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2024-2025学年八年级下册数学同步讲练【浙教版】
专题突破七：特殊平行四边形中动点问题（选填题）（20道）
1．（24-25八年级下·山西长治·期中）如图，在边长为的正方形中，为边上一点，且，点在边上以的速度由点向点运动；同时，点在边上以的速度由点向点运动，它们运动的时间为，连接．当与全等时，的值为（ ）
A．1 B．2 C．2或4 D．1或1.5
2．（24-25八年级下·新疆昌吉·期末）如图，在正方形中，，是上的一点且，连接，动点从点出发，沿着路径以的速度运动，运动到点停止，设点的运动时间为秒，当和全等时，的值是（ ）
A． B． C．或 D．或
3．（23-24八年级下·河北保定·期末）如图，在矩形中，分别是边上的动点，点从出发到停止运动，点从出发到停止运动，若P，Q两点以相同的速度同时出发，匀速运动．下面四个结论中：①存在四边形是矩形；②存在四边形是菱形；③存在四边形是矩形；④存在四边形是正方形．所有正确结论的序号是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④
4．（23-24八年级下·河北衡水·阶段练习）如图，等边三角形的边长为．动点M从点B出发，沿的方向以的速度运动，动点N从点C出发，沿方向以的速度运动，若动点M，N同时出发，且其中一点到达终点时，另一点也停止运动，当点A，M，N以及的边上一点D构成的四边形为平行四边形时，t的值为（ ）
A．2或3 B．2或4 C．1或3 D．1或2
5．（23-24八年级上·山东济宁·期末）如图，在平行四边形中，，，点P在边上以每秒的速度从点A向点D运动，点Q在边上以每秒的速度从点C出发，在间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止运动，同时点Q也停止运动．设运动时间为，开始运动以后，当t为何值时，以P，D，Q，B为顶点的四边形是平行四边形？（ ）
A． B． C．或 D．或
6．（24-25八年级下·陕西西安·期末）如图，在长方形中，已知，，点P以的速度由点B向点C运动，同时点Q以的速度由点C向点D运动，若某时刻以A、B、P为顶点的三角形和以P、C、Q为顶点的三角形全等，则a的值为（ ）
A．2 B．3 C．2或 D．2或
7．（24-25八年级下·福建龙岩·阶段练习）如图，在四边形中，，，，，．点从点出发，以的速度沿．向点运动；点从点同时出发，以的速度沿边向点运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动的时间为．当为何值时，四边形为平行四边形？（ ）
A． B． C． D．
8．（24-25八年级下·四川南充·期末）如图，四边形中，，．点从点A出发，以的速度向点D运动；点从点C同时出发，以的速度向点B运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为秒，下列结论错误的是（ ）
A．当时， B．当时，
C．当或时， D．当时，四边形的最大面积为
9．（24-25八年级下·江苏淮安·期末）如图，在平行四边形中，，，点在边上以每秒的速度从点向点运动．点在边上以每秒的速度从点出发，在之间往返运动．两个点同时出发，当点到达点时停止（同时点也停止运动），设运动时间为秒．当时，运动时间t为何值时，以P、D、Q、B为顶点的四边形是平行四边形（ ）
A． B．8 C．4或 D．或8
10．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在长方形中，，，点是上的一点，且．点从点出发，以的速度沿点匀速运动，最终到达点．设点运动时间为，若三角形的面积为，则的值为 ．
11．（24-25八年级下·江西景德镇·期中）如图，在矩形中，，点P从点A向点D以的速度运动，点Q以的速度从点C出发，在B，C两点之间做往返运动，两点同时出发，点P到达点D时，两点同时停止运动，这段时间内，若以P，Q，C，D四点为顶点的四边形是矩形，那么运动时间为 ．
12．（23-24八年级下·广西玉林·期末）如图（1），点F从菱形的顶点A出发，沿以的速度匀速运动到点B，点F运动时，的面积随时间的变化关系图象如图（2），则菱形的面积为 ．
（1） （2）
13．（24-25八年级下·安徽淮南·阶段练习）如图，在四边形中，，，，，点P从点A出发，以每秒的速度沿折线方向运动，点Q从点D出发，以每秒速度沿线段方向向点C运动．已知动点P，Q同时出发，当点Q运动到点C时，P，Q运动停止，设运动时间为t．
