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第4章：平行四边形能力提升测试题
选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分）
温馨提示：每一题的四个答案中只有一个是正确的，请将正确的答案选择出来！
1．下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
2．过某个多边形的一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成7个三角形，则这个多边形是（ ）
A．六边形 B．七边形 C．八边形 D．九边形
3.如图，在平面直角坐标系中，平行四边形三个顶点坐标分别为，则顶点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
4.用反证法证明命题“四边形中至少有一个角是钝角或直角”时，首先应该假设这个四边形中（ ）
A．有一个角是钝角或直角 B．每一个角都是锐角 C．每一个角都是直角 D．每一个角都是钝角
5．在中，尺规作图后留下的痕迹如图所示，若，，则的长为
A． B． C． D．
6.如图，已知：平行四边形中，于的平分线交于，连接．则的度数等于（ ）
A．30° B．40° C．45° D．50°
7．如图，在△ABC中，AB＝AC，M、N分别是AB、AC的中点，D、E为BC上的点，连结DN、EM．若AB＝13cm，BC＝10cm，DE＝5cm，则图中阴影部分的面积为（ ）cm2．
A．20 B．30 C．40 D．50
8.如图，中，点为斜边的中点，点为上一点，点为的中点，已知，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
9.如图， ABCD的对角线AC，BD交于点O，AE平分∠BAD，交BC于点E，且∠ADC＝60°，AB＝BC，连接OE，下列结论：①∠CAD＝30°；②OD＝AB；③S ABCD＝AC CD；④S四边形OECD＝S△AOD，其中成立的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．如图，在中，、分别是、边的中点，、是对角线上的两点，且．有下列结论：①；②；③四边形是平行四边形；④．则正确的个数为
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
填空题（本题共6小题，每题3分，共18分）
温馨提示：填空题必须是最简洁最正确的答案！
11．在平面直角坐标系中，已知点与点关于原点对称，则
12.已知一个多边形的每一个内角都是则这个多边形的边数为____________
13．用反证法证明“三角形中必有一个内角不小于”，应当先假设这个三角形中_____________
14．如图，在中， CD 平分，垂足为点D，点M是AB的中点，如果AB=20,AC=10,那么
15．平行四边形ABCD中，于E，于F，，若点F刚好是CD的中点，则
16．如图，在 ABCD中，AD=2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，连接EF，CF，则下列结论中一定成立的是 ．(把所有正确结论的序号都填在横线上)
①∠DCF=∠BCD；②EF=CF；③S△BEC=2S△CEF；④∠DFE=3∠AEF．
三．解答题（共8题，共72分）
温馨提示：解答题应将必要的解答过程呈现出来！
17．（本题6分）如图，在中，已知，，平分，于点，为中点．求的长．
18．（本题6分）如图，在四边形中，对角线与相交于点，点是的中点．点、在对角线上，连接、，，．
求证：四边形是平行四边形．
19.（本题8分）如图，E，F是的对角线AC上两点，．
(1)求证：四边形为平行四边形；
(2)若，，，求的面积．
20．（本题8分）在平行四边形ABCD中，AD=12.
（1）若BD=10,AC=26,求；
（2）若，求平行四边形ABCD的周长.
21．（本题10分）如图，在中，点，分别是，的中点，点是延长线上的一点，且，连接，．若，，．
（1）求证：；（2）求四边形的周长．
22.（本题10分）如图，在梯形中，，，，，，动点从点出发，沿射线的方向以每秒的速度运动到点返回，动点从点出发，在线段上以每秒的速度向点运动，点，分别从点，同时出发，当点运动到点时，点随之停止运动，设运动的时间为（秒）．
(1)当为何值时，四边形是平行四边形；
(2)当为何值时，以，，，为顶点的梯形面积等于？
(3)是否存在点，使是等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的的值；若不存在，请说明理由．
23．（本题12分）如图1，已知平行四边形ABCD，∠A＝∠BEF＝a，E为AD边上一点，F为DC边上一点，BE＝EF.（1）求证：∠ABE＝∠DEF（2）如图1，若a＝45°，AE＝5， DE＝1， 求平行四边形ABCD的面积；（3）如图2，若a＝30°，AE＝4，DE＝求线段BE的长.
24．（本题12分）在中，点是对角线的中点，点在边上，的延长线与边交于点，连接、如图1．（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，，过点作的垂线，与、、分别交于点、、如图2．①当．时，求的长；②求证：．
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第4章：平行四边形能力提升测试题答案
选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分）
温馨提示：每一题的四个答案中只有一个是正确的，请将正确的答案选择出来！
1.答案：B
解析：A、不是中心对称图形，不符合题意；
B、是中心对称图形，符合题意；
C、不是中心对称图形，不符合题意；
D、不是中心对称图形，不符合题意；
故选择：B.
