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2024-2025八年级下册数学同步练习重难点突破【浙教版】
专题5.3.2 正方形（二）九大题型（一课一练）
[本试卷包含了常见考题，对基础知识进行巩固测试]
一、单选题（本大题共10个小题，每题3分，共30分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定）
1．下列命题中，真命题是（ ）
A．对角线相等的四边形是平行四边形
B．对角线互相垂直的四边形是矩形
C．对角线互相垂直平分的四边形是菱形
D．对角线平分一组对角的平行四边形是正方形
【答案】C
【分析】本题主要考查了矩形、菱形和正方形的判定等知识点，熟练掌握相关判定定理是解题的关键．
根据矩形、菱形和正方形的判定定理逐项判断即可．
【详解】解：A、对角线相等的平行四边形是矩形或等腰梯形，故该命题为假命题，不符合题意；
B、对角线互相垂直的四边形可以是正方形、菱形、以及一般四边形，故该命题为假命题，不符合题意；
C、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故为真命题，符合题意；
D、对角线平分一组对角的平行四边形是菱形，故该命题为假命题，不符合题意．
故选：C．
2．如图，已知四边形的对角线相交于，则下列条件能判断它是正方形的是（ ）
A．，，，
B．，
C．，
D．，，，
【答案】C
【分析】本题考查正方形的判定，掌握正方形的判定定理是解题的关键．
【详解】解：A、，，
四边形是平行四边形.
，
四边形是菱形，故不符合题意；
B、只能判断出四边形是菱形，故不符合题意；
C、，，
四边形是菱形，
，
四边形是正方形，故符合题意；
D、不能判定四边形是正方形，故不符合题意；
故选：C．
3．如图①是第24届国际数学家大会的会徽，其示意图如图②，其是由四个全等的直角三角形构成．若，正方形的面积为102，则正方形的面积为（ ）
A．12 B．10 C．6 D．34
【答案】A
【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的性质等知识，由正方形的面积为102，，设，则，根据勾股定理求出，进而求出，即可求解，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：∵正方形的面积为102，
∴，
设，
∵，
∴，
在中，，
∴，
整理得：，
解得：（负值已舍去），
∴，，
∵四个直角三角形全等，
∴，
∴，
∴正方形的面积为，
故选：A．
4．如图，有两个正方形、和一个等边三角形，则图中度数为的角有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】本题考查了正方形的性质及等边三角形的性质，根据等边三角形的性质可得，再根据正方形的性质可得，利用角的和差得和等于；再利用四边形内角和为求出，由平角的定义即可得到和等于，即可得出结论．
【详解】解：如图，
∵三角形是等边三角形，
∴，
∵正方形、，
∴，
∴；
∵，
∴，
故选：D．
5．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点的坐标为，则顶点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先根据正方形的性质和勾股定理算出，作于点，再根据等腰三角形的性质和勾股定理可以算出，即可得到答案．
【详解】解：过点作于点，
在正方形中，
，
∵顶点的坐标为，
∴，
∴，
在中，
，
顶点的坐标为，
故选：C
6．如图，在正方形中，点在边上，连接，于点，于点，若，，则的长为（ ）
A．5 B．8 C．12 D．2
【答案】A
【分析】此题重点考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，证明是解题的关键．由正方形的性质得，，由于点，于点，得，则，即可根据“”证明，得，，则，于是得到问题的答案．
【详解】解：四边形是正方形，
，，
于点，于点，，，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
故选：A．
7．如图，△ABC与均为直角三角形，分别以边为边长作正方形，其面积分别为，则它们之间的关系正确的是（）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】此题考查了正方形的性质，勾股定理，设，根据正方形的面积公式得，，，，再由勾股定理得，，进而得，则，据此即可得出答案， 熟练掌握正方形的性质，勾股定理是解决问题的关键．