（1）当 秒时，四边形为平行四边形；
（2）在点P、点Q的运动过程中，当 秒时，的面积为？
14．（24-25八年级下·浙江绍兴·期中）已知，四边形中，，，，点、分别为边、的中点，点从点出发，以每秒个单位的速度从方向运动，到达点后停止运动，同时点从点出发，以每秒个单位的速度从方向运动，到达点后立即原路返回，点到达点后点同时停止运动，设点、运动的时间为秒，当以点、、、为顶点的四边形为平行四边形时，的值为 ．
15．（24-25八年级下·河南郑州·期末）如图，等边三角形的边长为，动点M从点B出发，沿的方向以的速度运动，动点N从点C出发，沿的方向以的速度运动，且动点M，N同时出发，其中一点到达终点时，另一点随之停止运动．那么运动到第 秒时，点A，M，N以及的边上一点D恰能构成一个平行四边形．
16．（24-25八年级下·河南驻马店·期末）如图在矩形中，，，为的中点，动点从点出发，以每秒的速度沿运动，最终到达点，若点运动的时间为秒，则当的面积为时，值为 ．
17．（24-25八年级下·山东菏泽·期末）如图，在四边形中，，且，动点P，Q分别从点D，B同时出发，点P以的速度向终点A运动，点Q以的速度向终点C运动． 秒时四边形是平行四边形？
18．（24-25八年级下·河南驻马店·期中）如图，在长方形中，，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动，规定其中一个动点停止运动时，另一个动点也随之停止运动．当点的运动速度是 时，与全等．
19．（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在中，，动点P以每秒的速度从点A向点D运动．另一动点Q以每秒的速度从点C出发，在间往返运动，P，Q两点同时出发，当点P到达点D时停止运动（同时Q点也停止），若P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形时，则运动时间为 秒．
20．（2023·湖北黄冈·二模）如图甲，在梯形中，，，动点P从点C出发沿线段向点D运动，到达点D即停止，若E、F分别是、的中点，设，的面积为y，则y与x的函数关系的图象如图乙所示，则梯形的面积为 ．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页中小学教育资源及组卷应用平台
2024-2025学年八年级下册数学同步讲练【浙教版】
专题突破七：特殊平行四边形中动点问题（选填题）（20道）
1．（24-25八年级下·山西长治·期中）如图，在边长为的正方形中，为边上一点，且，点在边上以的速度由点向点运动；同时，点在边上以的速度由点向点运动，它们运动的时间为，连接．当与全等时，的值为（ ）
A．1 B．2 C．2或4 D．1或1.5
【答案】C
【分析】此题重点考查正方形的性质、全等三角形的性质．由正方形的性质得，，而，则，再分两种情况讨论，一是当，时，，此时，求得；二是当，时，，由，求得，于是得到问题的答案．
【详解】解：∵四边形是边长为的正方形，
∴，，
∵E为边上一点，且，
∴，
由题意得，则，
当，时，，
∴，
∴；
当，时，，
∴，
∴，
综上，的值为2或4．
故选：C．
2．（24-25八年级下·新疆昌吉·期末）如图，在正方形中，，是上的一点且，连接，动点从点出发，沿着路径以的速度运动，运动到点停止，设点的运动时间为秒，当和全等时，的值是（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】D
【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、动点问题．当和全等时，一定为直角三角形，点在上时，不能构成三角形；点在上时构成的不是直角三角形，此时两个三角形不能全等；当点在上时，此时点运动的路程为，根据运动的速度可以求出运动的时间；当点在上时，此时点运动的路程为，根据运动的速度求出运动的时间即可．
【详解】解：中，
当和全等时，一定为直角三角形，
当点在上时，不能构成三角形；
当点在上时，如下图所示，
构成的不是直角三角形，此时和不全等；
当点在上时，如下图所示，
，
则有，
此时点运动的路程为，
运动的时间为；
当点在上时，如下图所示，
，
，
此时点运动的路程为，
运动的时间为，
综上所述，当和全等时，的值是或．
故选：D ．
