26.2.2.1二次函数y＝ax2＋k的图象与性质 课件（共23张PPT）
文档属性
| 名称 | 26.2.2.1二次函数y＝ax2＋k的图象与性质 课件（共23张PPT） |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 3.9MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 华师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-04-30 17:32:18 | ||
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文档简介
(共23张PPT)
26.2.2.1二次函数y＝ax2＋k的
图象与性质
第26章 二次函数
华东师大版数学九年级下册【示范课课件】
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
学习目标
1.通过观察函数y=ax2+c的图象,理解其性质.
2.回顾图形的平移变换,掌握二次函数y=ax2+c与y=ax2的关系.
3.理解二次函数y=ax2+c中,系数c的几何意义,体会数形结合的思想方法.
、教学目标
知识与技能目标
理解二次函数的概念，掌握二次函数的一般形式\(y = ax^2 + bx + c\)（\(a\neq0\)）。
能够根据实际问题列出二次函数关系式，并能确定自变量的取值范围。
会用描点法画出二次函数的图象，理解二次函数图象的性质，包括开口方向、对称轴、顶点坐标等。
过程与方法目标
通过探索实际问题中数量关系的过程，体会建立二次函数模型的思想，培养学生从实际问题中抽象出数学问题的能力。
在画二次函数图象及探究其性质的过程中，培养学生的动手操作能力、观察分析能力和归纳总结能力，体会数形结合的数学思想。
情感态度与价值观目标
感受数学与生活的紧密联系，激发学生学习数学的兴趣，培养学生应用数学知识解决实际问题的意识。
在小组合作学习中，培养学生的团队协作精神和勇于探索创新的精神。
二、教学重难点
重点
二次函数的概念、表达式及图象性质。
用二次函数的知识解决实际问题。
难点
理解二次函数图象与系数之间的关系，能根据图象性质确定函数表达式中的系数。
运用二次函数解决实际问题时，如何建立合适的数学模型。
三、教学方法
讲授法：系统讲解二次函数的概念、表达式、图象性质等重要知识点，确保学生掌握基础知识。
探究法：组织学生通过小组合作探究二次函数图象的特点和性质，培养学生自主探索和合作交流的能力。
练习法：通过针对性的练习题，让学生巩固所学的二次函数知识，提高应用能力。
四、教学过程
（一）情境导入（5 分钟）
教师展示一些生活中的实际问题情境图片，如喷泉的水流轨迹、拱桥的形状等。
提问：同学们，观察这些图片，你们能发现其中的曲线有什么共同特点吗？这些曲线所代表的数学模型是什么呢？
引导学生思考并讨论，引出本节课的主题 —— 二次函数。
（二）知识新授（25 分钟）
二次函数的概念
教师给出一些具体的函数表达式，如\(y = 2x^2\)，\(y = -3x^2 + 2x - 1\)，\(y = \frac{1}{2}x^2\)等。
提问：观察这些函数表达式，它们有什么共同特征？
引导学生分析发现：这些函数的表达式都是整式，自变量的最高次数是 2，且二次项系数不为 0。
教师总结二次函数的定义：一般地，形如\(y = ax^2 + bx + c\)（\(a\)，\(b\)，\(c\)是常数，\(a\neq0\)）的函数，叫做二次函数。其中\(x\)是自变量，\(a\)，\(b\)，\(c\)分别是函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项。
二次函数的表达式
教师强调二次函数的一般形式\(y = ax^2 + bx + c\)（\(a\neq0\)），并举例说明如何确定各项系数。
给出一些具体的二次函数，让学生指出其二次项系数、一次项系数和常数项。
