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专题5.3.1 正方形（一）九大题型（一课一讲）
（内容：正方形的性质及其应用）
【浙教版】
题型一：正方形性质的理解
【经典例题1】（24-25八年级下·全国·课后作业）正方形具有而菱形不一定具有的特征是（ ）
A．对边互相平行 B．对角线互相垂直平分
C．是中心对称图形 D．有条对称轴
【答案】D
【分析】本题考查了正方形和菱形的性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．
根据正方形和菱形的性质逐项判断即可．
【详解】解：A、菱形和正方形的对边都互相平行，故A选项不符合题意；
B、正方形的对角线是相等平分且垂直，菱形的对角线是垂直且互相平分，故B选项不符合题意；
C、正方形和菱形都是中心对称图形，故C选项不符合题意；
D、正方形有条对称轴，菱形有条对称轴，故D选项符合题意；
故选：D．
【变式训练1-1】（24-25八年级下·重庆·期中）下列说法正确的是（ ）
A．矩形的对角线互相垂直平分 B．菱形的对角线相等
C．正方形的对角线平分一组对角 D．平行四边形的对角线互相垂直
【答案】C
【分析】本题考查矩形，菱形，正方形，平行四边形的性质，根据矩形，菱形，正方形，平行四边形的性质逐一进行判断即可．
【详解】解：A、菱形的对角线互相垂直平分，原说法错误，不符合题意；
B、矩形的对角线相等，原说法错误，不符合题意；
C、正方形的对角线平分一组对角，原说法正确，符合题意；
D、菱形的对角线互相垂直，原说法错误，不符合题意；
故选C．
【变式训练1-2】（24-25八年级·甘肃白银·期中）下列性质中正方形具有而菱形没有的是（ ）
A．对角线互相平分 B．对角线相等
C．对角线互相垂直 D．一条对角线平分一组对角
【答案】B
【分析】本题主要考查了正方形的性质，菱形的性质，根据正方形和菱形的性质解题即可．
【详解】解：A、菱形和正方形的对角线都互相平分，不符合题意；
B、正方形的对角线都相等，菱形的对角线不一定相等，符合题意；
C、正方形与菱形的对角线都互相垂直，不符合题意；
D、菱形和正方形的一条对角线都平分一组对角，不符合题意；
故选：B．
【变式训练1-3】（24-25八年级下·浙江嘉兴·阶段练习）下列说法中，正确的是（ ）
A．平行四边形既是中心对称图形又是轴对称图形 B．菱形的对角线相等
C．矩形是轴对称图形且有四条对称轴 D．正方形的对角线互相垂直平分且相等
【答案】D
【分析】本题主要考查了中心对称图形的定义，轴对称图形的定义，菱形的性质、正方形的性质，据此相关性质内容进行逐项分析，即可作答．
【详解】解：A、平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形，故该选项是错误的；
B、菱形的对角线互相垂直且平分，不一定相等，故该选项是错误的；
C、矩形是轴对称图形且有两条对称轴，故该选项是错误的；
D、正方形的对角线互相垂直平分且相等．故该选项是正确的；
故选：D．
【变式训练1-4】（24-25八年级·山东青岛·期末）下列命题错误的是（ ）
A．正方形的对角线互相垂直 B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
C．对角线相等的四边形是矩形 D．菱形的四条边相等
【答案】C
【分析】本题考查的是平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定和性质定理，掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理是解题的关键．
根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理判断即可．
【详解】解：A、正方形的对角线互相垂直，正确，不符合题意；
B、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，正确，不符合题意；
C、对角线相等的平行四边形是矩形，故本选项错误，符合题意；
D、菱形的四条边相等，正确，不符合题意；
故选：C．
【变式训练1-5】（24-25八年级·江西吉安·期末）下列命题中正确的是（ ）
A．正方形的面积等于对角线平方的一半
B．邻边相等的平行四边形是正方形
C．对角线互相垂直的四边形是菱形
D．矩形的对角线相等且互相垂直
【答案】A
【分析】本题考查了特殊平行四边形的判定与性质，命题与定理，利用菱形、正方形的判定方法、矩形的性质及正方形的性质分别判断后即可确定正确的选项，掌握相关知识的应用是解题的关键．
【详解】、正方形的面积等于对角线平方的一半，故该选项正确，符合题意；
、邻边相等的平行四边形是菱形，故该选项不正确，不符合题意；
、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故该选项不正确，不符合题意；
、矩形的对角线相等且互相平分，故该选项不正确，不符合题意；
故选：．
【变式训练1-6】（24-25八年级·贵州六盘水·期中）正方形具有而矩形没有的性质是（ ）
A．对角线互相平分 B．对边相等
C．对角线相等 D．对角线互相垂直
【答案】D
【分析】本题主要考查了正方形和矩形的性质，熟练掌握正方形和矩形的性质是解题的关键．根据正方形对角线相互垂直平分相等的性质和矩形对角线平分相等性质的比较就可以判断．
【详解】解：根据题意得：正方形对角线相互垂直平分相等，矩形对角线平分相等性质，
∴正方形具有而矩形没有的性质是对角线互相垂直．
故选：D．
题型二：根据正方形的性质求角度
【经典例题2】（24-25八年级下·天津滨海新·期中）如图，延长正方形边至点E，使，则为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角性质，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．
连接，根据题意可得，则，由外角的性质可得：，即可求解．
【详解】解：连接，
∵四边形是正方形，
∴，且，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
故选：A．
【变式训练2-1】（24-25八年级下·天津滨海新·期中）如图所示，在正方形的外部作等边三角形，连接，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了正方形和等边三角形的性质，等边对等角等知识点，解题的关键是熟练掌握正方形和等边三角形的性质．
利用正方形和等边三角形的性质得出的度数，再利用等边对等角求出的度数，利用角的和差进行求解即可．
【详解】解：∵四边形是正方形，三角形是等边三角形，
，,
故选：C．
【变式训练2-2】（24-25八年级下·湖北黄石·期中）如图，在正方形的外侧，作等边三角形，则为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查正方形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，根据正方形的性质，等边三角形的性质，推出，，等边对等角，进行求解即可．
【详解】解：在正方形的外侧，作等边三角形，
则：，
∴，
∴；
故选：B．
【变式训练2-3】（24-25八年级·黑龙江绥化·阶段练习）如图，正方形中，以为边向外作等边三角形，连接，则度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查正方形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理．熟练掌握正方形和等边三角形的性质，能根据题意画出图形，通过进行分类讨论得出结果是解题的关键．由正方形和等边三角形的性质容易得出，易证，求出，由等边对等角结合三角形内角和定理求出，再根据即可得到结果．
【详解】解：∵四边形正方形，是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：B．
【变式训练2-4】（24-25八年级下·福建莆田·期中）如图，在正方形 中， 为对角线 上一点，连接 ，若，则的度数为 ．
【答案】
