中小学教育资源及组卷应用平台
2024-2025学年八年级下册数学同步讲练【浙教版】
专题五：特殊四边形综合证明（培优版）（20道）
1．（24-25八年级下·河南濮阳·期中）如图，已知一个矩形纸片，将该纸片放置在平面直角坐标系中，O为原点，矩形的顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，顶点，点D是矩形边上的一点．
(1)如图①，当时，求点D的坐标；
(2)如图②，当点D与点A重合时，沿折叠该纸片，得点B的对应点，与x轴交于E点，求点E和点的坐标．
2．（24-25八年级下·安徽池州·期中）（1）如图1，在中，，为斜边上的中线，则与之间的数量关系是______．
（2）如图2，在正方形中，E为边上一点，F为的中点，以，为邻边在的右侧作平行四边形．
①求证：四边形是菱形．
②若，，求四边形的周长．
3．（24-25八年级下·辽宁大连·阶段练习）通过学习，同学们知道，我们可以通过平行四边形转移边和角等信息，根据你的学习，完成下面的问题．如图，已知垂直平分线段，，．
(1)证明：四边形 是平行四边形；
(2)若，，求的长．
(3)已知，如图，四边形中，，，，请写出图中与相等的线段，并证明．
4．（24-25八年级下·天津·期中）如图，正方形中，，点E是对角线上的一点，连接．过点E作，交于点F，以为邻边作矩形，连接．
(1)求证：矩形是正方形：
(2)求的值．
(3)当线段与正方形的某条边的夹角是时，直接写出的度数．
5．（2025·辽宁葫芦岛·一模）如图，△ABC中，．将沿翻折，点落到点处，过点作，交的延长线于点H，，垂足为点，点在线段上，，连接．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，连接，若．
①求证：；
②求的长度．
6．（24-25八年级下·江西赣州·期中）如图，，正方形的顶点、分别在、上，，，为上一点，且平分，直线与交于点．
(1)求证：；
(2)判断与的位置关系，并说明理由；
(3)的周长为______．
7．（24-25八年级下·河南漯河·期中）（1）如图1，在正方形中，点E，F分别在上，连接交于点G，当时，请判断与的位置关系，并写出证明过程；
（2）如图2，点P为的中点，将正方形沿折叠，点C的对称点为G，连接并延长交于点E，交于点K，连接并延长交于点F，求证：．
8．（24-25八年级下·山东德州·期中）如图，点D、E是两直角边、上的一点，连接，已知点F、G、H分别是、、的中点．
(1)求证：．
(2)连接，取中点M，连接、，若，求的长．
9．（24-25八年级下·海南·阶段练习）如图，在正方形中，E是边上一动点（不与点重合），点F在的延长线上，且，连接，交于点P，交于点Q，连接．
(1)求证
①；
②；
(2)若，求的长；
(3)连接，在点E的运动过程中，的值是否改变？若不变，求出它的值；若改变，请说明理由．
10．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）如图，在四边形中，点分别在边上．连接．
(1)如图1，当四边形为正方形时，连接，且
①求证：；
②已知，，求的长；
(2)如图2，若四边形为矩形，，点为的中点，，，求的长．
11．（24-25八年级下·天津河西·期中）如图，点G是正方形对角线的延长线上任意一点，以线段为边作一个正方形，线段与、分别相交于点H、K．
(1)求证：；
(2)判断与的位置关系，并说明理由；
(3)若，，求的长．
12．（24-25八年级下·四川广安·期中）如图1，在等腰直角三角形中，，，是的中点，，分别是，上的点（点不与端点，重合），且．
(1)求证：△ADE≌△CDF；
(2)如图2，连接并取的中点，连接并延长至点，使，连接，，，．当四边形的面积为5时求线段的长度．
13．（24-25八年级下·广西南宁·期中）如图1，已知四边形是菱形．，点在菱形的对角线与上，的两边分别交边于点，且连接交于点，在的异侧．
(1)当时，
①求证：；
②如图2，过作交于点，过作交于点，连接．
求证：四边形是矩形；
③在②的条件下，当四边形是正方形，时，直接写出的长度．
(2)如图3，，点在上运动，当是的三等分点时，请直接写出四边形的面积．
14．（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）（1）如图1，正方形中，点、分别是、的中点，连接，交于点．请写出线段与之间的关系，并证明；
（2）如图2，在（1）的条件下，连接，试说明平分；
（3）如图3，若点、分别是、上的动点，且，，则的最小值为___________．
15．（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，在中，，平分，，延长使得，连接．
(1)判断四边形的形状，并说明理由；
(2)如图，过作交于点，点在上，平分，过作交的延长线于点．
①求证：；
②试探究：，，的数量关系，并证明．