同时介绍二次函数的特殊形式：当\(b = 0\)时，\(y = ax^2 + c\)；当\(c = 0\)时，\(y = ax^2 + bx\)；当\(b = c = 0\)时，\(y = ax^2\)。
二次函数的图象与性质
画二次函数\(y = x^2\)的图象
教师引导学生列表、描点、连线来画出函数\(y = x^2\)的图象。
列表：选取一些自变量\(x\)的值，计算出对应的函数值\(y\)。
描点：在平面直角坐标系中，将表中对应的点\((x,y)\)描出来。
连线：用平滑的曲线将这些点依次连接起来，得到\(y = x^2\)的图象。
探究\(y = x^2\)的图象性质
教师引导学生观察图象，提问：图象的开口方向是怎样的？图象有对称轴吗？对称轴方程是什么？图象有最高点或最低点吗？其坐标是多少？
学生观察、思考并回答问题，教师进行总结：二次函数\(y = x^2\)的图象开口向上，对称轴是\(y\)轴（即直线\(x = 0\)），图象有最低点，最低点的坐标是\((0,0)\)，这个点叫做抛物线的顶点。当\(x\lt0\)时，\(y\)随\(x\)的增大而减小；当\(x\gt0\)时，\(y\)随\(x\)的增大而增大。
探究二次函数\(y = ax^2\)（\(a\neq0\)）的图象性质
教师利用多媒体展示不同\(a\)值（\(a\gt0\)和\(a\lt0\)）时二次函数\(y = ax^2\)的图象。
引导学生观察图象，总结\(a\)的正负对图象开口方向的影响：当\(a\gt0\)时，抛物线开口向上；当\(a\lt0\)时，抛物线开口向下。同时，\(|a|\)越大，抛物线的开口越窄；\(|a|\)越小，抛物线的开口越宽。
对于对称轴和顶点坐标，\(y = ax^2\)的对称轴始终是\(y\)轴（直线\(x = 0\)），顶点坐标是\((0,0)\)。
探究二次函数\(y = ax^2 + bx + c\)（\(a\neq0\)）的图象性质
教师指出通过配方可将\(y = ax^2 + bx + c\)化为\(y = a(x - h)^2 + k\)的形式（其中\(h = -\frac{b}{2a}\)，\(k = \frac{4ac - b^2}{4a}\)）。
抛物线\(y = a(x - h)^2 + k\)的对称轴是直线\(x = h\)，顶点坐标是\((h,k)\)。当\(a\gt0\)时，抛物线开口向上，在对称轴左侧，\(y\)随\(x\)的增大而减小；在对称轴右侧，\(y\)随\(x\)的增大而增大。当\(a\lt0\)时，抛物线开口向下，在对称轴左侧，\(y\)随\(x\)的增大而增大；在对称轴右侧，\(y\)随\(x\)的增大而减小。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：已知二次函数\(y = -2x^2 + 4x - 1\)，求：
（1）该函数的二次项系数、一次项系数和常数项。
（2）当\(x = -1\)时，函数的值是多少？
分析：（1）直接根据二次函数的一般形式确定各项系数；（2）将\(x = -1\)代入函数表达式计算函数值。
解答：（1）二次项系数为\(-2\)，一次项系数为\(4\)，常数项为\(-1\)。
（2）当\(x = -1\)时，\(y = -2\times(-1)^2 + 4\times(-1) - 1 = -2 - 4 - 1 = -7\)。
例 2：一个小球从地面以\(20m/s\)的初速度竖直向上抛出，小球的高度\(h\)（单位：\(m\)）与运动时间\(t\)（单位：\(s\)）之间的关系为\(h = 20t - 5t^2\)。求小球运动到最高点时所用的时间以及最高点的高度。
分析：将函数\(h = 20t - 5t^2\)化为顶点式，根据顶点式的性质求解。
解答：\(h = -5t^2 + 20t = -5(t^2 - 4t) = -5(t^2 - 4t + 4 - 4) = -5[(t - 2)^2 - 4] = -5(t - 2)^2 + 20\)。
所以当\(t = 2s\)时，小球达到最高点，最高点的高度为\(h = 20m\)。