2.答案：D
解析：根据n边形从一个顶点出发可引出（n﹣3）条对角线，可组成n﹣2个三角形，
∴n﹣2＝7，即n＝9．
故选择：D．
3.答案：C
解析：设顶点的坐标为
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴
解得：
∴顶点的坐标为
故选择：C
4.答案：B
解：反证法证明命题：“四边形中至少有一个角是钝角或直角”时，
假设这个四边形中每一个角都是锐角，
故选择：B．
5.答案：C
解析：四边形是平行四边形，
，，
由尺规作图后留下的痕迹可知，平分，平分，
，，
，
，，
，，
，，
，
故选择：．
6.答案：C
解析：四边形ABCD是平行四边形，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选择：C．
7.答案：B
解析：如图，连接MN，过点A作AF⊥BC于F，
∵AB＝AC，BC＝10cm，
∴BFBC＝5cm，
由勾股定理得：AF，
∵M、N分别是AB、AC的中点，
∴MN是△ABC的中位线，
∴MNBC＝5cm，MN∥BC，
∴图中阴影部分可以看作三个以5cm为底，且高的和为12cm的三角形，
∴S阴影部分5×12＝30（cm2），
故选择：B．
8.答案：A
解析：∵点D为斜边AB的中点，点E为AP的中点，，
∴DE为的中位线，
∴，，
∵，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得：
故选择：．
9.答案：C
解析：∵四边形ABCD为平行四边形，∠ADC＝60°，
∴AD∥BC，∠ABC＝∠ADC＝60°，OB＝OD，
∴∠DAE＝∠AEB，∠BAD＝∠BCD＝120°，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE，
∴∠BAE＝∠AEB
∴△ABE为等边三角形，
∴∠BAE＝∠AEB＝60°，AB＝BE＝AE，
∵AB＝BC，
∴EC＝AE，
∴∠EAC＝∠ECA＝30°，
∴∠CAD＝30°，故①正确；
∵∠BAD＝120°，∠CAD＝30°，
∴∠BAC＝90°，
∴BO＞AB，
∴OD＞AB，故②错误；
∴S ABCD＝AB AC＝AC CD，故③正确；
∵∠BAC＝90°，BC＝2AB，
∴E是BC的中点，
∴S△BEO：S△BCD＝1：4，
∴S四边形OECD：S△BCD＝3：4，
∴S四边形OECD：S ABCD＝3：8，
∵S△AOD：S ABCD＝1：4，
∴S四边形OECD＝S△AOD，故④正确．
故选择：C．
10.答案：C
解析：四边形是平行四边形，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
四边形是平行四边形，
，故②③④正确，
不一定等于，
不正确，
故选择：．
填空题（本题共6小题，每题3分，共18分）
温馨提示：填空题必须是最简洁最正确的答案！
11.答案：2
解析：已知点与点关于原点对称，
则，即
故答案为：
12.答案：9
解析：外角的度数是：
则多边形的边数为：
故答案为：9．
13.答案：三角形中每一个内角都小于．
解析：用反证法证明“三角形中必有一个内角不小于”时，
应先假设三角形中每一个内角都小于．
故答案为：三角形中每一个内角都小于．
14.答案：
解析：延长AD交BC于E，如图，
在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，
∴BC= ，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠ECD，
∵CD⊥AD，
∴∠CDA=∠CDE=90°，
在△CDA和△CDE中，
，
∴△CDA≌△CDE（ASA），
∴AD=ED，CE=CA=10，
∵点M是AB的中点，
∴DM为△ABE的中位线，
∴DM=BE=（BC-CE）= ×（ ）= ，
故答案为： ．
15.答案：
解析：∵四边形是平行四边形， ，，
∴，，
又，，
∴，
∴，
在中，，，，
∴，即，
解得（负值舍去），
∴.
故答案为：.