【详解】解：设，
根据正方形的面积公式得：，，，，
在中，由勾股定理得：，
，
在中，由勾股定理得：，
，
，
，
即，
故选：D．
8．如图，已知四边形和四边形均为正方形，且是的中点，连接，若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，矩形的判定与性质全等三角形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键．
过点作交于点，交于点，则，证明四边形是矩形，故，根据正方形的性质得出，，，然后证明，则，，再由勾股定理即可求解．
【详解】解：过点作交于点，交于点，则，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∵是的中点，
∴，
∵四边形和四边形均为正方形，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
故选：．
9．如图，在正方形中，，E为的中点，P为对角线上的一个动点，则的最小值是（ ）
A．2 B．4 C． D．
【答案】D
【分析】本题考查正方形的性质，勾股定理，利用轴对称解决线段和最小的问题，连接，得到，进而得到当点在线段上时，的值最小，为的长，利用勾股定理进行求解即可．
【详解】解：连接，
∵正方形，
∴，垂直平分，
∴，
∴，
∴点在线段上时，的值最小，为的长，
∵为的中点，
∴，
在中，由勾股定理，得：；
∴的最小值为；
故选D．
10．如图，正方形的边长为4，点E在边上，且，连接，点F在边上，连接，把沿翻折，点A恰好落在上的点G处，下列结论：①；②；③；④，其中正确的有（ ）
A．①② B．①③ C．①③④ D．①②③
【答案】C
【分析】本题考查翻折的性质，勾股定理，全等三角形的判定及性质，正方形的性质．根据翻折的性质证，得出，，即可判断①正确；根据 ，即可判断②错误；在中，，由，得到，推出，，则，判定③正确；根据，推出，即可判断④正确，进而得出答案．
【详解】解：四边形为正方形，
，，
，
，
由折叠的性质可得，垂直平分，
，，
，
，
，
，
，，故①正确；
，
，故②错误；
∵在中，，
又，
，
，
，
，
，故③正确；
，
，故④正确；
综上所述：正确的是①③④．
故选：C．
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．将对角线分别为和的菱形改为一个面积不变的正方形，则正方形的边长为 ．
【答案】5
【分析】本题考查了菱形的面积和正方形的面积计算的方法，已知对角线的长度，根据菱形的面积计算公式即可计算菱形的面积，进一步开方求得正方形的边长即可．
【详解】解：菱形的对角线分别为和，
菱形的面积，
正方形的边长是．
故答案为：5．
12．在平面直角坐标系中，正方形的对称中心是坐标原点，顶点、的坐标分别是，将正方形沿轴向右平移3个单位长度，则顶点的对应点的坐标是 ．
【答案】
【分析】本题考查了坐标与图形变化-平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
根据正方形的性质得到点C坐标，再根据平移的性质得到坐标．
【详解】解：在正方形中，
∵对称中心是坐标原点，顶点、的坐标分别是，
∴，
将正方形沿轴向右平移3个单位长度，
∴，
故答案为：．
13．如图，正方形中，点在轴上，点在轴正半轴上，点和点都在第一象限，已知点的坐标为，正方形的面积为25，则点的坐标为 ．
【答案】
【分析】先求出正方形的边长，构造出全等三角形判断出，，即可得出点B坐标．
【详解】解：正方形的面积为25，
，，
，
，
根据勾股定理得，，
，
如图，过点作于，
，
，
，
，
，
，，
，
，
故答案为：．
14．如图，、、是正十二边形的三条边，四边形是正方形，则的度数为 ．
【答案】/120度
【分析】本题考查了正多边形的内角和公式，正方形的性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．
由正方形的性质得，由正多边形的内角和公式得，最后根据，即可求解．
【详解】解：四边形是正方形，
，
正十二边形的内角，
，
故答案为：．
15．如图，线段把正方形分成两个正方形和两个矩形，其中两个正方形的面积，，则矩形的对角线长为 ．
【答案】
【分析】此题考查了正方形、勾股定理、二次根式的应用等知识，根据题意求出，，利用勾股定理即可求出答案．
【详解】解：∵两个正方形的面积，，
∴，，
∴，
故答案为：．
16．我们都知道，四边形具有不稳定性．老师制作了一个正方形教具用于课堂教学，数学科代表小亮在取教具时不小心使教具发生了形变（如图），若正方形教具边长为，，则四边形的面积为 ．
