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2024-2025学年八年级下册数学同步讲练【浙教版】
专题突破二：特殊平行四边形中最值问题（20道）
1．（23-24八年级下·福建福州·期中）如图，在菱形中，，，是边上的一个动点，连接，以为对角线作菱形，使点落在边上，当菱形的周长最小时，菱形的面积为（ ）
A．16 B．12 C． D．
2．（24-25八年级下·安徽芜湖·阶段练习）如图，矩形的边分别是上的动点，连接，将沿着翻折，点的对应点为点，连接和，当的值最小时，的最小值为（ ）
A．10 B． C． D．
3．（24-25八年级下·山东·期末）数学课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．如图，矩形中，，，点是边上与点和点不重合的任意一点，小明把矩形沿折叠，使点落在点处，连接，当线段的值最小时，的长度为（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25八年级下·湖北荆州·阶段练习）如图，矩形的边、分别在x轴、y轴上，点A的坐标是，点D、E分别为、的中点，点P为上一动点，当最小时，点P的坐标为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·河南安阳·模拟预测）如图，在矩形中，，．点E在边上，且，M，N分别是边、上的动点，P是线段上的动点，连接，，使．当的值最小时，线段的长为（ ）
A．2 B． C．4 D．
6．（24-25八年级下·贵州贵阳·期中）如图，在矩形中，，，E是边上一点，连接，沿翻折，得到，连接．当长度最小时，的面积是（ ）
A． B． C． D．2
7．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）如图，在长方形中，，，点P在线段（包括端点）上运动，以线段为边，向右侧作正，连接．下列结论正确的是（ ）
A．当点P与点A重合时，最小 B．当点P与点D重合时，最小
C．当最小时，A、E、C三点共线 D．当最小时，
8．（24-25八年级下·湖北武汉·期中）如图，长方形中，对角线，，将长方形沿折叠，得，点是线段上一动点．当的值最小时，的长为（ ）
A． B． C． D．
9．（2023·河南周口·三模）如图，在菱形中，，点，点在对角线上，且，点是射线上一动点，连接为轴上一点（在左侧，且，连接，当的周长最小时，点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
10．（2023·山西阳泉·模拟预测）如图所示，在正方形与等边三角形中，A，D，F三点在一条直线上，且，.若有一动点P沿着由E往D移动，则当的长度最小时，的长为（ ）
A．2 B． C． D．4
11．（2025·陕西西安·二模）如图，在菱形中，为对角线的中点，点M在边上，点N在边上，连接．当最小时，的长为 ．
12．（24-25八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，已知的顶点分别在直线：和上，是坐标原点，当对角线的长最小时，点的坐标为 ．
13．（24-25八年级下·广东深圳·开学考试）在平面直角坐标系中，菱形的位置如图所示，已知，点P是对角线上的一个动点，，连接，，当周长最小时，点P的坐标为 ．
14．（24-25八年级下·辽宁葫芦岛·阶段练习）菱形中，，，点P为对角线上一点，点E是边上一点，连接、，当的值最小时，则的面积为 ．
15．（24-25八年级下·山东济南·期中）已知正方形，点E是边上的动点，以为边作等边三角形，连接，交边于点G，当最小时， ．
16．（2024·贵州黔东南·二模）如图，在正方形中，，点是边的中点，是对角线上的动点（点在点的上方），且，连接．当的值最小时，的面积是 ．
17．（24-25八年级下·四川内江·期末）如图，菱形的边长为5，对角线的长为，在平面直角坐标系的位置如图所示，点P是对角线上的一个动点，，当最短时，点P的坐标为 ．
18．（23-24八年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，在矩形中，，点在边上，连接，沿翻折，得到，连接．当长度最小时，的面积是 ．
19．（23-24八年级下·江苏扬州·期中）如图，平面直角坐标系中，直线分别交轴，轴于，两点，点为的中点，点在第二象限，且四边形为矩形．动点为上一点，，垂足为，点是点关于点的对称点，当值最小时，点的坐标为
