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2024-2025八年级下册数学同步练习重难点突破【浙教版】
专题5.3.1 正方形（一）九大题型（一课一练）
[本试卷包含了常见考题，对基础知识进行巩固测试]
一、单选题（本大题共10个小题，每题3分，共30分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定）
1．下列命题是假命题的是（ ）
A．平行四边形中相邻两角互补 B．矩形对角线相等且互相平分
C．菱形的面积等于对角线长的乘积 D．正方形是中心对称图形
2．如图，在正方形外侧作等边，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，直线l上有三个正方形a、b，c，若a，c的面积分别为2和10，则b的面积为（ ）
A．8 B． C．41 D．12
4．如图，明明将家中地砖中心的图案（由大小相同的菱形和正方形组成）绘制到平面直角坐标系中，已知点的坐标为，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A，B的坐标分别为，C，D两点在第二象限内，过点D作轴于点F，交对角线于点E，连接，则的周长为（ ）
A．30 B．28 C．26 D．24
6．如图，三个边长均为2的正方形重叠在一起，，是其中两个正方形对角线的交点，则图中阴影部分的面积之和是（ ）
A． B．1 C． D．2
7．如图，大正方形中摆放了两个小正方形，设它们的面积分别为，则 之间的关系是（ ）
A． B． C． D．不能确定
8．已知正方形，点E、F、M、N、G、H是正方形边上的点，点P是正方形内一点．如图（1），将正方形沿过P点的线段折叠，使点E落在上点E′，如图（2），展开后沿过P点的线段折叠，使点G落在上点，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
9．勾股定理是数学史上的一颗璀璨明珠．被誉为清代“历算第一名家”的著名数学家梅文鼎先生（图①）在《梅氏丛书辑要》（由其孙子梅彀成编纂）的“勾股举隅”卷中给出了多种勾股定理的证法．其中一种是在图②的基础上，运用“出入相补”原理完成的．如图，在中，，四边形，，均为正方形，与相交于点J，可以证明点D在直线上．若，的面积分别为2和6，则直角边的长为（ ）
A．2 B． C． D．
10．如图，正方形纸片的边长为9，折叠正方形纸片，使得点落在边上的点，且．折痕交于点，交于点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．以正方形的边为一边，作等边三角形，则为
12．如图，已知，分别是正方形的边，上的点，且分别交对角线相交于 ，若，则 度．
13．已知正方形的边长为4，点为线段上的动点（不与点重合），点关于直线的对称点为点，连接，，，，当是以为腰的等腰三角形时，的值为 ．
14．如图，正方形的边长为6，为边上一点，为边上的一个动点，连接，以为一条直角边向左侧作等腰直角三角形，且使，则点运动的路径长是 ．
15．如图，有一块边长为4的正方形（四条边相等，四个角是直角）塑料模板，将一块足够大的直角三角板的直角顶点落在点，两条直角边分别与交于点，与的延长线交于点，则四边形的面积是 ．
16．将对角线分别为和的菱形改为一个面积不变的正方形，则正方形的边长为 ．
17．如图，菱形的面积为，正方形的面积为则菱形的边长为 ．
18．如图，的两条直角边，，分别以的三边为边作三个正方形．若四个阴影部分面积分别为，，，．则的值为 ，的值为 ．
三、解答题（本大题共6个小题，共46分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．如图，是正方形的对角线，点为上一点，连接，，在上截取，连接，求的度数．
20．如图，正方形中，点E、F分别在边、上，且．
(1)求的度数；
(2)求证：．
21．如图，在四边形中，，对角线、交于点O，过点B作交于点E．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，E为的中点，当的长为 时，四边形是正方形．
22．图、图、图均为的正方形网格，每个小正方形的边长为，线段的端点均在格点上，按题目要求作图：
(1)在图中，以为对角线作正方形．
(2)在图中，以为边作菱形（非正方形）．
(3)在图中，以为对角线作矩形，使其面积为．
23．如图，正方形中，，有一动点从点出发沿、、以每秒个单位长度的速度移动．以为原点，射线方向为轴正方向，射线为轴正方向建立直角坐标系．问：
(1)当点移动的时间秒和秒时，分别写出点的坐标；
(2)当点移动的时间为秒时，试用含的代数式表示的面积．
24．已知：在正方形中，点E是延长线上一点，且，连接．
(1)如图1，过点D作的垂线交于点F，根据题意在图1画出，且图中与相等的角是____________．
