4.2 投影（1）教学设计
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4.2投影（1）教案
授课教师：浙江省金华市外国语学校 胡志奎
教材：义务教育课程标准实验教科书数学
浙教版九年级下册第四章第二节第一部分
一、教学目标
1.知识技能目标
①通过实例，了解投影及有关概念，了解平行投影的概念.
②会在投影面上画出平面图形的投影.
③探究在平行投影下，投影与图形本身、投影面、投射线之间的相对位置关系.
2.过程与方法目标
①体会数学与实际生活的联系，经历实验、操练、观察、想象、推理、交流等数学活动过程.
②体验发现科学规律的一般过程,培养学生思维能力、空间想象能力、解决实际问题的能力.
3.情感与态度目标
①让学生体会投影在生活中的大量存在，使学生能积极参与数学学习活动，激发学生学习数学的动机和兴趣.
②认识到“数学源于生活，用于生活”这一事实，让学生感受学习数学的自豪感、愉悦感.
③学会与他人合作，并能与他人交流思维的过程和结果.
二、教学重点和难点
重点是平行投影的概念及其画法.
难点是在平行投影下，平面图形的投影与图形本身、投影面、投射线之间的相互关系.
三、教法和学法
1.教法分析
根据本节课的特点和学生的认知水平，我主要采用实验探究式教学方法. 让学生观察直观情景和动手实验操作来获取知识，并通过讨论交流来梳理知识、深化对知识的理解.这样能更好地体现“在生活中学习，在活动中提炼”这一新课程理念.另外，本节课还采用多媒体作为教学的辅助手段，直观、生动地反映图形变换，浓缩学生学习的时间和内容，从而创造更多的机会让学生交流，同时有利于突出重点、突破难点，增强教学条理性，形象性，更好地提高课堂效率.这样处理能更好地激发学生学习的兴趣和热情，培养学生充分利用最先进的学习手段进行学习的意识.
2.学法指导
教师的“教”就是为了学生的学.学生学得好坏，方法是否得当，直接决定着教学的成功与失败.为了最大限度地调动学生学习的积极性，激励学生主动参与学习.因此，教师在考虑教法的基础上应特别重视学法指导，努力引导学生掌握科学的学习方法，只有把教法和学法有机统一起来，才能达到令人满意的效果.本节课需要具备很强的空间想象能力，对于初中学生而言很难.因而我采用动手操作、实验、探究、交流等方式，使学生积极参与教学过程，在教学过程展开思维，培养学生提出问题、分析问题、解决问题的能力.
在练习设计上经历层层深入的过程，让不同层次学生在数学上得到不同的发展，人人学有价值的数学，人人都能获得必需的数学.使学生初步形成“自主合作探究”的学习方式，重新建构自己的知识结构，形成新的知识体系.
四、教学过程
1.创设情景，导入新知
①播放2008年春节晚会的节目《逗趣》，观看手影表演，在画面中还带滚动播放一组图片（包括皮影的图片、日晷的照片、老师的自拍照片、树的影子、灯光下的照片）.让学生能够感受生活.
问：这些影子是怎样产生的 ？
思考：你能从盲区的角度来解释这些影子吗？
如果将光源看做视点，则光线可以看做视线，影子看做盲区.
这些图片都是物体在光线的照射下形成的，首先就让我们先了解一下什么是投影？板演课题 .
②展示所有的图片
③概念
投影：物体在光线的照射下，在某个平面内（如在地面或墙壁上）形成的影子．这时，光线叫做投射线.