20．（23-24八年级下·广东广州·期中）如图，在矩形中，，，点E是边的中点，点P是边AD上的一个动点，关于的对称图形为，连接．当点F恰好落在矩形的对称轴上时，的长为 ；当线段的长度最小时，的长为 ．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页中小学教育资源及组卷应用平台
2024-2025学年八年级下册数学同步讲练【浙教版】
专题突破二：特殊平行四边形中最值问题（20道）
1．（23-24八年级下·福建福州·期中）如图，在菱形中，，，是边上的一个动点，连接，以为对角线作菱形，使点落在边上，当菱形的周长最小时，菱形的面积为（ ）
A．16 B．12 C． D．
【答案】D
【分析】过作，如图所示，分析出菱形的周长最小时的位置，再由含的直角三角形性质，可判断，过作，如图所示，在中，根据勾股定理得到，最后由菱形的面积公式计算即可得到答案．
【详解】解：过作，如图所示：
在菱形中，，，
设，则，
，
，
，
，
，即菱形边长最小是4，
当时，则，即菱形边长最小时，在中，，，
，
过作，如图所示：
在中，，，则，
，由勾股定理可得，
菱形的周长最小时，菱形的面积为，
故选：D．
2．（24-25八年级下·安徽芜湖·阶段练习）如图，矩形的边分别是上的动点，连接，将沿着翻折，点的对应点为点，连接和，当的值最小时，的最小值为（ ）
A．10 B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查矩形与折叠，勾股定理等知识，先判断三点共线时，的值最小，设，．在中，可由勾股定理求出3．求得，，作于点，得，由求出．作点关于直线的对称点，则，连接与的交点，求出即为所求
【详解】解：根据题意得：点的轨迹在以点为圆心，的长为半径的圆上，所以当三点共线时，的值最小，此时，．
设， ．
在中，
∴，即
解得，3．
∴，，
作于点，
则，
∴，
在和中，
．
如图，作点关于直线的对称点，则，
连接与的交点即所求，此时的值最小，且，
在中，．
故选：C
3．（24-25八年级下·山东·期末）数学课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．如图，矩形中，，，点是边上与点和点不重合的任意一点，小明把矩形沿折叠，使点落在点处，连接，当线段的值最小时，的长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查矩形与折叠性质、勾股定理、最短路径问题，先根据两点之间线段最短得到线段的值最小时，点F在上的点处，此时点E在点处，根据矩形和折叠性质得到，，在中，由勾股定理求得即可．
【详解】解：连接，
∵，当D、F、B共线时取等号，
∴线段的值最小时，点F在上的点处，此时点E在点处，如图，
在矩形中，，，则，
由折叠性质得，，
∴，，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
即线段的值最小时，的长度为，
故选：D．
4．（24-25八年级下·湖北荆州·阶段练习）如图，矩形的边、分别在x轴、y轴上，点A的坐标是，点D、E分别为、的中点，点P为上一动点，当最小时，点P的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了矩形的性质，轴对称最短路径问题，坐标与图形，求一次函数与坐标轴的交点坐标，取点E关于x轴的对称点，连接，连接交x轴于点，则最小值为，此时点P位于处，利用矩形的性质得到，则，再求出直线的解析式为，即可求出点的坐标．
【详解】解：取点E关于x轴的对称点，连接，连接交x轴于点，
∴，
∵，
∴最小值为，此时点P位于处，
∵四边形是矩形，点A的坐标是，
∴，
∵点D、E分别为的中点，
∴，
∴
设直线的解析式为，
∴，
解得，
∴直线的解析式为，
当时，，
解得，
∴，
即当最小时，点P的坐标为，
故选：A．
5．（2024·河南安阳·模拟预测）如图，在矩形中，，．点E在边上，且，M，N分别是边、上的动点，P是线段上的动点，连接，，使．当的值最小时，线段的长为（ ）
