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专题5.3.2 正方形（二）九大题型（一课一讲）
（内容：正方形的判定及其应用）
【浙教版】
题型一：正方形判定定理的理解
【经典例题1】（山东省泰安市2024-2025学年（五四制）下学期期中学情抽测九年级数学样题）下列说法正确的个数有（ ）
①对角线互相垂直的四边形是矩形；
②有一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形；
③顺次连接一四边形各边的中点所得到四边形是矩形，则这个四边形一定就是矩形；
④邻边相等的矩形是正方形
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【分析】本题主要考查了正方形的判定、菱形的判定、矩形判定，根据正方形的判定、菱形的判定、矩形判定及中点四边形的概念判断即可．
【详解】解：①对角线互相垂直的平行四边形是菱形，原说法错误；
②有一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形；原说法正确．
③顺次连接一个四边形各边中点所得到的四边形是矩形，那么原四边形是菱形或对角线垂直的四边形，原说法错误；
④邻边相等的矩形是正方形，原说法正确．
故②④说法正确，
故选：C
【变式训练1-1】（24-25八年级下·上海·期中）下列命题中是真命题的是（ ）
A．对角线相等的矩形是正方形 B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．对角线互相垂直的平行四边形是矩形 D．对角线互相平分且相等的四边形是矩形
【答案】D
【分析】本题考查了判断命题真假，平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理，熟练掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理是解此题的关键．
根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理判断即可得出答案．
【详解】解：A、对角线垂直的矩形是正方形，故原说法错误，不符合题意；
B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故原说法错误，不符合题意；
C、对角线相等的平行四边形是矩形，故原说法错误，不符合题意；
D、对角线互相平分且相等的四边形是矩形，正确，符合题意．
故选：D．
【变式训练1-2】（24-25八年级下·重庆·期中）下列说法错误的是（ ）
A．对角线互相垂直的菱形是正方形
B．四个角都相等的四边形是矩形
C．四条边都相等的四边形是菱形
D．对角线互相平分的四边形是平行四边形
【答案】A
【分析】本题考查了正方形的判定，矩形的判定，菱形和平行四边形的判定，根据以上判定方法逐项判断即可求解，掌握相关知识点是解题的关键．
【详解】解：、对角线互相垂直的矩形是正方形，该选项说法错误，符合题意；
、四个角都相等的四边形是矩形，该选项说法正确，不合题意；
、四条边都相等的四边形是菱形，该选项说法正确，不合题意；
、对角线互相平分的四边形是平行四边形，该选项说法正确，不合题意；
故选：．
【变式训练1-3】（24-25八年级下·广西桂林·期中）下列说法错误的是（ ）
A．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
B．一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形
C．四个角都相等的菱形是正方形
D．对角线相等的平行四边形是矩形
【答案】B
【分析】此题考查平行四边形的判定、菱形的判定、正方形的判定等知识，正确理解和掌握平行四边形、矩形、菱形与正方形的定义是解题的关键．
【详解】解：对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，故A说法正确；
一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，可能是等腰梯形，故B说法错误；
四个角都相等的菱形是正方形，故C说法正确；
对角线相等的平行四边形是矩形，故D说法正确；
故选：B．
【变式训练1-4】（24-25八年级下·重庆·期中）下列说法中，正确的是（ ）
A．对角线互相平分的四边形是平行四边形 B．对角线互相平分的四边形是矩形
C．一组邻边相等的四边形是菱形 D．四条边相等的四边形是正方形
【答案】A
【分析】本题考查平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理．根据题意逐一对选项进行分析即可得到本题答案．
【详解】解：∵对角线互相平分的四边形是平行四边形，即A选项符合题意，
∵对角线相等且互相平分的四边形是矩形，即B选项不符合题意，
∵一组邻边相等的平行四边形是菱形，即C选项不符合题意，
∵四条边相等且有一个角是直角的四边形是正方形，即D选项不符合题意，
故选：A．
【变式训练1-5】（24-25八年级下·全国·课后作业）黑板上画有一个图形，学生甲说它是多边形，学生乙说它是平行四边形，学生丙说它是菱形，学生丁说它是矩形，老师说这四名同学的答案都正确，黑板上画的图形是 ．
【答案】正方形
【分析】本题考查了正方形的判定定理，熟练掌握正方形的判定定理是解题的关键．
根据正方形的定义与判定定理即可判断．
【详解】解：正方形定义：有一组邻边相等并且有一个内角是直角的平行四边形叫做正方形；判定定理1：有一组邻边相等的矩形是正方形；判定定理2：有一个内角是直角的菱形是正方形，因此得到黑板上画的图形是正方形，
故答案为：正方形．
【变式训练1-6】（24-25八年级上·北京东城·期中）如图，在矩形中，，．如果、分别是、上的点，且经过中点，，是对角线上的点．下列判断正确的有 ．（填序号）
①在上存在无数组、，使得四边形是平行四边形；
②在上存在无数组、，使得四边形是矩形；
③在上存在无数组、，使得四边形是菱形；
④当时，存在，使得四边形是正方形．
【答案】①②③④
【分析】如图，矩形中，为对角线的交点，由中心对称性证明：，所以当时，四边形是平行四边形，当时，四边形是矩形，当，四边形是菱形，再利用正方形的性质求解，从而可得答案.
【详解】解解：如图，矩形，为对角线的交点，
由中心对称性可得：，
当时，四边形是平行四边形，
上存在无数组G、H，使得四边形是平行四边形；故①符合题意；
当时，
四边形是矩形，而不是定值，
在上存在无数组G、H，使得四边形是矩形；故②符合题意；
当四边形是菱形，
在上存在无数组G、H，使得四边形是菱形，故③符合题意；
如图，当四边形是正方形时，
由矩形可得：
当时，存在E、F、G，H，使得四边形是正方形，故④符合题意；
故答案为：①②③④．
题型二：添加一个条件使得四边形是正方形
【经典例题2】（2025·湖南岳阳·一模）数学活动课上，小明用四根长度相同的木条制作成能够活动的菱形学具．老师问小明：要让这个菱形学具成为正方形学具，需要添加的条件可以是（ ）
A．∠B=90° B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了正方形的判定，掌握正方形的判定定理是解题的关键．
利用有一个角为直角的菱形为正方形即可得出答案．
【详解】解：A.有一个角为直角的菱形为正方形，该选项正确，符合题意；
B.该选项不能判定菱形为正方形，故不符合题意；
C. 该选项不能判定菱形为正方形，故不符合题意；
D. 该选项不能判定菱形为正方形，故不符合题意；
故选：A．
【变式训练2-1】（24-25八年级下·江西南昌·期中）小琦在复习几种特殊四边形的关系时整理出如图所示的转换图，（1）（2）（3）（4）处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（ ）
A．（1）处可填 B．（2）处可填
C．（3）处可填 D．（4）处可填
【答案】B
【分析】本题主要考查特殊四边形的关系，熟练掌握特殊四边形的判定是解题的关键．根据四边形的判定定理进行判断即可．
【详解】解：有一个角是直角的平行四边形是矩形，故选项A正确，不符合题意；
邻边相等的矩形是正方形，故选项B错误，符合题意；
邻边相等的平行四边形是菱形形，故选项C正确，不符合题意；
有一个角是直角的菱形是正方形，故选项D正确，不符合题意；
故选B．
【变式训练2-3】（24-25九年级上·陕西咸阳·阶段练习）已知菱形的对角线为和，下列条件中，不能使菱形为正方形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查菱形的性质及正方形的判定．在菱形基础上添加一个内角为直角或者对角线相等即可得到正方形，据此求解即可．
【详解】解：要使菱形成为正方形，只要菱形满足以下条件之一即可，（1）有一个内角是直角（2）对角线相等．
A、当时，菱形是正方形，选项不符合题意；
B、当时，菱形是正方形，选项不符合题意；
C、当时，，菱形是正方形，选项不符合题意；
D、当时，菱形不能确定是正方形，选项符合题意；
故选：D．
【变式训练2-4】（24-25八年级下·北京顺义·阶段练习）已知四边形是平行四边形，若再从①，②，③，④∠D=90°四个条件中，选两个作为补充条件，使得四边形是正方形，则下列四种选法，其中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．①④ D．②④
【答案】C
【分析】本题考查添加条件使四边形为正方形，根据正方形的判定方法，进行判断即可．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴当时，四边形是菱形，
