相平分且相等，而菱形的对角线互相平分，不一定相等．
故选：C．
2．如图，已知菱形中，对角线与交于点，，，则该菱形的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了菱形的性质以及菱形的面积公式，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．
根据菱形的性质以及菱形的面积公式求解即可．
【详解】解：四边形是菱形，
，
，
故选：B．
3．已知四边形的对角线与交于点，．添加下列选项中的条件，仍不能判定四边形是菱形的是（ ）
A．且 B．且
C．且 D．且
【答案】A
【分析】本题考查菱形的判定，熟练掌握菱形的判定方法是解题的关键．
根据菱形的判定方法，逐一进行判断即可．
【详解】解：A． 由和，不能判定四边形是平行四边形，所以由，不能判定四边形是菱形，符合题意；
B． 由和可知四边形是平行四边形，再由可判定四边形是菱形，故不符合题意；
C． 由和可知四边形是平行四边形，由可知，即可判定四边形是菱形，故不符合题意；
D． 由和可知四边形是平行四边形，再由可判定四边形是菱形，故不符合题意；
故选：A．
4．如图，四边形的对角线，，，，分别是各边的中点，则四边形是（ ）
A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形
【答案】B
【分析】本题考查了菱形的判定，三角形中位线定理，掌握相关知识是解题的关键．根据三角形中位线定理得到，，，，进而证明，根据菱形的判定定理得出结论．
【详解】解：，，，分别是四边形各边的中点，
，，，，
，，
，
，
四边形为菱形，
故选：B．
5．如图，菱形的对角线相交于点，，，平分交于点，过作于，于，则的长为（ ）
A． B． C．5 D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了菱形的性质，角平分线的性质，先由菱形对角线互相平分得到，再由角平分的定义得到，最后根据列式求解即可．
【详解】解：∵菱形的对角线相交于点，，，
∴，
∵平分，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
6．如图，菱形的对角线，相交于点O，过点B作交于点E，连接，若，，则菱形的面积为（ ）
A．30 B．24 C．15 D．12
【答案】B
【分析】本题考查了菱形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可求，再由勾股定理确定，根据菱形面积对角线积的一半即可．
【详解】解：是菱形，
∴，，
，
∴为直角三角形，
．
∵，
∴，
∴，
，
故选：B．
7．菱形中，，，是中点，是上的动点，则周长的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了菱形的性质、勾股定理，等边三角形的判定和性质，轴对称最短路径问题，解决本题的关键是掌握菱形的性质；
根据菱形的性质得到，，，根据勾股定理求出，根据线段垂直平分线的性质、勾股定理定理计算即可；
【详解】如图，连接，交于点，连接，
∵四边形是菱形，
，
，，，
由勾股定理得：，
，
是中点，
，
，，
，
，
根据两点之间，线段最短可知此时的周长最小，
的周长的最小值，
，
为等边三角形，
为中点，
为直角三角形，
在中，由勾股定理得：，
的周长的最小值；
故选：D
8．如图，在四边形中， ．以点为圆心，长为半径画弧，交于点，再分别以点为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点．若，则的长为（ ）
A．10 B．12 C．13 D．6
【答案】B
【分析】本题考查作图复杂作图，平行四边形的性质，菱形的判定和性质等知识，证明即可，设交于点，连接，证明四边形是菱形，利用勾股定理求出即可解决问题，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
【详解】证明：由作图可知，平分，
，
，
，
，
，
如图，设交于点，连接，
由作图可知：，平分，
，
，
，
，
四边形是菱形，
，
在中，，
，
．
故选：B．
9．矩形中，厘米，厘米，点P是线段上一动点，O为的中点，的延长线交于Q．若P从点A出发，以1厘米/秒的速度向D运动(不与D重合)．设点P运动时间为t秒，若点P和Q与点中的两个点为顶点的四边形是菱形．则t的值为( )
A．7 B．20 C．7或25 D．7或20
【答案】C
【分析】本题主要考查了矩形的性质，菱形的判定与性质，勾股定理，运用数形结合及方程思想是解本题的关键．
分两种情况：①如果四边形是菱形，则，在中，根据勾股定理得出，列出关于t的方程，解方程求出t的值；②如果四边形是菱形，则，在中，根据勾股定理得出，列出关于t的方程，解方程求出t的值．