A．2 B． C．4 D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了矩形的性质与判定，轴对称的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，先证明是等腰直角三角形，作点关于的对称点，则在直线上，连接，则，则当三点共线，且时，有最小值，即有最小值，可证明四边形是矩形，得到，则，再证明是等腰直角三角形，即可得到．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，
∴，
是等腰直角三角形，
∴，
作点关于的对称点，则在直线上，连接，如图：
∴，
∴当三点共线，且时，有最小值，即有最小值，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
故选：D．
6．（24-25八年级下·贵州贵阳·期中）如图，在矩形中，，，E是边上一点，连接，沿翻折，得到，连接．当长度最小时，的面积是（ ）
A． B． C． D．2
【答案】C
【分析】连接，如图，根据折叠的性质得到，，当点、、三点共线时，最小，此时的最小值，根据勾股定理得到，得到长度的最小值，设，则，根据勾股定理得到根据三角形的面积公式得到的面积是．
【详解】解：连接，如图，
沿翻折至，
，
，，
，
当点、、三点共线时，最小，此时的最小值，
四边形是矩形，
，
，，
，
长度的最小值，
设，则，
，
，
，
，
解得，，
的面积是，
故选：．
7．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）如图，在长方形中，，，点P在线段（包括端点）上运动，以线段为边，向右侧作正，连接．下列结论正确的是（ ）
A．当点P与点A重合时，最小 B．当点P与点D重合时，最小
C．当最小时，A、E、C三点共线 D．当最小时，
【答案】D
【分析】以为边向右作等边，连接．利用全等三角形的性质证明，推出点在射线上运动，且，设交于点，再证明，利用等腰三角形的性质，可得结论．
【详解】解：如图，以为边向右作等边，连接．
是等边三角形，
，，，
，
，
，，
点在射线上运动，且，设交于点，
则，
当时，的长最小，此时，则，
，，
，
，即：点为中点
，
，
．
综上，当点为中点时，的长最小，此时；
故选：D．
8．（24-25八年级下·湖北武汉·期中）如图，长方形中，对角线，，将长方形沿折叠，得，点是线段上一动点．当的值最小时，的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，作于点，交于点，作于点，由矩形的性质得到，，又有折叠可证到是等边三角形，求出，根据得到，进而得到，等量代换即可得到，由此得到当点于点重合时，取得最小值，故可以求出的长，熟练掌握这些性质是解题的关键．
【详解】解：作于点，交于点，作于点，则，
∵四边形是矩形，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
由折叠得，，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴当点于点重合时，取得最小值，最小值为，
∴，
故选：．
9．（2023·河南周口·三模）如图，在菱形中，，点，点在对角线上，且，点是射线上一动点，连接为轴上一点（在左侧，且，连接，当的周长最小时，点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】过点作的垂线，交于点，点是射线上一动点，理解时，的周长最小，然后利用菱形的性质，证明出为等边三角形，再利用勾股定理或含30度的直角三角形的性质进行求解．
【详解】解：过点作的垂线，交于点，点是射线上一动点，即当时，的周长最小，
在菱形中，，点，
，
，
，
，
，
是角平分线，
，
，
，
，
为等边三角形，
，
，
，
，
，
过点分别作轴的垂线，交于
，
，
，
，
，
故选：C．
10．（2023·山西阳泉·模拟预测）如图所示，在正方形与等边三角形中，A，D，F三点在一条直线上，且，.若有一动点P沿着由E往D移动，则当的长度最小时，的长为（ ）
A．2 B． C． D．4
【答案】B
【分析】过点C作于点P，则此时的长度为最小值，可得，根据直角三角形的性质可得，再利用勾股定理求得，即可求出结果．
【详解】解：过点C作于点P，则此时的长度为最小值，
∵四边形是正方形，是等边三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：B．
11．（2025·陕西西安·二模）如图，在菱形中，为对角线的中点，点M在边上，点N在边上，连接．当最小时，的长为 ．
