4.5 三角形的中位线 同步分层作业（含解析）

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4.5 三角形的中位线 同步分层作业
1．如图，在△ABC中，AC＝BC，DE为△ABC的中位线，连接CD．若∠B＝68°，则∠EDC的度数为（　　）
A．20° B．22° C．32° D．34°
2．如图，在△ABC中，AB＝AC＝3，AE⊥BC，垂足为点E，D是AC上一点，连接BD，F是BD的中点，当EF＝1时，AD的长为（　　）
A． B．2 C．1 D．
3．三角形的三条中位线长分别为3cm，4cm，6cm，则原三角形的周长为（　　）
A．6.5cm B．34cm C．26cm D．52cm
4．如图，△ABC中，D、E分别是BC、AC的中点，BF平分∠ABC，交DE于点F，若BC＝6，则DF的长是（　　）
A．3 B．2 C． D．4
5．如图，△DEF的三个顶点D，E，F分别为△ABC三边AB，AC，BC的中点，若△DEF的面积S△DEF＝6，则△ABC的面积为（　　）
A．18 B．20 C．24 D．30
6．如图，在△ABC中，点D，E分别是边BC，AB的中点，若△ABC的面积等于8，则△BDE的面积等于（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
7．在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，如图1，2的两种作辅助线的作法：
作法一：延长DE到点F，使EF＝DE，连接DC，AF，FC． 作法二：过点E作GE∥AB，过点A作AF∥BC，GE与AF交于点F．
其中能够用来证明三角形中位线定理的是（　　）
A．作法一和作法二都可以 B．作法一和作法二都不可以
C．作法一可以，作法二不可以 D．作法一不可以，作法二可以
8．如图，在△ABC中，点D，E，F分别为AB，BC，AC边的中点，AG⊥BC于点G，DE＝5，则线段FG的长为（　　）
A． B． C．5 D．4
9．已知Rt△ABC，∠A＝90°，AB＝5，AC＝12，点E、F分别是AB、AC的中点，则EF＝　 　 ．
10．如图，四边形ABCD中，∠ADC＝90°，取AC的中点O，BC的中点E，连接OD、OE，∠CAD＝∠CAB＝20°，则∠DOE＝　 　 °．
11．如图，CD是△ABC的中线，E，F分别是AC，CD的中点，BD＝4，则EF的长为 　 　 ．
12．如图，点D、E分别为AB，AC的中点，BF平分∠ABC交DE于点F，若AB＝4，BC＝6，则EF＝　 　 ．
13．如图，四边形ABCD为平行四边形，线段AC为对角线，点E、F分别为线段BC、AD的中点，连接EF交AC于点O．
（1）求证：四边形AECF为平行四边形；
（2）若OF＝3，求CD的长．
14．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，点D，E分别是AC，BC的中点，连接DB，DE，过点E作EF∥DB，交AB的延长线于点F．
（1）证明：BF＝DE；
（2）若BD＝5，DE＝3，求BC的长．
15．在等腰三角形ABC中，∠BAC＝80°，AB＝AC＝4，CD平分∠ACB，AE⊥CD于点E，过点E作EF∥BC交AC于点F．
（1）求∠AEF的度数；
（2）若G是BC的中点，连接FG，求FG的长．
16．如图，△ABC中，AB＝8，AD，AE分别是其角平分线和中线，过点C作CG⊥AD于F，交AB于G，连接EF，若EF＝1，则边AC的长度等于（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
17．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠C＝90°，AB＝16，AD＝CD＝10，点M，N分别为BC，AB上的动点（含端点），E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最小值是（　　）
A．4.5 B．4 C．5.5 D．6.5
18．如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，BC的中点，连结DE，点F在DE上，连结FB，FC，若FB⊥FC，BC＝6，DF＝1，则AC的长为　 　 ．
19．如图，△ABC的周长为19，点D，E在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为N，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为M，若BC＝7，则MN的长度为　　 ．