∴当∠D=90°时，菱形是正方形；
故当选择①④时，四边形是正方形；
∵四边形是平行四边形，
∴，，
故当两个条件中有②或者③时，均不能得到四边形是正方形，
故选C．
【变式训练2-5】（24-25九年级上·山西晋中·期中）在矩形中，对角线交于点O，要使矩形成为正方形，需添加的条件是 （写出一个符合要求的条件）．
【答案】（答案不唯一）
【分析】本题考查了矩形的性质，正方形的判定的应用，
【详解】解：添加的条件可以是．理由如下：
∵四边形是矩形，，
∴四边形是正方形．
故答案为：（答案不唯一）．
【变式训练2-6】（24-25九年级上·山西运城·期末）如图，已知四边形是菱形，从①，②，③中选择一个作为条件后，使四边形成为正方形，则应该选择的是 （仅填序号）．
【答案】③
【分析】根据菱形的性质和正方形的判定进行逐一判断即可．本题主要考查了菱形的性质，正方形的判定，熟知正方形的判定定理是解题的关键．
【详解】解：依题意，由四边形是菱形加上条件不能证明四边形成为正方形；
由四边形是菱形加上条件不能证明四边形成为正方形；
当四边形是菱形加上条件，则证明过程如下：
∵四边形是菱形，
∴，，
∴
∵，
∴
∴，
∴四边形是正方形；
故答案为：③．
【变式训练2-7】（24-25九年级上·广东深圳·期中）如图，在中，，点D，E，F分别是边的中点，要使四边形为正方形，不添加辅助线，可以添加的条件是 添加一个条件即可
【答案】（答案不唯一）
【分析】此题重点考查正方形的判定、三角形中位线定理等知识，推导出四边形是矩形是解题的关键．由中位线定理得到，，，结合得四边形是矩形，当时，四边形是正方形，据此可添加条件．
【详解】解：点D，E，F分别是边的中点，
，且，，且，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形，
当时，四边形是正方形，
添加的条件可以是，
故答案为：．（答案不唯一）
题型三：根据正方形的性质和判定求角度
【经典例题3】（22-23八年级上·广西南宁·阶段练习）如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定、正方形的判定与性质，由题意得，四边形是正方形，即可求解；
【详解】解：如图所示：
可得：，
，
∴，四边形是正方形，
∴，
∴
故答案为：
【变式训练3-1】（23-24八年级下·福建宁德·期末）如图，在四边形中，，，，则的度数是 °．
【答案】
【分析】如图，作，于，连接，证明四边形是正方形，则，，证明是等边三角形，则，，根据，求解作答即可．
【详解】解：如图，作，于，连接，
∴四边形是矩形，
∵，
∴四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【变式训练3-3】（2024八年级下·上海·专题练习）如果一个四边形的一条对角线把它分成两个等腰三角形，那么我们就称这条对角线是四边形的“美丽线”．已知是四边形的“美丽线”，如果，，那么 °．
【答案】或
【分析】由是四边形的美丽线，可以得出是等腰三角形，从图，图，两种情况运用等边三角形的性质和判定，正方形的性质和判定和角的直角三角形的性质就可以求出的度数．
【详解】解：是四边形的美丽线，
是等腰三角形．
，
如图，当时，
，，
是正三角形，
．
，
，
，
．
如图，当时，
．
，
四边形是正方形，
，
综上，的度数为或或．
故答案为：或．
【变式训练3-3】（23-24九年级上·福建三明·期中）如图，在矩形中，．若点P满足，且，则 ．
【答案】
【分析】本题考查正方形的判定与性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，通过作辅助线构造全等三角形与正方形是解题的关键．过点P作交延长线于M，交延长线于N，过点P作于Q，交于E，证明四边形是矩形，四边形是矩形，四边形是矩形，现证明，从而证明四边形为正方形，利用正方形的性质即可得出结论．
【详解】解：过点P作交延长线于M，交延长线于N，过点P作于Q，交于E，如图，
∵矩形
∴，，，，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∴
，
∴四边形是矩形，四边形是矩形，四边形是矩形，
∴，，
∵
∴，
∴
∵
∴
在与
∴
∴，，
∴四边形为正方形，
∴，
∵，
∴，
∴四边形为正方形，
∴．
故答案为：．
【变式训练3-4】（24-25八年级下·福建泉州·阶段练习）若一个四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，我们把这条对角线叫做这个四边形的和谐线．已知在四边形ABCD中，AB＝AD＝BC，∠BAD＝90°，AC是四边形ABCD的和谐线，则∠BCD的度数 ．
【答案】135°或90°或45°
【分析】由AC是四边形ABCD的和谐线，可以得出△ACD是等腰三角形，然后根据题意画出图形，如图1，当AD＝AC时，证明△ABC是正三角形，求出∠CAD的度数即可得到∠BCD的度数；如图2，当AD＝CD时，证明四边形ABCD是正方形即可；如图3，当AC＝CD时，过点C作CE⊥AD于E，过点B作BF⊥CE于F，求出∠BCF＝30°，∠ACB＝∠ACE即可求出∠BCD的度数．
【详解】解：∵AC是四边形ABCD的和谐线，
∴△ACD是等腰三角形．
∵AB＝AD＝BC，
如图1，当AD＝AC时，
∴AB＝AC＝BC，∠ACD＝∠ADC，
∴△ABC是正三角形，
∴∠BAC＝∠BCA＝60°，
∵∠BAD＝90°，
∴∠CAD＝30°，
∴∠ACD＝∠ADC＝75°，
∴∠BCD＝60°＋75°＝135°；
如图2，当AD＝CD时，
∴AB＝AD＝BC＝CD，
∵∠BAD＝90°，
∴四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD＝90°；
如图3，当AC＝CD时，过点C作CE⊥AD于E，过点B作BF⊥CE于F，
∵AC＝CD，CE⊥AD，
∴AE＝AD，∠ACE＝∠DCE，
∵∠BAD＝∠AEF＝∠BFE＝90°，
∴四边形ABFE是矩形，
∴BF＝AE，
∵AB＝AD＝BC，
∴BF＝BC，
∴∠BCF＝30°，
∵AB＝BC，
∴∠ACB＝∠BAC，
∵ABCE，
∴∠BAC＝∠ACE，
∴∠ACB＝∠ACE＝∠BCF＝15°，
∴∠BCD＝15°×3＝45°，
综上，∠BCD的度数是：135°或90°或45°，
故答案为：135°或90°或45°．
【变式训练3-5】（2025·江西九江·模拟预测）如图，在中，，，是射线上一点，将沿折叠，得到，连接．当为直角三角形时，的度数为 ．
【答案】或或
【分析】本题考查了折叠的性质，正方形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，解题的关键是分类讨论．分两种情况：当时，当时，根据折叠的性质，等腰直角三角形的性质，正方形的判定与性质求解即可．
【详解】解：当时，
，
，
由折叠可得：，，
，
四边形是矩形，
，
矩形是正方形，
；
当时，
，，
，
由折叠可知，，，
，
点、、共线，
，
综上所述，的度数为或．
当时，
∵，
∴，
∴，
由折叠可得，；
故答案为：或或．
题型四：根据正方形的性质和判定求线段长度
【经典例题4】（24-25八年级下·广西南宁·期中）如图，在中，，，由尺规作图得射线与边交于点，过分别作于点．若，则的长为（ ）
A．2 B． C． D．3
【答案】C
【分析】本题主要考查了正方形的判定与性质、角平分线的性质、含30度直角三角形的性质、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键．先根据角平分线的性质以及已知条件证明四边形是正方形可得，再说明，然后根据含30度直角三角形的性质以及勾股定理得到，最后根据线段的和差即可解答．
【详解】解：∵，，
∴四边形是矩形，
由作图可知：为的角平分线，
∵，
∴，
∴四边形是正方形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴．
故选：C．
【变式训练4-1】（24-25九年级上·重庆北碚·阶段练习）如图，已知四边形为正方形，为对角线上一点，连接，过点作，交的延长线于点，，，则的长为（ ）
A． B． C．6 D．
【答案】D
【分析】过点分别作的垂线，垂足分别为、，由正方形的性质得到，则由角平分线的性质得到，据此证明四边形是正方形，再利用勾股定理求出，则，可得，再证明，即可得到．
【详解】解：如图所示，过点分别作的垂线，垂足分别为、，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∵，，
∴，四边形是矩形，
∴四边形是正方形，
∴，，
∵在中，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
【变式训练4-2】（23-24八年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）如图，直角三角形ABC中，，，，，过点的直线，若点到三边的距离相等，则点到直线的距离是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】此题主要考查了点到直线的距离，关键是根据三角形的面积公式由点到三边的距离相等求出，进而由点到直线的距离是，得出答案．
【详解】解：过点D作，，，垂足分别为，，，连接，，，
∴，
∵，
∴四边形是正方形，
设
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴，，
∴点到直线的距离是，
故选：B．
【变式训练4-3】（24-25九年级上·陕西西安·开学考试）如图，在正方形中，点P在对角线上，分别为垂足，连接，若，则（ ）.