【答案】6
【分析】本题考查了轴对称-最短路径问题，等边三角形的判定和性质，菱形的性质．根据垂线段最短可得，当且过O时，最小，过O作于N，根据菱形的性质得到，根据等边三角形的性质得到，求得，根据直角三角形的性质得到结论．
【详解】解：根据垂线段最短可得，当MN⊥BC且过O时，最小，过O作于N，
∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵O为对角线的中点，
∴，
∴，
∴，
故答案为：6．
12．（24-25八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，已知的顶点分别在直线：和上，是坐标原点，当对角线的长最小时，点的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查了平行四边形，矩形的判定和性质，勾股定理，设直线与交于，与轴交于点，直线与交于点，与轴交于点，过点作于点，过点作轴于点，可证，得到，进而由四边形为矩形得，即得，得到，可知当最小时，即点在轴上，取得最小值，据此即可求解，利用平行四边形的性质，构造全等三角形，得出长度为定值是解题的关键．
【详解】解：设直线与交于，与轴交于点，直线与交于点，与轴交于点，过点作于点，过点作轴于点，如图所示，
∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∵直线与直线均垂直于x轴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，
∴，
∵，
∴当最小时，即点在轴上，取得最小值，最小值为，
∴此时点的坐标为，
故答案为：．
13．（24-25八年级下·广东深圳·开学考试）在平面直角坐标系中，菱形的位置如图所示，已知，点P是对角线上的一个动点，，连接，，当周长最小时，点P的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查菱形的性质、轴对称最短问题、求一次函数的解析式以及交点问题等知识，如图连接，，分别交于、，利用菱形的性质分别求出直线解析式和直线解析式，从而求出点的坐标，解题的关键是正确找到点位置，构建一次函数，列出方程组求交点坐标．
【详解】解：如图连接，分别交于G、P，
由菱形性质可知A、C关于直线对称，G为的中点，，，
此时最短，即周长最小，
，
，
，
，
设直线解析式为，
，
解得，
故直线解析式为，
，，
，
同理可求出直线解析式为，
联立得，，
解得，
，
点P的坐标为．
故答案为：．
14．（24-25八年级下·辽宁葫芦岛·阶段练习）菱形中，，，点P为对角线上一点，点E是边上一点，连接、，当的值最小时，则的面积为 ．
【答案】
【分析】本题考查菱形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，在上取一点，使，连接，，过作于，根据菱形的对称性可，得到，，当、、三点共线且与重合时，最小，此时，，再在中求出，最后根据面积公式计算即可．
【详解】解：在上取一点，使，连接，，过作于，
∵菱形中，，，
∴，，，
∵，
∴，
∴，，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴当、、三点共线且与重合时，最小，此时，，
∴，
∵，，
∴，，
∴，解得（负值舍去），
∴的面积为，
故答案为：．
15．（24-25八年级下·山东济南·期中）已知正方形，点E是边上的动点，以为边作等边三角形，连接，交边于点G，当最小时， ．
【答案】/120度
【分析】本题主要考查了正方形中的计算，解题关键是构造全等三角形．
作等边三角形，连接，由正方形，等边三角形，得，得，故当时最小，此时，即可得．
【详解】解：作等边三角形，连接，
∵正方形，等边三角形，
∴，，，
∴，
∴，
故当时最小，此时，
∴．
故答案为：．
16．（2024·贵州黔东南·二模）如图，在正方形中，，点是边的中点，是对角线上的动点（点在点的上方），且，连接．当的值最小时，的面积是 ．
【答案】1
【分析】取的中点，连接，取的中点，连接，则是的中位线，有．进一步求得和，即可判定四边形是平行四边形，那么，．连接，交于点，则当点位于点处时，的值最小，即的值最小，此时的点记为点，结合正方形的性质求得即可求得面积．
【详解】解：如图，取的中点，连接，取的中点，连接，
∵点是边的中点，