16．（24-25八年级下·湖南长沙·期中）在平面直角坐标系中，四边形是正方形，，其中a，c满足．
(1)直接写出点B的坐标；
(2)如图1，在线段上有一动点E（点E不与O、C重合），连接，在下方以E为直角顶点作等腰直角，若点F恰好落在直线上，求点F的坐标；
(3)如图2，点D是上的一点，于点F，E是的中点，连接，线段交于点M，求的值．
17．（24-25八年级下·上海青浦·期中）如图，已知梯形中，，，，点是射线上一点，，垂足为点，交线段于点，，，．
(1)求梯形的面积；
(2)当点在线段上时，设，，求关于的函数关系式及自变量的取值范围；
(3)若是以为腰的等腰三角形，请直接写出的长．
18．（24-25八年级下·湖南张家界·期中）综合与探究：
在矩形中，，，点E，F分别在边，上，将沿直线折叠，点C的对应点为点G．
(1)如图1，当点F与点B重合，点G落在上时，求的长；
(2)如图2，当点E是的中点，且时，连接，求的长；
(3)如图3，当，点G恰好落在上时，延长交于点H，直接写出的长．
19．（24-25八年级下·广东珠海·期中）如图，点M是正方形的边上一点，连接，点E是线段上一点，的平分线交延长线于点F．
(1)图1，若G为的中点，延长至N，使，连接，且，连接，求证：四边形为菱形；
(2)如图2，若点E为线段的中点，，求的长；
(3)如图3，若，求证：．
20．（24-25八年级下·广东广州·期中）已知在菱形中，．
(1)如图1．过点作点，连接，点是线段的中点，连接，若，求线段的长度；
(2)如图2，连接．若，点是对角线上的一个动点，求的最小值．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页中小学教育资源及组卷应用平台
2024-2025学年八年级下册数学同步讲练【浙教版】
专题五：特殊四边形综合证明（培优版）（20道）
1．（24-25八年级下·河南濮阳·期中）如图，已知一个矩形纸片，将该纸片放置在平面直角坐标系中，O为原点，矩形的顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，顶点，点D是矩形边上的一点．
(1)如图①，当时，求点D的坐标；
(2)如图②，当点D与点A重合时，沿折叠该纸片，得点B的对应点，与x轴交于E点，求点E和点的坐标．
【答案】(1)(2)，
【分析】本题考查矩形中的翻折变换及勾股定理，熟练掌握性质定理是解题的关键．
（1）根据矩形的性质得出，，再根据余角和含度角的直角三角形的性质得出，然后根据勾股定理求出的值，即可得出答案；
（2）过作轴于F，根据矩形的性质及勾股定理得出，再根据折叠的性质和勾股定理即可得出点的坐标，设，则，再次利用勾股定理即可得出答案．
【详解】（1），四边形是矩形，
，，
，
，
；
（2）过作轴于F，如图：
，四边形OABC是矩形，
，，
，
，
点D与点A重合时，沿CD折叠该纸片，得点B的对应点，
，，
，，
，，
，
，
；
设，则，
，
，
解得，
，
2．（24-25八年级下·安徽池州·期中）（1）如图1，在中，，为斜边上的中线，则与之间的数量关系是______．
（2）如图2，在正方形中，E为边上一点，F为的中点，以，为邻边在的右侧作平行四边形．
①求证：四边形是菱形．
②若，，求四边形的周长．
【答案】（1）；（2）①见解析；②20
【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，进行解答即可；
（2）①证明，得出即可证明四边形是菱形；
②取的中点M，连接，根据勾股定理求出，根据三角形中位线的性质求出，，由勾股定理得，最后求出结果即可．
【详解】解：（1）∵在中，，为斜边上的中线，
∴；
（2）①如图，连接，
∵四边形是正方形，
∴，，，
∴，
∵F为的中点，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴．
又∵四边形为平行四边形，
∴四边形为菱形．
②如图，取的中点M，连接．
∵正方形中，，
∴在中，由勾股定理得：
，
∴，，
∴，
又∵为的中位线，
∴，，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴．
3．（24-25八年级下·辽宁大连·阶段练习）通过学习，同学们知道，我们可以通过平行四边形转移边和角等信息，根据你的学习，完成下面的问题．如图，已知垂直平分线段，，．
(1)证明：四边形 是平行四边形；
(2)若，，求的长．
(3)已知，如图，四边形中，，，，请写出图中与相等的线段，并证明．
【答案】(1)证明见解析；(2)；(3)，理由见解析．
【分析】本题考查了平行四边形的判定，菱形的判定和性质，勾股定理的应用，等腰三角形的判定等知识，掌握相关知识是解题的关键．
（）先证得，求得，从而得到，所以，因为，，所以即可证得；
（）先证得平行四边形是菱形，然后根据勾股定理即可求解；
（）过作，交与点，过作于点，于点，连接，四边形是平行四边形，则，，再证明，所以，然后证明，根据性质可得，由平行线的性质可得，最后利用等角对等边即可求证．