A． B． C． D．5
【答案】A
【分析】本题主要考查了正方形的性质、正方形的判定、矩形的判定、勾股定理等知识点，掌握矩形和正方形的判定方法成为解题的关键.
如图：延长交于G，则,由正方形的性质可得，易证四边形是矩形、四边形是矩形、四边形是矩形，则 、；再根据等腰直角三角形的性质、勾股定理可得、,即四边形是正方形，进而得到，最后运用勾股定理即可解答.
【详解】解：如图：延长交于G，则,
∵正方形中，点P在对角线上，
∴,
∵分别为垂足，
∴四边形是矩形，四边形是矩形，四边形是矩形，
∴ ,,
∵，，
∴,即四边形是正方形，
∴,
∵，
∴,
∵,
∴,解得,
∵四边形是矩形，四边形是正方形，
∴,
∴.
故选A.
【变式训练4-4】（23-24九年级下·浙江·阶段练习）如图，小浙同学用长度相等的四根木条制作了可活动的四边形学具，改变其内角度数，四边形变为四边形，若，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此题考查了正方形的性质，勾股定理，含角直角三角形的性质，分母有理化等知识，解题的关键是掌握以上知识点．
首先证明出四边形是正方形，设正方形的边长为a，然后利用勾股定理求出，连接，过点作交的延长线于点E，得到，然后利用勾股定理求出，进而求解即可．
【详解】∵小浙同学用长度相等的四根木条制作了可活动的四边形学具，
∴四边形是菱形
∵
∴四边形是正方形
∴设正方形的边长为a
∴
∴
如图所示，连接，过点作交的延长线于点E
∵，
∴
∴
∴
∴，
∴
∴．
故选：D．
【变式训练4-5】（24-25八年级下·辽宁沈阳·期中）在中，，，，过点A作，点E为直线上一动点，作点A关于直线的对称点，当点落在的垂直平分线上时，的长为 ．
【答案】或1
【分析】先求出，，，再分两种情况：①当点在射线时，过点作于点，过点作于点，连接，求出，设，则，利用勾股定理求解即可得；②当点在射线时，过点作于点，连接，证出点在的垂直平分线上，再证出，根据全等三角形的性质即可得．
【详解】解：∵在中，，，，
∴，
设的垂直平分线交于点，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，即．
①如图，当点在射线时，
过点作于点，过点作于点，连接，
∴四边形是正方形，四边形是矩形，
∴，
由轴对称的性质得：，，
∴，
∴，
设，则，
在中，，即，
解得，
∴；
②如图，当点在射线时，
过点作于点，连接，
∴四边形是正方形，
∴，
由轴对称的性质得：，垂直平分，
∴，
∴，
∴，
∴点在的垂直平分线上，
在和中，
，
∴，
∴；
综上，的长为或1，
故答案为：或1．
【变式训练4-6】（24-25八年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，在锐角中，于点D．若，则的长为 ．（用含有a，b的代数式表示）
【答案】
【分析】本题考查正方形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是添加辅助线，构造特殊图形：将分别沿着翻折，得到，连接并延长交于点，证明四边形为正方形，得到，进而得到，设，则：，利用勾股定理进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
将分别沿着翻折，得到，连接并延长交于点，如图：
则：，，
∵，
∴，
∴四边形为正方形，
∴，
∴，
设，则：，
在中，，
∴
∴
∴；
故答案为：．
题型五：根据正方形的性质和判定求面积
【经典例题5】（23-24八年级下·宁夏石嘴山·阶段练习）如图，语文中的汉语拼音书写是由等距离、等长度的四线三格平行横线组成，已知相邻两条平行线间的距离都是1，正方形的四个顶点分别在四条直线上，则正方形的面积为（ ）
A． B． C．3 D．5
【答案】D
【分析】本题考查了正方形的性质、三角形全等的判定与性质，勾股定理等知识，过点D作，垂足为，延长交于点E，易证，根据正方形的性质可证，得到，由，利用勾股定理得出，再根据正方形的面积公式即可求解．
【详解】解：如图，过点D作，垂足为，延长交于点E，
，，
，
已知相邻两条平行线间的距离都是1，四边形是正方形，
，
，
，
，
，
，
，
正方形面积是，
故选：D．
【变式训练5-1】（23-24八年级下·山西临汾·期末）如图，在五边形中，，，，，连结，．若，则的面积为（ ）
A．15 B．20 C．25 D．30
【答案】A
【分析】此题考查了正方形的性质和判定，解题的关键是证明出四边形是正方形．
延长，交于点F，首先证明出四边形是正方形，得到，，求出，，然后利用的面积代数求解即可．
【详解】如图所示，延长，交于点F，
∵
∴四边形是矩形
∵
∴四边形是正方形
∴，
∵，，
∴，
∴的面积
．
故选：A．
【变式训练5-2】某同学的卧室地面形状是一个如图所示的四边形，现在量得，若点到的距离为4米，则该同学的卧室地面的面积为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查三角形全等的判定及性质，正方形的判定．
过点B作于点E，则，，过点B作，交的延长线于点F，则，从而，四边形是矩形，，因此，得到，进而通过“”证明，得到，矩形是正方形，．
【详解】过点B作于点E，则，，
过点B作，交的延长线于点F，则
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，即，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴矩形是正方形，
∵，
∴．
故选：C
【变式训练5-3】（24-25八年级下·山东青岛·期中）在四边形中，平分，并且，若，，，求的面积 ．
【答案】6
【分析】本题考查了角平分线的性质、全等三角形的证明和性质，正方形的判定和性质，利用角平分线的性质和证明三角形全等是解题的关键．
过D作,交于M，，交延长线于N，证明，可得，再证明四边形是正方形，根据正方形的性质和三角形的面积公式求解．
【详解】如图，过D作,交于M，，交延长线于N，
，
∵平分，，，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
∵
∴，
∴，，
∴，
即，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∵
∴四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：
【变式训练5-4】（23-24九年级下·全国·单元测试）已知四边形中，，，，则这个四边形的面积是
【答案】40或88
【分析】本题考查了矩形的判定与性质，正方形的判定与性质，勾股定理，四边形面积的求法，分两种情况进行讨论，分别求解即可，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：如图，过点作的垂线交于点，则，
∵，，
∴，
∴四边形是矩形，
∵
∴
又∵，，
∴，
∴，
∴，
如图，如图，过点作的垂线交于点，则，
∵，，
∴，
又∵，
∴四边形是正方形，
∵
∴
又∵，，
∴，
∴，
故答案为：40或88．
【变式训练5-5】（23-24八年级下·四川绵阳·期末）如图，P是正方形对角线上的一点，直线m，n经过点P且，若四边形与四边形的面积分别是，，那么四边形与四边形的面积之和是 ．
【答案】
【分析】此题考查了矩形的判定和性质、正方形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，过点P作于点M，的延长线与相交于点R，过点P作于点N，的延长线与相交于点S，证明四边形的面积正方形的面积，，得到，四边形的面积正方形的面积，，则，则四边形与四边形的面积之和矩形和矩形的面积之和，即可得到答案．
【详解】解：过点P作于点M，的延长线与相交于点R，过点P作于点N，的延长线与相交于点S，
∵P是正方形对角线上的一点，
∴，，
∴四边形、都是矩形，，，
∴，
∴四边形是正方形，
∴
∵直线m，n经过点P且，
∴
∴，
∵，
∴
∴，
∴四边形的面积正方形的面积
∴，
同理可证，是正方形，，
则四边形的面积正方形的面积，，
∴四边形与四边形的面积之和矩形和矩形的面积之和，即四边形与四边形的面积之和
故答案为：
【变式训练5-6】（23-24八年级下·山西吕梁·期末）如图，正方形的周长为，顺次连接正方形各边中点、、、，得到四边形的面积等于 ．
【答案】
【分析】本题考查了正方形的性质，三角形的中位线的判定及性质的运用，勾股定理的运用，解答时利用三角形的中位线的性质求解是关键．连接，，根据三角形的中位线的性质，可以得出四边形为正方形，勾股定理求得，进而即可求解．