16.答案：①②④
解析：如图，
①∵F是AD的中点，
∴AF=FD，
∵在 ABCD中，AD=2AB，
∴AF=FD=CD，
∴∠DFC=∠DCF，
∵AD∥BC，
∴∠DFC=∠FCB，
∴∠DCF=∠BCF，
∴∠DCF=∠BCD，符合题意；
② 延长EF，交CD延长线于M，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠A=∠MDF，
∵F为AD中点，
∴AF=FD，
在△AEF和△DFM中，
∠A=∠FDMAF=DF∠AFE=∠DFM，
∴△AEF≌△DMF(ASA)，
∴FE=MF，∠AEF=∠M，
∵CE⊥AB，
∴∠AEC=90 ，
∴∠AEC=∠ECD=90 ，
∵FM=EF，
∴FC=EF，符合题意；
③∵EF=FM，
∴S△EFC=S△CFM，
∵BE∴S△BEC∴S△BEC<2S△EFC
故S△BEC<2S△CEF， 不符合题意；
④设∠FEC=x，则∠FCE=x，
∴∠DCF=∠DFC=90 x，
∴∠EFC=180 2x，
∴∠EFD=90 x+180 2x=270 3x，
∵∠AEF=90 x，
∴∠DFE=3∠AEF，符合题意。
故答案为：①②④.
三．解答题（共8题，共72分）
温馨提示：解答题应将必要的解答过程呈现出来！
17.解析：如图，延长与相交于点，
平分，，
，，，
，
，，
，，
，
为中点，
是的中位线，
．
18.解析：，
，
点是的中点，
，
在与中，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形．
19.解析：（1）∵
∴
∴
∵四边形是平行四边形
∴，
∴
∴
∴
∵
∴四边形为平行四边形；
（2）如图所示，过点C作交的延长线于点G
∵，
∴
∵
∴的面积．
20.（1）解析：∵中，BD=10，AC=26，
∴OD=5，OA=13，
∵AD=12
∴AD2+OD2=OA2，
∴是直角三角形，
即∠ADO=90°，
∴=ADBD=120.
答：等于120.
（2）解：如图，过点D作AC的垂线，交AC与点E，
在中，ABDC，ADBC
∴∠ADC+∠BCD=180，∠DCA=∠DAC
∵，，
∴∠BCD=75°，
∴，
∵∠CDE=90°-30°=60°，∠ADE=∠ADC-∠CDE=45°，
∴是等腰直角三角形，
∴DE=AD=12=6，
∵在Rt中，，
∴DC=2DE=26=12，
∴的周长=2(AD+DC)
=2(12+12)
=24+24.
答：的周长为24+24.
21.解析：（1）点，分别是，的中点，
为的中位线，
，，
，
，
；
（2）解：点是的中点，，
，
，
，
由勾股定理得：，
，，
四边形为平行四边形，
四边形的周长．
22.解析：（1）∵四边形是平行四边形，
∴
当从运动到时，
∵，
，
∴，
解得：；
当从运动到时，
∵，
，
∴，
解得：，
∴当或时，四边形是平行四边形；
（2）解：若点、分别沿、运动时，
，
即，
解得：；
若点返回时，，
则，
解得，
故当或时，以，，，为顶点的梯形面积等于；
（3）解：当时，
如图，作于，则，
∵，
由得，
解得：；
当时，，
∵，
∴，
解得：
当时，
∵，
∴，
整理得：，
∵，
∴方程无实根，
当点从向运动时，观察图形可知，只有，
由题意：，
解得：，
综上所述，当的值为或或时，是等腰三角形．
23.（1）证明：∵∠BED=∠A+∠ABE，∠BED=∠DEF+∠BEF，
∴∠A+∠ABE=∠DEF+∠BEF，
∵∠A＝∠BEF，
∴∠ABE＝∠DEF；
（2）解：过E作EH⊥AD交AB于H，
∵∠A= a＝45°，∠AEH=90°，AE＝5，
∴∠AHE=45°，
∴AH=AE=5，
∵，
∴
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴∠A+∠D=180°，∠CBG=∠A＝45°，
∴∠D=135°=∠EHB，
∵∠ABE＝∠DEF，BE=EF，
∴△BEH≌△EFD（AAS），
∴BH=DE=1，
∴AB=AH+BH=，
过点C作CG⊥AB交AB延长线于G，
∵∠CBG=45°，∠G=90°，
∴∠BCG=45°，
∴BG=CG，
∵，BC=AD=6，
∴，
∴ABCD的面积=；
（3）解：在AB上取点N，连接EN，使EN=AE，过点E作EM⊥AB于M，
∵AE=4，∠A=30°，
∴=2，，
∵EN=AE，EM⊥AB，
∴MN=AM=2，
由（2）得△EBN≌△FED，
∴BN=DE=2，
∴BM=4，
∴.
24.解析：（1）证明：在平行四边形中，点是对角线的中点，
，，
，
在与中，
，
，
，
，
四边形是平行四边形；
（2）①解：如图，过点作于点，
，，，
，
，
，，
，
，
，
②证明：，，
，，
，
，，
，
，
，，
，
．
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