是的中位线，
．
在正方形中，，
，
，
∴
∴四边形是平行四边形，
，
．
连接，交于点，则当点位于点处时，的值最小，即的值最小．
将此时的点记为点，由正方形的对称性可知．
∴．
又，
则的面积为．
故答案为：1．
17．（24-25八年级下·四川内江·期末）如图，菱形的边长为5，对角线的长为，在平面直角坐标系的位置如图所示，点P是对角线上的一个动点，，当最短时，点P的坐标为 ．
【答案】/
【分析】由菱形的性质知，点C与点A关于对称，连接交于P，连接，此时最小，最小值等于．用待定系数法求得直线的解析式为，直线的解析式为，然后联立丙解析式，求解即可得点P坐标．
【详解】解：∵菱形
∴点C与点A关于对称，
连接交于P，连接，如图，
∵点C与点A关于对称，
∴
∴
此时最小，最小值等于．
∵菱形的边长为5，
∴，
设直线的解析式为，
把，代入，得
，
解得，
直线的解析式为，
过点B作于E，
∵菱形的边长为5，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理，得，
在中，由勾股定理，得，
∴
解得：
∴
∴
∴
设的解析式为，
把代入，得，
，
直线的解析式为，
联立，
解得，
，
故答案为：．
18．（23-24八年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，在矩形中，，点在边上，连接，沿翻折，得到，连接．当长度最小时，的面积是 ．
【答案】
【分析】本题考查矩形与折叠性质、勾股定理与折叠、两点之间线段最短等知识，先根据矩形性质和折叠性质求得，，，，再根据两点之间线段最短，得，即，当B、F、D共线时长度最小，此时点F与重合，即最小值为的长，设折线为，连接，在中，利用勾股定理求得即可求解．
【详解】解：连接，
在矩形中，，则，
根据折叠性质，，，，
根据两点之间线段最短，得，即，
∴当B、F、D共线时长度最小，此时点F与重合，即最小值为的长，设折线为，连接，
在中，，，，，
∴由勾股定理得，解得，
∴，
即当长度最小时，的面积是，
故答案为：
19．（23-24八年级下·江苏扬州·期中）如图，平面直角坐标系中，直线分别交轴，轴于，两点，点为的中点，点在第二象限，且四边形为矩形．动点为上一点，，垂足为，点是点关于点的对称点，当值最小时，点的坐标为
【答案】
【分析】此题是一次函数的综合题．由点是点关于点的对称点，先求出点的坐标，然后连接，，可得四边形是平行四边形，进而可得：，进而可将转化为，然后根据两点之间线段最短可知：当点，，在同一直线上时，的值最小，然后求出直线的关系式，进而可求出直线与轴的交点的坐标，从而即可求出点的坐标．
【详解】解：直线分别交轴，轴于，两点，点为的中点，
，，，
连接，，，则四边形是平行四边形，如图，
四边形是平行四边形，
，
，
有最小值，即有最小值，
只需最小即可，
两点之间线段最短，
当点，，在同一直线上时，的值最小，
过点作轴，垂足为，
点是点关于点的对称点，
是的中位线，
，，
，
设直线的关系式为：，
将和分别代入上式得：
，
解得：，
直线的关系式为：，
令得：，
，
∵轴，
，
故答案为：．
20．（23-24八年级下·广东广州·期中）如图，在矩形中，，，点E是边的中点，点P是边AD上的一个动点，关于的对称图形为，连接．当点F恰好落在矩形的对称轴上时，的长为 ；当线段的长度最小时，的长为 ．
【答案】 1
【分析】设的中点为，连接，设的中点分别为，连接，过点作于，先证当点恰好落在矩形的对称轴上时，点只能落在所在的直线上，再证四边形为正方形，从而可得的长；连接，根据“两点之间线段最短”得即当点落在上时，为最短，先求出，则，设，则，在和中，，由此解出即可得的长．
【详解】解：设的中点为，连接，设，的中点分别为，连接，过点作于，如图1所示：
∴所在的直线为矩形的对称轴，
∵四边形为矩形，，点是边的中点，
∴，
∵关于的对称图形为，
∴，
根据“垂线段最短”得：，即，
则点到的距离大于等于1，
∴当点恰好落在矩形的对称轴上时，点只能落在所在的直线上，如图2所示：
此时，
又∵，
∴四边形为正方形，
∴；
连接，
根据“两点之间线段最短”得：，即当点落在上时，为最短，如图3所示：
在中，，
由勾股定理得：，
，
设，则，
在中，由勾股定理得：，
在中，由勾股定理得：，
，
解得：，
即，
故答案为：．
试卷第1页，共3页
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