3．（23-24八年级下·河北保定·期末）如图，在矩形中，分别是边上的动点，点从出发到停止运动，点从出发到停止运动，若P，Q两点以相同的速度同时出发，匀速运动．下面四个结论中：①存在四边形是矩形；②存在四边形是菱形；③存在四边形是矩形；④存在四边形是正方形．所有正确结论的序号是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④
【答案】A
【分析】设两点速度为每秒1个单位长度，则，，由题意可得四边形是平行四边形，再利用矩形，菱形，正方形的性质分别进行求解即可．
【详解】解：设两点速度为每秒1个单位长度，则，，
∵四边形是矩形，，
∴，，，
∴四边形是平行四边形，
当时，点与点重合，点与点重合，此时四边形是矩形，故①正确；
当四边形是菱形时，，
则，解得：，符合题意，
即：当时，四边形是菱形，故②正确；
当四边形是矩形时，，则，解得，
即：当时，四边形是矩形，故③正确；
当四边形是正方形时，，
则，解得，但此时，不符合题意，故④不正确，
综上，正确的有①②③，
故选：A．
4．（23-24八年级下·河北衡水·阶段练习）如图，等边三角形的边长为．动点M从点B出发，沿的方向以的速度运动，动点N从点C出发，沿方向以的速度运动，若动点M，N同时出发，且其中一点到达终点时，另一点也停止运动，当点A，M，N以及的边上一点D构成的四边形为平行四边形时，t的值为（ ）
A．2或3 B．2或4 C．1或3 D．1或2
【答案】C
【分析】本题考查了平行四边形的判定，等边三角形的性质，利用平行四边形的判定和等边三角形的性质求得相关线段的长度，然后列出方程求解是解题的关键．分三种情况讨论，由平行四边形的性质和等边三角形的性质可列方程，即可求解．
【详解】解：①当，点M、N、D的位置如图所示：
四边形是平行四边形，
，，，
，，
，
，
，即：，
解得：，
②当时，点M、N、D在同一直线上，不能构成四边形，
③当时，点M、N、D的位置如图所示：
四边形是平行四边形，
，，
，
为等边三角形，
，
，
，
，即：，
解得：，
综上所述，t的值为1或3，
故选：C．
5．（23-24八年级上·山东济宁·期末）如图，在平行四边形中，，，点P在边上以每秒的速度从点A向点D运动，点Q在边上以每秒的速度从点C出发，在间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止运动，同时点Q也停止运动．设运动时间为，开始运动以后，当t为何值时，以P，D，Q，B为顶点的四边形是平行四边形？（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】B
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质以及一元一次方程的应用．由四边形为平行四边形可得出，结合平行四边形的判定定理可得出当时以四点组成的四边形为平行四边形，分三种情况考虑，在每种情况中由即可列出关于/的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】解：∵四边形为平行四边形，
∴，
若要以四点组成的四边形为平行四边形， 则，
设运动时间为，
当时，，，
∴，
，
∴(舍去)；
当时，，
∴，
解得：；
当时，，
∴，
解得：(舍去)；
综上所述，的值为时, 以为顶点的四边形是平行四边形．
故选:B．
6．（24-25八年级下·陕西西安·期末）如图，在长方形中，已知，，点P以的速度由点B向点C运动，同时点Q以的速度由点C向点D运动，若某时刻以A、B、P为顶点的三角形和以P、C、Q为顶点的三角形全等，则a的值为（ ）
A．2 B．3 C．2或 D．2或
【答案】D
【分析】本题考查了特殊四边形的动点问题，全等三角形的性质，利用分类讨论的思想解决问题是解题关键．设运动时间为，由题意得可知，，，，分两种情况讨论：①；②，利用全等三角形的性质分别求解，即可得到答案．
【详解】解：设运动时间为，
由题意得：，，则，
①若，则，，
，，
，；
②若，则，，
，，
解得：，
，
解得：a＝，
综上，a的值为2或．
故选：D．
7．（24-25八年级下·福建龙岩·阶段练习）如图，在四边形中，，，，，．点从点出发，以的速度沿．向点运动；点从点同时出发，以的速度沿边向点运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动的时间为．当为何值时，四边形为平行四边形？（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】当时，四边形是平行四边形，列方程求解即可．