【答案】
【分析】本题考查了正方形的性质，菱形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
作于点，根据正方形的性质得到，继而得到，得出四边形是菱形，得到，求出四边形的面积为．
【详解】解：如图，作于点，
根据题意得，
，
四边形是菱形，
，
，
四边形的面积为，
故答案为：．
17．如图，在正方形中，点，分别在，上，，，相交于点．若，且图中阴影部分的面积与正方形的面积之比为，则的周长为 ．
【答案】
【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，完全平方公式的变形，先求出空白部分的面积，然后证明，得到，即可求出，设， ，即可得到，然后根据，求出解题即可．
【详解】解：∵，
∴，
阴影部分的面积与正方形的面积之比为，
∴阴影部分的面积为，
∴空白部分的面积为，
∵是正方形，
∴， ，
又∵，
∴，
∴， ，
，
∵，
∴，
∴，
设， ， 则即，
，
，
即
解得，即，
∴的周长为，
故答案为：．
18．在一张矩形纸片的一端，利用图1的方法折出一个正方形，然后把纸片展开；如图2，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平：折出内侧矩形的对角线，并把折到图3中所示的处；展平纸片，按照所得的点折出，得到矩形．若矩形纸片的宽，则的长为 ．
【答案】/
【分析】本题主要考查折叠的性质，矩形的性质，正方形的性质，勾股定理等知识点．根据折叠的性质可得，根据图3折叠方式得出，据此求解即可．
【详解】解：按图1方式折叠，可得正方形，
按图2方式折叠，可得，
按图3方式折叠，则，
则，
故答案为：．
三、解答题（本大题共6个小题，共46分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．已知：如图，在中，E是两锐角平分线的交点，，垂足分别为D、F．求证：四边形是正方形．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了角平分线的性质及正方形的判定，正确添加辅助线准确运用性质和判定定理是正确解答此题的关键．
过E作，根据角平分线的性质可得．再证明四边形是矩形，可根据邻边相等的矩形是正方形得到四边形是正方形．
【详解】证明：过点作，垂足为．
，，是两锐角平分线的交点，
．
，，，
，
四边形为矩形．
又，
矩形为正方形．
20．已知：如图，为正方形的对角线．
(1)在上求作一点，过点作，交于点，使得；（不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，已知，求的长．
【答案】(1)见解析(2)
【分析】本题考查作图—复杂作图，正方形的性质，角平分线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
（1）作的角平分线即可．
（2）根据角平分线的性质可得，再由是等腰直角三角形，可设，则，然后在中，根据勾股定理可得，，即可求解．
【详解】（1）解：如图，
（2）解：∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵，
∴．
由（1）得∶平分，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
设，则，
在中，，
∴，
解得：（负值不符合题意，舍去），
∴，
∴．
21．如图，在中，对角线，相交于点，且．
(1)求证：为矩形；
(2)请添加一个条件，使矩形是正方形．（不需要说明理由）
【答案】(1)见解析(2)（答案不唯一）
【分析】本题主要考查了矩形的判定，正方形的判定，平行四边形的性质，等角对等边，熟知矩形和正方形的判定定理是解题的关键．
（1）由平行四边形对角线互相平分可得，再证明，得到，则由对角线相等的平行四边形是矩形可证明结论；
（2）根据有一组邻边相等的矩形是正方形求解即可．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴为矩形；
（2）解：添加条件，理由如下：
∵四边形是矩形，且
∴矩形是正方形．
22．如图，四边形、均为正方形，且、、三点在同一直线上，在线段上，为上一点，，与交于点，连接、、．
(1)求证：
(2)若，，求的周长．
【答案】(1)见详解(2)20
【分析】（1）根据正方形的性质利用证明，再利用全等三角形的性质及等腰直角三角形的判定及性质证明；
（2）过点A作，交延长线于H，证明，然后证明，结合的周长，即可作答．