【详解】（1）证明：∵垂直平分，
∴，，
在与中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：∵四边形是平行四边形，，
∴四边形是菱形，
∴，
∵，
设，则，
∴，即
解得：，
∴，
∴；
（3）解：，理由：
如图，过作，交与点，过作于点，于点，连接，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∵，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
4．（24-25八年级下·天津·期中）如图，正方形中，，点E是对角线上的一点，连接．过点E作，交于点F，以为邻边作矩形，连接．
(1)求证：矩形是正方形：
(2)求的值．
(3)当线段与正方形的某条边的夹角是时，直接写出的度数．
【答案】(1)见解析(2)(3)或．
【分析】（1）作于，于．只要证明即可解决问题；
（2）只要证明，可得，即可解决问题；
（3）根据题意，分两种情况分析：当线段与夹角为时，即，当线段与夹角为时，即，交的延长线于点F，结合图形分别求解即可．
【详解】（1）证明：如图，作于，于．
∵四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
，
，
，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
又∵四边形是矩形，
∴四边形是正方形．
（2）解：∵四边形是正方形，四边形是正方形，
∴，
，
∴，
在和中，
，
，
∴，
∴．
（3）解：如图，当线段与夹角为时，即，
∴，
如图所示：
由（1）得，
∴，
∴；
当线段与夹角为时，即，交的延长线于点F，
∴，
如图所示：
∴，
∴；
综上可得：或．
5．（2025·辽宁葫芦岛·一模）如图，中，．将沿翻折，点落到点处，过点作，交的延长线于点H，，垂足为点，点在线段上，，连接．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，连接，若．
①求证：；
②求的长度．
【答案】(1)见解析(2)①见解析；②
【分析】（1）结合翻折的性质证明，利用全等三角形性质求解，即可解题；
（2）①根据题意证明，进而得到，再进行等量代换，并结合等腰三角形性质，即可证明；
②过点作于点，结合叠的性质推出，利用等腰三角形性质得到，再证明四边形为矩形，得到，设，得到，结合勾股定理得到，据此建立方程求解，即可解题．
【详解】（1）证明：，沿翻折，点落到点处，
，
，
，
，即，
，
，
，
，
；
（2）①证明：，
，
，
，
，
，
，
，
；
②过点作于点，
由折叠的性质可知，，
，
，，
，
，
四边形为矩形，
，
设，
，
，
，
，
，
，
，
整理得，
解得或（不合题意，舍去），
．
6．（24-25八年级下·江西赣州·期中）如图，，正方形的顶点、分别在、上，，，为上一点，且平分，直线与交于点．
(1)求证：；
(2)判断与的位置关系，并说明理由；
(3)的周长为______．
【答案】(1)见解析；(2)与的位置关系是：，理由见解析；(3)
【分析】（）证明和全等即可得出结论；
（）由和全等得，由平分得，则，再根据，得，则，由此即可得出与的位置关系；
（）过点作于点，过点作，交的延长线于点，则四边形是矩形，进而得，，先求出，证明和全等得，，同理证明和全等得，，进而得，，，，由（）可知，则，据此即可得出的周长．
【详解】（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，，
在和中，
∴，
∴；
（2）解：与的位置关系是：，理由如下：
如图所示：
由（）可知：，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：过点作于点，过点作，交的延长线于点，如图所示，
由（）可知：，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴是直角三角形，
在中，，，
由勾股定理得：，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
同理可证明：，
∴，，
∴，，
∴，，
由（）可知：，
∴，
∴的周长为：．
7．（24-25八年级下·河南漯河·期中）（1）如图1，在正方形中，点E，F分别在上，连接交于点G，当时，请判断与的位置关系，并写出证明过程；
（2）如图2，点P为的中点，将正方形沿折叠，点C的对称点为G，连接并延长交于点E，交于点K，连接并延长交于点F，求证：．
【答案】（1），证明见解析；（2）见解析
【分析】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的中位线定理，平行四边形的判定与性质等知识，灵活运用全等三角形的性质处理边角关系是解答本题的关键．