【详解】由题意可得，，，
当时，
由可得四边形是平行四边形
∴，解得，
故选：C．
8．（24-25八年级下·四川南充·期末）如图，四边形中，，．点从点A出发，以的速度向点D运动；点从点C同时出发，以的速度向点B运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为秒，下列结论错误的是（ ）
A．当时， B．当时，
C．当或时， D．当时，四边形的最大面积为
【答案】C
【分析】根据点、点的速度及、的长，分别用表示出、、、的长，根据值，利用平行四边形及矩形的判定定理可判断、选项正确，利用选项的结论、矩形的性质及勾股定理可判断选项错误，根据梯形的面积公式及一次函数的性质可判断选项正确，即可得答案．
【详解】∵点的速度为，点的速度为，，
∴，，，，
当时，，，
∴，
∵，即，
∴四边形是平行四边形，
∴，故选项正确，不符合题意，
如图，过点作于，
∵，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
当时，，，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，故选项正确，不符合题意，
由选项可知：当时，四边形是平行四边形，
∴，
如图，当时，过点作于，
∴，，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴，故选项错误，符合题意，
∵，，
∴，
，，
∵其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，
∴，
∵，
∴随的增大而增大，
∴当时，四边形的面积最大，最大面积为，故选项正确，不符合题意，
故选：C．
9．（24-25八年级下·江苏淮安·期末）如图，在平行四边形中，，，点在边上以每秒的速度从点向点运动．点在边上以每秒的速度从点出发，在之间往返运动．两个点同时出发，当点到达点时停止（同时点也停止运动），设运动时间为秒．当时，运动时间t为何值时，以P、D、Q、B为顶点的四边形是平行四边形（ ）
A． B．8 C．4或 D．或8
【答案】D
【分析】根据的速度为每秒，可得，从而得到，由四边形为平行四边形可得出，结合平行四边形的判定定理可得出当时以、、、四点组成的四边形为平行四边形，当时，分两种情况考虑，在每种情况中由即可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】解：四边形为平行四边形，
．
若要以、、、四点组成的四边形为平行四边形，则．
当时，，，，，
，
解得：；
当时，，，，
，
解得：．
综上所述：当运动时间为秒或8秒时，以、、、四点组成的四边形为平行四边形．
故选D．
10．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在长方形中，，，点是上的一点，且．点从点出发，以的速度沿点匀速运动，最终到达点．设点运动时间为，若三角形的面积为，则的值为 ．
【答案】或
【分析】本题主要考查了长方形的性质、三角形面积公式的运用、动点问题、分类讨论等知识点，灵活运用分类讨论思想是解答本题的关键．
分三种情况：当点在上，则，当点在上，当点在上，分别画出图形求出结果即可．
【详解】解：四边形是长方形，
，，，
点是上的一点，且，
，，
当点在上，则，
，
，
解得：；
当点在上，如图1所示，
，
则，
，
当点在上时，不存在的情况；
当点在上，如图所示，
，，
，
解得：，
综上所述，的值为或．
故答案为：或．
11．（24-25八年级下·江西景德镇·期中）如图，在矩形中，，点P从点A向点D以的速度运动，点Q以的速度从点C出发，在B，C两点之间做往返运动，两点同时出发，点P到达点D时，两点同时停止运动，这段时间内，若以P，Q，C，D四点为顶点的四边形是矩形，那么运动时间为 ．
【答案】或；
【分析】本题考查了矩形的判定，根据四边形是矩形得到，，根据运动表示出、，结合矩形的判定得到当时以P，Q，C，D四点为顶点的四边形是矩形列式求解即可得到答案；
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，，
∵，点P从点A向点D以的速度运动，点Q以的速度从点C出发，在B，C两点之间做往返运动，
∴，或，