（四）课堂练习（10 分钟）
下列函数中，哪些是二次函数？
（1）\(y = 3x - 1\)
（2）\(y = 2x^2\)
（3）\(y = \frac{1}{x^2}\)
（4）\(y = (x + 3)^2 - x^2\)
已知二次函数\(y = x^2 - 2x - 3\)，求：
（1）函数图象与\(x\)轴的交点坐标。
（2）当\(y = 0\)时，\(x\)的值是多少？当\(y\gt0\)时，\(x\)的取值范围是什么？当\(y\lt0\)时，\(x\)的取值范围是什么？
用\(60m\)长的篱笆围成一个矩形场地，矩形面积\(S\)（单位：\(m^2\)）与矩形一边长\(x\)（单位：\(m\)）之间的函数关系式是什么？自变量\(x\)的取值范围是什么？这个矩形的最大面积是多少？
（五）课堂小结（5 分钟）
教师提问：同学们，通过本节课的学习，你们都学到了哪些知识？
学生回答：二次函数的概念、表达式、图象性质，如何用二次函数解决实际问题等。
教师总结：本节课我们学习了二次函数的相关知识，二次函数在生活中有广泛的应用。同学们要理解二次函数的概念和性质，掌握用二次函数解决实际问题的方法，注意在解决问题过程中数学模型的建立和运用。
（六）布置作业（5 分钟）
基础作业：教材课后习题第 1、2、3 题。
拓展作业：某商场将进价为\(30\)元的台灯以\(40\)元售出，平均每月能售出\(600\)个。调查发现，这种台灯的售价每上涨\(1\)元，其销售量就减少\(10\)个。为了实现平均每月\(10000\)元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少？这时应进台灯多少个？
预习作业：预习二次函数与一元二次方程的关系，思考二次函数图象与\(x\)轴交点的横坐标和对应的一元二次方程的根有什么联系。
五、教学反思
在本节课的教学过程中，通过生活情境导入，激发了学生的学习兴趣，让学生感受到数学与生活的紧密联系。在知识新授环节，通过逐步引导学生探究二次函数的概念、表达式和图象性质，培养了学生的自主学习能力和逻辑思维能力。在例题讲解和课堂练习环节，学生对二次函数知识的应用能力得到了一定的提高。但在教学过程中，部分学生对于二次函数图象性质的理解和应用还存在困难，需要在今后的教学中加强针对性的辅导和练习，同时进一步引导学生体会数学知识在实际生活中的应用价值。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
探究一 二次函数y=ax2+k的图象和性质
（1）列表：
活动：在同一平面直角坐标系中，画出二次函数 与 的图象.
x … -3 －2 -1 0 1 2 3 …
… …
… …
探究一 二次函数y=ax2+k的图象和性质
x
y
-4
-3
-2
-1
o
1
2
3
4
1
2
3
4
5
6
描点、连线，画出这两个函数的图象
探究一 二次函数y=ax2+k的图象和性质
观察与思考
抛物线 ， 的开口方向、对称轴和顶点各是什么？
二次函数
开口方向
顶点坐标
对称轴
向上
向上
（0,0）
（0,1）
y轴
y轴
思考：通过上述例子，函数y=ax2+k的性质是什么？
归纳：
y=ax2+k（a＞0）
当x＜0时，函数值y随x的增大而减小；
当x＞0时，函数值y随x的增大而增大，
当x＝0时，函数取得最小值，
最小值分别为y=k.
探究一 二次函数y=ax2+k的图象和性质
二次函数y=ax2+k的图象的性质
y=ax2+k 顶点 对称轴 开口 左侧 右侧
x y x y
a＞0
a＜0
增大
(0,k)
最低点
(0,k)
最高点
y轴
y轴
向上
向下
增大
减小
增大
增大
增大
减小
增大
探究一 二次函数y=ax2+k的图象和性质
探究二 抛物线y=ax2+k与y=ax2的关系
问题提出：二次函数y＝2x2＋2的图象与二次函数y＝2x2的图象开口方向、对称轴和顶点坐标是否相同
(1)对于这个问题，你将采取什么方法加以研究
(2)在同一直角坐标系中，画出函数y＝2x2与y＝2x2＋2的图象.