投影面：影子（也叫投影）所在的平面叫做投影面．
问：观察上面的图片,分别说出投射线是什么？投影面是什么？
太阳离我们非常遥远，太阳光线可以看成平行光线．
平行投影：由平行的投射线（如太阳光线）所形成的投影．
（设计说明：通过学生身边的例子，让学生感受生活的乐趣，体现数学来源于生活．从一个侧面反应中国文化博大精深，源远流长，反映中国劳动人名勤劳勇敢、聪明智慧，激发学生爱国热情与学习兴趣。同时感性认识投影，并通过提出问题，让学生明确本节课的学习任务，引导学生在生活实例的基础上去理解数学问题，构建新知．即：学会数学地思考问题．）
2．动手实验，感受新知
问：在平行投影下，平面图形的投影与图形本身、投影面、投射线之间的相对位置有什么关系？就此问题作一实验．以学习小组为单位，观察在太阳光线下，小木棒和三角形纸板在地面的投影．
实验报告
探究目的： 在平行投影下，通过实验明白平面图形的投影与图形本身、投影面、投射线之间的相互关系．
器材： 小木棒 白板 三角形纸板
步骤和记录
实验一 根据《逗趣》表演，请你模仿（或新创）一个手影的动作．
实验二 准备：1.取出小木棒在阳光下转动小木棒观察地上的投影，什么时候木棒的影子成为一个点？什么时候地上的影子和木棒的长度相等．2.取出三角形纸板阳光下转动，观察地上的投影，什么时候三角形纸板的影子成为一条线段？什么时候地上的影子和三角形纸板成为全等图形？还有其他情况吗？
实验内容 实验现象 实验结论
固定投影面和投射线，改变小木棒的摆放位置和方向，它的影子分别发生了什么变化？
固定投影面和投射线，改变三角形纸片的摆放位置和方向，它的影子分别发生了什么变化？
进一步的研究（一） 固定投影面与纸片，改变光线的投射方向，情况如何？
固定纸片和投射线，改变投影面的方向与位置，情况如何？
进一步的研究（二） 北京故宫中的日晷闻名世界,是我国光辉灿烂文化的瑰宝.请通过查阅资料,上互联网等途径,收集我国古代有关日晷的历史背景,探索用日晷测定时刻的数学原理,并就此写一篇简要的报告．
(设计说明：此环节的设计，依据数学课标“有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式．”通过实验， 培养学生的参与意识、实践能力，从中体会、感知在平行投影下，平面图形的投影与图形本身、投影面、投射线之间的相对位置的关系，突破本节课的难点．同时让学生品尝成功的喜悦，适时的鼓励增强学生的信心，使学生以更大的热情投入更深入的思考．)
3.概括新知，形成结构
学生拿出实验报告，以小组开展合作学习，经过学生讨论后，展现实验成果.
3.1.思考固定投影面，改变小木棒的摆放位置和方向，它的影子分别发生了什么变化？
当小木棒与投射线平行时，它的投影成一个点.
当小木棒与投影面平行时，它的投影的长度与小木棒的长度相等.
当线段与投影线（投影面）都不平行，在投影面上的投影长度与线段不一样长.
3.2.思考固定投影面，改变三角形纸片的摆放位置和方向，它的影子分别发生了什么变化？
当三角形纸片所在的平面与投射线平行时，它的投影成一条线段.
当三角形纸片所在的平面与投影面平行时，它的投影的大小和形状与原三角形全等.
当三角形所在的平面与投影线相交，且与投影面不平行, 三角形的投影与其本身不全等.
（设计说明：本环节的设计是前一环节的延续和发展，其内容是本节课的核心．各个结论都是学生通过实验、思考、归纳获得，因此，新知自然而然的纳入了学生的知识体系，重构了知识结构，为后一环节——学以致用整装待发．）
4.学以致用，深化新知
4.1点击中考（2008年浙江省卷）
小华拿一个矩形木框在阳光下玩，矩形木框在地面上形成的投影不可能是（ ）
4.2甲旗杆和其投影如图所示：
请在图中画出形成投影的太阳光线.
变式一：画出此时乙旗杆的投影.
变式二：如图带箭头虚线表示投射线，画出线段AB在投影面上的投影.
变式三：如图，虚线表示太阳光线.请画出标杆AB分别在地面上和墙上的投影的示意图.
变式四：如图带箭头虚线表示投射线，画出线段CB在投影面上的投影.
思维拓展：一个正方形纸板ABCD和投影面平行（如图），
投射线和投影面垂直，点C在投影面的对应点为C′，
请画出正方形纸板的投影示意图.
应用拓展：如图，窗户的一条边AB在地面
上的平行投影为A′B′.请将整个窗户的投
影补充完整.
（设计说明：以具有一定层次性、应用性问题结尾，符合学生的认知水平，既是最大限度的满足不同学生的需求，又是使学生在探究练习中，提高分析问题
、解决问题的能力，巩固新知．）
5.1互动交流，总结新知
成长记录卡
姓名________ 日期___________
这节课你学到了什么新知识_____________.
_____________________________________
_____________________________________
我对这节课的看法是_________________.
对于这节课我喜欢的是_________________.
我参与最多的是_______________________.
我参与最少的是_______________________.
今天的学习,谁帮助了我_________________.
我帮助了谁_________________.
我正在_________________方面取得进步.
我希望在_______________方面多加努力.