20．如图，在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，AC＝BD，M，P，N分别是边AB，BC，CD的中点，Q是MN的中点．
（1）求证：PQ⊥MN；
（2）判定△OEF的形状．
21．如图，△ABC的周长为a，以它的各边的中点为顶点作△A1B1C1，再以△AB1C1各边的中点为顶点作△A2B2C2，…如此下去，则△AnBn n的周长为（　　）
A．a B．a C．a D．a
22．已知：在四边形ABCD中，AB＝6，CD＝10，M、N分别是AD，BC的中点，则线段MN的取值范围（　　）
A．2＜MN＜8 B．2＜MN≤8 C．4＜MN＜16 D．4＜MN≤16
23．如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，D是BC的中点，AE⊥BE，AB＝8，AC＝5，则DE的长度为　　 ．
24．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是AB中点，点E在AC上．连结DE，且DE平分△ABC的周长．若DE＝2，则BC的长为　 　 ．
25．【问题初探】
（1）全省数学教研活动示范课中，张老师给出如下问题：
如图①所示，四边形ABCD，点M和点N分别是边DC和边AB上的中点，点P是对角线BD的中点，AD＝BC．求证：∠PMN＝∠PNM．
结合图①，写出完整的证明过程．
【问题再探】
（2）张老师又给出如下问题：
如图②所示，如果在一个四边形ABCD中，点P和点Q分别为边AB和边CD的中点，且∠A+∠ABC＝90°，BC＝8，AD＝10，求PQ两点的距离．
26．（1）如图1，在四边形ADBC中，AB与CD相交于点O，AB＝CD，E，F分别是BC，AD的中点，连接EF，分别交DC，AB于点M，N，判断△OMN的形状，并说明理由；
（2）如图2，在四边形ABCD中，AB＝CD，E，F分别是AD，BC的中点，连接FE并延长，分别与BA，CD的延长线交于点M，N．求证：∠BME＝∠CNE．
答案与解析
1．如图，在△ABC中，AC＝BC，DE为△ABC的中位线，连接CD．若∠B＝68°，则∠EDC的度数为（　　）
A．20° B．22° C．32° D．34°
【点拨】根据等腰三角形的性质求出∠A，根据三角形内角和定理求出∠ACB，根据等腰三角形的三线合一求出∠DCB，根据三角形中位线定理得到DE∥BC，根据平行线的性质解答即可．
【解析】解：在△ABC中，AC＝BC，∠B＝68°，
∴∠A＝∠B＝68°，
∴∠ACB＝180°﹣68°×2＝44°，
∵AC＝BC，AD＝DB，
∴∠DCB＝∠ACB＝22°，
∵DE为△ABC的中位线，
∴DE∥BC，
∴∠EDC＝∠DCB＝22°，
故选：B．
【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质，掌握三角形中位线平行于第三边是解题的关键．
2．如图，在△ABC中，AB＝AC＝3，AE⊥BC，垂足为点E，D是AC上一点，连接BD，F是BD的中点，当EF＝1时，AD的长为（　　）
A． B．2 C．1 D．
【点拨】由等腰三角形的性质证得AE＝CE，根据三角形中位线定理得到CD＝2，即可求得答案．
【解析】解：∵AB＝AC＝3，AE⊥BC，
∴AE＝CE，
∵F是BD的中点，
∴EF是△BCD的中位线，
∴EF＝CD，
∵EF＝1，
∴CD＝2，
∴AD＝AC﹣CD＝3﹣2＝1．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质和三角形中位线定理，熟练掌握性质定理是解决问题的关键．
3．三角形的三条中位线长分别为3cm，4cm，6cm，则原三角形的周长为（　　）
A．6.5cm B．34cm C．26cm D．52cm
【点拨】根据三角形中位线定理分别求出三边长，根据三角形的周长公式计算即可．
【解析】解：∵三角形的三条中位线长分别为3cm，4cm，6cm，
∴三角形的三边长分别为6cm，8cm，12cm，
∴原三角形的周长为：6+8+12＝26（cm），
故选：C．
【点睛】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
4．如图，△ABC中，D、E分别是BC、AC的中点，BF平分∠ABC，交DE于点F，若BC＝6，则DF的长是（　　）
A．3 B．2 C． D．4
【点拨】利用中位线定理，得到DE∥AB，根据平行线的性质，可得∠EDC＝∠ABC，再利用角平分线的性质和三角形内角外角的关系，得到DF＝DB，进而求出DF的长．
【解析】解：在△ABC中，D、E分别是BC、AC的中点，
∴DE∥AB，
∴∠EDC＝∠ABC．