【详解】解：连接，，
∵点、、、是正方形各边的中点，
∴是的中位线，是的中位线，是的中位线，是的中位线，
∴，，，，
又∵，
∴，
∴四边形是菱形，
又∵，，，
∴，
∴四边形是正方形
∵正方形的周长为，，
∴，
在中，由勾股定理，得，，
∴
∴四边形的面积．
故答案为：．
【变式训练5-7】（23-24九年级上·广东揭阳·期中）如图，在矩形中，交于点O，且，，将绕点C顺时针旋转至，连接，且、分别为、的中点，则四边形的面积是 ．
【答案】
【分析】根据矩形的性质，三角形中位线定理可得，，再根据平行四边形的判定可得四边形为平行四边形，根据旋转的性质可得，，得，从而知四边形为正方形由此即可求解．
【详解】解：四边形为矩形，，，
，
，
、分别为、的中点，
，，
，
四边形为平行四边形，
将绕点顺时针旋转至，
，，
，
四边形为正方形，
，
故答案为：．
题型六：正方形综合之最值问题
【经典例题6】（24-25九年级上·广东深圳·期中）如图所示，在正方形与等边中，三点在一条直线上，且，．若有一动点沿着由往移动，则当的长度最小时，的长为（ ）
A．2 B． C． D．4
【答案】B
【分析】本题考查了正方形的性质、等边三角形的性质，勾股定理，含角的直角三角形的性质，当时，的长度最小并求出的长度是解答关键．
根据正方形和等边三角形的性质得到的长度，利用平角的定义求出，再利用含所对的直角边等于斜边的一半求出，由勾股定理求出，再用来求解．
【详解】.解：当时，的长度最小，
∵四边形是正方形，
∴，．
∵是等边三角形，
∴，．
三点在一条直线上，
∴，
∴，
．
在中，
∴．
故选：B．
【变式训练6-1】（23-24七年级下·山东潍坊·期末）如图，正方形的两边在坐标轴上，，，点为线段上一动点，当的值最小时，点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查轴对称最短路线问题，正方形的性质，一次函数，能够找到当的值最小时，点的位置是解题的关键．连接交于点，连接，推出当的值最小时，点位于点处，再求出点的坐标即可．
【详解】解：连接交于点，连接，
是正方形的对角线，
，
，
的值最小为，此时点位于处，
设直线的解析式为，
，，
，，
，
解得，
直线的解析式为，
直线的解析式为，
联立，
解得，
，
故选：C．
【变式训练6-2】（23-24七年级下·山东济南·期中）已知正方形，点E是边上的动点，以为边作等边三角形，连接，交边于点G，当最小时， ．
【答案】/120度
【分析】本题主要考查了正方形中的计算，解题关键是构造全等三角形．
作等边三角形，连接，由正方形，等边三角形，得，得，故当时最小，此时，即可得．
【详解】解：作等边三角形，连接，
∵正方形，等边三角形，
∴，，，
∴，
∴，
故当时最小，此时，
∴．
故答案为：．
【变式训练6-3】（2024·贵州黔东南·二模）如图，在正方形中，，点是边的中点，是对角线上的动点（点在点的上方），且，连接．当的值最小时，的面积是 ．
【答案】1
【分析】取的中点，连接，取的中点，连接，则是的中位线，有．进一步求得和，即可判定四边形是平行四边形，那么，．连接，交于点，则当点位于点处时，的值最小，即的值最小，此时的点记为点，结合正方形的性质求得即可求得面积．
【详解】解：如图，取的中点，连接，取的中点，连接，
∵点是边的中点，
是的中位线，
．
在正方形中，，
，
，
∴
∴四边形是平行四边形，
，
．
连接，交于点，则当点位于点处时，的值最小，即的值最小．
将此时的点记为点，由正方形的对称性可知．
∴．
又，
则的面积为．
故答案为：1．
【变式训练6-4】（2024·陕西西安·模拟预测）如图，点E为正方形内一点，连接，若正方形的边长为6，则当图中阴影部分的面积最小时，的长为 ．（结果保留根号）
【答案】
【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质．当是的垂直平分线时，取得最大值时，的面积取得最大值，此时阴影部分的面积最小，据此求解即可
【详解】解：阴影部分的面积最小，即的面积取得最大值．
作，垂足为点，
∵正方形，，
∴当是的垂直平分线时，取得最大值时，的面积取得最大值，
∵，
∴，
∴，
∴当时，图中阴影部分的面积最小，
故答案为：．
【变式训练6-5】（24-25九年级上·四川成都·期末）如图，在正方形中，，是上的一点，且，是上的动点，且，，连接，当的值最小时，的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了轴对称最短问题，全等三角形的判定和性质，勾股定理，待定系数法求一次函数解析式，正方形的性质，过点作于，证明，推出，设，则，可得，欲求的最小值，相当于在轴上寻找一点，使得点到，的距离和最小，作点关于轴的对称点，连接交轴于，连接，此时的值最小，求出直线的解析式即可求解，掌握轴对称的性质是解题的关键．
【详解】解：过点作于，则四边形是矩形，
∵四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
设，则，
∴，
欲求的最小值，相当于在轴上寻找一点，使得点到，的距离和最小，
如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于，连接，此时的值最小，
设直线的解析式为，
∵，，
，
解得，
∴直线的解析式为，
∴，
∴时，的值最小，
∵定值，
∴当时，的值最小．
故答案为：．
【变式训练6-6】（23-24八年级下·山东聊城·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点，分别在轴、轴上，四边形是边长为4的正方形，点为的中点，点为上的一个动点，连接，，当点满足的值最小时，直线的解析式为 ．
【答案】
【分析】本题考查了根据轴对称的性质确定最短路径，正方形的性质，用待定系数法求函数解析式，解题的关键是熟练掌握相关性质，确定取最小值时点P的位置，以及用待定系数法求函数解析式的方法和步骤．
易得，，先求出的函数解析式为，连接交于点P，此时点满足的值最小，用待定系数法求出的函数解析式为，进而得出，再用待定系数法，即可得出直线的解析式．
【详解】解：∵四边形是边长为4的正方形，
∴，
设的函数解析式为，
把代入得：，
解得：，
∴的函数解析式为，
∵点为的中点，
∴，
连接交于点P，此时点满足的值最小，
设的函数解析式为，
把，代入得：，
解得：，
∴的函数解析式为，
联立得：，
解得：，
∴，
设直线的解析式为，
把，代入得：，
解得：，
∴直线的解析式为．
故答案为：．
题型七：证明四边形是正方形
【经典例题7】（23-24八年级下·江苏南京·阶段练习）如图，四边形是菱形，对角线、交于点，点、是对角线所在直线上两点，且，连接、、、，．
(1)求证：四边形是正方形；
(2)若正方形的面积为，，求点到线段的距离．
【答案】(1)证明见解析；
(2)点到线段的距离为．
【分析】（1）由菱形的性质可证，根据全等三角形的性质推得，，可证四边形是平行四边形，再结合对角线互相垂直、即可证四边形是正方形；
（2）先求出正方形的边长和对角线长，结合勾股定理求出的长，再结合菱形面积计算公式即可求得点到线段的距离．
【详解】（1）证：菱形中，，，，
，
，
即，
在和中，
，
，
，，
，
四边形是平行四边形，
又点、是对角线所在直线上两点，
，
平行四边形是菱形，
菱形中，平分，，
，
菱形是正方形．
（2）解：正方形的面积为，
正方形的边长为，正方形的对角线长为，
、互相垂直且平分，
，，
，
，
中，，
设点到线段的距离为，
则根据菱形面积计算公式可得：，
即，
解得，
点到线段的距离为．
【变式训练7-1】（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，在矩形中，的平分线交于点，于点，于点，与交于点．
(1)求证：四边形是正方形；
(2)若，求证：；
(3)在（2）的条件下，已知，求的长．
【答案】(1)见解析(2)见解析(3)
【分析】（1）根据角平分线的性质证得，根据正方形的判定即可证得结论；
（2）根据三角形全等的判定证得，由全等三角形的性质即可得到结论；
（3）由（1）可知四边形是正方形，得，再由（2）可知，得，即可得，再推出得即可得出答案．
【详解】（1）证明：∵矩形，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∵平分，
∴，
∴四边形是正方形；
（2）证明：∵平分，
∴，