(2)在（1）的条件下，连接，取的中点G，连接，若时，请写出线段之间的数量关系，并证明．
(3)如图2，当点E在延长线上时，请你写出线段之间的数量关系，并说明理由．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页中小学教育资源及组卷应用平台
2024-2025八年级下册数学同步练习重难点突破【浙教版】
专题5.3.1 正方形（一）九大题型（一课一练）
[本试卷包含了常见考题，对基础知识进行巩固测试]
一、单选题（本大题共10个小题，每题3分，共30分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定）
1．下列命题是假命题的是（ ）
A．平行四边形中相邻两角互补 B．矩形对角线相等且互相平分
C．菱形的面积等于对角线长的乘积 D．正方形是中心对称图形
【答案】C
【分析】本题主要考查了判断命题真假，平行四边形，菱形，矩形和正方形的性质，中心对称图形的识别，根据平行四边形，菱形，矩形和正方形的性质逐一判断即可．
【详解】解：A、平行四边形中相邻两角互补，原命题是真命题，不符合题意；
B、矩形对角线相等且互相平分，原命题是真命题，不符合题意；
C、菱形的面积等于对角线长的乘积的一半，原命题是假命题，符合题意；
D、正方形是中心对称图形，原命题是真命题，不符合题意；
故选：C．
2．如图，在正方形外侧作等边，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据正方形和等边三角形的性质得，，，，则，，再根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理即可求出的度数．
此题主要考查了正方形的性质，等边三角形的性质，熟练掌握正方形的性质，等边三角形的性质是解决问题的关键．
【详解】解：四边形是正方形，
，，
是等边三角形，
，，
，，
故选：A．
3．如图，直线l上有三个正方形a、b，c，若a，c的面积分别为2和10，则b的面积为（ ）
A．8 B． C．41 D．12
【答案】D
【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理；由正方形的性质得，，，，由可判定，由全等三角形的性质得，由即可求解；掌握判定方法及性质是解题的关键．
【详解】解：如图：
根据题意可知：，，，，
，，
，
在和中
，
，
，
，
；
故选：D．
4．如图，明明将家中地砖中心的图案（由大小相同的菱形和正方形组成）绘制到平面直角坐标系中，已知点的坐标为，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了菱形的性质，正方形的性质，点的坐标，勾股定理，先根据地砖中心的图案是由大小相同的菱形和正方形组成，点的坐标为，得出菱形和正方形的边长为，
结合勾股定理得正方形的对角线；再根据在第二象限的点的特征进行作答即可．
【详解】解：过点作轴，如图所示：
∵地砖中心的图案是由大小相同的菱形和正方形组成，点的坐标为，
∴菱形和正方形的边长为，
故正方形的对角线；
∴，
∵点在第二象限，
∴点的坐标为，
故选：D
5．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A，B的坐标分别为，C，D两点在第二象限内，过点D作轴于点F，交对角线于点E，连接，则的周长为（ ）
A．30 B．28 C．26 D．24
【答案】D
【分析】先证明，得，如图所示，过点作轴于点，再证，得出，进而即可求解．
【详解】解：四边形是正方形，
，
在与中，
，
，
如图所示，过点作轴于点，
则四边形是矩形，
四边形是正方形，
，
，
，
，
，
点坐标分别为
，
，
，
的周长，
故选：．
6．如图，三个边长均为2的正方形重叠在一起，，是其中两个正方形对角线的交点，则图中阴影部分的面积之和是（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】D
【分析】本题主要考查不规则图形的面积，以及正方形的性质，能够利用全等三角形对面积进行转化是解题的关键．
连接，易证，那么可得阴影部分的面积与正方形面积的关系，同理得出另两个正方形的阴影部分面积与正方形面积的关系，从而得出答案．
【详解】解：连接, 如图所示:
∵三个边长均为的正方形重叠在一起，、是其中两个正方形对角线的交点，
，，
，
∵四边形是正方形，
，
在和中，
，
∴两个正方形阴影部分的面积,
同理另外两个正方形阴影部分的面积也是
，
故选: D．
7．如图，大正方形中摆放了两个小正方形，设它们的面积分别为，则 之间的关系是（ ）
A． B． C． D．不能确定
【答案】A
【分析】本题主要考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质和判定，