（设计说明：以成长记录卡的形式，记录学生的成长历程.让学生谈收获，反馈到的不仅有知识与技能的达成情况，还有过程的体验、方法的收获，以及情感价值观的形成情况．由学生对自己的学习行为进行总结，会加深学生对知识的内在联系的理解，有利于形成良好的知识体系和认知结构．也是学生自我组织、自我评价、自我负责精神的具体体现．自评、互评使课堂评价实现多元化．）
6.布置作业 升华新知
6.1基础作业：
作业本
6.2提升作业
习题精选、完成探究报告
（设计说明：注重基础，使不同的学生都有收获，在作业中也体现这一理念，把课堂内的探究思想延伸到课外.）
7.板书设计 美化新知
4.2投影
1.投影：物体在光线的照射下，在某个平面内（如在地面或墙壁上）形成的影子．这时，光线叫做投射线.
2.投影面：影子（也叫投影）所在的平面叫做投影面．
3.平行投影：由平行的投射线（如太阳光线）所形成的投影．
4.成果展示
当小木棒与投射线平行时，它的投影成一个点.
当小木棒与投影面平行时，它的投影的长度与小木棒的长度相等.
当线段与投影线（投影面）都不平行，在投影面上的投影长度与线段不一样长.
当三角形纸片所在的平面与投射线平行时，它的投影成一条线段.
当三角形纸片所在的平面与投影面平行时，它的投影的大小和形状与原三角形全等.
当三角形所在的平面与投影线相交，且与投影面不平行, 三角形的投影与其本身不全等.
五、教学设计说明 ：
本堂课通过2008年春晚的节目《逗趣》引入，让学生感受生活的乐趣，激发学生的学习热情，通过实验的方式来感性认识投影，以小组讨论来促进合作，提升解决问题的实效性和能力. 利用学生已有的几何知识，从数学角度进一步刻画投影的内在规律，让学生学会数学地思考问题．
学生是本堂课的主人，教师是数学学习的组织者、引导者与合作者．教学过程中还把信息技术作为学生学习数学和解决问题的强有力工具．在评价上不仅评价学生是否掌握了有关结论和获得结论的过程，还评价学生的情绪，评价学生的实际操作能力，评价他们的合作精神、独立思考能力．
以人为本，关注学生的发展，关注学生实践能力和创新能力的培养．实现教与学方式的转变，解决课改最核心的问题．
A
B
C
D
D
A
B
C
甲旗杆的影子
甲旗杆
E
乙旗杆
A
B
C
甲旗杆的影子
甲旗杆
A
B
投影面
A
B
A
A
B
C
D
C′
投射线方向
投影面
A
B
C
C′
投射线方向
投影面
D
A
C
B
B′
A′
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4.2投影（1）教案
授课教师：浙江省金华市外国语学校 胡志奎
教材：义务教育课程标准实验教科书数学
浙教版九年级下册第四章第二节第一部分
一、教学目标
1.知识技能目标
①通过实例，了解投影及有关概念，了解平行投影的概念.
②会在投影面上画出平面图形的投影.
③探究在平行投影下，投影与图形本身、投影面、投射线之间的相对位置关系.
2.过程与方法目标
①体会数学与实际生活的联系，经历实验、操练、观察、想象、推理、交流等数学活动过程.
②体验发现科学规律的一般过程,培养学生思维能力、空间想象能力、解决实际问题的能力.
3.情感与态度目标
①让学生体会投影在生活中的大量存在，使学生能积极参与数学学习活动，激发学生学习数学的动机和兴趣.
②认识到“数学源于生活，用于生活”这一事实，让学生感受学习数学的自豪感、愉悦感.
③学会与他人合作，并能与他人交流思维的过程和结果.
二、教学重点和难点
重点是平行投影的概念及其画法.
难点是在平行投影下，平面图形的投影与图形本身、投影面、投射线之间的相互关系.
三、教法和学法
1.教法分析
根据本节课的特点和学生的认知水平，我主要采用实验探究式教学方法. 让学生观察直观情景和动手实验操作来获取知识，并通过讨论交流来梳理知识、深化对知识的理解.这样能更好地体现“在生活中学习，在活动中提炼”这一新课程理念.另外，本节课还采用多媒体作为教学的辅助手段，直观、生动地反映图形变换，浓缩学生学习的时间和内容，从而创造更多的机会让学生交流，同时有利于突出重点、突破难点，增强教学条理性，形象性，更好地提高课堂效率.这样处理能更好地激发学生学习的兴趣和热情，培养学生充分利用最先进的学习手段进行学习的意识.
2.学法指导
教师的“教”就是为了学生的学.学生学得好坏，方法是否得当，直接决定着教学的成功与失败.为了最大限度地调动学生学习的积极性，激励学生主动参与学习.因此，教师在考虑教法的基础上应特别重视学法指导，努力引导学生掌握科学的学习方法，只有把教法和学法有机统一起来，才能达到令人满意的效果.本节课需要具备很强的空间想象能力，对于初中学生而言很难.因而我采用动手操作、实验、探究、交流等方式，使学生积极参与教学过程，在教学过程展开思维，培养学生提出问题、分析问题、解决问题的能力.