∵BF平分∠ABC，
∴∠EDC＝2∠FBD．
在△BDF中，∠EDC＝∠FBD+∠BFD，
∴∠DBF＝∠DFB，
∴FD＝BD＝BC＝×6＝3．
故选：A．
【点睛】本题考查了三角形中位线定理和等腰三角形的判定于性质．三角形的中位线平行于第三边，当出现角平分线，平行线时，一般可构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质解题．
5．如图，△DEF的三个顶点D，E，F分别为△ABC三边AB，AC，BC的中点，若△DEF的面积S△DEF＝6，则△ABC的面积为（　　）
A．18 B．20 C．24 D．30
【点拨】根据三角形中位线定理得到DE∥BC，DE＝BC＝BF，得到四边形DBFE为平行四边形，根据平行四边形的性质计算即可．
【解析】解：∵D，E分别为边AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，DE＝BC＝BF，
∴四边形DBFE为平行四边形，
∴S△DBF＝S△DEF＝6，
同理可得：S△ECF＝S△ADE＝S△DEF＝6，
∴S△ABC＝6×4＝24，
故选：C．
【点睛】本题考查的是三角形中位线定理，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．
6．如图，在△ABC中，点D，E分别是边BC，AB的中点，若△ABC的面积等于8，则△BDE的面积等于（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【点拨】根据三角形的面积公式即可得到结论．
【解析】解：由题意可得：S△ABD＝S△ABC＝4，
∵E是AB的中点，
∴S△BDE＝S△ABD＝4＝2，
故选：A．
【点睛】本题考查了三角形的中线，三角形的面积的计算，正确的识别图形是解题的关键．
7．在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，如图1，2的两种作辅助线的作法：
作法一：延长DE到点F，使EF＝DE，连接DC，AF，FC． 作法二：过点E作GE∥AB，过点A作AF∥BC，GE与AF交于点F．
其中能够用来证明三角形中位线定理的是（　　）
A．作法一和作法二都可以 B．作法一和作法二都不可以
C．作法一可以，作法二不可以 D．作法一不可以，作法二可以
【点拨】根据平行四边形的判定定理和性质定理判断作法一；证明△AEF≌△CEG，根据全等三角形的性质得到AF＝CG，EF＝EG，再根据平行四边形的判定定理和性质定理判断作法二．
【解析】解：作法二：∵AF∥BC，
∴∠EAF＝∠C，∠F＝∠CGF，
在△AEF和△CEG中，
，
∴△AEF≌△CEG（AAS），
∴AF＝CG，EF＝EG，
∵AF∥BG，AB∥FG，
∴四边形ABGF是平行四边形，
∴AB＝FG，
∵BD＝AB，GE＝FG，
∴BD＝EG，AF＝BG，
∵BD∥EG，
∴四边形DBGE是平行四边形，
∴DE∥BG，DE＝BG＝AF＝CG，
∴DE∥BC，DE＝BC；
作法一：∵AE＝EC，DE＝EF，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∴AD＝CF，AD∥CF，
∵AD＝BD，
∴BD＝CF，BD∥CF，
∴四边形DBCF是平行四边形，
∴DF∥BC，DF＝BC，
∴DE∥BC，DE＝DF＝BC；
∴作法一和作法二都可以，
故选：A．
【点睛】本题考查的是三角形中位线定理的证明，掌握平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质是解题的关键．
8．如图，在△ABC中，点D，E，F分别为AB，BC，AC边的中点，AG⊥BC于点G，DE＝5，则线段FG的长为（　　）
A． B． C．5 D．4
【点拨】根据三角形中位线定理求出AC，再根据直角三角形斜边上的中线的性质解答．
【解析】解：∵点D，E分别为AB，BC边的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴，
∵AG⊥BC，点F为AC边的中点，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查三角形的中位线定理和，关键是根据三角形中位线定理求出AC．
9．已知Rt△ABC，∠A＝90°，AB＝5，AC＝12，点E、F分别是AB、AC的中点，则EF＝　6.5　 ．
【点拨】根据勾股定理求出BC，再根据三角形中位线定理计算即可．
【解析】解：在Rt△ABC，∠A＝90°，AB＝5，AC＝12，
由勾股定理得：BC＝＝＝13，