【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质，掌握正方形的性质，全等三角形的判定和性质是关键．根据正方形的性质得到，由三角形外角的性质得到，再证明，即可求解．
【详解】解：∵四边形是正方形，是对角线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴ ，
故答案为： ．
【变式训练2-5】（24-25八年级下·北京西城·阶段练习）如图，在正方形中，点，，分别在边，，上．若，，，则的度数为 （用含的式子表示）．
【答案】
【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，取的中点，连接，可得，进而利用正方形的性质证明，得到，即得，得到，即可得，再根据即可求解，正确作出辅助线是解题的关键
【详解】解：如图，取的中点，连接，则，．
∵，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，，，，
∵，，
∴四边形四平行四边形，
又∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故答案为：．
【变式训练2-6】（24-25八年级·四川成都·期末）如图，在正方形的对角线上取点E使，连接，过点E作交BC于点F，则的大小为 ．
【答案】
【分析】此题重点考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识，证明是解题的关键．
由四边形是正方形，得，则，，，而，则，，所以可证明，得，则，于是得到问题的答案．
【详解】解：∵四边形是正方形，，
∴，，
∴，，，
∵，
∴， ，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
题型三：根据正方形的性质求线段长度
【经典例题3】（24-25八年级·山东青岛·期末）如图，正方形，点为边上一点，，．的平分线交于点，点是的中点，则的长为（ ）
A．2 B．2.5 C．3 D．3.5
【答案】B
【分析】延长交的延长线于点，根据正方形的性质得，，，则，根据角平分线的定义及平行线的性质得，则，进而得，证明和全等得，则是的中位线，然后根据三角形中位线定理可得出的长．
【详解】解：延长交的延长线于点，如图所示：
，，
，
四边形为正方形，
，，，
在中，由勾股定理得：，
平分，
，
，
，，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
点是的中点，
是的中位线，
．
故选：B．
【变式训练3-1】（24-25八年级下·江苏苏州·期中）如图，正方形边长为6，点在上，点在上，且分别是的中点，连接，则长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了正方形的性质，三角形的中位线定理，勾股定理，熟练掌握各知识点是解题的关键．连接，取中点，连接，并延长交于点，可得为的中位线，则，再由勾股定理求解．
【详解】解：连接，取中点，连接，并延长交于点，
∵四边形为正方形，
∴，
∵，
∴，
∵分别是的中点，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
【变式训练3-2】（24-25八年级下·广东广州·阶段练习）小明在学习了勾股定理的证明后，尝试制作了四个全等三角形纸板，并拼出一个新图形，如图所示，若，则正方形的周长为（ ）
A．14 B．17 C．20 D．24
【答案】C
【分析】本题考查勾股定理、正方形的性质，先设每个三角形的长直角边为，短直角边为，然后根据题意和图形可以得到，然后求出的值，再根据勾股定理即可求得的长，最后根据正方形的周长边长计算即可．解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
【详解】解：设每个三角形的长直角边为，短直角边为，
由题意可得，解得，
∴，
∴正方形的周长为，
故选：C．
【变式训练3-3】（24-25八年级·吉林长春·阶段练习）如图，将一个正方形纸片沿图中虚线剪成四部分，恰能拼成一个没有缝隙且不重叠的等腰三角形，则这个等腰三角形的底边长与正的方形的边长比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查一元二次方程与图形有关的应用，解此题的关键在于将等腰三角形拆解拼成另一个没有缝隙的矩形，再利用面积相等得到相关边的长度关系．
如图，等腰三角形纸片沿图中虚线剪成四块图形，能拼成一个没有缝隙的正方形和矩形，根据题意得，设，求出，进而求出正方形的边长与等腰三角形的底边长的比．
【详解】解：如图，等腰三角形纸片沿图中虚线剪成四块图形，能拼成一个没有缝隙的正方形和矩形，
设，
根据题意，得，
解得，（负值舍去），
∴正方形的边长与等腰三角形的底边长的比为：
；
故选：D
【变式训练3-4】（2025八年级下·山西·专题练习）如图，在矩形中，无重叠放入面积分别为和的两张正方形纸片，则矩形中空白部分的较短的边长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了二次根式的性质，正方形的性质，先根据正方形的面积求出边长，再相减即可求解．
【详解】解：两张正方形纸片的面积分别为和，
它们的边长分别为，，
矩形中空白部分的较短的边长为，
故选：D．
【变式训练3-5】（天津市河西区2024-2025学年八年级下学期4月期中数学试题）如图，正方形的边长为4，点E在边上，，作等腰直角三角形．
（Ⅰ）的长 ．
（Ⅱ）若M为的中点，连接，则的为 ．
【答案】 /
【分析】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，三角形中位线定理，正确作出辅助线构造全等三角形和直角三角形是解题的关键．
（Ⅰ）在上取一点，使，构造等腰直角、通过证明，从而可得，利用勾股定理求出的长即可得到答案；
（Ⅱ）延长交延长线于点，可得等腰直角，为的中位线，求出的长，进而求出的长即可解题．
【详解】解：（Ⅰ）在上取一点，使，连接，
在正方形的边长为4，
∴，，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
又∵在等腰直角中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：；
（Ⅱ）如图所示，延长交延长线于点，
由（1）得，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
故答案为：．
【变式训练3-6】（24-25八年级下·广西南宁·期中）如图，在正方形中，，点F是边上一点，点E是延长线上一点，，．连接、、，与对角线相交于点G，则线段的长是 ．
【答案】
【分析】过点作交于，利用证明，可得，，证得是等腰直角三角形，由，可得，，运用勾股定理可得，再证明是等腰直角三角形，可得，进而证得，再运用直角三角形的性质即可求得答案．
【详解】解：过点作交于，
四边形是正方形，
，，，
，
，
，
，
，，
，
，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，，
又，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【变式训练3-7】（24-25八年级下·江苏南京·阶段练习）如图，点O为正方形对角线的中点，连接并延长至点E，连接，若为等边三角形，，则的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，等边三角形的性质，解答本题的关键是熟练掌握相关性质定理．由四边形是正方形，得，，，利用勾股定理求出的长度，再利用等边三角形的性质，勾股定理，线段和差即可解决问题．
【详解】解：四边形是正方形，点O为的中点
，，
在中，由勾股定理得：
为等边三角形
，
在中，由勾股定理得：
故答案为：．
题型四：根据正方形的性质求面积
【经典例题4】（2025·陕西西安·一模）如图，正方形的边在正方形的边上，边在下方，连接，若，则四边形（阴影部分）的面积为（ ）
A．8 B．6 C．4 D．3
【答案】C
【分析】本题考查了正方形的性质，熟练掌握正方形的四边相等是解题的关键．由正方形的性质可得，，由梯形的面积公式即可求解．
【详解】解：四边形和四边形都是正方形，
，，
四边形（阴影部分）的面积．