【详解】解：分两种情况：
①如果四边形是菱形，则．
∵四边形是矩形，
∴，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：，即运动时间为25秒时，四边形是菱形．
②如果四边形是菱形，则，
∵四边形是矩形，
∴，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：，即运动时间为7秒时，四边形是菱形；
故选：C．
10．如图，菱形中，，与交于点，为延长线上的一点，且，连接分别交，于点，连接．则下列结论：①；②；③；④由点构成的四边形是菱形．其中正确的个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了菱形的判定和性质，三角形中位线的性质，等边三角形的判定和性质等，由“”可证，可得，进而由三角形中位线定理可得，，可得，即可判断①和②；由菱形的判定可证四边形是菱形，即可判断④；由全等三角形的性质和中线性质可得，，即得即可判断④，综上即可求解，掌握菱形的判定和性质是解题的关键．
【详解】解：∵四边形是菱形，
∴，，，，，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴是的中位线，
∴，，
∴，
∴，故①和②正确；
连接，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，故③正确；
综上，正确的个数是个，
故选：．
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．已知，菱形的面积为40，一条对角线长为10，则另一条对角线长为 ．
【答案】8
【分析】本题考查了菱形的性质，根据菱形的面积等于对角线乘积的一半计算即可得解．
【详解】解：∵菱形的面积为40，一条对角线长为10，
∴另一条对角线的长为，
故答案为：．
12．如图，小明同学按如下步骤作四边形：①画；②以点A为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交于点B，D；③分别以点B，D为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点C；④连接．若，则的大小为 ．
【答案】/度
【分析】本题考查了基本作图，菱形的判定和性质，根据作图可得四边形是菱形，进而根据菱形的性质，即可求解．
【详解】解：由作图可得
∴四边形是菱形，
∴
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
13．如图，在菱形中，，，P是边上的一点，E、F分别是、的中点，那么线段长为 ．
【答案】4
【分析】本题考查菱形的性质，三角形的中位线定理，先根据菱形的性质得到是等边三角形，求出长，再根据三角形的中位线定理解答即可．
【详解】解：连接，
∵是菱形，
∴，
又∵，
∴是等边三角形，
∴，
又∵E、F分别是、的中点，
∴，
故答案为：．
14．如图，两张宽度均为的矩形纸条交叉叠放在一起，交叉形成的锐角为，则重叠部分构成的四边形的周长为 ．
【答案】24
【分析】过点A作于点M，于点N，由题意得四边形是平行四边形，根据矩形的宽相等，得到，结合，进而得到，推出，即可得到四边形是菱形，即可求解．
本题考查了菱形的判定和性质，菱形的周长，含30度角直角三角形的性质，得出四边形是菱形是解题的关键．
【详解】解：过点A作于点M，于点N，
则，
∵两张纸条的对边平行，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
又∵两张纸条的宽度相等，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是菱形，
∴，
∴四边形的周长为，
故答案为：24．
15．如图，菱形的周长为20，对角线，相交于点，，于点，连接，则的长度为 ．
【答案】
【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，直角三角形的性质等知识，由菱形的性质和菱形的周长求出，根据勾股定理求出，再根据直角三角形的性质即可求解，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：∵四边形是菱形，，
∴，，，
∵菱形的周长为20，
∴，
在中，，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
16．如图，在菱形中，对角线与相交于点，若，，则菱形的面积为 ．
【答案】24
【分析】本题主要考查了求菱形的面积．根据菱形的面积等于对角线长度乘积的一半，即可求解
【详解】解：∵在菱形中，，，
∴菱形的面积为．
故答案为：24．