∵点E、F分别是AB、AC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF＝BC＝6.5，
故答案为：6.5．
【点睛】本题考查的是勾股定理、三角形中位线定理，掌握三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．
10．如图，四边形ABCD中，∠ADC＝90°，取AC的中点O，BC的中点E，连接OD、OE，∠CAD＝∠CAB＝20°，则∠DOE＝　60　 °．
【点拨】根据直角三角形的性质、三角形的外角的性质、三角形中位线定理计算即可．
【解析】解：在Rt△ACD中，
∵点O是AC中点，
∴OD＝AO，
∴∠ADO＝∠CAD＝20°，
∴∠DOC＝40°，
∵E为BC的中点，点O是AC中点，
∴OE∥AB，
∴∠COE＝∠CAB＝20°，
∴∠DOE＝60°，
故答案为：60．
【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
11．如图，CD是△ABC的中线，E，F分别是AC，CD的中点，BD＝4，则EF的长为 　2　 ．
【点拨】先利用中位线性质求得，再由中线知AD＝BD，即可解答；
【解析】解：∵E，F分别是AC，CD的中点，
∴EF是△ADC的中位线，
∴EF＝AD，
∵CD是△ABC的中线，
∴AD＝BD＝4，
∴，
故答案为：2．
【点睛】此题考查了三角形的中线和中位线，熟练掌握中位线的性质是解题的关键．
12．如图，点D、E分别为AB，AC的中点，BF平分∠ABC交DE于点F，若AB＝4，BC＝6，则EF＝　1　 ．
【点拨】根据三角形中位线定理得到DE＝BC＝3，DE∥BC，根据角平分线的定义、平行线的性质得到∠DBF＝∠DFB，得到DF＝BD＝2，计算即可．
【解析】解：∵点D、E分别为AB，AC的中点，AB＝4，
∴DE是△ABC的中位线，BD＝AB＝2，
∴DE＝BC＝3，DE∥BC，
∴∠DFB＝∠FBC，
∵BF平分∠ABC，
∴∠DFB＝∠FBC，
∴∠DBF＝∠DFB，
∴DF＝BD＝2，
∴EF＝DE﹣DF＝3﹣2＝1，
故答案为：1．
【点睛】本题主要考查三角形中位线定理，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．
13．如图，四边形ABCD为平行四边形，线段AC为对角线，点E、F分别为线段BC、AD的中点，连接EF交AC于点O．
（1）求证：四边形AECF为平行四边形；
（2）若OF＝3，求CD的长．
【点拨】（1）先根据平行四边形的性质得到AD＝BC，AD∥BC，再证明AF＝CE，然后根据平行四边形的判定方法得到结论；
（2）先根据平行四边形的性质得到OA＝OC，则可判断OF为△ACD的中位线，然后根据三角形中位线定理求解．
【解析】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∵点E、F分别为线段BC、AD的中点，
∴AF＝AD，CE＝BC，
∴AF＝CE，
∵AF∥CE，
∴四边形AECF为平行四边形；
（2）解：∵四边形AECF为平行四边形，
∴OA＝OC，
∵AF＝DF，
∴OF为△ACD的中位线，
∴CD＝2OF＝2×3＝6．
【点睛】本题考查了三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．也考查了平行四边形的判定与性质．
14．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，点D，E分别是AC，BC的中点，连接DB，DE，过点E作EF∥DB，交AB的延长线于点F．
（1）证明：BF＝DE；
（2）若BD＝5，DE＝3，求BC的长．
【点拨】（1）根据点D，E分别是AC，BC的中点，得出DE是△ABC的中位线，从而证明四边形BDEF是平行四边形，即可证明；
（2）根据直角三角形的性质得出．AC＝10．根据三角形的中位线定理得出AB＝6．在Rt△ABC中，由勾股定理即可求解．
【解析】（1）证明：∵点D，E分别是AC，BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴．
又∵EF∥DB，
∴四边形BDEF是平行四边形，
∴BF＝DE．
（2）解：∵点D是AC的中点，∠ABC＝90°，
∴．
又∵BD＝5，
∴AC＝10．
∵DE＝3，
∴AB＝6．
在Rt△ABC中，由勾股定理，得．
【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理，勾股定理，平行四边形的判定与性质，熟练掌握三角形中位线定理是解题关键．
15．在等腰三角形ABC中，∠BAC＝80°，AB＝AC＝4，CD平分∠ACB，AE⊥CD于点E，过点E作EF∥BC交AC于点F．