故选：C．
【变式训练4-1】（24-25八年级下·贵州黔东南·阶段练习）如图，从一个大正方形中裁去面积为和的两个小正方形，则余下部分的面积为（ ）．
A．98 B．60 C．48 D．38
【答案】C
【分析】本题主要考查二次根式的应用，正方形的性质，熟练掌握二次根式的化简以及运算是解决本题的关键．由题意可知：，，从而求出的长度，根据正方形的性质得到，，利用求出结果即可．
【详解】解：如图．
由题意可知：，，
，，
∵四边形是正方形，四边形是正方形，
，，
，
故选：C．
【变式训练4-2】（2025·湖南·模拟预测）如图，四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大的正方形，连接．若，则的面积为 ．
【答案】
【分析】此题重点考查全等三角形的性质、正方形的性质，由全等三角形的性质得，，则，根据面积分割法即可解答．熟练利用全等三角形的性质是解题的关键．
【详解】解：，
，，
四边形是正方形，
，，
，
故答案为：．
【变式训练4-3】（24-25八年级下·江苏南通·阶段练习）如图，正方形是小明用木条制作的一个学具，在取放学具时，学具发生了形变，此时，则变形后四边形的面积与原正方形面积之比为 ．
【答案】
【分析】本题考查了正方形的性质，菱形的判定与性质，含角直角三角形的性质．正确添加辅助线是解题的关键．过点作于点，则可得四边形为菱形，，设，则，即可计算菱形的面积，继而求解．
【详解】解：过点作于点，
四边形是正方形，
，
由题意可得，
四边形为菱形，
，
设，
，
，
，
而，
，
变形后四边形的面积与原正方形面积之比为．
故答案为：．
【变式训练4-4】（24-25八年级下·山西大同·阶段练习）如图，正方形的面积为8，正方形的面积为32，则阴影部分的面积为 ．
【答案】12
【分析】本题主要考查了二次根式的应用，正方形的性质，三角形的面积．关键是把阴影部分面积转化为正方形与三角形的面积进行计算．根据正方形的面积公式求得边长；再求出直角三角形、的面积，然后用两个正方形的面积减去两个直角三角形的面积，即可得解．
【详解】解：正方形的边长为，正方形的边长为，
，
，
又，
，
故答案为：．
【变式训练4-5】（24-25八年级·甘肃武威·期末）如图，中，．分别以为边在的同侧作正方形，四块阴影部分的面积分别为，则等于 ．
【答案】12
【分析】本题考查正方形和直角三角形，熟练掌握正方形的性质，全等三角形的性质与判定，平行四边形判定和性质，矩形判定和性质，是解题关键．
过F作的垂线交于D，连接，证明得到，再证明，得到，进一步证明，，则可证明，由此求解即可．
【详解】解：过F作于点D，连接，则，
设和的交点为T，和的交点为K，
∵，
∴，
∵，
∴ ，
∴，，
∴，
∵
∴，
∴．
由，可得：，
∵，
∴，
即，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴是矩形，
∴，
∴，
∴，
同理可证，，
∴，，
∴
．
故答案为：12．
题型五：正方形的性质中坐标问题
【经典例题5】（24-25八年级下·新疆阿克苏·期中）如图，正方形的顶点B、C的坐标分别为，，则点A的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质和点的坐标，解题关键是构建全等三角形，利用全等三角形对应边相等求出点的坐标．
【详解】解：作，垂足为E，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∵B、C的坐标分别为，，
∴，，
点A的坐标为；
故选：C．
【变式训练5-1】（2025·湖北襄阳·一模）如图，将正方形放在平面直角坐标系中，O是原点，A的坐标为，则点C的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】如图作轴于F，x轴于E，先证明，推出，由此即可解决问题．此题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定及性质和点的坐标，掌握正方形的性质和构造全等三角形的方法是解决此题的关键．
【详解】解：如图作轴于F，轴于E．
∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵A的坐标为，
∴，
∴点C坐标，
故选：A．
【变式训练5-2】（2025·河南驻马店·一模）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在轴上，在轴上，点与坐标原点重合．动点从点出发，按顺时针方向在正方形的边上匀速运动，速度为每秒个单位长度，已知，设点的运动时间为秒，当存在且为锐角三角形时，的值可以是下列中的（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】题目主要考查正方形的性质及相应的规律问题，理解题意，找出相应规律是解题关键；
根据选项中的时间，分别计算路程，确定点位置，根据规律，进而求解；
【详解】解：正方形的边，故周长为，
当秒时，动点运动的路程为 (个单位长度)
，
所以动点从点出发，按顺时针方向在正方形的边上匀速运动，运动秒后，点在点上，构不成，不满足题意；
当，动点运动的路程为，
，
所以动点从点出发，按顺时针方向在正方形的边上匀速运动，运动秒后，点在点上，此时为直角三角形，不满足题意；
当，动点运动的路程为；
，
所以动点从点出发，按顺时针方向在正方形的边上匀速运动，运动秒后，点在边上，满足题意；
当，动点运动的路程为，
，
所以动点从点出发，按顺时针方向在正方形的边上匀速运动，运动秒后，点在边上，此时为直角三角形，不满足题意；
故选：C
【变式训练5-3】（24-25八年级下·重庆·开学考试）如图，正方形的边长为1，与点O相对的顶点B坐标为，以对角线为边作第二个正方形，与点O相对的顶点D的坐标为，再以对角线为边作第三个正方形，与点O相对的顶点F的坐标为，如此下去，则第个正方形中与点O相对的顶点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了点的坐标变化规律，正方形的性质，根据题意得出每变换8次，点O相对顶点所在的方向线位置重复，再根据每次变换后，对角线的长变为上一次的倍即可求解，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：由题知，，
∴每变换8次，点O相对顶点所在的方向线位置重复，
又∵余2，
∴第个正方形中与点O相对的顶点在上，即在y轴上，
又∴每次变换后，对角线的长变为上一次的倍，
∴第个正方形中含点O的对角线长为，
∴第个正方形中与点O相对的顶点的坐标为，
故选：
【变式训练5-4】（24-25八年级下·广西南宁·期中）如图，正方形，正方形，正方形的顶点A，，和O，C，，分别在一次函数的图象和x轴上，则的坐标是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查平面直角坐标与图形的规律计算，掌握一次函数与几何图形的综合运用，找出规律是解题的关键．
根据题意得到，，同理，，，则点的横坐标的规律是：，纵坐标的规律是：，由此即可求解．
【详解】解：一次函数，令，则，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
当时，，
∴，
∵是正方形，
∴，
∴，
同理，，，
∴点的横坐标的规律是：，纵坐标的规律是：，
∴，
故答案为：．
【变式训练5-5】（24-25八年级下·江苏无锡·阶段练习）如图所示，，，延长至D，使，四边形为正方形，连接交于M，则点的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查了中点的坐标公式、正方形的性质、三角形全等的判定与性质等知识，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．先根据中点的坐标公式可得，再过点作轴于点，过点作，交延长线于点，证出，根据全等三角形的性质可得，，从而可得点的坐标，然后证出，根据全等三角形的性质可得，根据中点的坐标公式即可得．
【详解】解：设点的坐标为，
∵，，，
∴，解得，
∴，
如图，过点作轴于点，过点作，交延长线于点，
∴，，
∴，
∵四边形为正方形，
∴，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，即点是的中点，