17．如图，在菱形中，，．点为边上一点，且不与点，重合，连接，过点作，且，连接，，则四边形的面积为 ．
【答案】
【分析】本题考查菱形的性质，平行四边形的性质和判定，等边三角形的判定与性质及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质和平行四边形的性质是解题关键．
连接，，由菱形的性质可知△ABC是等边三角形，过点作于点，过点作于点，可得，继而得出，根据勾股定理求出长度，再证明四边形是平行四边形，依据进行求解即可．
【详解】解：连接，，如图：
∵四边形是菱形，，
，，，
是等边三角形，
过点作于点，过点作于点，
则，
，，
，
，
，
，
，，
∴四边形是平行四边形，
，
，
；
故答案为：
18．如图，在△ABC中，点、、分别在边、、上，且，．则下列说法中正确的有 ．
①四边形是平行四边形：
②如果，那么四边形是矩形；
③如果，则的最小值为
④如果是的平分线，那么四边形是菱形．
【答案】
【分析】本题考查了平行四边形、矩形和菱形的判定，勾股定理，角平分线的性质等知识，根据平行四边形的判定可判断①，根据矩形的判定可判断②，由题意可知当时，最小，由勾股定理求出，再根据三角形面积公式求出，可判断③，由，得到，由是的平分线，得到，从而得到，得出，再根据菱形的判定可判断④，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴四边形是平行四边形，故①符合题意；
又∵，
∴四边形是矩形，故②符合题意；
如图：
∵
∴四边形是矩形，
当时，最小，
∵，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∴的最小值为，故③不符合题意；
∵，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∴，
∴，
又∵四边形是平行四边形，
∴四边形是菱形，故④符合题意；
综上，符合题意的有，
故答案为：．
三、解答题（本大题共6个小题，共46分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．如图，在△ABC中，，分别是，的中点，，交的延长线于点，连接．
(1)求证：四边形为平行四边形；
(2)当________时，四边形为菱形．
【答案】(1)见解析(2)
【分析】本题考查三角形的中位线的性质，平行四边形的判定及性质，直角三角形的性质，菱形的判定，理解并掌握相关图形的性质是解决问题的关键．
（1）由题意可知为△BCF的中位线，得，结合，即可证明四边形为平行四边形；
（2）由直角三角形斜边上中线等于斜边的一半得，再结合四边形为平行四边形可知四边形为菱形．
【详解】（1）证明：∵，分别是，的中点，
∴为△BCF的中位线，
∴，即，
又∵，
∴四边形为平行四边形；
（2）当时，四边形为菱形；
理由如下：∵，是的中点，
∴，
又∵四边形为平行四边形，
∴四边形为菱形．
故答案为：．
20．如图，在中，对角线与相交于点O，，过点C作交延长线于点E．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析(2)9.6
【分析】本题考查了平行四边形的性质、菱形的判定与性质、等腰三角形的判定以及勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的性质和菱形的判定与性质是解题的关键．
（1）证，得是菱形，再由菱形的性质即可得出结论；
（2）由菱形的性质得，，，再由勾股定理得，则，然后由菱形面积即可得出结论．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∴是菱形，
∴；
（2）解：由（1）可知，是菱形，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
21．如图，D是等腰直角三角形的直角边上一点，的垂直平分线分别交于点E、O、F，且．
(1)若是边上的中线，求的值；
(2)若四边形是菱形，求的值．
【答案】(1)(2)
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，勾股定理，菱形的性质，全等三角形的判定与性质，正确添加辅助线，熟练掌握各知识点是解题的关键．
（1）由线段垂直平分线可设，则，在中，由勾股定理建立方程求解即可；
（2）由勾股定理可得，作交于点．由四边形是菱形，可证平分，．再证，，即得．
【详解】（1）解：由题意得，
∵垂直平分，
∴，
设，则
∵是边上的中线，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴，
解得，
∴；
（2）解：过点作交于点．
∵，
∴，
∵四边形是菱形，
∴平分，即
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴为等腰直角三角形，