（1）运用证明，得，由得，可得，从而得；
（2）由折叠得垂直平分，为的中点，，运用证明，得，再运用三角形中位线定理得出，得出四边形是平行四边形，可得，从而得出．
【详解】解：（1），
证明：∵四边形是正方形，
∴
在和中，
，
∴，
∴，
∵
∴
∴
∴，
∴；
（2）∵将沿折叠，得到，
∴点与点关于直线对称，
∴
∴为的中点，
∵四边形是正方形，
∴
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
∵为的中点，为的中点，
∴为的中位线，
∴，即，
又，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴．
8．（24-25八年级下·山东德州·期中）如图，点D、E是两直角边、上的一点，连接，已知点F、G、H分别是、、的中点．
(1)求证：．
(2)连接，取中点M，连接、，若，求的长．
【答案】(1)见解析(2)5
【分析】（1）先证明，得到．
结合即可．
（2）连接，取中点M，连接、，证明四边形为矩形．
再利用勾股定理得．
【详解】（1）证明：∵F、G、H分别是、、的中点，
∴．
∴．
∴，
∴．
（2）解：连接、，，
∵M、H分别是和的中点，
∴．
同理：．
∴
∴四边形为平行四边形．
∵，
∴四边形为矩形．
∴，，
∵G、H、M，F分别是、、、的中点，，
∴，．
∴．
9．（24-25八年级下·海南·阶段练习）如图，在正方形中，E是边上一动点（不与点重合），点F在的延长线上，且，连接，交于点P，交于点Q，连接．
(1)求证
①；
②；
(2)若，求的长；
(3)连接，在点E的运动过程中，的值是否改变？若不变，求出它的值；若改变，请说明理由．
【答案】(1)①证明见解析；②证明见解析(2)(3)，理由见解析
【分析】（1）①根据证明即可．②由全等三角形的性质可得，，证明，结合，，可得，从而可得结论；
（2）作交的延长线于H，可证，可得，，即可求解；
（3）由（2）可得，即可得到，得到为定值．
【详解】（1）证明：①∵正方形，
∴，，
∵
∴．
②∵，
∴，，
∴，
∴，
∵正方形，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：作交的延长线于H，
∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，，；
∵，，
∴，，
∴；
（3）解：为定值，理由如下：
由（2）可得，
∴，
∵为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴为定值．
10．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）如图，在四边形中，点分别在边上．连接．
(1)如图1，当四边形为正方形时，连接，且
①求证：；
②已知，，求的长；
(2)如图2，若四边形为矩形，，点为的中点，，，求的长．
【答案】(1)①见解析；②(2)
【分析】本题主要考查正方形，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的运用，掌握正方形，矩形的性质证明三角形全等，合理作出辅助线是关键．
（1）①如图，延长至点，使，连接，根据正方形的性质可证，得到，再证，则有，即可求解；
②设，由题意和①得，，，，，在中运用勾股定理得到，由此列式求解即可；
（2）如图，延长交于点,可证，得到，则，，设，则由勾股定理得到，列式求解即可．
【详解】（1）解：①如图，延长至点，使，连接，
在正方形中，，，
在和中，
，
，
，
，
，
，即，
在和中，
，
，
．
②设，
由题意和①得，，，，，
在中，，
，
解得，
∴．
（2）解：如图，延长交于点,
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
，
设，则，
∴，
解得，
．
11．（24-25八年级下·天津河西·期中）如图，点G是正方形对角线的延长线上任意一点，以线段为边作一个正方形，线段与、分别相交于点H、K．
(1)求证：；
(2)判断与的位置关系，并说明理由；
(3)若，，求的长．
【答案】(1)见解析(2)，见解析(3)
【分析】本题主要考查了正方形的性质、三角形全等的判定条件、线段垂直的判定、勾股定理的使用，解题关键是全等之后对应角度和对应边灵活转化．
（1）利用正方形四边相等，四角为直角，找到对应边与、与，两线点的夹角相等，判定全等；
（2）利用第一问的全等条件，得到与相等，进而得到与的夹角是直角，垂直关系．
（3）利用正方形的性质，求得对角线长，得到的长，证明是正方形，借助求解．
【详解】（1）证明：∵四边形、四边形是正方形，
，，
，
在和中，
（2）解：，理由如下：
，
．
，
．
，
．
．
（3）解：连接
∵四边形是正方形，
，，，．
．
．
四边形是正方形，
，．
且．
∴四边形是正方形．
．
．
，，，
．
．
在中，．