又∵，，
∴点的坐标为，即为，
故答案为：．
【变式训练5-6】（24-25八年级下·山东泰安·期中）在平面直角坐标系中，正方形的一个顶点的坐标为，则正方形顶点A的坐标是 ．
【答案】
【分析】本题考查了正方形的性质、坐标与图形、三角形全等的判定与性质，作轴，轴，则，证明，得出，，即可求解．
【详解】解：如图，作轴，轴，则，
，
∵顶点的坐标为，
∴，，
∵四边形为正方形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
故答案为：．
题型六：正方形的性质中折叠问题
【经典例题6】（2025八年级下·全国·专题练习）如图，将边长为的正方形纸片折叠，使点D落在边中点E处，点C落在点Q处，折痕为，则线段的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查折叠问题；找到相应的直角三角形利用勾股定理求解是解决本题的关键．根据是直角三角形利用勾股定理求解即可．
【详解】解：由折叠可得，设，则，
∵，
∴，
解得：，
即线段的长是．
故选：A．
【变式训练6-1】（24-25八年级下·河南驻马店·阶段练习）如图，正方形中，，为边上一动点（不与，重合）．将沿翻折至，延长交于点，刚好是边的三等分点，则的长为（ ）
A． B．3 C．2或3 D．或3
【答案】D
【分析】根据正方形的性质和折叠的性质，证明，进而得到，由是的三等分点可得或，则可求出的长，在中有勾股定理建立方程求解即可．
【详解】解：连接，
由正方形和折叠的性质可得，且，
，
，
，
当点G是靠近点B的三等分点时，
，
，
设，则，，
在中，由勾股定理得：，
解得：，即．
当点G是靠近点C的三等分点时，
，
，
设，则，，
在中，由勾股定理得：，
解得：，即．
故选：D．
【变式训练6-2】（24-25八年级下·新疆乌鲁木齐·阶段练习）如图，四边形是边长为9的正方形纸片，将其沿折叠，使点落在边上的处，点的对应点为，且，则的长是（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，正方形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．连接，，根据折叠的性质可得，再由线段的和差可得，然后在和中由勾股定理得到，，将，和代入计算即可求得的值．
【详解】解：连接，，如图，
在中，，
在中，
根据折叠的性质可知，，
，
四边形是边长为9的正方形，
，，，
，
解得．
故选：B．
【变式训练6-3】（24-25八年级下·重庆开州·阶段练习）如图，在正方形中，点M为边的中点，将沿折叠，使点D落在正方形的内部一点N处，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先由正方形得到，，然后由折叠得到，，，然后根据等边对等角和三角形内角和定理得到，，然后得到，然后得到，求出，，进而求解即可．
【详解】∵四边形是正方形
∴，
∵将沿折叠，使点D落在正方形的内部一点N处，
∴，，
∴
∴
∵点M为边的中点，
∴
∴
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∴．
故选：B．
【变式训练6-4】（24-25八年级·辽宁盘锦·期中）如图，先将正方形纸片对折，折痕为，再把D点折叠在折痕上，折痕为CE ，点D在上的对应点为F，则的度数为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，折叠的性质，线段垂直平分线的性质，等边对等角和三角形内角和定理，由折叠的性质可得垂直平分，，则可证明是等边三角形，得到，再求出的度数即可得到答案．
【详解】解；如图所示，连接，
由折叠的性质可得垂直平分，，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【变式训练6-5】（2025·河南信阳·一模）如图，在正方形中，点为边上一点，将沿折叠得，若点恰好在对角线上，连接，则 ．
【答案】112.5
【分析】本题考查了正方形、折叠的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理的运用，掌握折叠的性质，等腰三角形的判定和性质是关键．
根据正方形、折叠的性质得到，，则，由此得到，再根据即可求解．
【详解】解：∵四边形是正方形，是对角线，
∴，
∵折叠，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为： ．
【变式训练6-6】（2024·陕西西安·二模）如图，已知正方形的边长为，，将正方形边沿折叠到，延长交于点，则的周长为_________．
【答案】
【分析】本题考查了正方形的折叠问题，勾股定理，全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练运用勾股定理，全等三角形的判定与性质．
连接，证明得出，设，则，，勾股定理求得，则，进而勾股定理求得，即可求解．
【详解】解：连接，如图所示，
由折叠可知，，
，
，
，
，
正方形边长是，
，
设，则，
，
由勾股定理得：，
即：，
解得：，
，，
∴，
的周长为，
故答案为：．
题型七：求正方形重叠部分的面积
【经典例题7】（24-25八年级·河北邯郸·阶段练习）如图，三个边长为的正方形按如图所示的方式重叠在一起，点O是其中一个正方形的中心，则重叠部分（阴影）的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，连接，，由正方形的性质可得，证明可得，进而可求解．
【详解】解：连接，，
由题意知：四边形，四边形都是正方形，
，，，，
，
在和中，
，
，
，
，
．
故选：B．
【变式训练7-1】（24-25八年级·辽宁葫芦岛·期末）如图，有A、B两个正方形，若将这两个正方形叠放在一起可得到图①，则图中阴影部分面积为1，若将A，B并列放置构造出新的正方形可得到图②，图中阴影部分面积为24，则新构造出的正方形面积为（ ）
A．49 B．65 C．78 D．97
【答案】A
【分析】分别设A、B两个正方形的边长为和，利用正方形性质，可知叠放在一起后阴影部分的小正方形边长是，并列在一起后边长为，用和表示出阴影部分面积，列出方程组解答即可求出和的长，即可得出结果．
【详解】解：设A正方形边长为，B正方形边长为，
由图可知①中小正方形的边长为，面积为1，
，
，
，
由图可知②中新构造出的正方形边长为，
面积，
，
，
，
解得：或（舍去），
当时，，
新构成的正方形面积为．
故选：A．
【变式训练7-2】（24-25八年级下·湖南长沙·阶段练习）如图，三个边长均为 2 的正方形重叠在一起，M、N 是其中两个正方形对角线的交点，则两个阴影部分面积之和是（ ）
A．1 B．2 C． D．4
【答案】B
【分析】连接，，易证，那么可得阴影部分的面积与正方形面积的关系，同理得出另两个正方形的阴影部分面积与正方形面积的关系，从而得出答案．
【详解】解：连接，，如图所示：
三个边长均为2的正方形重叠在一起，、是其中两个正方形对角线的交点，
，，
，
四边形是正方形，
，
在和中
，
两个正方形阴影部分的面积，
同理另外两个正方形阴影部分的面积也是，
．
故选：．
【变式训练7-3】（2024九年级上·山东·专题练习）如图，正方形的顶点O与正方形的对角线交点O重合，正方形和正方形的边长都是，则图中重叠部分的面积是 ．
【答案】1
【分析】本题考查了正方形的性质，解题关键是题中重合的部分的面积是不变的，且总是等于正方形面积的．
根据题意可得：，所以，从而可求得其面积．
【详解】解：如图，
正方形和正方形的边长都是，
，，，
∴，
在和中，
，
，
；
则图中重叠部分的面积是，
故答案为：1．
【变式训练7-4】（24-25八年级下·山东临沂·期中）如图，正方形的对角线相交于点，以为顶点的正方形的两边，分别变正方形的边，于点，．记的面积为，的面积为，若正方形的边长，则的大小为 ．
【答案】
【分析】本题考查对正方形的性质，全等三角形的性质和判定等知识，根据正方形的性质得出，，，推出，证出可得答案，证明是解此题的关键．
【详解】∵四边形和四边形都是正方形，