（1）求∠AEF的度数；
（2）若G是BC的中点，连接FG，求FG的长．
【点拨】（1）由角平分线的定义，平行线的性质，直角三角形的性质可得∠EAC＝∠AEF，进而解答即可．
（2）由角平分线的定义及平行线的性质可得∠ACD＝∠FEC，即可证明EF＝CF，再利用直角三角形的性质可证明AF＝CF，即可得GF是△ABC的中位线，进而可证明结论．
【解析】解：（1）∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCD，
∵EF∥BC，
∴∠FEC＝∠BCD，
∴∠ACD＝∠FEC，
∴EF＝CF，
∵AE⊥CD，
∴∠AEC＝90°，
∴∠EAC+∠ACD＝90°，∠AEF+∠FEC＝90°，
∴∠EAC＝∠AEF，
∵∠BAC＝80°，AB＝AC＝4，
∴∠ACB＝∠ABC＝50°，
∵EF∥BC，
∴∠AFE＝50°，
∴∠AEF＝∠EAC＝65°；
（2）∵∠EAC＝∠AEF，
∴AF＝EF，
∴AF＝CF，
∵G是BC的中点，
∴GF是△ABC的中位线，
∴FG＝AB＝＝2．
【点睛】本题主要考查角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定，直角三角形的性质，三角形的中位线等知识的综合运用，证明GF是△ABC的中位线是解题的关键．
16．如图，△ABC中，AB＝8，AD，AE分别是其角平分线和中线，过点C作CG⊥AD于F，交AB于G，连接EF，若EF＝1，则边AC的长度等于（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
【点拨】判定△AGC是等腰三角形，推出FG＝FC，得到EF是△CBG的中位线，推出BG＝2EF＝2，求出AG＝6，即可得到AC的长．
【解析】解：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵CG⊥AD，
∴∠AFG＝∠AFC，
∴∠AGC＝∠ACG，
∴AG＝AC，
∵AD⊥CG，
∴FG＝FC，
∵AD是△ABC的中线，
∴BE＝CE，
∴EF是△CBG的中位线，
∴BG＝2EF＝2，
∴AG＝AB﹣BG＝8﹣2＝6，
∴AC＝AG＝6．
故选：C．
【点睛】本题考查三角形中位线定理，等腰三角形的性质，关键是判定△AGC是等腰三角形，由等腰三角形的性质推出CF＝FG，判定EF是△CBG的中位线．
17．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠C＝90°，AB＝16，AD＝CD＝10，点M，N分别为BC，AB上的动点（含端点），E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最小值是（　　）
A．4.5 B．4 C．5.5 D．6.5
【点拨】作DH⊥AB于H，连接DN，得到BH＝CD＝5，得到AH＝3，根据勾股定理求出DH，根据三角形中位线定理解答．
【解析】解：作DH⊥AB于H，连接DN，
则四边形DHBC为矩形，
∴BH＝CD＝10，
∴AH＝6，
∵E、F分别为DM、MN的中点，
∴EF＝DN，
在Rt△ADH中，DH＝＝8，
当点N与点H重合，DN最小，此时EF最小，
∴EF长度的最小值＝DN＝4，
故选：B．
【点睛】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
18．如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，BC的中点，连结DE，点F在DE上，连结FB，FC，若FB⊥FC，BC＝6，DF＝1，则AC的长为　8　 ．
【点拨】根据直角三角形斜边上的中线的性质求出EF，进而求出DE，再根据三角形中位线定理解答即可．
【解析】解：∵FB⊥FC，
∴∠BFC＝90°，
∵E是边BC的中点，BC＝6，
∴EF＝BC＝3，
∴DE＝DF+EF＝4，
∵点D，E分别是边AB，BC的中点，
∴AC＝2DE＝8，
故答案为：8．
【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形斜边上的中线的性质，熟记三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．
19．如图，△ABC的周长为19，点D，E在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为N，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为M，若BC＝7，则MN的长度为　　 ．