∵于点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（3）解：由（1）可知四边形是正方形，
∴，，
∴，
由（2）可知，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【变式训练7-2】（24-25八年级下·江苏扬州·期中）如图，在四边形中，，，，，的垂直平分线交于E，交于F，交的延长线于G，若．
(1)求证：四边形是正方形；
(2)求的长．
【答案】(1)见解析(2)8
【分析】（1）先根据，判定四边形是矩形，再根据，即可得到四边形是正方形；
（2）先判定，得出，再根据正方形中，，即可得到，即．
【详解】（1）证明：∵的垂直平分线交于E，交于F，
∴，
∴，
∴，即，
又∵，，
∴，
∴四边形是矩形，
又∵，
∴四边形是正方形；
（2）解：∵垂直平分，
∴，，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
又∵正方形中，，
∴，
∴．
【变式训练7-3】（24-25八年级下·江苏苏州·期中）如图，在△ABC中，，平分，于点，于点，求证：四边形是正方形．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了正方形的判定，角平分线的性质和定义，等腰直角三角形的性质与判定等待，先证明是等腰直角三角形，得到，同理可得，再由角平分线的性质得到，则，据此可证明结论．
【详解】证明：∵在中，，平分，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
同理可得，
∵平分，，，
∴，
∴，
∴四边形是菱形，
又∵，
∴四边形是正方形．
【变式训练7-4】（24-25八年级下·湖北黄石·期中）如图，在 △ABC中， 平分平分 的外角 ，过点A作 垂足为M， 垂足为N，连接交于点O．
(1)求证：；
(2)当线段和满足什么条件时，四边形为正方形．
【答案】(1)见解析(2)
【分析】本题考查了矩形的判定与性质，以及正方形的判定，熟练掌握正方形的判定方法是解答本题的关键．
（1）证明四边形是矩形即可得出；
（2）根据正方形的判定方法可知，当时，四边形为正方形．
【详解】（1）∵ 平分平分 的外角 ，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴；
（2）当时，四边形为正方形，理由；
∵四边形是矩形，，
∴四边形为正方形．
【变式训练7-5】（24-25八年级下·广东珠海·期中）如图，已知矩形，P是上一动点，M、N、E分别是的中点．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)请问当P运动到何处时，四边形是菱形；为什么？
(3)在（2）的条件下，当与满足什么数量关系时，四边形为正方形．（请直接写出结果）
【答案】(1)见解析
(2)当P是的中点时，四边形是菱形，理由见解析
(3)当时，四边形是正方形，理由见解析
【分析】（1）根据三角形的中位线的性质和平行四边形的判定定理可证明；
（2）当P是的中点时，证明，得到，进而可证明四边形是菱形；
（3）四边形是正方形的话，必需为，故只需，进而得到即可．
【详解】（1）证明：、、分别是、、的中点，
是的中位线，是的中位线，
，，
四边形是平行四边形；
（2）解：当P是的中点时，四边形是菱形，
理由如下：
当P是的中点时，即，
∵四边形是矩形，
∴，，
在和中，
，
，
，
、、分别是、、的中点，
，，
，
四边形是菱形；
（3）解：当时，四边形是正方形．
理由：∵，P是的中点，
∴，又，
∴，
∴，
∵四边形是菱形，
∴四边形是正方形．
【变式训练7-6】（2025·山东青岛·模拟预测）如图，在中，，的垂直平分线交于点E，交于点O，交于点F．
(1)求证：．
(2)连接，当与满足什么数量关系时，四边形是正方形？证明你的结论．
【答案】(1)见解析(2)当时，四边形为正方形．理由见解析
【分析】（1）由平行四边形的性质和垂直平分线的性质得到条件即可证明；
（2）先证明四边形是平行四边形，由得到四边形是菱形，再证明，即可得到结论．
【详解】（1）证明：∵ 四边形是平行四边形
∴
∴
∵垂直平分
∴
在和中
∴
（2）当时，四边形为正方形．理由如下：
由（1）知，
∴ 四边形是平行四边形
∵
∴四边形是菱形
∵
∴
在中
∵
∴
∴
∴ 菱形是正方形
题型八：根据正方形的性质和判定证明
【经典例题8】（24-25八年级下·江苏盐城·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，是原点，四边形是边长为5的正方形，点，分别在轴，轴正半轴上，为边上任意一点（不与点，重合），连接，过点作，交于点，且，过点作，交于点，连接，，设．
(1)求点的坐标：（用含的代数式表示）
(2)试判断线段的长是否随点位置的变化而变化，并说明理由．
【答案】(1)
(2)线段的长不随点位置的变化而变化，为定值5，理由见详解
【分析】本题主要考查了正方形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，坐标与图形，平行四边形的性质与判定等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质和判定，并灵活应用．
（1）作轴于，则，先证出，再证明，得出，，求出，即可得出点的坐标；
（2）连接，与交于点，先证明四边形是正方形，得出，，再证出四边形是平行四边形，即可得出．
【详解】（1）解：
如图所示，过点作轴于，则，，
，
四边形是正方形，
，，，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
点的坐标为；
（2）解：线段的长不随点位置的变化而变化，为定值5，理由如下：
如图所示，连接与交于点，
，，，
四边形是矩形，
又，
，
四边形是正方形，
，
，
四边形是平行四边形，
．
线段的长不随点位置的变化而变化，为定值5．
【变式训练8-1】（24-25九年级上·广东广州·开学考试）如图1、图2，P是矩形所在平面内任意一点，连接、、、．
(1)如图1，，点P、A、C三点共线，，求．
(2)如图2，求、、、四者关系．
(3)应用新知：如图3，在中，，，D是内一点，且，，求的最小值．
【答案】(1)16(2)(3)
【分析】（1）连结，交于点O，先证明矩形是正方形，根据正方形的性质可得点P与点O重合，进一步求解即得答案；
（2）过点P作于点F，交于点E，根据勾股定理得，，，，，从而可推得结论；
（3）以，为边作矩形，连结，，过点C作，分别交、的延长线于点G、F，根据（2）的解题思路，首先得到，从而求得，再根据两点之间线段最短，可得，即，当点C、D、E三点共线时，取最小值，从而可求得答案．
【详解】（1）解：连结，交于点O，
四边形是矩形，，
矩形是正方形，
，，，
，
，
，
点P与点O重合，
，
；
（2）解：过点P作于点F，交于点E，
四边形是矩形，
，，
四边形是矩形，
，
，
在中，，
在中，，
在中，，
在中，，
，
即；
（3）
解：以，为边作矩形，连结，，过点C作，分别交、的延长线于点G、F，
四边形是矩形，
，，，
四边形是矩形，
， ，
在中，，
在中，，
在中，，
在中，，
，
，
，
，
，
当点C、D、E三点共线时，取最小值，
即的最小值为．
【变式训练8-2】（23-24九年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图1，已知在中，平分，交于点E，过点E作，交于点F，O是的中点，连接．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，如图2所示：
①求证：；
②若，求的长．
【答案】(1)见解析(2)①见解析；②
【分析】对于（1），根据平行四边形的性质得，可知四边形是平行四边形，
再根据平行线的性质和角平分线的定义得，然后说明,可得结论；
对于（2），①先说明四边形是正方形，可得，进而得出，再说明四边形是矩形，可得，接下来证明，可得，则答案可证；
对于②，取的中点M，连接，根据中位线的性质得，再根据正方形的性质得，进而求出，然后由（2）①得，结合直角三角形的性质得出答案.
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，即，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴.
∵平分,
∴.
∵，
∴,
∴四边形是菱形；
（2）①证明：∵，四边形是菱形,
∴四边形是正方形．
又∵O是的中点．
∴.