∴，，，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【变式训练7-5】（2025·山东菏泽·一模）如图，两个边长为4的正方形重叠在一起，点是其中一个正方形的中心，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】
【分析】连接、，证明，得到，再由，代值求解即可得到答案．
【详解】解：连接、，如图所示：
，
，
是正方形，为正方形的中心，
，，
在和中，
，
，
，
，
故答案是：4．
题型八：利用正方形的性质证明
【经典例题8】（24-25八年级下·重庆渝北·期中）如图，点是正方形对角线的延长线上任意一点，以线段为边作一个正方形，线段和相交于点．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析(2)
【分析】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
（1）由四边形和四边形是正方形，可得，，，从而得到，然后利用即可证明结论；
（2）如图所示，连接交于点，计算出、，根据勾股定理即可求出的长．
【详解】（1）解：由四边形和四边形是正方形，
，，，
，
，
在和中：
，
，
．
（2）解：如图，连接交于点，
，
，
，
．
【变式训练8-1】（24-25八年级下·广东深圳·阶段练习）在正方形中，O为对角线的中点，点E是对角线上的动点，连接，点F在直线上（点F不与点D重合），连接，．
(1)如图1，当E在线段上时，求证：；
(2)如图2，若，当E在线段上，且时，求的长．
【答案】(1)见解析(2)
【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质以及勾股定理的应用．构建合适的辅助线是解题的关键．
（1）过点 作于点， 于点 ，证明四边形是正方形，得到，再根据“”证明，得到，最后通过角的等量代换得到即可证明；
（2）连接，过E作于H．根据正方形的性质得出是等腰直角三角形，从而得到，进而得到，利用勾股定理得出设，再利用勾股定理，根据得出，求解后代入可得到的值，最后用即可求得．
【详解】（1）解：如图1，过点 作于点， 于点 ．
四边形是正方形， ，
又点E是对角线上的点，，
，．
和 都是等腰直角三角形，即 ， ，
，
四边形是正方形．
在和 中，，，
，．
，，即，
．
（2）解：如图2，连接，过E作于H．
∵四边形为正方形，点E是对角线上的点，
，，，，
又∵，∴是等腰直角三角形，∴．
又∵，∴，
∴是等腰三角形，
∴．
在中
，
设，
在中
，
则，，
∴，，，．
【变式训练8-2】（24-25八年级下·全国·课后作业）已知：如图，在正方形中，点P在上，，垂足分别为E、F．求证：．
【答案】见详解
【分析】根据正方形的四条边都相等可得，正方形的对角线平分一组对角可得，然后利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等证明即可；求出四边形是矩形，根据矩形的对角线相等可得．即可求解．本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，解题的关键是熟记正方形的性质得到三角形全等的条件．
【详解】解：如图，连接，
在正方形中，，，
，，，
，
；
，，，
四边形是矩形，
，
∵，
∴．
【变式训练8-3】（24-25八年级下·内蒙古呼和浩特·阶段练习）如图，正方形中，点M，N分别在，上，且，与相交于点P．
(1)求证：；
(2)求的大小．
【答案】(1)见解析(2)
【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相关图形的性质和判定．
（1）直接利用证明全等即可；
（2）根据全等的性质，得出，再由，从而求出．
【详解】（1）证明：四边形是正方形，
，，
，
，即，
在和中，
；
（2）解：由（1）知，
，
，
．
【变式训练8-4】（24-25八年级下·四川广元·阶段练习）如图，在正方形中，点E是上的一点，点F是延长线上的一点，且，连接．
(1)若，请求出的长；
(2)已知，若点P是的中点，连接，，求的度数．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）由四边形是正方形，可得，可证，得到，再证明，根据勾股定理即可求解；
（2）连接，由（1）可得由是的中点，可得，由，可求，由，可证为等边三角形，可求，可证，可求即可解答．
【详解】（1）证明：∵四边形是正方形，
，
在和中，
，
，
，
∴，
∴．
（2）解：连接，
根据（1）可得，
在和 ，
∵点是的中点，
，
又，
∴为等腰直角三角形，
，
，
，
又，
∴为等边三角形，
，
，
在和中
，
，
，
，
，
．
【变式训练8-5】（2025·甘肃陇南·模拟预测）在正方形中，点为边上一点不与点、重合，于点，于点．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，若F为中点，连接，用等式表示线段，之间的数量关系，并证明你的结论．
【答案】(1)见解析(2)，证明见解析
【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质与判定，熟知正方形的性质和全等三角形的性质与判定定理是条件的关键。
（1）通过证明即可证明结论．
（2）过点D作，证明，得到，再由全等三角形的性质得到，进而得到，则垂直平分，即可得到。
【详解】（1）证明：四边形是正方形，
，，
，，
，
，，
，
在与中，
，
，
；
（2）解：，证明如下：
如图，过点D作，
四边形是正方形，
，，
，，
，
，，
，
在与中，
，
，
，
，
，
为的中点，
，
垂直平分，
题型九：正方形的性质综合（压轴题）
【经典例题9】（23-24八年级·广西南宁·开学考试）如图，直线与坐标轴分别交于点A，B，，以为边在y轴的右侧作正方形．
(1)求点A，B的坐标；
(2)如图，点D是x轴上一动点，点E在的右侧，，．
如图1，问点E是否在定直线上，若是，求该直线的解析式；若不是，请说明理由；
如图2，点D是线段的中点，另一动点H在直线上，且，请直接写出点H的坐标．
【答案】(1)，(2)是，；点坐标为或
【分析】此题考查了一次函数与几何的综合应用，涉及了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质与判定，轴对称的性质等等，解题的关键是熟练掌握相关基础性质．
（1）分别将代入（）求解，再根据，即可求解；
（2）①过点E作轴，通过证明，得到，即可求解；②连接，可得点H与点E重合，作点M关于直线的对称点N，可得N点坐标，求得直线的解析式，即可求解．
【详解】（1）解：分别将，代入，
得，，即，，
∴，．
由，
得，，
即，．
（2）解：①过点作轴，如下图：
由题意可得：，
∴．
∴．
在和中，
，
∴．
∴，．
∴．
∴．
设，则，，
∴．
由题意可得：，即，
∴点E在定直线上；
②连接，由题意可得为等腰直角三角形，
∴．
∵四边形为正方形，
∴．
∴，此时点与点重合．
∵D是线段的中点，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
设直线为，将、代入，
得，
解得．
∴．
当时，，
即点．
作点关于直线的对称点，
得，
此时，
∴点为直线与的交点，
设直线解析式为，
则，
∴，
∴．
联立，
解得．
此时．
综上，点坐标为或．
【变式训练9-1】（24-25八年级下·江苏常州·期中）如图1，正方形中，点O是对角线的中点，点P是线段上（不与A、O重合）的一个动点，过点P作且交边于点E．
(1)与相等吗？证明你的结论．
(2)过点E作于点F，如图2，若正方形的边长为2，则在点P运动的过程中，的长度是否发生变化？若不变，请直接写出这个不变的值；若变化，请说明理由．
【答案】(1)，证明见解析(2)的长不发生变化，．
【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质．根据正方形的性质添加合适的辅助线证明三角形全等是解题的关键．
（1）过点P作，根据正方形的性质和同角的余角相等，证明，即可得证．
（2）连接，根据正方形的性质，对角线垂直和同角的余角相等，证明，即可得解．
【详解】（1）证明：如图1，过点P作，交于点M，交于点N．
∵四边形是正方形，
∴
∵，
∴
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴．