问题探究：
(3)当自变量x取同一数值时，这两个函数的函数值之间有什么关系
归纳：当自变量x取同一数值时，函数y＝2x2＋2的函数值都比函数
y＝2x2的函数值大2.
x … －2 -1 0 1 2 …
y＝2x2 … 8 2 0 2 8 …
y＝2x2+2 … 10 4 2 4 10 …
(4)当自变量x取同一数值时，反映在图象上，相应的两个点之间的位置又有
什么关系
归纳：函数y＝2x2＋2的图象上的点都是由函数
y＝2x2的图象上的相应点向上移动了两个单位.
1
2
3
4
5
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
y
o
-1
-2
-3
-4
-5
-1
y=2x2
y=2x2+2
2．[2024广州期中]关于二次函数y＝－3x2＋5，下列说法中正确的是( )
A．图象的开口向上
B．当x＞－1时，y随x的增大而增大
C．图象的顶点坐标是(0，5)
D．当x＝0时，y有最小值是5
返回
C
【答案】 A
返回
返回
【答案】 D
4．在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax2－b与y＝ax＋b(ab≠0)的图象大致为( )
C
返回
5．[2024东莞南城阳光实验中学一模]已知点(－4，y1)、(－1，y2)、(2，y3)都在函数y＝－x2＋1的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为_________．
返回
y2>y3>y1
(2)画出平移后的函数图象；
x －4 －2 0 2 4
y －6 0 2 0 －6
其函数图象如图所示：
返回
(3)直接写出平移后的函数的最大值或最小值及对应的x的值．
【解】平移后的函数的最大值为2，此时x＝0.
二次函数y=ax2+k（a≠0)的图象和性质
图象
性质
与y=ax2的关系
开口方向由a的符号决定；
k决定顶点位置；
对称轴是y轴.
增减性结合开口方向和对称轴才能确定.
平移规律：
k正向上；
k负向下.
谢谢观看！
26.2.2.1二次函数y＝ax2＋k的
图象与性质
第26章 二次函数
华东师大版数学九年级下册【示范课课件】
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
学习目标
1.通过观察函数y=ax2+c的图象,理解其性质.
2.回顾图形的平移变换,掌握二次函数y=ax2+c与y=ax2的关系.
3.理解二次函数y=ax2+c中,系数c的几何意义,体会数形结合的思想方法.
、教学目标
知识与技能目标
理解二次函数的概念，掌握二次函数的一般形式\(y = ax^2 + bx + c\)（\(a\neq0\)）。
能够根据实际问题列出二次函数关系式，并能确定自变量的取值范围。
会用描点法画出二次函数的图象，理解二次函数图象的性质，包括开口方向、对称轴、顶点坐标等。
过程与方法目标
通过探索实际问题中数量关系的过程，体会建立二次函数模型的思想，培养学生从实际问题中抽象出数学问题的能力。
在画二次函数图象及探究其性质的过程中，培养学生的动手操作能力、观察分析能力和归纳总结能力，体会数形结合的数学思想。
情感态度与价值观目标
感受数学与生活的紧密联系，激发学生学习数学的兴趣，培养学生应用数学知识解决实际问题的意识。
在小组合作学习中，培养学生的团队协作精神和勇于探索创新的精神。
二、教学重难点
重点
二次函数的概念、表达式及图象性质。
用二次函数的知识解决实际问题。
难点
理解二次函数图象与系数之间的关系，能根据图象性质确定函数表达式中的系数。
运用二次函数解决实际问题时，如何建立合适的数学模型。
三、教学方法
讲授法：系统讲解二次函数的概念、表达式、图象性质等重要知识点，确保学生掌握基础知识。
探究法：组织学生通过小组合作探究二次函数图象的特点和性质，培养学生自主探索和合作交流的能力。
练习法：通过针对性的练习题，让学生巩固所学的二次函数知识，提高应用能力。
四、教学过程