∴,
∴．
22．如图，在四边形中，，过点作交的延长线于点，且，连接，．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，，，求的长．
【答案】(1)见解析(2)
【分析】本题主要考查了菱形的性质与判定，勾股定理解直角三角形，含30度角的三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握这些基础知识点是解题关键．
（1）证明，得到，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可证明结论；
（2）根据菱形的性质及三角形内角和定理得出，再由含30度角的直角三角形的性质确定，利用勾股定理得出．再由等角对等边确定，结合图形即可求解．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴四边形是菱形；
（2）∵四边形是菱形，，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
23．如图，在矩形中，为对角线．
(1)用尺规完成以下作图：作的垂直平分线分别交，于点，，判断四边形的形状并证明；
(2)在（1）所作的图形中，若，，求的长．
【答案】(1)作图见详解，四边形是菱形，理由见详解(2)
【分析】本题主要考查矩形的性质，尺规作垂线，菱形的判定和性质，勾股定理的运用，掌握矩形、菱形的判定和性质是关键．
（1）根据尺规作垂线的方法作图得到垂线平分线，根据菱形的判定方法“邻边相等的平行四边形是菱形”求证即可；
（2）根据矩形的性质，运用勾股定理得到，根据菱形的性质设，则，在中运用勾股定理得到，在中运用勾股定理得到，由即可求解．
【详解】（1）解：根据尺规作垂线的方法作图如下，
∴即为所求线段，
四边形是菱形，理由如下，
设交于点，
∵是的垂直平分线，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，且，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
又，
∴平行四边形是菱形；
（2）∵四边形是矩形，
∴，
在中，，
∵四边形是菱形，
∴，，，，
设，则，
在中，，
∴，
解得，，
在中，，
∴．
24．平面直角坐标系不仅可以研究函数，还可以研究并解决很多图形以及图形变换问题．
(1)如图①，在菱形中，若点，则点坐标为 ；
(2)如图②，线段、关于点对称，若点、、，则点的坐标为 ；
(3)如图③，在直角坐标系中，点、的坐标分别为、，点、分别是轴、轴上的点，若以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，且为边时，则点的横坐标为 ；
(4)如图④，已知正方形的边长为，、分别是边、上的点，、交于点，，求长．
【答案】(1)(2)(3)或(4)
【分析】本题考查了菱形的性质，平行四边形的性质，勾股定理，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
（1）求出，由菱形的性质得出，，则可得出答案；
（2）由点B、D关于点P对称，先求出P点的坐标，再根据关于某点对称的点的特点，求出点C的坐标；
（3）分两种情况，由平行的四边形的性质得出答案；
（4）以点B为坐标原点，建立平面直角坐标系，得出，，，，，再根据待定系数法分别求出直线解析式和直线解析式，然后联立即可得出点的坐标，最后根据两点间的距离公式即可得出答案．
【详解】（1）∵，
，
∵四边形AOBC为菱形，
∴，，
∴点B坐标为，
故答案为：；
（2）∵、关于点P对称，
，，
∴点P的坐标为．
设点，
∵，
，，
∴，．
∴．
故答案为：；
（3）当平行且等于时，四边形是平行四边形，
∵，N在y轴上，
∴M的横坐标为；
当平行且等于时，四边形是平行四边形，
∵，N在y轴上，
∴M的横坐标为；
故符合题意的有3个点，点M的横坐标分别为，4，
故答案为：或4；
（4）以点B为坐标原点，建立平面直角坐标系，
正方形的边长为，，
，，，，，
设直线解析式为，设直线解析式为，则
，，
解得：，，
直线解析式为，直线解析式为，
联立，
解得：，
点P的坐标为，
．
试卷第1页，共3页
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2024-2025八年级下册数学同步练习重难点突破【浙教版】
专题5.2.2 菱形（二）九大题型（一课一练）
[本试卷包含了常见考题，对基础知识进行巩固测试]
一、单选题（本大题共10个小题，每题3分，共30分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定）