此题考查正方形的性质，全等三角形的判定及性质，等腰直角三角形的判定及性质，熟练掌握各知识点并应用解决问题是解题的关键．
【详解】（1）解：∵四边形、均为正方形，
∴，，，
∵，
∴，，
∴
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
（2）解：过点A作，交延长线于H，如图所示：
则，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的周长．
23．在正方形中，为上一动点，连接交对角线于点．
(1)连接，如图1，求证：；
(2)如图2，过点作交于点，求证：；
(3)在（2）的条件下，如图3，连接，当，时，求的长．
【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)
【分析】（1）根据正方形的性质，全等三角形的判定和性质，即可；
（2）连接，根据正方形的性质，全等三角形的判定和性质，可得，，，根据，四边形的内角和，则，推出，根据平角的性质，可，等量代换，可得，根据等边对等角，可得，根据三角形的内角和，即可；
（3）延长到，使，根据正方形的性质，全等三角形的判定和性质，可得
，，由（2），根据角的数量关系，可得，根据全等三角形的判定和性质，可得，，再根据线段之间的数量关系，即可．
【详解】（1）解：证明如下：
∵四边形是正方形，是对角线
∴，
∵是公共边
∴
∴．
（2）解：证明如下：
连接，
∵四边形是正方形，是对角线，
∴，，
在和中，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
即．
（3）解：延长到，使，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，，
∴
∴．
24．数学活动课上，学习小组开展“剪拼正方形”实践活动，过程要求无损耗、无重叠．
【初步尝试】
（1）如图1，长方形纸片可看作由2个全等的小正方形组成，E是的中点，沿着，剪2刀，得到3块图案①，②，③，保持③不动，移动①，②，可以拼接成一个大正方形纸片．若，则______．
【深入实践】
（2）如图2，“十字形”纸片可看作由5个全等的小正方形组成，已知点A，B在正方形网格的格点上，C，D是纸片边上的中点．沿着，将这个“十字形”纸片剪2刀，得到4块图案①，②，③，④，保持①不动，移动②，③，④，可以拼接成一个大正方形纸片．请在正方形网格中画出拼接后的大正方形，并标注对应的编号．
【拓展迁移】
（3）如图3，同学们从刘徽设计的“青朱出入图”受到启发，将两个边长不等的正方形纸片，剪拼成一个大正方形纸片．P，M，N为剪痕与原正方形边的交点，已知，．
①______，______；
②求正方形的边长．
【答案】（1）；（2）见解析；（3）①，；②
【分析】本题主要考查正方形的性质，勾股定理的运用，图象变换的性质，掌握正方形的性质，图形变换的性质是解题的关键．
（1）根据题意可得，，由勾股定理得到，由四边形是正方形，可得，由此即可求解；
（2）根据正方形的性质拼接即可；
（3）①根据朱出与朱入可得，，则，由此即可求解；②在中，，在中，，又在中，，由此列式得，设，解得，则，由此即可求解．
【详解】解：（1）长方形纸片可看作由2个全等的小正方形组成，E是的中点，
∴，，
∴，
∵移动①，②，可以拼接成一个大正方形纸片，
∴，
故答案为：；
（2）下图展示了两种不同的拼法，
（3）将两个边长不等的正方形纸片，剪拼成一个大正方形纸片，P，M，N为剪痕与原正方形边的交点，已知，，
∴，
①如图所示，
根据朱出与朱入可得，，则，，
∴，；
②由①可知，，
在中，，
在中，，
又在中，，
∴，设，
∴，
解得，
∴，
∴正方形的边长是．
试卷第1页，共3页
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2024-2025八年级下册数学同步练习重难点突破【浙教版】
专题5.3.2 正方形（二）九大题型（一课一练）
[本试卷包含了常见考题，对基础知识进行巩固测试]
一、单选题（本大题共10个小题，每题3分，共30分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定）
1．下列命题中，真命题是（ ）
A．对角线相等的四边形是平行四边形
B．对角线互相垂直的四边形是矩形
C．对角线互相垂直平分的四边形是菱形
D．对角线平分一组对角的平行四边形是正方形
2．如图，已知四边形的对角线相交于，则下列条件能判断它是正方形的是（ ）
A．，，，
B．，
C．，
D．，，，
3．如图①是第24届国际数学家大会的会徽，其示意图如图②，其是由四个全等的直角三角形构成．若，正方形的面积为102，则正方形的面积为（ ）