（一）情境导入（5 分钟）
教师展示一些生活中的实际问题情境图片，如喷泉的水流轨迹、拱桥的形状等。
提问：同学们，观察这些图片，你们能发现其中的曲线有什么共同特点吗？这些曲线所代表的数学模型是什么呢？
引导学生思考并讨论，引出本节课的主题 —— 二次函数。
（二）知识新授（25 分钟）
二次函数的概念
教师给出一些具体的函数表达式，如\(y = 2x^2\)，\(y = -3x^2 + 2x - 1\)，\(y = \frac{1}{2}x^2\)等。
提问：观察这些函数表达式，它们有什么共同特征？
引导学生分析发现：这些函数的表达式都是整式，自变量的最高次数是 2，且二次项系数不为 0。
教师总结二次函数的定义：一般地，形如\(y = ax^2 + bx + c\)（\(a\)，\(b\)，\(c\)是常数，\(a\neq0\)）的函数，叫做二次函数。其中\(x\)是自变量，\(a\)，\(b\)，\(c\)分别是函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项。
二次函数的表达式
教师强调二次函数的一般形式\(y = ax^2 + bx + c\)（\(a\neq0\)），并举例说明如何确定各项系数。
给出一些具体的二次函数，让学生指出其二次项系数、一次项系数和常数项。
同时介绍二次函数的特殊形式：当\(b = 0\)时，\(y = ax^2 + c\)；当\(c = 0\)时，\(y = ax^2 + bx\)；当\(b = c = 0\)时，\(y = ax^2\)。
二次函数的图象与性质
画二次函数\(y = x^2\)的图象
教师引导学生列表、描点、连线来画出函数\(y = x^2\)的图象。
列表：选取一些自变量\(x\)的值，计算出对应的函数值\(y\)。
描点：在平面直角坐标系中，将表中对应的点\((x,y)\)描出来。
连线：用平滑的曲线将这些点依次连接起来，得到\(y = x^2\)的图象。
探究\(y = x^2\)的图象性质
教师引导学生观察图象，提问：图象的开口方向是怎样的？图象有对称轴吗？对称轴方程是什么？图象有最高点或最低点吗？其坐标是多少？
学生观察、思考并回答问题，教师进行总结：二次函数\(y = x^2\)的图象开口向上，对称轴是\(y\)轴（即直线\(x = 0\)），图象有最低点，最低点的坐标是\((0,0)\)，这个点叫做抛物线的顶点。当\(x\lt0\)时，\(y\)随\(x\)的增大而减小；当\(x\gt0\)时，\(y\)随\(x\)的增大而增大。
探究二次函数\(y = ax^2\)（\(a\neq0\)）的图象性质
教师利用多媒体展示不同\(a\)值（\(a\gt0\)和\(a\lt0\)）时二次函数\(y = ax^2\)的图象。
引导学生观察图象，总结\(a\)的正负对图象开口方向的影响：当\(a\gt0\)时，抛物线开口向上；当\(a\lt0\)时，抛物线开口向下。同时，\(|a|\)越大，抛物线的开口越窄；\(|a|\)越小，抛物线的开口越宽。
对于对称轴和顶点坐标，\(y = ax^2\)的对称轴始终是\(y\)轴（直线\(x = 0\)），顶点坐标是\((0,0)\)。
探究二次函数\(y = ax^2 + bx + c\)（\(a\neq0\)）的图象性质
教师指出通过配方可将\(y = ax^2 + bx + c\)化为\(y = a(x - h)^2 + k\)的形式（其中\(h = -\frac{b}{2a}\)，\(k = \frac{4ac - b^2}{4a}\)）。
抛物线\(y = a(x - h)^2 + k\)的对称轴是直线\(x = h\)，顶点坐标是\((h,k)\)。当\(a\gt0\)时，抛物线开口向上，在对称轴左侧，\(y\)随\(x\)的增大而减小；在对称轴右侧，\(y\)随\(x\)的增大而增大。当\(a\lt0\)时，抛物线开口向下，在对称轴左侧，\(y\)随\(x\)的增大而增大；在对称轴右侧，\(y\)随\(x\)的增大而减小。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：已知二次函数\(y = -2x^2 + 4x - 1\)，求：