根据正方形的性质得出，，，，都是等腰直角三角形，设正方形的边长为，再分别表示两个正方形的边长，进而得出面积之间的关系．
【详解】解：如图所示，
∵四边形是正方形，其余两个四边形也是正方形，
∴，，，，都是等腰直角三角形．
设正方形的边长为，则，
∴，
则，
∴，
∴．
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴．
由，，
知，
∴．
故选：A．
8．已知正方形，点E、F、M、N、G、H是正方形边上的点，点P是正方形内一点．如图（1），将正方形沿过P点的线段折叠，使点E落在上点E′，如图（2），展开后沿过P点的线段折叠，使点G落在上点，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），平行线的性质，根据折叠的性质可得：，，然后根据垂直定义可得，从而利用直角三角形的两个锐角互余进行计算可得：，再根据正方形的性质可得，从而利用平行线的性质可得，即可解答．
【详解】解：由折叠得：，，
∴，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
故选：A．
9．勾股定理是数学史上的一颗璀璨明珠．被誉为清代“历算第一名家”的著名数学家梅文鼎先生（图①）在《梅氏丛书辑要》（由其孙子梅彀成编纂）的“勾股举隅”卷中给出了多种勾股定理的证法．其中一种是在图②的基础上，运用“出入相补”原理完成的．如图，在中，，四边形，，均为正方形，与相交于点J，可以证明点D在直线上．若，的面积分别为2和6，则直角边的长为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质，勾股定理，正确运用相关性质定理是解题的关键．
先证明得，设，，，由勾股定理得，进而得，，即可得出答案．
【详解】解：∵四边形，为正方形，
，，，
∴，
，
设，，，
由勾股定理得，，
即，
，
∴，
∴，
即，
∴，
即，
故选：A．
10．如图，正方形纸片的边长为9，折叠正方形纸片，使得点落在边上的点，且．折痕交于点，交于点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，勾股定理，一次函数，连接，利用折叠的性质和勾股定理求得，以为原点，为轴，建立平面直角坐标系，在平面直角坐标系，求得的坐标，利用勾股定理即可解答，利用数形结合的思想，用建系法解题是解题的关键．
【详解】解：如图，连接，
，，正方形纸片的边长为9，
，
,
折叠正方形纸片，使得点落在边上的点，
，，
设，则，
在中，，
在中，，
则可得，
解得，
，，
如图，以为原点，为轴，建立平面直角坐标系，
，
则可得，
，
，
设直线的解析式为，
把，代入可得
，
解得，
直线的解析式为，
当时，，
，
设直线的解析式为,
把代入可得，解得，
直线的解析式为,
联立方程，
解得，
，
则，
，
，
故选：A．
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．以正方形的边为一边，作等边三角形，则为
【答案】或
【分析】分点E在正方形的内部和外部，结合正方形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理解答即可．
【详解】解：当等边三角形在正方形的内部时，
∵四边形是正方形，
∴，，
∵等边三角形，
∴，，
∴，，
∴，
∴．
当等边三角形在正方形的外部时，
∵四边形是正方形，
∴，，
∵等边三角形，
∴，，
∴，，
∴，
∴．
故答案为：或．
12．如图，已知，分别是正方形的边，上的点，且分别交对角线相交于 ，若，则 度．
【答案】
【分析】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等边对等角，连接，证明和全等得， 进而得， 同理可证和全等，则进而得，由此可得的度数，熟练掌握正方形的性质和全等三角形的判定和性质是解题的关键．
【详解】解：连接，如图所示：
∵四边形是正方形，为对角线，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
同理：，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
13．已知正方形的边长为4，点为线段上的动点（不与点重合），点关于直线的对称点为点，连接，，，，当是以为腰的等腰三角形时，的值为 ．
【答案】或
【分析】当△是以为腰的等腰三角形时，有以下两种情况：①当时，过点作于点，的延长线交于点，则四边形是矩形，进而得，△是等边三角形，则，，在四边形中，，，则进而得，则；②当时，过点作，的延长线交于点，则是正方形的一条对称轴，进而得，则△是等边三角形，然后在中可求出，综上所述即可得出的值．
【详解】解：四边形是正方形，且边长为4，