∵四边形是正方形，
∴，
∴
∴.
∵，，,
∴四边形是矩形，
∴，
∴，即，
∴，
∴，即．
②解：如图，取的中点M，连接，则是的中位线．
∴．
∵四边形是正方形，
∴，
∴，．
又∵，
∴.
由（2）①得，
∴，
在中，
∴．
【变式训练8-3】（24-25八年级下·江苏南通·阶段练习）如图1，已知矩形，点是上一点，点是延长线上一点，且．
(1)求证：四边形是正方形；
(2)如图2，若点是上一点，且，求的长；
(3)如图3，若点是的中点，连结交于点，求的度数．
【答案】(1)见解析(2)(3)
【分析】本题考查了正方形的性质和判定，矩形的性质，平行四边形的性质和判定，勾股定理，全等三角形的性质与判定，添加合适的辅助线构造全等三角形是解题的关键．
（1）证明即可解答；
（2）连接，证明，设，则，在中，利用勾股定理列方程即可解答；
（3）取的中点，连接，证明四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质可得，再证明即可求得，即可解答．
【详解】（1）证明：四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
在与中，
，
，
，
矩形是正方形；
（2）解：如图，连接，
，
，
根据（1）中可得，
，，
，
，
，
，
设，则，
，
，，
则，
在中，，
即可得，
解得，
故；
（3）解：如图，取的中点，连接，
点是的中点，
，，
四边形为平行四边形，
，
在中，，
，
，
根据（1）中可得，
，
，
．
【变式训练8-4】（24-25八年级下·江苏南京·阶段练习）如图，正方形和正方形，点是上的动点．
(1)连接，．
①求证：；
②求证：；
(2)若，，则_______．
【答案】(1)①证明见解析；②证明见解析(2)或
【分析】（1）①由四边形和四边形是正方形，可得，，，故，得，可得；②连接，作，垂足为，作，垂足为．可证，得出四边形为正方形，得，根据知，即可得；
（2）分两种情况：如图，当在线段上，设，结合，可得，，可得，如图，当在线段的延长线上，同法可得答案．
【详解】（1）证明：①连接、，
正方形和正方形，
，，
．
．
②连接，作，垂足为，作，垂足为．
四边形为矩形
，
结合三角形的内角和可得，
四边形为正方形，
，
．
．
四边形为正方形，
，
由知，
．
（2）解：如图，当在线段上，
由（1）知，四边形为正方形，
∴设，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
如图，当在线段的延长线上，
同理可设：，
∴，
解得：，
∴，
∴，
综上：的长为或．
【变式训练8-5】（23-24八年级下·江苏扬州·期中）如图1，中，，，的外角平分线交于点A，过点A分别作的延长线于，的延长线于．
(1)填空：的度数______；
(2)求证：；
(3)若，求的长；
(4)如图2，在中，，高，，求的长度．
【答案】(1)(2)见解析(3)(4)
【分析】（1）过A点作于G，利用角平分线定义求出，可得，，得再证明四边形是矩形．得，得；
（2）根据角平分线性质得，，即得．
（3）根据（1）（2）小题结论得四边形是正方形，得，根据全等三角形得，设，，根据，得，解得，即得；
（4）把和分别沿翻折，得到和，延长交于点N，可得四边形是正方形，得，得，，根据，即得．
【详解】（1）证明：过A点作于G，
∴，
∵中，，，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∵分别是两个外角的平分线，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴；
故答案为：；
（2）解：过A点作于G，
∵分别是两个外角的平分线，，，
∴，
∴；
（3）解：∵，
∴，
由（1）（2）知，四边形是矩形，，
∴四边形是正方形，
∴，
∵，，
∴，
设，
则，
∵，
∴，
∴，
解得，，
∴；
（4）解：把和分别沿翻折，得到和，延长交于点N，
∴，，，，
∴，
∴四边形是正方形，
∴，
∴，，
∴中，，
∴．
【变式训练8-6】（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）已知，四边形是正方形，绕点旋转（），，，连接．
(1)如图1，求证：；
(2)直线与相交于点．
①如图2，于点，于点，求证：四边形是正方形；
②如图3，连接，若，，直接写出在旋转的过程中，线段长度的最小值．
【答案】(1)见解析(2)①见解析；②
【分析】（1）根据“”证明三角形全等即可；
（2）①根据邻边相等的矩形是正方形证明即可；②作交于点，作于点，证明是等腰直角三角形，求出的最小值，可得结论．
【详解】（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）①证明：如图2中，设与相交于点，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴矩形是正方形；
②解：作交于点，作于点，
此时，
∴，
∵，
∴最大时，最小，，
∴，
由（2）①可知，是等腰直角三角形，
∴．
题型九：中点四边形
【经典例题9】（24-25八年级下·江苏镇江·期中）顺次连结菱形四边的中点所得的四边形是（ ）
A．矩形 B．正方形 C．菱形 D．以上都不对
【答案】A
【分析】本题主要考查了三角形的中位线定理，矩形的判定，菱形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握矩形的判定方法．利用中位线定理证明，则四边形是平行四边形，由得到，即可得到结论．
【详解】解：在菱形中，分别是的中点，
连接、，
在中，
∵，
同理
∴
∵四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
故选A．
【变式训练9-1】（24-25八年级下·天津东丽·期中）若顺次连接四边形的各边中点所得的四边形是菱形，则该四边形一定是（ ）
A．对角线相等的四边形 B．对角线相等的平行四边形
C．等腰梯形 D．对角线互相垂直的四边形
【答案】A
【分析】本题主要考查了菱形的性质，三角形的中位线定理，熟练掌握三角形的中位线定理是解题关键．
根据菱形的性质，得，结合三角形的中位线定理得，即可求解．
【详解】解：如图，
根据题意，四边形是菱形，点、、、分别是、、、的中点，
，，，
，
原四边形一定是对角线相等的四边形．
故选：A．
【变式训练9-2】（24-25八年级下·湖北武汉·期中）下列四个命题：①一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形；②对角线互相垂直且相等的四边形是正方形；③顺次连接矩形四边中点得到的四边形是菱形；④等边三角形是轴对称图形．其中真命题共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】本题考查命题与定理，平行四边形、正方形、菱形的判定，中点四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．
根据正方形、菱形、菱形的性质以及平行四边形的判定即可一一判断.