（1）该函数的二次项系数、一次项系数和常数项。
（2）当\(x = -1\)时，函数的值是多少？
分析：（1）直接根据二次函数的一般形式确定各项系数；（2）将\(x = -1\)代入函数表达式计算函数值。
解答：（1）二次项系数为\(-2\)，一次项系数为\(4\)，常数项为\(-1\)。
（2）当\(x = -1\)时，\(y = -2\times(-1)^2 + 4\times(-1) - 1 = -2 - 4 - 1 = -7\)。
例 2：一个小球从地面以\(20m/s\)的初速度竖直向上抛出，小球的高度\(h\)（单位：\(m\)）与运动时间\(t\)（单位：\(s\)）之间的关系为\(h = 20t - 5t^2\)。求小球运动到最高点时所用的时间以及最高点的高度。
分析：将函数\(h = 20t - 5t^2\)化为顶点式，根据顶点式的性质求解。
解答：\(h = -5t^2 + 20t = -5(t^2 - 4t) = -5(t^2 - 4t + 4 - 4) = -5[(t - 2)^2 - 4] = -5(t - 2)^2 + 20\)。
所以当\(t = 2s\)时，小球达到最高点，最高点的高度为\(h = 20m\)。
（四）课堂练习（10 分钟）
下列函数中，哪些是二次函数？
（1）\(y = 3x - 1\)
（2）\(y = 2x^2\)
（3）\(y = \frac{1}{x^2}\)
（4）\(y = (x + 3)^2 - x^2\)
已知二次函数\(y = x^2 - 2x - 3\)，求：
（1）函数图象与\(x\)轴的交点坐标。
（2）当\(y = 0\)时，\(x\)的值是多少？当\(y\gt0\)时，\(x\)的取值范围是什么？当\(y\lt0\)时，\(x\)的取值范围是什么？
用\(60m\)长的篱笆围成一个矩形场地，矩形面积\(S\)（单位：\(m^2\)）与矩形一边长\(x\)（单位：\(m\)）之间的函数关系式是什么？自变量\(x\)的取值范围是什么？这个矩形的最大面积是多少？
（五）课堂小结（5 分钟）
教师提问：同学们，通过本节课的学习，你们都学到了哪些知识？
学生回答：二次函数的概念、表达式、图象性质，如何用二次函数解决实际问题等。
教师总结：本节课我们学习了二次函数的相关知识，二次函数在生活中有广泛的应用。同学们要理解二次函数的概念和性质，掌握用二次函数解决实际问题的方法，注意在解决问题过程中数学模型的建立和运用。
（六）布置作业（5 分钟）
基础作业：教材课后习题第 1、2、3 题。
拓展作业：某商场将进价为\(30\)元的台灯以\(40\)元售出，平均每月能售出\(600\)个。调查发现，这种台灯的售价每上涨\(1\)元，其销售量就减少\(10\)个。为了实现平均每月\(10000\)元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少？这时应进台灯多少个？
预习作业：预习二次函数与一元二次方程的关系，思考二次函数图象与\(x\)轴交点的横坐标和对应的一元二次方程的根有什么联系。
五、教学反思
在本节课的教学过程中，通过生活情境导入，激发了学生的学习兴趣，让学生感受到数学与生活的紧密联系。在知识新授环节，通过逐步引导学生探究二次函数的概念、表达式和图象性质，培养了学生的自主学习能力和逻辑思维能力。在例题讲解和课堂练习环节，学生对二次函数知识的应用能力得到了一定的提高。但在教学过程中，部分学生对于二次函数图象性质的理解和应用还存在困难，需要在今后的教学中加强针对性的辅导和练习，同时进一步引导学生体会数学知识在实际生活中的应用价值。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
探究一 二次函数y=ax2+k的图象和性质
（1）列表：
活动：在同一平面直角坐标系中，画出二次函数 与 的图象.