∵四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴．
在中，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴．
（2）解：在P点运动的过程中，的长度不发生变化．理由如下：
如图2，连接．
∵四边形是边长为2的正方形，
∴，
∵点O是的中点，
∴，
∴，
∴，
∴．
∴，
∴，
∴．
由（1）得：，
∴，
∴．
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
即的长不发生变化，为．
【变式训练9-2】（24-25八年级下·湖北襄阳·期中）在正方形中，点E在对角线上，，．
(1)如图1，求证：，；
(2)作的平分线交于点G．
①如图2，当，时，求线段的长；
②如图3，延长交于点H，连接，判断线段与线段的关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析(2)①；②，，理由见解析
【分析】（1）根据正方形的性质可知，，，进而证明，即可证明，可得，，即可证明，得结论；
（2）①连接，由（1）可知中，，，得，再证．得；
②连接，作于点M，作交延长线于点N，可知四边形是矩形．得，先证，得，，再证得，得，可得，则．可知，，即可得，．
【详解】（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，，．
∵，
∴，
即．
∵，
∴．
∴，．
∴．
∴．
（2）解：①如图2，连接．
由（1）可知中，，，
∴．
∵平分，
∴．
∵，，
∴．
∴．
②，．
理由：如图3，连接，作于点M，
作交延长线于点N．
则．
∴四边形是矩形．
∴．
∵四边形是正方形，
∴．
∴．
∴．
∵，，，
∴．
∴，．
∴．
∴．
∴．
∴．
∴，．
∴，．
【变式训练9-3】（24-25八年级下·江苏苏州·期中）数学实验课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动．
（1）操作判断
操作一：对折正方形纸片，使与重合，得到折痕；
操作二：在上选一点，沿折叠，使点落在正方形内部点处．
根据以上操作，当点在上时，如图1，___________．
（2）深入探究
如图2，延长交于点，连接．改变点在上的位置（点不与点重合），判断的大小，并说明理由．
（3）拓展应用
在（2）的探究中，已知正方形纸片的边长为，当是的三等分点时，请直接写出的长．
【答案】（1）（2），理由见详解（3）或
【分析】本题主要考查了几何问题，涉及到正方形的性质和翻折的性质、直角三角形三角函数比，勾股定理，全等三角形的判定和性质，正确理解题意和灵活运用所学的知识是解题的关键．
（1）利用翻折性质和直角三角形的三角函数比即可求解；
（2）利用翻折性质和正方形的性质得出，得到对应角相等，然后利用相等的角得出即可求解；
（3）利用翻折的性质和，分类假设，表示出相关的线段长度，利用勾股定理列出方程求解即可．
【详解】解：（1）∵四边形是正方形，
由翻折的性质可得，，
在中，，
即，
故答案为：；
（2），理由如下，
由翻折的性质和正方形的性质可得，
，
，
∴在和中，
又∵
即；
（3）①当时，，
设，由翻折性质得，
由（2）得
∴
在中，由勾股定理得，
即
解得，，
∴；
②当时，，
假设，由翻折性质得，
由（2）得
∴
在中，由勾股定理得，
即
解得，，
∴；
综上，或．
【变式训练9-4】（24-25八年级下·江苏淮安·期中）【经典回顾】
梅文鼎是我国清初著名的数学家，他在《勾股举隅》中给出多种证明勾股定理的方法．图1是其中—种方法的示意图及部分辅助线．
在中，，分别以的三边为一边向外作正方形、正方形和正方形，延长和，交于点L，延长交于点M．
【尝试探究】小亮同学根据上述图形和辅助线，进行了如下探究：
（1）如图1，已证明四边形是矩形，；
（2）如图2，连接并延长交于点J，交于点K，可证四边形是平行四边形，请说明理由；
（3）如图3，延长交于点Q，可证，
同理：____________________，
，
．
【尝试运用】
如图4，在中，，，分别以的三边为边向外作三个正方形，连接．过点C作的垂线，垂足为J，分别交，于点I，K．若，，则四边形的面积是__________．
【迁移运用】
如图5，四边形是以的边为一边的平行四边形，分别交于点N、M，请用尺规以为一边，在右侧作矩形，使得﹒（不写作法，保留作图痕迹）
【迁移拓展】
如图6，在中，，，在左侧构造等边，在右侧构造等边，连接，点P为中点，连接，则的最大值是__________．
【答案】【尝试探究】见解析；【尝试运用】15；【迁移运用】图见解析；【迁移拓展】
【分析】【尝试探究】（2）根据正方形的性质，全等三角形的性质，推出，，即可得证；
（3）根据正方形的性质，矩形的性质，平行四边形的性质，结合等量代换得到即可；
【尝试运用】延长交于点，延长交的延长线于点，仿照（2）推出四边形的面积，进行求解即可；
【迁移运用】连接，易得，过点作的垂线，过点作的垂线，以为圆心，到的距离为半径画弧，得到点，分别以点，点为圆心，，的长为半径画弧，两弧交点即为点，连接，即可；
【迁移拓展】以为边构造等边三角形，连接，作，取的中点，连接，，三线合一结合勾股定理求出的长，进而求出的长，斜边上的中线求出的长，证明，得到，同理，得到，推出四边形为平行四边形，进而得到为的中点，三角形的中位线得到，根据，求出最大值即可．
【详解】【尝试探究】（2）理由如下：
∵四边形是矩形，
∴，
∵四边形为正方形，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，，
∵，
∴，
∵正方形，
∴，
∴，
∴，即：，
∵，
∴四边形是平行四边形；
（3）如图3，延长交于点Q，
∵，
∵，
∴，
∴，
同理：，
，
．
【尝试运用】延长交于点，延长交的延长线于点，如图，
∵，，，
∴由勾股定理，得：，
∵正方形，正方形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴四边形为平行四边形，四边形为矩形，
同【尝试探究】（3）可得：四边形的面积；
故答案为：15；
【迁移运用】如图，矩形即为所求；
∵，
∴，
由作图可知，到的距离等于的长，
∴，
∴；
【迁移拓展】以为边构造等边三角形，连接，作，取的中点，连接，，则：，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵均为等边三角形，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴；
同理，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∵为中点，
∴为的中点，
∵为的中点，
∴，
∵，
∴当三点共线时，的值最大，为．
【变式训练9-5】（24-25八年级下·湖南长沙·期中）如图1，在正方形中，是上一点，是延长线上一点，且，连接、．
(1)求证：；
(2)在图1中，若在上，且，连接，请判断三条线段之间的数量关系，并说明理由；
(3)根据你所学的知识，运用（1）、（2）解答中积累的经验，完成下列各题：
①如图2，在四边形中，，，，是的中点，且，求的长；
②如图3，在菱形中，，、分别在和上，且，连接．若，，求线段的长度．
【答案】(1)见解析(2)，理由见解析(3)①；②
【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理，
对于（1），根据正方形的性质证明，可得答案；
对于（2），由（1）可知，可得，再证明，
然后根据全等三角形的对应边相等得出答案；
对于（3），①由（2）和题设知：，再设，则，，
根据勾股定理得求出，则答案可得；
对于②，作射线使得，作射线使得，可知，作，再说明，可得，进而得出，然后根据直角三角形的性质和勾股定理得出答案.
【详解】（1）证明：在正方形中，，，
，
在和中，
，
，
；
（2）解：，理由如下：
，，
.
（已证），
，
，
在和中，
，
，
，
，
；
（3）解：①如图，过点C作，交的延长线于点，
由（2）和题设知：，
设，则，，
在中，由勾股定理得：，
，
解得，
；
②如图，作射线使得，作射线使得，则，过作于，
，，，，
.
，
，
，
，
，
，
，，
.