【详解】解：①一组对边平行，可以推出同旁内角互补，又因为一组对角相等，利用等量代换可得出另一组对边也平行，所以该四边形是平行四边形，是真命题；
②对角线互相垂直且相等的四边形不一定是正方形，也可能是筝形等，是假命题；
③顺次连接矩形四边中点，根据三角形中位线定理，矩形对角线相等可以得到的在中点四边形四条边都相等，是菱形，是真命题；
④等边三角形是轴对称图形，是真命题．
所以真命题有①③④，共3个，选C．
【变式训练9-3】（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）如图，连接四边形各边中点得到四边形，要使四边形为矩形，则对角线，应满足（ ）
A． B．平分
C．平分 D．
【答案】D
【分析】本题考查了三角形的中位线定理、平行四边形的判定、矩形的判定等知识，熟练掌握三角形的中位线定理是解题关键．先根据三角形的中位线定理可得，，，从而可得，再证出四边形为平行四边形，然后根据矩形的判定即可得．
【详解】解：由题意得：点分别是的中点，
∴，
同理可得：，，
∴，
∴四边形为平行四边形，
要使平行四边形为矩形，则需要，
又∵，，
∴要使，则需要，
故选：D．
【变式训练9-4】（24-25八年级下·江苏苏州·期中）如图，、、、分别是、、、的中点，且，下列结论：①；②四边形是矩形；③平分；其中正确的是 ．
【答案】①③/③①
【分析】本题考查了三角形中位线定理与菱形的判定与菱形的性质，根据三角形的中位线定理与判定四边形是菱形是解答本题的关键．
根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半与可得四边形是菱形，然后根据菱形的对角线互相垂直平分，并且平分每一组对角的性质对各小题进行判断．
【详解】解：、、、分别是、、、的中点，
，，，，
，
，
四边形是菱形，
，平分，故①③正确；
无法证明四边形是矩形，故②错误；
综上所述，①③共2个正确．
故答案为：①③．
【变式训练9-5】（24-25八年级下·江苏镇江·期中）如图，四边形的两条对角线分别为和，且满足，，那么依次连接它的各边中点得到的四边形的面积为 ．
【答案】
【分析】此题考查了中点四边形的性质．学生灵活运用三角形的中位线定理，平行四边形的判定和矩形的判定进行证明，是一道综合题．
由三角形中位线的性质，可判定且，同理，得且．继而可证得四边形为平行四边形，． 再由证明为矩形，即可求出四边形的面积．
【详解】证明：∵分别为的中点，
∴且．
∵分别为的中点，
∴且．
∴且．
同理，得且．
∴四边形为平行四边形．
∵，
∴．
∴四边形为矩形．
∴
即四边形的面积为．
故答案为：
【变式训练9-6】（24-25八年级下·山东威海·阶段练习）如图，顺次连接任意四边形各边中点，所得的四边形是中点四边形．
下列四个叙述：
①中点四边形一定是平行四边形；
②当四边形是矩形，中点四边形也是矩形；
③当四边形是菱形，中点四边形也是菱形；
④当四边形是正方形，中点四边形也是正方形．其中正确的结论是 （只填代号）
【答案】①④/④①
【分析】此题考查了三角形的中位线定理、平行四边形的判定、菱形的判定、矩形的判定与正方形的判定．熟练掌握中位线定理是解题的关键；连接，，根据三角形中位线定理“三角形的中位线等于第三边的一半”，再根据平行四边形的判定，菱形的判定，矩形的判定，正方形的判定，求解即可．
【详解】解：如图，连接，，
，，，分别是四边形各边的中点，
，
四边形是平行四边形；（①正确）
若四边形是矩形，
＝，
＝，＝，
＝，
四边形是菱形；（②错误）
若四边形是菱形，
，
∵，
，
四边形是矩形，不一定是菱形；（③错误）
四边形是正方形，
＝，，
＝，＝，
＝，
四边形是菱形；
，，
，
，
四边形是正方形．（④正确）
正确的是①④．
故答案为：①④．中小学教育资源及组卷应用平台
专题5.3.2 正方形（二）九大题型（一课一讲）
（内容：正方形的判定及其应用）
【浙教版】
题型一：正方形判定定理的理解
【经典例题1】（山东省泰安市2024-2025学年（五四制）下学期期中学情抽测九年级数学样题）下列说法正确的个数有（ ）
①对角线互相垂直的四边形是矩形；
②有一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形；
③顺次连接一四边形各边的中点所得到四边形是矩形，则这个四边形一定就是矩形；
④邻边相等的矩形是正方形
A．4 B．3 C．2 D．1
【变式训练1-1】（24-25八年级下·上海·期中）下列命题中是真命题的是（ ）
A．对角线相等的矩形是正方形 B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．对角线互相垂直的平行四边形是矩形 D．对角线互相平分且相等的四边形是矩形
【变式训练1-2】（24-25八年级下·重庆·期中）下列说法错误的是（ ）
A．对角线互相垂直的菱形是正方形
B．四个角都相等的四边形是矩形
C．四条边都相等的四边形是菱形
D．对角线互相平分的四边形是平行四边形
【变式训练1-3】（24-25八年级下·广西桂林·期中）下列说法错误的是（ ）
A．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
B．一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形
C．四个角都相等的菱形是正方形
D．对角线相等的平行四边形是矩形
【变式训练1-4】（24-25八年级下·重庆·期中）下列说法中，正确的是（ ）
A．对角线互相平分的四边形是平行四边形 B．对角线互相平分的四边形是矩形
C．一组邻边相等的四边形是菱形 D．四条边相等的四边形是正方形
【变式训练1-5】（24-25八年级下·全国·课后作业）黑板上画有一个图形，学生甲说它是多边形，学生乙说它是平行四边形，学生丙说它是菱形，学生丁说它是矩形，老师说这四名同学的答案都正确，黑板上画的图形是 ．
【变式训练1-6】（24-25八年级上·北京东城·期中）如图，在矩形中，，．如果、分别是、上的点，且经过中点，，是对角线上的点．下列判断正确的有 ．（填序号）
①在上存在无数组、，使得四边形是平行四边形；
②在上存在无数组、，使得四边形是矩形；
③在上存在无数组、，使得四边形是菱形；
④当时，存在，使得四边形是正方形．
题型二：添加一个条件使得四边形是正方形
【经典例题2】（2025·湖南岳阳·一模）数学活动课上，小明用四根长度相同的木条制作成能够活动的菱形学具．老师问小明：要让这个菱形学具成为正方形学具，需要添加的条件可以是（ ）
A．∠B=90° B． C． D．
【变式训练2-1】（24-25八年级下·江西南昌·期中）小琦在复习几种特殊四边形的关系时整理出如图所示的转换图，（1）（2）（3）（4）处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（ ）
A．（1）处可填 B．（2）处可填
C．（3）处可填 D．（4）处可填
【变式训练2-3】（24-25九年级上·陕西咸阳·阶段练习）已知菱形的对角线为和，下列条件中，不能使菱形为正方形的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2-4】（24-25八年级下·北京顺义·阶段练习）已知四边形是平行四边形，若再从①，②，③，④∠D=90°四个条件中，选两个作为补充条件，使得四边形是正方形，则下列四种选法，其中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．①④ D．②④
【变式训练2-5】（24-25九年级上·山西晋中·期中）在矩形中，对角线交于点O，要使矩形成为正方形，需添加的条件是 （写出一个符合要求的条件）．
【变式训练2-6】（24-25九年级上·山西运城·期末）如图，已知四边形是菱形，从①，②，③中选择一个作为条件后，使四边形成为正方形，则应该选择的是 （仅填序号）．
【变式训练2-7】（24-25九年级上·广东深圳·期中）如图，在中，，点D，E，F分别是边的中点，要使四边形为正方形，不添加辅助线，可以添加的条件是 添加一个条件即可
题型三：根据正方形的性质和判定求角度
【经典例题3】（22-23八年级上·广西南宁·阶段练习）如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则 ．
【变式训练3-1】（23-24八年级下·福建宁德·期末）如图，在四边形中，，，，则的度数是 °．
【变式训练3-3】（2024八年级下·上海·专题练习）如果一个四边形的一条对角线把它分成两个等腰三角形，那么我们就称这条对角线是四边形的“美丽线”．已知是四边形的“美丽线”，如果，，那么 °．
【变式训练3-3】（23-24九年级上·福建三明·期中）如图，在矩形中，．若点P满足，且，则 ．
【变式训练3-4】（24-25八年级下·福建泉州·阶段练习）若一个四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，我们把这条对角线叫做这个四边形的和谐线．已知在四边形ABCD中，AB＝AD＝BC，∠BAD＝90°，AC是四边形ABCD的和谐线，则∠BCD的度数 ．
【变式训练3-5】（2025·江西九江·模拟预测）如图，在中，，，是射线上一点，将沿折叠，得到，连接．当为直角三角形时，的度数为 ．
题型四：根据正方形的性质和判定求线段长度
【经典例题4】（24-25八年级下·广西南宁·期中）如图，在中，，，由尺规作图得射线与边交于点，过分别作于点．若，则的长为（ ）
A．2 B． C． D．3
【变式训练4-1】（24-25九年级上·重庆北碚·阶段练习）如图，已知四边形为正方形，为对角线上一点，连接，过点作，交的延长线于点，，，则的长为（ ）
A． B． C．6 D．
【变式训练4-2】（23-24八年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）如图，直角三角形ABC中，，，，，过点的直线，若点到三边的距离相等，则点到直线的距离是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式训练4-3】（24-25九年级上·陕西西安·开学考试）如图，在正方形中，点P在对角线上，分别为垂足，连接，若，则（ ）.