【点拨】证明△BNA≌△BNE，得到BA＝BE，即△BAE是等腰三角形，同理△CAD是等腰三角形，根据题意求出DE，根据三角形中位线定理计算即可．
【解析】解：∵BN平分∠ABC，BN⊥AE，
∴∠NBA＝∠NBE，∠BNA＝∠BNE，
在△BNA和△BNE中，
．
∴△BNA≌△BNE（ASA），
∴BA＝BE，
∴△BAE是等腰三角形，
同理△CAD是等腰三角形，
∴点N是AE中点，点M是AD中点（三线合一），
∴MN是△ADE的中位线，
∵BE+CD＝AB+AC＝19﹣BC＝19﹣7＝12，
∴DE＝BE+CD﹣BC＝5，
∴MN＝DE＝．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
20．如图，在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，AC＝BD，M，P，N分别是边AB，BC，CD的中点，Q是MN的中点．
（1）求证：PQ⊥MN；
（2）判定△OEF的形状．
【点拨】（1）连接PM，PN，由三角形中位线定理可证明△PMN是等腰三角形，再由等腰三角形的性质即可证明PQ⊥MN；
（2）△OEF的形状是等腰三角形，由（1）中的条件可证明∠PMN＝∠EFO，∠OEF＝∠FNP，又因为∠PMN＝∠PNM，所以∠EFO＝∠OEF，所以△OEF是等腰三角形．
【解析】（1）证明：
∵M，P分别是边AB，BC的中点，
∴AM＝BM，BP＝CP，
∴PM＝AC
∵DN＝CN，BP＝CP，
∴PN＝BD．
又∵AC＝BD，
∴PM＝PN，
∴P在MN的中垂线上，
∵MQ＝NQ，
∴PQ⊥MN；
（2）△OEF的形状是等腰三角形，
理由如下：
∵PM∥AC，
∴∠PMN＝∠EFO，
∵PN∥BD，
∴∠OEF＝∠FNP，
又∵∠PMN＝∠PNM，
∴∠EFO＝∠OEF，
∴△OEF的形状是等腰三角形．
【点睛】本题考查了三角形中位线定理、等腰三角形的判定和性质，解题的关键是正确添加辅助线，利用三角形中位线定理证明PM＝PN．
21．如图，△ABC的周长为a，以它的各边的中点为顶点作△A1B1C1，再以△AB1C1各边的中点为顶点作△A2B2C2，…如此下去，则△AnBn n的周长为（　　）
A．a B．a C．a D．a
【点拨】根据三角形中位线定理得到△A1B1C1的周长＝a，△A2B2C2的周长＝a＝a，总结规律，根据规律解答即可．
【解析】解：∵点A1、B1、C1分别为BC、AC、AB的中点，
∴B1C1＝BC，A1C1＝AC，A1B1＝AB，
∴△A1B1C1的周长＝a，
同理，△A2B2C2的周长＝a＝a，
……
则△AnBn n的周长＝a，
故选：A．
【点睛】本题考查的是三角形中位线定理，正确找出三角形的周长的变化规律是解题的关键．
22．已知：在四边形ABCD中，AB＝6，CD＝10，M、N分别是AD，BC的中点，则线段MN的取值范围（　　）
A．2＜MN＜8 B．2＜MN≤8 C．4＜MN＜16 D．4＜MN≤16
【点拨】当AB∥CD时，MN最短，利用中位线定理可得MN的最长值，作出辅助线，利用三角形中位线及三边关系可得MN的其他取值范围．
【解析】解：连接BD，过M作MG∥AB，连接NG．
∵M是边AD的中点，AB＝6，MG∥AB，
∴MG是△ABD的中位线，BG＝GD，MG＝AB＝×6＝3．
∵N是BC的中点，BG＝GD，CD＝10，
∴NG是△BCD的中位线，NG＝CD＝×10＝5，
在△MNG中，由三角形三边关系可知NG﹣MG＜MN＜MG+NG，即5﹣3＜MN＜5+3，
∴2＜MN＜8，
当MN＝MG+NG，即MN＝8时，四边形ABCD是梯形，
故线段MN长的取值范围是2＜MN≤8．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理，解答此题的关键是根据题意作出辅助线，利用三角形中位线定理及三角形三边关系解答．
23．如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，D是BC的中点，AE⊥BE，AB＝8，AC＝5，则DE的长度为　　 ．
【点拨】延长AC，BE，相交于点F，证明△ABE≌△AFE，得出BE＝EF，AB＝AF，然后利用三角形中位线定理求解即可．
【解析】解：延长AC，BE，相交于点F，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠FAE，
∵AE⊥BE，
∴∠AEB＝∠AEF＝90°，
又AE＝AE，
∴△ABE≌△AFE（ASA），
∴BE＝EF，AB＝AF，
∵AB＝8，AC＝5，
∴CF＝AF﹣AC＝AB﹣AC＝3，
∵D是BC的中点，BE＝EF，
∴DE是△BCF的中位线，