，，
根据轴对称的性质得：，，，，
当是以为腰的等腰三角形时，有以下两种情况：
①当时，过点作于点，的延长线交于点，如图1所示：
，
四边形是矩形，
，
，
是等边三角形，
，，
，
在中，由勾股定理得：，
，
在四边形中，，，
，
，
在中，，
；
②当时，过点作，的延长线交于点，如图2所示：
，
是的垂直平分线，
所在直线是正方形的一条对称轴，
，
是等边三角形，
，
，
在中，，
由勾股定理得：，
．
综上所述：当是以为腰的等腰三角形时，的值为或．
故答案为：或．
14．如图，正方形的边长为6，为边上一点，为边上的一个动点，连接，以为一条直角边向左侧作等腰直角三角形，且使，则点运动的路径长是 ．
【答案】
【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质等知识，过G作于H，在取点P，使，，得出，，进而得出，根据等边对等角和三角形的内角和定理可求出，则点G在以为顶点，在的左侧，与成的直线上运动，故当F和C重合时，G和P重合，当F和D重合时，G和Q重合，如图，过Q作于O，同理可证，，，根据勾股定理求出，即可求解．
【详解】解∶过G作于H，在取点P，使，
∵，在正方形中，，
∴，
又，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴点G在以为顶点，在的左侧，与成的直线上运动，
当F和C查重时，G和P重合，当F和D重合时，G和Q重合，如图，过Q作于O，
同理可证，，
∴，
∴，
即点运动的路径长是，
故答案为：．
15．如图，有一块边长为4的正方形（四条边相等，四个角是直角）塑料模板，将一块足够大的直角三角板的直角顶点落在点，两条直角边分别与交于点，与的延长线交于点，则四边形的面积是 ．
【答案】16
【分析】本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，正方形的面积，熟练掌握正方形的性质，三角形全等的判定和性质是解题的关键．证明，得到，计算即可．
【详解】解：∵正方形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：16．
16．将对角线分别为和的菱形改为一个面积不变的正方形，则正方形的边长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了菱形的面积和正方形的面积计算的方法，已知对角线的长度，根据菱形的面积计算公式即可计算菱形的面积，进一步开方求得正方形的边长即可．
【详解】解：菱形的对角线分别为和，
菱形的面积，
正方形的边长是
故答案为：
17．如图，菱形的面积为，正方形的面积为则菱形的边长为 ．
【答案】
【分析】本题考查的是正方形的性质，菱形的性质，勾股定理的应用，先证明，，，，再进一步可得，结合勾股定理可得答案．
【详解】解：如图，记的交点为，
∵正方形的面积为，
∴，，，，
∴，，
∵菱形的面积为，
∴，，
∴，，
∴；
故答案为：
18．如图，的两条直角边，，分别以的三边为边作三个正方形．若四个阴影部分面积分别为，，，．则的值为 ，的值为 ．
【答案】 6 0
【分析】根据的三边为边作三个正方形得，，，，，，即可得，，利证明，即可得，利用证明，得，即可得，，设，，根据四边形，四边形，四边形都是正方形，得，，,，则，可得，即可得．
【详解】解：∵的三边为边作三个正方形，
∴，，，，
，，，
∴，，
在和中，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，，
∵四边形，四边形，四边形都是正方形，
∴，，，
∵，
∴
∴，
故答案为：6，0．
三、解答题（本大题共6个小题，共46分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．如图，是正方形的对角线，点为上一点，连接，，在上截取，连接，求的度数．
【答案】
【分析】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，根据正方形的性质得，，，则，再根据，得，进而可得的度数，掌握正方形的性质是解题的关键．
【详解】解：∵四边形是正方形，是对角线，
∴，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
20．如图，正方形中，点E、F分别在边、上，且．
(1)求的度数；
(2)求证：．
【答案】(1)(2)见解析
【分析】（1）由正方形得到，然后由得到，进而利用三角形内角和定理求解即可；
（2）如图所示，延长到H，使得，连接，证明得到，，再证明得到，再根据线段之间的关系即可证明结论．
【详解】（1）∵四边形是正方形
∴
∵
∴
∴；
（2）证明：如图所示，延长到H，使得，连接，