【变式训练9-6】（24-25八年级下·江苏南京·期中）（1）问题背景：如图1，在正方形中，点，分别在边，上，．直接写出线段，，的数量关系：________；
（2）迁移应用：如图2，在正方形中，，交于点，，若，，，求的长．
（3）联系拓展：如图3，在矩形中，点、分别在边、上，，若，探究与的数量关系，并给出证明．
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】（1）先判断出，得出，，再判断出，即可得出结论；
（2）先判断出，得出，设，则，，再根据勾股定理得出，求出，即可得出结论；
（3）先判断出四边形是正方形，设，得出，再设，则，利用勾股定理得出，据此计算即可得出结论．
【详解】解：（1），
延长到点使，连接，
正方形，
，，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
；
（2）如图，过点作交于，交于，连接，
，
，
，
，，
，
，
，
，
由（1）知，，
设，
，
，
，
在中，，
，
，
，，
在中，根据勾股定理得，；
（3），证明如下，
证明：如图，分别取，的中点，，连接并延长交于，连接，
，，
，
四边形是矩形，
，
设，
，
矩形是正方形，
，
由（1）知，，
，
设，
，
在中，，
，
，
，
，
，
．
【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，利用勾股定理建立方程是解本题的关键．中小学教育资源及组卷应用平台
专题5.3.1 正方形（一）九大题型（一课一讲）
（内容：正方形的性质及其应用）
【浙教版】
题型一：正方形性质的理解
【经典例题1】（24-25八年级下·全国·课后作业）正方形具有而菱形不一定具有的特征是（ ）
A．对边互相平行 B．对角线互相垂直平分
C．是中心对称图形 D．有条对称轴
【变式训练1-1】（24-25八年级下·重庆·期中）下列说法正确的是（ ）
A．矩形的对角线互相垂直平分 B．菱形的对角线相等
C．正方形的对角线平分一组对角 D．平行四边形的对角线互相垂直
【变式训练1-2】（24-25八年级·甘肃白银·期中）下列性质中正方形具有而菱形没有的是（ ）
A．对角线互相平分 B．对角线相等
C．对角线互相垂直 D．一条对角线平分一组对角
【变式训练1-3】（24-25八年级下·浙江嘉兴·阶段练习）下列说法中，正确的是（ ）
A．平行四边形既是中心对称图形又是轴对称图形 B．菱形的对角线相等
C．矩形是轴对称图形且有四条对称轴 D．正方形的对角线互相垂直平分且相等
【变式训练1-4】（24-25八年级·山东青岛·期末）下列命题错误的是（ ）
A．正方形的对角线互相垂直 B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
C．对角线相等的四边形是矩形 D．菱形的四条边相等
【变式训练1-5】（24-25八年级·江西吉安·期末）下列命题中正确的是（ ）
A．正方形的面积等于对角线平方的一半
B．邻边相等的平行四边形是正方形
C．对角线互相垂直的四边形是菱形
D．矩形的对角线相等且互相垂直
【变式训练1-6】（24-25八年级·贵州六盘水·期中）正方形具有而矩形没有的性质是（ ）
A．对角线互相平分 B．对边相等
C．对角线相等 D．对角线互相垂直
题型二：根据正方形的性质求角度
【经典例题2】（24-25八年级下·天津滨海新·期中）如图，延长正方形边至点E，使，则为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2-1】（24-25八年级下·天津滨海新·期中）如图所示，在正方形的外部作等边三角形，连接，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2-2】（24-25八年级下·湖北黄石·期中）如图，在正方形的外侧，作等边三角形，则为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2-3】（24-25八年级·黑龙江绥化·阶段练习）如图，正方形中，以为边向外作等边三角形，连接，则度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2-4】（24-25八年级下·福建莆田·期中）如图，在正方形 中， 为对角线 上一点，连接 ，若，则的度数为 ．
【变式训练2-5】（24-25八年级下·北京西城·阶段练习）如图，在正方形中，点，，分别在边，，上．若，，，则的度数为 （用含的式子表示）．
【变式训练2-6】（24-25八年级·四川成都·期末）如图，在正方形的对角线上取点E使，连接，过点E作交BC于点F，则的大小为 ．
题型三：根据正方形的性质求线段长度
【经典例题3】（24-25八年级·山东青岛·期末）如图，正方形，点为边上一点，，．的平分线交于点，点是的中点，则的长为（ ）
A．2 B．2.5 C．3 D．3.5
【变式训练3-1】（24-25八年级下·江苏苏州·期中）如图，正方形边长为6，点在上，点在上，且分别是的中点，连接，则长为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练3-2】（24-25八年级下·广东广州·阶段练习）小明在学习了勾股定理的证明后，尝试制作了四个全等三角形纸板，并拼出一个新图形，如图所示，若，则正方形的周长为（ ）
A．14 B．17 C．20 D．24
【变式训练3-3】（24-25八年级·吉林长春·阶段练习）如图，将一个正方形纸片沿图中虚线剪成四部分，恰能拼成一个没有缝隙且不重叠的等腰三角形，则这个等腰三角形的底边长与正的方形的边长比为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练3-4】（2025八年级下·山西·专题练习）如图，在矩形中，无重叠放入面积分别为和的两张正方形纸片，则矩形中空白部分的较短的边长为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练3-5】（天津市河西区2024-2025学年八年级下学期4月期中数学试题）如图，正方形的边长为4，点E在边上，，作等腰直角三角形．
（Ⅰ）的长 ．
（Ⅱ）若M为的中点，连接，则的为 ．
【变式训练3-6】（24-25八年级下·广西南宁·期中）如图，在正方形中，，点F是边上一点，点E是延长线上一点，，．连接、、，与对角线相交于点G，则线段的长是 ．
【变式训练3-7】（24-25八年级下·江苏南京·阶段练习）如图，点O为正方形对角线的中点，连接并延长至点E，连接，若为等边三角形，，则的长为 ．
题型四：根据正方形的性质求面积
【经典例题4】（2025·陕西西安·一模）如图，正方形的边在正方形的边上，边在下方，连接，若，则四边形（阴影部分）的面积为（ ）
A．8 B．6 C．4 D．3
【变式训练4-1】（24-25八年级下·贵州黔东南·阶段练习）如图，从一个大正方形中裁去面积为和的两个小正方形，则余下部分的面积为（ ）．
A．98 B．60 C．48 D．38
【变式训练4-2】（2025·湖南·模拟预测）如图，四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大的正方形，连接．若，则的面积为 ．
【变式训练4-3】（24-25八年级下·江苏南通·阶段练习）如图，正方形是小明用木条制作的一个学具，在取放学具时，学具发生了形变，此时，则变形后四边形的面积与原正方形面积之比为 ．
【变式训练4-4】（24-25八年级下·山西大同·阶段练习）如图，正方形的面积为8，正方形的面积为32，则阴影部分的面积为 ．
【变式训练4-5】（24-25八年级·甘肃武威·期末）如图，中，．分别以为边在的同侧作正方形，四块阴影部分的面积分别为，则等于 ．
题型五：正方形的性质中坐标问题
【经典例题5】（24-25八年级下·新疆阿克苏·期中）如图，正方形的顶点B、C的坐标分别为，，则点A的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练5-1】（2025·湖北襄阳·一模）如图，将正方形放在平面直角坐标系中，O是原点，A的坐标为，则点C的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练5-2】（2025·河南驻马店·一模）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在轴上，在轴上，点与坐标原点重合．动点从点出发，按顺时针方向在正方形的边上匀速运动，速度为每秒个单位长度，已知，设点的运动时间为秒，当存在且为锐角三角形时，的值可以是下列中的（ ）
A． B． C． D．