在练习设计上经历层层深入的过程，让不同层次学生在数学上得到不同的发展，人人学有价值的数学，人人都能获得必需的数学.使学生初步形成“自主合作探究”的学习方式，重新建构自己的知识结构，形成新的知识体系.
四、教学过程
1.创设情景，导入新知
①播放2008年春节晚会的节目《逗趣》，观看手影表演，在画面中还带滚动播放一组图片（包括皮影的图片、日晷的照片、老师的自拍照片、树的影子、灯光下的照片）.让学生能够感受生活.
问：这些影子是怎样产生的 ？
思考：你能从盲区的角度来解释这些影子吗？
如果将光源看做视点，则光线可以看做视线，影子看做盲区.
这些图片都是物体在光线的照射下形成的，首先就让我们先了解一下什么是投影？板演课题 .
②展示所有的图片
③概念
投影：物体在光线的照射下，在某个平面内（如在地面或墙壁上）形成的影子．这时，光线叫做投射线.
投影面：影子（也叫投影）所在的平面叫做投影面．
问：观察上面的图片,分别说出投射线是什么？投影面是什么？
太阳离我们非常遥远，太阳光线可以看成平行光线．
平行投影：由平行的投射线（如太阳光线）所形成的投影．
（设计说明：通过学生身边的例子，让学生感受生活的乐趣，体现数学来源于生活．从一个侧面反应中国文化博大精深，源远流长，反映中国劳动人名勤劳勇敢、聪明智慧，激发学生爱国热情与学习兴趣。同时感性认识投影，并通过提出问题，让学生明确本节课的学习任务，引导学生在生活实例的基础上去理解数学问题，构建新知．即：学会数学地思考问题．）
2．动手实验，感受新知
问：在平行投影下，平面图形的投影与图形本身、投影面、投射线之间的相对位置有什么关系？就此问题作一实验．以学习小组为单位，观察在太阳光线下，小木棒和三角形纸板在地面的投影．
实验报告
探究目的： 在平行投影下，通过实验明白平面图形的投影与图形本身、投影面、投射线之间的相互关系．
器材： 小木棒 白板 三角形纸板
步骤和记录
实验一 根据《逗趣》表演，请你模仿（或新创）一个手影的动作．
实验二 准备：1.取出小木棒在阳光下转动小木棒观察地上的投影，什么时候木棒的影子成为一个点？什么时候地上的影子和木棒的长度相等．2.取出三角形纸板阳光下转动，观察地上的投影，什么时候三角形纸板的影子成为一条线段？什么时候地上的影子和三角形纸板成为全等图形？还有其他情况吗？
实验内容 实验现象 实验结论
固定投影面和投射线，改变小木棒的摆放位置和方向，它的影子分别发生了什么变化？
固定投影面和投射线，改变三角形纸片的摆放位置和方向，它的影子分别发生了什么变化？
进一步的研究（一） 固定投影面与纸片，改变光线的投射方向，情况如何？
固定纸片和投射线，改变投影面的方向与位置，情况如何？
进一步的研究（二） 北京故宫中的日晷闻名世界,是我国光辉灿烂文化的瑰宝.请通过查阅资料,上互联网等途径,收集我国古代有关日晷的历史背景,探索用日晷测定时刻的数学原理,并就此写一篇简要的报告．
(设计说明：此环节的设计，依据数学课标“有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式．”通过实验， 培养学生的参与意识、实践能力，从中体会、感知在平行投影下，平面图形的投影与图形本身、投影面、投射线之间的相对位置的关系，突破本节课的难点．同时让学生品尝成功的喜悦，适时的鼓励增强学生的信心，使学生以更大的热情投入更深入的思考．)
3.概括新知，形成结构
学生拿出实验报告，以小组开展合作学习，经过学生讨论后，展现实验成果.
3.1.思考固定投影面，改变小木棒的摆放位置和方向，它的影子分别发生了什么变化？
当小木棒与投射线平行时，它的投影成一个点.
当小木棒与投影面平行时，它的投影的长度与小木棒的长度相等.
当线段与投影线（投影面）都不平行，在投影面上的投影长度与线段不一样长.
3.2.思考固定投影面，改变三角形纸片的摆放位置和方向，它的影子分别发生了什么变化？
当三角形纸片所在的平面与投射线平行时，它的投影成一条线段.
当三角形纸片所在的平面与投影面平行时，它的投影的大小和形状与原三角形全等.