∵四边形是正方形，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，即，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
21．如图，在四边形中，，对角线、交于点O，过点B作交于点E．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，E为的中点，当的长为 时，四边形是正方形．
【答案】(1)见解析(2)
【分析】（1）先证明，证明，再证明得到，证明四边形是平行四边形，结合，可证明四边形是菱形；
（2）设，则，根据四边形是正方形，
得到，故，求得（舍去），
故．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形
（2）解：当的长为时，四边形是正方形．
理由如下：∵四边形是菱形，
∴，
∵E为的中点，
∴，
设，则，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
解得（舍去），
∴，
∴当的长为时，四边形是正方形．
故答案为：．
22．图、图、图均为的正方形网格，每个小正方形的边长为，线段的端点均在格点上，按题目要求作图：
(1)在图中，以为对角线作正方形．
(2)在图中，以为边作菱形（非正方形）．
(3)在图中，以为对角线作矩形，使其面积为．
【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析
【分析】本题考查作图一应用与设计作图，正方形的判定和性质，矩形的判定和性质，菱形的判定和性质等知识，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．
（1）根据题目要求作出正方形即可；
（2）根据题目要求作出菱形即可；
（3）根据题目要求作出矩形即可．
【详解】（1）解：如图所示：
（2）解：如图所示：
（3）解：如图所示：
23．如图，正方形中，，有一动点从点出发沿、、以每秒个单位长度的速度移动．以为原点，射线方向为轴正方向，射线为轴正方向建立直角坐标系．问：
(1)当点移动的时间秒和秒时，分别写出点的坐标；
(2)当点移动的时间为秒时，试用含的代数式表示的面积．
【答案】(1)，(2)
【分析】本题主要考查了正方形的性质，三角形的面积计算，分类讨论动点的轨迹，熟练掌握分类讨论思想是解题关键．
（1）根据题意建立以为原点的平面直角坐标系，根据正方形的性质，可得各个顶点的坐标，先求出当秒和秒时点的路程，得点在上或在上，即可求解；
（2）可分成三种情况讨论：①当时，点在上，；②当时，点在上，；③当时，点在上，，即可求解．
【详解】（1）解：如图，
四边形是正方形，且，
，轴，轴，轴轴，
，，，，
当秒时，点走的路程，
，
点在上，
，
点；
当秒时，点走的路程，
，
点在上，
，
点．
综上所述，当点移动的时间秒时，坐标为，当点移动的时间秒时，坐标为．
（2）解：可分成三种情况讨论：
①如图，当时，点在上，
，
；
②如图，当时，点在上，
过点作，
，
四边形是矩形，
，
；
③如图，当时，点在上，
，
，
．
综上所述，．
24．已知：在正方形中，点E是延长线上一点，且，连接．
(1)如图1，过点D作的垂线交于点F，根据题意在图1画出，且图中与相等的角是____________．
(2)在（1）的条件下，连接，取的中点G，连接，若时，请写出线段之间的数量关系，并证明．
(3)如图2，当点E在延长线上时，请你写出线段之间的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)(2)(3)
【分析】（1）根据题意做出图形，再根据正方形的性质得到，，又，得，从而．
（2）在上取点M，使得，连接，证，G为的中点，得到，得，即可解答．
（3）在延长线上取一点M，使得，连接，由正方形的性质得，，进而证明，得，又证是的中位线，得，再证，再利用勾股定理得，从而得解．
【详解】（1）补全图形，如图所示
∵四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴．
（2）在上取点M，使得，连接，
∵，，，
∴，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴，
∵G为的中点，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴．
（3）在延长线上取一点M，使得，连接，
∵四边形是正方形，
∴，，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵G为的中点，
∴是的中位线，，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
试卷第1页，共3页
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