【变式训练5-3】（24-25八年级下·重庆·开学考试）如图，正方形的边长为1，与点O相对的顶点B坐标为，以对角线为边作第二个正方形，与点O相对的顶点D的坐标为，再以对角线为边作第三个正方形，与点O相对的顶点F的坐标为，如此下去，则第个正方形中与点O相对的顶点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练5-4】（24-25八年级下·广西南宁·期中）如图，正方形，正方形，正方形的顶点A，，和O，C，，分别在一次函数的图象和x轴上，则的坐标是 ．
【变式训练5-5】（24-25八年级下·江苏无锡·阶段练习）如图所示，，，延长至D，使，四边形为正方形，连接交于M，则点的坐标为 ．
【变式训练5-6】（24-25八年级下·山东泰安·期中）在平面直角坐标系中，正方形的一个顶点的坐标为，则正方形顶点A的坐标是 ．
题型六：正方形的性质中折叠问题
【经典例题6】（2025八年级下·全国·专题练习）如图，将边长为的正方形纸片折叠，使点D落在边中点E处，点C落在点Q处，折痕为，则线段的长是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练6-1】（24-25八年级下·河南驻马店·阶段练习）如图，正方形中，，为边上一动点（不与，重合）．将沿翻折至，延长交于点，刚好是边的三等分点，则的长为（ ）
A． B．3 C．2或3 D．或3
【变式训练6-2】（24-25八年级下·新疆乌鲁木齐·阶段练习）如图，四边形是边长为9的正方形纸片，将其沿折叠，使点落在边上的处，点的对应点为，且，则的长是（ ）
A． B．2 C． D．
【变式训练6-3】（24-25八年级下·重庆开州·阶段练习）如图，在正方形中，点M为边的中点，将沿折叠，使点D落在正方形的内部一点N处，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练6-4】（24-25八年级·辽宁盘锦·期中）如图，先将正方形纸片对折，折痕为，再把D点折叠在折痕上，折痕为CE ，点D在上的对应点为F，则的度数为 ．
【变式训练6-5】（2025·河南信阳·一模）如图，在正方形中，点为边上一点，将沿折叠得，若点恰好在对角线上，连接，则 ．
【变式训练6-6】（2024·陕西西安·二模）如图，已知正方形的边长为，，将正方形边沿折叠到，延长交于点，则的周长为_________．
题型七：求正方形重叠部分的面积
【经典例题7】（24-25八年级·河北邯郸·阶段练习）如图，三个边长为的正方形按如图所示的方式重叠在一起，点O是其中一个正方形的中心，则重叠部分（阴影）的面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练7-1】（24-25八年级·辽宁葫芦岛·期末）如图，有A、B两个正方形，若将这两个正方形叠放在一起可得到图①，则图中阴影部分面积为1，若将A，B并列放置构造出新的正方形可得到图②，图中阴影部分面积为24，则新构造出的正方形面积为（ ）
A．49 B．65 C．78 D．97
【变式训练7-2】（24-25八年级下·湖南长沙·阶段练习）如图，三个边长均为 2 的正方形重叠在一起，M、N 是其中两个正方形对角线的交点，则两个阴影部分面积之和是（ ）
A．1 B．2 C． D．4
【变式训练7-3】（2024九年级上·山东·专题练习）如图，正方形的顶点O与正方形的对角线交点O重合，正方形和正方形的边长都是，则图中重叠部分的面积是 ．
【变式训练7-4】（24-25八年级下·山东临沂·期中）如图，正方形的对角线相交于点，以为顶点的正方形的两边，分别变正方形的边，于点，．记的面积为，的面积为，若正方形的边长，则的大小为 ．
【变式训练7-5】（2025·山东菏泽·一模）如图，两个边长为4的正方形重叠在一起，点是其中一个正方形的中心，则图中阴影部分的面积为 ．
题型八：利用正方形的性质证明
【经典例题8】（24-25八年级下·重庆渝北·期中）如图，点是正方形对角线的延长线上任意一点，以线段为边作一个正方形，线段和相交于点．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
【变式训练8-1】（24-25八年级下·广东深圳·阶段练习）在正方形中，O为对角线的中点，点E是对角线上的动点，连接，点F在直线上（点F不与点D重合），连接，．
(1)如图1，当E在线段上时，求证：；
(2)如图2，若，当E在线段上，且时，求的长．
【变式训练8-2】（24-25八年级下·全国·课后作业）已知：如图，在正方形中，点P在上，，垂足分别为E、F．求证：．
【变式训练8-3】（24-25八年级下·内蒙古呼和浩特·阶段练习）如图，正方形中，点M，N分别在，上，且，与相交于点P．
(1)求证：；
(2)求的大小．
【变式训练8-4】（24-25八年级下·四川广元·阶段练习）如图，在正方形中，点E是上的一点，点F是延长线上的一点，且，连接．
(1)若，请求出的长；
(2)已知，若点P是的中点，连接，，求的度数．
【变式训练8-5】（2025·甘肃陇南·模拟预测）在正方形中，点为边上一点不与点、重合，于点，于点．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，若F为中点，连接，用等式表示线段，之间的数量关系，并证明你的结论．
题型九：正方形的性质综合（压轴题）
【经典例题9】（23-24八年级·广西南宁·开学考试）如图，直线与坐标轴分别交于点A，B，，以为边在y轴的右侧作正方形．
(1)求点A，B的坐标；
(2)如图，点D是x轴上一动点，点E在的右侧，，．
如图1，问点E是否在定直线上，若是，求该直线的解析式；若不是，请说明理由；
如图2，点D是线段的中点，另一动点H在直线上，且，请直接写出点H的坐标．
【变式训练9-1】（24-25八年级下·江苏常州·期中）如图1，正方形中，点O是对角线的中点，点P是线段上（不与A、O重合）的一个动点，过点P作且交边于点E．
(1)与相等吗？证明你的结论．
(2)过点E作于点F，如图2，若正方形的边长为2，则在点P运动的过程中，的长度是否发生变化？若不变，请直接写出这个不变的值；若变化，请说明理由．
【变式训练9-2】（24-25八年级下·湖北襄阳·期中）在正方形中，点E在对角线上，，．
(1)如图1，求证：，；
(2)作的平分线交于点G．
①如图2，当，时，求线段的长；
②如图3，延长交于点H，连接，判断线段与线段的关系，并说明理由．
【变式训练9-3】（24-25八年级下·江苏苏州·期中）数学实验课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动．
（1）操作判断
操作一：对折正方形纸片，使与重合，得到折痕；
操作二：在上选一点，沿折叠，使点落在正方形内部点处．
根据以上操作，当点在上时，如图1，___________．
（2）深入探究
如图2，延长交于点，连接．改变点在上的位置（点不与点重合），判断的大小，并说明理由．
（3）拓展应用
在（2）的探究中，已知正方形纸片的边长为，当是的三等分点时，请直接写出的长．
【变式训练9-4】（24-25八年级下·江苏淮安·期中）【经典回顾】
梅文鼎是我国清初著名的数学家，他在《勾股举隅》中给出多种证明勾股定理的方法．图1是其中—种方法的示意图及部分辅助线．
在中，，分别以的三边为一边向外作正方形、正方形和正方形，延长和，交于点L，延长交于点M．
【尝试探究】小亮同学根据上述图形和辅助线，进行了如下探究：
（1）如图1，已证明四边形是矩形，；
（2）如图2，连接并延长交于点J，交于点K，可证四边形是平行四边形，请说明理由；
（3）如图3，延长交于点Q，可证，
同理：____________________，
，
．
【尝试运用】
如图4，在中，，，分别以的三边为边向外作三个正方形，连接．过点C作的垂线，垂足为J，分别交，于点I，K．若，，则四边形的面积是__________．
【迁移运用】
如图5，四边形是以的边为一边的平行四边形，分别交于点N、M，请用尺规以为一边，在右侧作矩形，使得﹒（不写作法，保留作图痕迹）
【迁移拓展】
如图6，在中，，，在左侧构造等边，在右侧构造等边，连接，点P为中点，连接，则的最大值是__________．
【变式训练9-5】（24-25八年级下·湖南长沙·期中）如图1，在正方形中，是上一点，是延长线上一点，且，连接、．
(1)求证：；
(2)在图1中，若在上，且，连接，请判断三条线段之间的数量关系，并说明理由；
(3)根据你所学的知识，运用（1）、（2）解答中积累的经验，完成下列各题：
①如图2，在四边形中，，，，是的中点，且，求的长；
②如图3，在菱形中，，、分别在和上，且，连接．若，，求线段的长度．
【变式训练9-6】（24-25八年级下·江苏南京·期中）（1）问题背景：如图1，在正方形中，点，分别在边，上，．直接写出线段，，的数量关系：________；
（2）迁移应用：如图2，在正方形中，，交于点，，若，，，求的长．
（3）联系拓展：如图3，在矩形中，点、分别在边、上，，若，探究与的数量关系，并给出证明．