1．矩形具有而菱形不一定具有的性质是（ ）
A．对边相等 B．对角相等 C．对角线相等 D．对角线互相平分
2．如图，已知菱形中，对角线与交于点，，，则该菱形的面积是（ ）
A． B． C． D．
3．已知四边形的对角线与交于点，．添加下列选项中的条件，仍不能判定四边形是菱形的是（ ）
A．且 B．且
C．且 D．且
4．如图，四边形的对角线，，，，分别是各边的中点，则四边形是（ ）
A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形
5．如图，菱形的对角线相交于点，，，平分交于点，过作于，于，则的长为（ ）
A． B． C．5 D．
6．如图，菱形的对角线，相交于点O，过点B作交于点E，连接，若，，则菱形的面积为（ ）
A．30 B．24 C．15 D．12
7．菱形中，，，是中点，是上的动点，则周长的最小值是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在四边形中， ．以点为圆心，长为半径画弧，交于点，再分别以点为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点．若，则的长为（ ）
A．10 B．12 C．13 D．6
9．矩形中，厘米，厘米，点P是线段上一动点，O为的中点，的延长线交于Q．若P从点A出发，以1厘米/秒的速度向D运动(不与D重合)．设点P运动时间为t秒，若点P和Q与点中的两个点为顶点的四边形是菱形．则t的值为( )
A．7 B．20 C．7或25 D．7或20
10．如图，菱形中，，与交于点，为延长线上的一点，且，连接分别交，于点，连接．则下列结论：①；②；③；④由点构成的四边形是菱形．其中正确的个数是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．已知，菱形的面积为40，一条对角线长为10，则另一条对角线长为 ．
12．如图，小明同学按如下步骤作四边形：①画；②以点A为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交于点B，D；③分别以点B，D为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点C；④连接．若，则的大小为 ．
13．如图，在菱形中，，，P是边上的一点，E、F分别是、的中点，那么线段长为 ．
14．如图，两张宽度均为的矩形纸条交叉叠放在一起，交叉形成的锐角为，则重叠部分构成的四边形的周长为 ．
15．如图，菱形的周长为20，对角线，相交于点，，于点，连接，则的长度为 ．
16．如图，在菱形中，对角线与相交于点，若，，则菱形的面积为 ．
17．如图，在菱形中，，．点为边上一点，且不与点，重合，连接，过点作，且，连接，，则四边形的面积为 ．
18．如图，在△ABC中，点、、分别在边、、上，且，．则下列说法中正确的有 ．
①四边形是平行四边形：
②如果，那么四边形是矩形；
③如果，则的最小值为
④如果是的平分线，那么四边形是菱形．
三、解答题（本大题共6个小题，共46分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．如图，在△ABC中，，分别是，的中点，，交的延长线于点，连接．
(1)求证：四边形为平行四边形；
(2)当________时，四边形为菱形．
20．如图，在中，对角线与相交于点O，，过点C作交延长线于点E．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
21．如图，D是等腰直角三角形的直角边上一点，的垂直平分线分别交于点E、O、F，且．
(1)若是边上的中线，求的值；
(2)若四边形是菱形，求的值．
22．如图，在四边形中，，过点作交的延长线于点，且，连接，．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，，，求的长．
23．如图，在矩形中，为对角线．
(1)用尺规完成以下作图：作的垂直平分线分别交，于点，，判断四边形的形状并证明；
(2)在（1）所作的图形中，若，，求的长．
24．平面直角坐标系不仅可以研究函数，还可以研究并解决很多图形以及图形变换问题．
(1)如图①，在菱形中，若点，则点坐标为 ；
(2)如图②，线段、关于点对称，若点、、，则点的坐标为 ；
(3)如图③，在直角坐标系中，点、的坐标分别为、，点、分别是轴、轴上的点，若以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，且为边时，则点的横坐标为 ；
(4)如图④，已知正方形的边长为，、分别是边、上的点，、交于点，，求长．
试卷第1页，共3页
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