12．（24-25八年级下·四川广安·期中）如图1，在等腰直角三角形中，，，是的中点，，分别是，上的点（点不与端点，重合），且．
(1)求证：；
(2)如图2，连接并取的中点，连接并延长至点，使，连接，，，．当四边形的面积为5时求线段的长度．
【答案】(1)见解(2)1或3
【分析】本题考查了正方形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）由等腰直角三角形的性质可得，，，从而得出，即可证明；
（2）连接，证明四边形为正方形，得出，求出，再由勾股定理计算即可得解．
【详解】（1）解：，，
，
点是的中点，
，且，
，
，
又；
∴；
（2）解：连接，
∵的中点为，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴，，
∴四边形为菱形，
∵，
∴，即，
∴四边形为正方形，
∵四边形的面积为5，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
解得：或3．
13．（24-25八年级下·广西南宁·期中）如图1，已知四边形是菱形．，点在菱形的对角线与上，的两边分别交边于点，且连接交于点，在的异侧．
(1)当时，
①求证：；
②如图2，过作交于点，过作交于点，连接．
求证：四边形是矩形；
③在②的条件下，当四边形是正方形，时，直接写出的长度．
(2)如图3，，点在上运动，当是的三等分点时，请直接写出四边形的面积．
【答案】(1)①见解析；②见解析；③；(2)
【分析】（1）①根据菱形的性质和角平分线的性质可得垂直平分，即可证明；②由菱形的性质以及已知条件证明可得，再说明可证四边形是平行四边形，再说明即可证明结论；③如图：连接，是等边三角形，即，然后根据等腰三角形的性质可得，再根据含30度直角三角形的性质以及勾股定理可得，，进而得到；再说明，进而得到，，再结合四边形是正方形可得，即；然后由勾股定理列方程求得，最后根据线段的和差即可解答．
（2）如图：连接交于点O，根据菱形的性质可得、、，再结合已知条件运用勾股定理可得，即或；经分析不符合题意；当时，如图：过M作，易证可得，进而得到；再根据30度直角三角形的性质以及勾股定理可得、，然后根据以及三角形的面积公式求解即可．
【详解】（1）解：如图：
∵四边形是菱形，
∴平分，即，
∵，
∴，即是线段的垂直平分线，
∴；
②∵四边形是菱形，
∴，，，，
∵
∴，即，
∵，
∴，
同理：，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，，
∴，
∴四边形是矩形；
③如图：连接，
∵，，
∴是等边三角形，即，
∵，，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∵，，
∴，即，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，解得：，
∴．
（2）解：如图：连接交于点O，
∵四边形是菱形．，，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵是的三等分点，
∴或，
当时，不能满足的两边分别交边于点，且，即不符合题意；
当时，如图：过M作，
∵，
∴
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴．
14．（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）（1）如图1，正方形中，点、分别是、的中点，连接，交于点．请写出线段与之间的关系，并证明；
（2）如图2，在（1）的条件下，连接，试说明平分；
（3）如图3，若点、分别是、上的动点，且，，则的最小值为___________．
【答案】（1），见解析；（2）见解析；（3）
【分析】（1）证明，得到，，进而推出，得到即可；
（2）过点作，易得四边形为矩形，证明，得到，即可得出结论；
（3）在上截取，连接，证明，得到，连接，同法可得，得到，延长至点，使，连接，易得垂直平分，得到，进而推出，利用勾股定理求出的长即可得出结论．
【详解】解：（1），理由如下：
∵正方形，
∴，，
∵点E、F分别是、的中点，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴；
（2）过点作，如图，
由（1）知：，
∴，
∵，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，
∵，
∴，
∵点E、F分别是、的中点，，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴平分；
（3）在上截取，连接，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
连接，同法可得：，
∴，
∴，
延长至点，使，连接，
则：垂直平分，
∴，
∴，
在中，
，
∴，
∴的最小值为：．
故答案为：.