A．12 B．10 C．6 D．34
4．如图，有两个正方形、和一个等边三角形，则图中度数为的角有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点的坐标为，则顶点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在正方形中，点在边上，连接，于点，于点，若，，则的长为（ ）
A．5 B．8 C．12 D．2
7．如图，△ABC与均为直角三角形，分别以边为边长作正方形，其面积分别为，则它们之间的关系正确的是（）
A． B．
C． D．
8．如图，已知四边形和四边形均为正方形，且是的中点，连接，若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在正方形中，，E为的中点，P为对角线上的一个动点，则的最小值是（ ）
A．2 B．4 C． D．
10．如图，正方形的边长为4，点E在边上，且，连接，点F在边上，连接，把沿翻折，点A恰好落在上的点G处，下列结论：①；②；③；④，其中正确的有（ ）
A．①② B．①③ C．①③④ D．①②③
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．将对角线分别为和的菱形改为一个面积不变的正方形，则正方形的边长为 ．
12．在平面直角坐标系中，正方形的对称中心是坐标原点，顶点、的坐标分别是，将正方形沿轴向右平移3个单位长度，则顶点的对应点的坐标是 ．
13．如图，正方形中，点在轴上，点在轴正半轴上，点和点都在第一象限，已知点的坐标为，正方形的面积为25，则点的坐标为 ．
14．如图，、、是正十二边形的三条边，四边形是正方形，则的度数为 ．
15．如图，线段把正方形分成两个正方形和两个矩形，其中两个正方形的面积，，则矩形的对角线长为 ．
16．我们都知道，四边形具有不稳定性．老师制作了一个正方形教具用于课堂教学，数学科代表小亮在取教具时不小心使教具发生了形变（如图），若正方形教具边长为，，则四边形的面积为 ．
17．如图，在正方形中，点，分别在，上，，，相交于点．若，且图中阴影部分的面积与正方形的面积之比为，则的周长为 ．
18．在一张矩形纸片的一端，利用图1的方法折出一个正方形，然后把纸片展开；如图2，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平：折出内侧矩形的对角线，并把折到图3中所示的处；展平纸片，按照所得的点折出，得到矩形．若矩形纸片的宽，则的长为 ．
三、解答题（本大题共6个小题，共46分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．已知：如图，在中，E是两锐角平分线的交点，，垂足分别为D、F．求证：四边形是正方形．
20．已知：如图，为正方形的对角线．
(1)在上求作一点，过点作，交于点，使得；（不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，已知，求的长．
21．如图，在中，对角线，相交于点，且．
(1)求证：为矩形；
(2)请添加一个条件，使矩形是正方形．（不需要说明理由）
22．如图，四边形、均为正方形，且、、三点在同一直线上，在线段上，为上一点，，与交于点，连接、、．
(1)求证：
(2)若，，求的周长．
23．在正方形中，为上一动点，连接交对角线于点．
(1)连接，如图1，求证：；
(2)如图2，过点作交于点，求证：；
(3)在（2）的条件下，如图3，连接，当，时，求的长．
24．数学活动课上，学习小组开展“剪拼正方形”实践活动，过程要求无损耗、无重叠．
【初步尝试】
（1）如图1，长方形纸片可看作由2个全等的小正方形组成，E是的中点，沿着，剪2刀，得到3块图案①，②，③，保持③不动，移动①，②，可以拼接成一个大正方形纸片．若，则______．
【深入实践】
（2）如图2，“十字形”纸片可看作由5个全等的小正方形组成，已知点A，B在正方形网格的格点上，C，D是纸片边上的中点．沿着，将这个“十字形”纸片剪2刀，得到4块图案①，②，③，④，保持①不动，移动②，③，④，可以拼接成一个大正方形纸片．请在正方形网格中画出拼接后的大正方形，并标注对应的编号．
【拓展迁移】
（3）如图3，同学们从刘徽设计的“青朱出入图”受到启发，将两个边长不等的正方形纸片，剪拼成一个大正方形纸片．P，M，N为剪痕与原正方形边的交点，已知，．
①______，______；
②求正方形的边长．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