∴DE＝CF＝．
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形中位线定理，全等三角形的判定与性质等知识，正确进行计算是解题关键．
24．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是AB中点，点E在AC上．连结DE，且DE平分△ABC的周长．若DE＝2，则BC的长为　2　 ．
【点拨】延长AC至F，使得CF＝BC，根据勾股定理求出AF，根据题意得到E是BF的中点，根据三角形中位线定理计算，得到答案．
【解析】解：延长AC至F，使得CF＝BC，
∵∠ACB＝90°，
∴∠BCF＝90°，
在Rt△BCF中，BF＝＝BC，
∵D是AB边中点，DE平分△ABC的周长，
∴BC+CE＝AE，
∴EF＝EA，即E是AF的中点，
∵D为AB的中点，
∴DE是△ABF的中位线，
∴DE＝BF，即BF＝2DE＝4，
∴BF＝BC＝4，
∴BC＝2．
故答案为：2．
【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、勾股定理的运用，掌握三角形中位线定理，正确作出辅助线是解题的关键．
25．【问题初探】
（1）全省数学教研活动示范课中，张老师给出如下问题：
如图①所示，四边形ABCD，点M和点N分别是边DC和边AB上的中点，点P是对角线BD的中点，AD＝BC．求证：∠PMN＝∠PNM．
结合图①，写出完整的证明过程．
【问题再探】
（2）张老师又给出如下问题：
如图②所示，如果在一个四边形ABCD中，点P和点Q分别为边AB和边CD的中点，且∠A+∠ABC＝90°，BC＝8，AD＝10，求PQ两点的距离．
【点拨】（1）如图①，利用中位线定理得到，，由AD＝BC得到PM＝PN，即可得到结论；
（2）如图②，连接BD，取BD的中点G，连接PG，QG，由三角形中位线定理得到PG＝5，QG＝4，PG∥AD，则∠BPG＝∠A，∠DGQ＝∠DBC，进一步得到∠PGQ＝90°，根据勾股定理即可得到．
【解析】（1）证明：∵点P，N分别是BD，AB的中点，
∴PN是△ABD的中位线，
∴，
∵点P，M分别是BD，CD的中点，
∴PM是△BCD的中位线，
∴，
∵AD＝BC，
∴PM＝PN，
∴∠PMN＝∠PNM；
（2）解：如图②，连接BD，取BD的中点G，连接PG，QG，
∵点P，G分别是AB，BD的中点，
∴PG是△ABD的中位线，
∴，
同理：QG是△BCD的中位线，
∴，
∵PG是△ABD的中位线，
∴PG∥AD，
∴∠BPG＝∠A，
∵QG是△BCD的中位线，
∴QG∥BC，
∴∠DGQ＝∠DBC，
∴∠PGQ＝∠PGD+∠DGQ＝∠BPG+∠ABD+∠DBC＝∠BPG+∠ABC＝∠A+∠ABC，
∵∠A+∠ABC＝90°，
∴∠PGQ＝90°，
根据勾股定理得，．
【点睛】此题考查了三角形中位线定理、勾股定理，掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
26．（1）如图1，在四边形ADBC中，AB与CD相交于点O，AB＝CD，E，F分别是BC，AD的中点，连接EF，分别交DC，AB于点M，N，判断△OMN的形状，并说明理由；
（2）如图2，在四边形ABCD中，AB＝CD，E，F分别是AD，BC的中点，连接FE并延长，分别与BA，CD的延长线交于点M，N．求证：∠BME＝∠CNE．
【点拨】（1）作出两条中位线，根据中位线定理，找到相等的同位角和线段，进而判断出三角形的形状．
（2）连接BD，取DB的中点H，连接EH，FH，根据三角形中位线定理得到EH∥AB，EH＝AB，根据平行线的性质证明．
【解析】解：（1）△OMN是等腰三角形，理由如下：
如图，取BD的中点H，连接HE，HF，
∵E，F分别是BC，AD的中点，
∴HF∥AB，HE∥CD，，，
∵AB＝CD，
∴HF＝HE，
∴∠HFE＝∠HEF，
∵HF∥AB，HE∥CD，
∴∠HFE＝∠ONM，∠HEF＝∠OMN，
∴∠ONM＝∠OMN，
∴OM＝ON，
∴△OMN是等腰三角形．
（2）如图，连接BD，取BD的中点H，连接HE，HF，
∴HF∥CN，HE∥BM，，，
∵AB＝CD，
∴HF＝HE，
∴∠HEF＝∠HFE，
∵HF∥CN，HE∥BM，
∴∠HEF＝∠BME，∠HFE＝∠CNE，
∴∠BME＝∠CNE．
【点睛】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
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培优拔尖
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