15．（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，在中，，平分，，延长使得，连接．
(1)判断四边形的形状，并说明理由；
(2)如图，过作交于点，点在上，平分，过作交的延长线于点．
①求证：；
②试探究：，，的数量关系，并证明．
【答案】(1)矩形；证明见详解(2)①证明见详解；②
【分析】本题考查了四边形综合题，掌握矩形的性质，构造平行四边形，是解题关键，
（1）由角平分线的定义可得，由等腰三角形的性质可得，可得，由矩形的判定可求解；
（2）①连接，由，，得，由，，，得，得；
②过作，交延长线于，连接，由平分，平分，得，故是等腰直角三角形，得，利用 角度 换 算 得．再 证 明，最 后证 明 四边 形是 平行 四 边形 ，故
；
【详解】（1）解：四边形是矩形，理由如下：
平分，
，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形；
（2）解：①证明：连接，
，，
，
，
，
，
，
，
由，，，得，
，
②,
理由：过作，交延长线于，连接，
平分，平分，
，，
，
又，
是等腰直角三角形，
，
设，则，
，
，
，
，
，
由，，，
得，
，
为等腰直角三角形，
，
，
，
四边形是平行四边形，
；
16．（24-25八年级下·湖南长沙·期中）在平面直角坐标系中，四边形是正方形，，其中a，c满足．
(1)直接写出点B的坐标；
(2)如图1，在线段上有一动点E（点E不与O、C重合），连接，在下方以E为直角顶点作等腰直角，若点F恰好落在直线上，求点F的坐标；
(3)如图2，点D是上的一点，于点F，E是的中点，连接，线段交于点M，求的值．
【答案】(1)(2)(3)1
【分析】（1）根据，求得a，c的值，结合图象可知点B的横坐标与点A的横坐标相同，点B的纵坐标与点C的纵坐标相同，据此即可得出点B的坐标；
（2）作轴于H，证明，得到，故由，可得，进而可知，设，则，因为点F在直线上，解即可求出点F的坐标．
（3）延长交于点H．证明，得到，由是中线，可知，易证，故，再证，故，进一步求得是等腰直角三角形．在线段上方作，易证，，又根据，得到，进而即可求出答案．
【详解】（1）解：，
，
，
，
点B的横坐标与点A的横坐标相同，点B的纵坐标与点C的纵坐标相同，
点B的坐标为；
（2）如图，作轴于H，
∵四边形是正方形，是等腰直角三角形，
∴．
∵，
∴．
在和中，
∴，
∴，
∴，
∴，
即，
∴．
设，
则，
∵点F在直线上，
∴，
∴，
∴．
（3）法一：延长交于点H．
∵，
∴，
∴，
∵E是中点，
∴．
在和 中，
∴，
∴．
∴是中线，
∴，
易证，
∴，
∴．
易证，
∴，
∵E是的中点，
∴，
∴是等腰直角三角形．
∴．
在线段上方作，
易证，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
法二：代数法：连接．
设的解析式为，，
∴，
∴，
∴，
，
联立
得，
，
，
，
∴．
17．（24-25八年级下·上海青浦·期中）如图，已知梯形中，，，，点是射线上一点，，垂足为点，交线段于点，，，．
(1)求梯形的面积；
(2)当点在线段上时，设，，求关于的函数关系式及自变量的取值范围；
(3)若是以为腰的等腰三角形，请直接写出的长．
【答案】(1)174(2)(3)的长为5或11.9
【分析】（1）先判断出四边形是矩形，进而求出，，利用勾股定理求出，即可得出结论；
（2）过点作，交于点，先判断出四边形是平行四边形，进而判断出，即可判断出，进而判断出，即可得出结论；
（3）分两种情况：当时，当时，利用（2）的结论和勾股定理即可得出结论．
【详解】（1）解：∵，
∴，又，
∴，
∴，
又，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，，
∴，则，
∵，，
∴，
∴；
（2）如图，过点作，交于点，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴
∵，
∴，
又，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
又，由（1）可知，
∴，
∴，
∴，
∴，
（3）由（2）知，
即：，
∴
当时，过点作，则，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
当时，
∴，
在中，，
，
∴，
∴是以为腰的等腰三角形，的长为5或11.9．