当三角形所在的平面与投影线相交，且与投影面不平行, 三角形的投影与其本身不全等.
（设计说明：本环节的设计是前一环节的延续和发展，其内容是本节课的核心．各个结论都是学生通过实验、思考、归纳获得，因此，新知自然而然的纳入了学生的知识体系，重构了知识结构，为后一环节——学以致用整装待发．）
4.学以致用，深化新知
4.1点击中考（2008年浙江省卷）
小华拿一个矩形木框在阳光下玩，矩形木框在地面上形成的投影不可能是（ ）
4.2甲旗杆和其投影如图所示：
请在图中画出形成投影的太阳光线.
变式一：画出此时乙旗杆的投影.
变式二：如图带箭头虚线表示投射线，画出线段AB在投影面上的投影.
变式三：如图，虚线表示太阳光线.请画出标杆AB分别在地面上和墙上的投影的示意图.
变式四：如图带箭头虚线表示投射线，画出线段CB在投影面上的投影.
思维拓展：一个正方形纸板ABCD和投影面平行（如图），
投射线和投影面垂直，点C在投影面的对应点为C′，
请画出正方形纸板的投影示意图.
应用拓展：如图，窗户的一条边AB在地面
上的平行投影为A′B′.请将整个窗户的投
影补充完整.
（设计说明：以具有一定层次性、应用性问题结尾，符合学生的认知水平，既是最大限度的满足不同学生的需求，又是使学生在探究练习中，提高分析问题
、解决问题的能力，巩固新知．）
5.1互动交流，总结新知
成长记录卡
姓名________ 日期___________
这节课你学到了什么新知识_____________.
_____________________________________
_____________________________________
我对这节课的看法是_________________.
对于这节课我喜欢的是_________________.
我参与最多的是_______________________.
我参与最少的是_______________________.
今天的学习,谁帮助了我_________________.
我帮助了谁_________________.
我正在_________________方面取得进步.
我希望在_______________方面多加努力.
（设计说明：以成长记录卡的形式，记录学生的成长历程.让学生谈收获，反馈到的不仅有知识与技能的达成情况，还有过程的体验、方法的收获，以及情感价值观的形成情况．由学生对自己的学习行为进行总结，会加深学生对知识的内在联系的理解，有利于形成良好的知识体系和认知结构．也是学生自我组织、自我评价、自我负责精神的具体体现．自评、互评使课堂评价实现多元化．）
6.布置作业 升华新知
6.1基础作业：
作业本
6.2提升作业
习题精选、完成探究报告
（设计说明：注重基础，使不同的学生都有收获，在作业中也体现这一理念，把课堂内的探究思想延伸到课外.）
7.板书设计 美化新知
4.2投影
1.投影：物体在光线的照射下，在某个平面内（如在地面或墙壁上）形成的影子．这时，光线叫做投射线.
2.投影面：影子（也叫投影）所在的平面叫做投影面．
3.平行投影：由平行的投射线（如太阳光线）所形成的投影．
4.成果展示
当小木棒与投射线平行时，它的投影成一个点.
当小木棒与投影面平行时，它的投影的长度与小木棒的长度相等.
当线段与投影线（投影面）都不平行，在投影面上的投影长度与线段不一样长.
当三角形纸片所在的平面与投射线平行时，它的投影成一条线段.
当三角形纸片所在的平面与投影面平行时，它的投影的大小和形状与原三角形全等.
当三角形所在的平面与投影线相交，且与投影面不平行, 三角形的投影与其本身不全等.
五、教学设计说明 ：
本堂课通过2008年春晚的节目《逗趣》引入，让学生感受生活的乐趣，激发学生的学习热情，通过实验的方式来感性认识投影，以小组讨论来促进合作，提升解决问题的实效性和能力. 利用学生已有的几何知识，从数学角度进一步刻画投影的内在规律，让学生学会数学地思考问题．
学生是本堂课的主人，教师是数学学习的组织者、引导者与合作者．教学过程中还把信息技术作为学生学习数学和解决问题的强有力工具．在评价上不仅评价学生是否掌握了有关结论和获得结论的过程，还评价学生的情绪，评价学生的实际操作能力，评价他们的合作精神、独立思考能力．
以人为本，关注学生的发展，关注学生实践能力和创新能力的培养．实现教与学方式的转变，解决课改最核心的问题．
A
B
C
D
D
A
B
C
甲旗杆的影子
甲旗杆
E
乙旗杆
A
B
C
甲旗杆的影子
甲旗杆
A
B
投影面
A
B
A
A
B
C
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投射线方向
投影面
A
B
C
C′
投射线方向
投影面
D
A
C
B
B′
A′
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