A． B． C． D．5
【变式训练4-4】（23-24九年级下·浙江·阶段练习）如图，小浙同学用长度相等的四根木条制作了可活动的四边形学具，改变其内角度数，四边形变为四边形，若，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练4-5】（24-25八年级下·辽宁沈阳·期中）在中，，，，过点A作，点E为直线上一动点，作点A关于直线的对称点，当点落在的垂直平分线上时，的长为 ．
【变式训练4-6】（24-25八年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，在锐角中，于点D．若，则的长为 ．（用含有a，b的代数式表示）
题型五：根据正方形的性质和判定求面积
【经典例题5】（23-24八年级下·宁夏石嘴山·阶段练习）如图，语文中的汉语拼音书写是由等距离、等长度的四线三格平行横线组成，已知相邻两条平行线间的距离都是1，正方形的四个顶点分别在四条直线上，则正方形的面积为（ ）
A． B． C．3 D．5
【变式训练5-1】（23-24八年级下·山西临汾·期末）如图，在五边形中，，，，，连结，．若，则的面积为（ ）
A．15 B．20 C．25 D．30
【变式训练5-2】某同学的卧室地面形状是一个如图所示的四边形，现在量得，若点到的距离为4米，则该同学的卧室地面的面积为（ ）．
A． B． C． D．
【变式训练5-3】（24-25八年级下·山东青岛·期中）在四边形中，平分，并且，若，，，求的面积 ．
【变式训练5-4】（23-24九年级下·全国·单元测试）已知四边形中，，，，则这个四边形的面积是
【变式训练5-5】（23-24八年级下·四川绵阳·期末）如图，P是正方形对角线上的一点，直线m，n经过点P且，若四边形与四边形的面积分别是，，那么四边形与四边形的面积之和是 ．
【变式训练5-6】（23-24八年级下·山西吕梁·期末）如图，正方形的周长为，顺次连接正方形各边中点、、、，得到四边形的面积等于 ．
【变式训练5-7】（23-24九年级上·广东揭阳·期中）如图，在矩形中，交于点O，且，，将绕点C顺时针旋转至，连接，且、分别为、的中点，则四边形的面积是 ．
题型六：正方形综合之最值问题
【经典例题6】（24-25九年级上·广东深圳·期中）如图所示，在正方形与等边中，三点在一条直线上，且，．若有一动点沿着由往移动，则当的长度最小时，的长为（ ）
A．2 B． C． D．4
【变式训练6-1】（23-24七年级下·山东潍坊·期末）如图，正方形的两边在坐标轴上，，，点为线段上一动点，当的值最小时，点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练6-2】（23-24七年级下·山东济南·期中）已知正方形，点E是边上的动点，以为边作等边三角形，连接，交边于点G，当最小时， ．
【变式训练6-3】（2024·贵州黔东南·二模）如图，在正方形中，，点是边的中点，是对角线上的动点（点在点的上方），且，连接．当的值最小时，的面积是 ．
【变式训练6-4】（2024·陕西西安·模拟预测）如图，点E为正方形内一点，连接，若正方形的边长为6，则当图中阴影部分的面积最小时，的长为 ．（结果保留根号）
【变式训练6-5】（24-25九年级上·四川成都·期末）如图，在正方形中，，是上的一点，且，是上的动点，且，，连接，当的值最小时，的长为 ．
【变式训练6-6】（23-24八年级下·山东聊城·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点，分别在轴、轴上，四边形是边长为4的正方形，点为的中点，点为上的一个动点，连接，，当点满足的值最小时，直线的解析式为 ．
题型七：证明四边形是正方形
【经典例题7】（23-24八年级下·江苏南京·阶段练习）如图，四边形是菱形，对角线、交于点，点、是对角线所在直线上两点，且，连接、、、，．
(1)求证：四边形是正方形；
(2)若正方形的面积为，，求点到线段的距离．
【变式训练7-1】（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，在矩形中，的平分线交于点，于点，于点，与交于点．
(1)求证：四边形是正方形；
(2)若，求证：；
(3)在（2）的条件下，已知，求的长．
【变式训练7-2】（24-25八年级下·江苏扬州·期中）如图，在四边形中，，，，，的垂直平分线交于E，交于F，交的延长线于G，若．
(1)求证：四边形是正方形；
(2)求的长．
【变式训练7-3】（24-25八年级下·江苏苏州·期中）如图，在△ABC中，，平分，于点，于点，求证：四边形是正方形．
【变式训练7-4】（24-25八年级下·湖北黄石·期中）如图，在 △ABC中， 平分平分 的外角 ，过点A作 垂足为M， 垂足为N，连接交于点O．
(1)求证：；
(2)当线段和满足什么条件时，四边形为正方形．
【变式训练7-5】（24-25八年级下·广东珠海·期中）如图，已知矩形，P是上一动点，M、N、E分别是的中点．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)请问当P运动到何处时，四边形是菱形；为什么？
(3)在（2）的条件下，当与满足什么数量关系时，四边形为正方形．（请直接写出结果）
【变式训练7-6】（2025·山东青岛·模拟预测）如图，在中，，的垂直平分线交于点E，交于点O，交于点F．
(1)求证：．
(2)连接，当与满足什么数量关系时，四边形是正方形？证明你的结论．
题型八：根据正方形的性质和判定证明
【经典例题8】（24-25八年级下·江苏盐城·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，是原点，四边形是边长为5的正方形，点，分别在轴，轴正半轴上，为边上任意一点（不与点，重合），连接，过点作，交于点，且，过点作，交于点，连接，，设．
(1)求点的坐标：（用含的代数式表示）
(2)试判断线段的长是否随点位置的变化而变化，并说明理由．
【变式训练8-1】（24-25九年级上·广东广州·开学考试）如图1、图2，P是矩形所在平面内任意一点，连接、、、．
(1)如图1，，点P、A、C三点共线，，求．
(2)如图2，求、、、四者关系．
(3)应用新知：如图3，在中，，，D是内一点，且，，求的最小值．
【变式训练8-2】（23-24九年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图1，已知在中，平分，交于点E，过点E作，交于点F，O是的中点，连接．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，如图2所示：
①求证：；
②若，求的长．
【变式训练8-3】（24-25八年级下·江苏南通·阶段练习）如图1，已知矩形，点是上一点，点是延长线上一点，且．
(1)求证：四边形是正方形；
(2)如图2，若点是上一点，且，求的长；
(3)如图3，若点是的中点，连结交于点，求的度数．
【变式训练8-4】（24-25八年级下·江苏南京·阶段练习）如图，正方形和正方形，点是上的动点．
(1)连接，．
①求证：；
②求证：；
(2)若，，则_______．
【变式训练8-5】（23-24八年级下·江苏扬州·期中）如图1，中，，，的外角平分线交于点A，过点A分别作的延长线于，的延长线于．
(1)填空：的度数______；
(2)求证：；
(3)若，求的长；
(4)如图2，在中，，高，，求的长度．
【变式训练8-6】（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）已知，四边形是正方形，绕点旋转（），，，连接．
(1)如图1，求证：；
(2)直线与相交于点．
①如图2，于点，于点，求证：四边形是正方形；
②如图3，连接，若，，直接写出在旋转的过程中，线段长度的最小值．
题型九：中点四边形
【经典例题9】（24-25八年级下·江苏镇江·期中）顺次连结菱形四边的中点所得的四边形是（ ）
A．矩形 B．正方形 C．菱形 D．以上都不对
【变式训练9-1】（24-25八年级下·天津东丽·期中）若顺次连接四边形的各边中点所得的四边形是菱形，则该四边形一定是（ ）
A．对角线相等的四边形 B．对角线相等的平行四边形
C．等腰梯形 D．对角线互相垂直的四边形
【变式训练9-2】（24-25八年级下·湖北武汉·期中）下列四个命题：①一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形；②对角线互相垂直且相等的四边形是正方形；③顺次连接矩形四边中点得到的四边形是菱形；④等边三角形是轴对称图形．其中真命题共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式训练9-3】（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）如图，连接四边形各边中点得到四边形，要使四边形为矩形，则对角线，应满足（ ）
A． B．平分
C．平分 D．
【变式训练9-4】（24-25八年级下·江苏苏州·期中）如图，、、、分别是、、、的中点，且，下列结论：①；②四边形是矩形；③平分；其中正确的是 ．
【变式训练9-5】（24-25八年级下·江苏镇江·期中）如图，四边形的两条对角线分别为和，且满足，，那么依次连接它的各边中点得到的四边形的面积为 ．
【变式训练9-6】（24-25八年级下·山东威海·阶段练习）如图，顺次连接任意四边形各边中点，所得的四边形是中点四边形．
下列四个叙述：
①中点四边形一定是平行四边形；
②当四边形是矩形，中点四边形也是矩形；
③当四边形是菱形，中点四边形也是菱形；
④当四边形是正方形，中点四边形也是正方形．其中正确的结论是 （只填代号）