18．（24-25八年级下·湖南张家界·期中）综合与探究：
在矩形中，，，点E，F分别在边，上，将沿直线折叠，点C的对应点为点G．
(1)如图1，当点F与点B重合，点G落在上时，求的长；
(2)如图2，当点E是的中点，且时，连接，求的长；
(3)如图3，当，点G恰好落在上时，延长交于点H，直接写出的长．
【答案】(1)(2)(3)
【分析】本题考查了矩形的性质、正方形的判定与性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、折叠的性质等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键．
（1）由矩形的性质可得、，由折叠的性质，得，在中，运用勾股定理求解即可；
（2）由矩形的性质可得、，，由点是的中点可得，结合折叠的性质可推出是正方形，得到，推出，然后根据勾股定理求解即可；
（3）如图，连接，，根据题意可求出，在中，由勾股定理得到，由折叠的性质得、，推出、，进而得到，可证明得到，设，则，然后根据勾股定理列出方程求解即可．
【详解】（1）解：∵四边形是矩形，
，，
由折叠的性质，得，
在中，由勾股定理，得．
（2）解：四边形是矩形，
，，，
点是的中点，
，
由折叠的性质，得，．
，
，
四边形是矩形．
又∵，
四边形是正方形．
，
，
在中，由勾股定理，得．
（3）解：如图，连接，，
四边形是矩形，
，，．
，
在中，由勾股定理，得，
由折叠的性质，得，，
，，
．
在和中，
，
，
，
设，则，
在中，由勾股定理，得，
在中，由勾股定理，得，
，解得：，
的长为．
19．（24-25八年级下·广东珠海·期中）如图，点M是正方形的边上一点，连接，点E是线段上一点，的平分线交延长线于点F．
(1)图1，若G为的中点，延长至N，使，连接，且，连接，求证：四边形为菱形；
(2)如图2，若点E为线段的中点，，求的长；
(3)如图3，若，求证：．
【答案】(1)见解析(2)(3)见解析
【分析】本题考查了正方形的性质，菱形的判定，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理等，综合性较强，能够根据题意准确作出辅助线是解题的关键．
（1）由中点定义得出，继而利用对角线互相平分证明四边形为平行四边形，由等角对等边得出，即可根据邻边相等的平行四边形是菱形进行证明；
（2）设，可得，，再根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半可得的长度，进而利用勾股定理进行求解即可；
（3）过点A作交延长线于H，过点D作于点P，先证明是等腰直角三角形，得到，再证明，把化为，从而三条线段放在了等腰直角三角形中即可证明．
【详解】（1）解：∵G为的中点，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴，
∴四边形为菱形；
（2）解：∵四边形是正方形，
∴，
∵在中，点E为斜边的中点，，
∴，
由勾股定理得，即，
∴，
∴；
（3）证明：过点A作交延长线于H，过点D作于点P，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴．
20．（24-25八年级下·广东广州·期中）已知在菱形中，．
(1)如图1．过点作点，连接，点是线段的中点，连接，若，求线段的长度；
(2)如图2，连接．若，点是对角线上的一个动点，求的最小值．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）利用含30度的直角三角形的性质求出，从而得到，利用勾股定理求出，再运用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得出答案；
（2）过点在直线的上方作，分别过点、作于点，于点，交于点，连接，则，，当点与重合时，的值最小，当点与重合时，．再根据菱形性质和等腰直角三角形性质即可求得答案．
【详解】（1）解：，，
则，，
，，
在菱形中，
，
在中，，
点是线段的中点，
；
（2）如图，过点在直线的上方作，分别过点、作于点，于点，交于点，
连接，则，
由菱形的性质可知，、关于直线对称，
，
，
当点与重合时，的值最小，
当点与重合时，．
当点与不重合时，．
四边形是菱形，，
，
又，
，
，
∴，则，
∵，
，
即的最小值是．
的最小值是．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