x … -3 －2 -1 0 1 2 3 …
… …
… …
探究一 二次函数y=ax2+k的图象和性质
x
y
-4
-3
-2
-1
o
1
2
3
4
1
2
3
4
5
6
描点、连线，画出这两个函数的图象
探究一 二次函数y=ax2+k的图象和性质
观察与思考
抛物线 ， 的开口方向、对称轴和顶点各是什么？
二次函数
开口方向
顶点坐标
对称轴
向上
向上
（0,0）
（0,1）
y轴
y轴
思考：通过上述例子，函数y=ax2+k的性质是什么？
归纳：
y=ax2+k（a＞0）
当x＜0时，函数值y随x的增大而减小；
当x＞0时，函数值y随x的增大而增大，
当x＝0时，函数取得最小值，
最小值分别为y=k.
探究一 二次函数y=ax2+k的图象和性质
二次函数y=ax2+k的图象的性质
y=ax2+k 顶点 对称轴 开口 左侧 右侧
x y x y
a＞0
a＜0
增大
(0,k)
最低点
(0,k)
最高点
y轴
y轴
向上
向下
增大
减小
增大
增大
增大
减小
增大
探究一 二次函数y=ax2+k的图象和性质
探究二 抛物线y=ax2+k与y=ax2的关系
问题提出：二次函数y＝2x2＋2的图象与二次函数y＝2x2的图象开口方向、对称轴和顶点坐标是否相同
(1)对于这个问题，你将采取什么方法加以研究
(2)在同一直角坐标系中，画出函数y＝2x2与y＝2x2＋2的图象.
问题探究：
(3)当自变量x取同一数值时，这两个函数的函数值之间有什么关系
归纳：当自变量x取同一数值时，函数y＝2x2＋2的函数值都比函数
y＝2x2的函数值大2.
x … －2 -1 0 1 2 …
y＝2x2 … 8 2 0 2 8 …
y＝2x2+2 … 10 4 2 4 10 …
(4)当自变量x取同一数值时，反映在图象上，相应的两个点之间的位置又有
什么关系
归纳：函数y＝2x2＋2的图象上的点都是由函数
y＝2x2的图象上的相应点向上移动了两个单位.
1
2
3
4
5
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
y
o
-1
-2
-3
-4
-5
-1
y=2x2
y=2x2+2
2．[2024广州期中]关于二次函数y＝－3x2＋5，下列说法中正确的是( )
A．图象的开口向上
B．当x＞－1时，y随x的增大而增大
C．图象的顶点坐标是(0，5)
D．当x＝0时，y有最小值是5
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C
【答案】 A
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返回
【答案】 D
4．在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax2－b与y＝ax＋b(ab≠0)的图象大致为( )
C
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5．[2024东莞南城阳光实验中学一模]已知点(－4，y1)、(－1，y2)、(2，y3)都在函数y＝－x2＋1的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为_________．
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y2>y3>y1
(2)画出平移后的函数图象；
x －4 －2 0 2 4
y －6 0 2 0 －6
其函数图象如图所示：
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(3)直接写出平移后的函数的最大值或最小值及对应的x的值．
【解】平移后的函数的最大值为2，此时x＝0.
二次函数y=ax2+k（a≠0)的图象和性质
图象
性质
与y=ax2的关系
开口方向由a的符号决定；
k决定顶点位置；
对称轴是y轴.
增减性结合开口方向和对称轴才能确定.
平移规律：
k正向上；
k负向下.
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