∵以P，Q，C，D四点为顶点的四边形是矩形，
∴，
∴或，
解得：或，
故答案为：或．
12．（23-24八年级下·广西玉林·期末）如图（1），点F从菱形的顶点A出发，沿以的速度匀速运动到点B，点F运动时，的面积随时间的变化关系图象如图（2），则菱形的面积为 ．
（1） （2）
【答案】
【分析】本题主要考查了四边形的动点问题，菱形的性质，勾股定理等知识，设点A到的距离为h，根据动点函数图像求出h， 过点D作交的延长线与点E，则，
利用勾股定理求出，由菱形的性质得出，利用勾股定理求出，最后计算菱形的面积即可．
【详解】解：设点A到的距离为h，
由点F的运动轨迹和速度可知，，且，
解得：，
过点D作交的延长线与点E，
则，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
在中，，
即，
解得：，
∴，
故答案为：
13．（24-25八年级下·安徽淮南·阶段练习）如图，在四边形中，，，，，点P从点A出发，以每秒的速度沿折线方向运动，点Q从点D出发，以每秒速度沿线段方向向点C运动．已知动点P，Q同时出发，当点Q运动到点C时，P，Q运动停止，设运动时间为t．
（1）当 秒时，四边形为平行四边形；
（2）在点P、点Q的运动过程中，当 秒时，的面积为？
【答案】 2 或或
【分析】（1）当四边形为平行四边形时，，由此构建方程解决问题即可；
（2）分两种情况进行讨论：即①当点P在线段上，②当点P在线段上，根据两种情况点的位置，可以确定t的值．
【详解】解：（1）当四边形为平行四边形时，，
，，
如图，
，，
，
解得：，
故答案为：2；
（2）如图1，过A点作于M，则四边形是矩形，
，，
，
，
；
①当点P在线段上时，即时，如图3，
，
解得；
②当点P在线段上时，即时，如图4，
，，
，
整理得：，即，
解得：或，
，
或，
综上所述，或或，的面积为，
故答案为：或或．
14．（24-25八年级下·浙江绍兴·期中）已知，四边形中，，，，点、分别为边、的中点，点从点出发，以每秒个单位的速度从方向运动，到达点后停止运动，同时点从点出发，以每秒个单位的速度从方向运动，到达点后立即原路返回，点到达点后点同时停止运动，设点、运动的时间为秒，当以点、、、为顶点的四边形为平行四边形时，的值为 ．
【答案】1或或
【分析】设秒后，点、、、为顶点的四边形为平行四边形．分三种情形分别构建方程即可．
【详解】解：设秒后，点、、、为顶点的四边形为平行四边形．
由题意，当时，点、、、为顶点的四边形为平行四边形，
则有：或或，
解得或或．
故答案为：或或．
15．（24-25八年级下·河南郑州·期末）如图，等边三角形的边长为，动点M从点B出发，沿的方向以的速度运动，动点N从点C出发，沿的方向以的速度运动，且动点M，N同时出发，其中一点到达终点时，另一点随之停止运动．那么运动到第 秒时，点A，M，N以及的边上一点D恰能构成一个平行四边形．
【答案】2或6/6或2
【分析】分三种情况讨论，由平行四边形的性质和等边三角形的性质可列方程，即可求解．
【详解】解：①当，点M、N、D的位置如图所示：
四边形是平行四边形，
，，，
，，
，
，
，即：，
解得：，
②当时，点M、N、D在同一直线上，不能构成四边形，
③当时，点M、N、D的位置如图所示：
四边形是平行四边形，
，，
，
为等腰三角形，
，
，
，
，即：，
解得：，
④当时，点M、N、D的位置如图所示：
则，，
由题意可知，为等边三角形，
，即：，
解得：，
此时M、N重合，不能构成四边形，
综上所述，t的值为2或6，
故答案为：2或6．
16．（24-25八年级下·河南驻马店·期末）如图在矩形中，，，为的中点，动点从点出发，以每秒的速度沿运动，最终到达点，若点运动的时间为秒，则当的面积为时，值为 ．
【答案】6或11/11或6
【分析】分在上、在上两种情况，根据三角形的面积公式计算即可．
【详解】解：①当在上时，
的面积等于，
，
解得：；
②当在上时，
的面积等于，
，
，
解得：；
综上所述，的值为6或11，
故答案为：6或11．
17．（24-25八年级下·山东菏泽·期末）如图，在四边形中，，且，动点P，Q分别从点D，B同时出发，点P以的速度向终点A运动，点Q以的速度向终点C运动． 秒时四边形是平行四边形？
【答案】3
【分析】由运动时间为秒，则，，而四边形是平行四边形，所以，则得方程求解．
【详解】解：设秒后，四边形是平行四边形，
，，
，
当时，四边形是平行四边形，
，
，
秒时四边形是平行四边形．
故答案为：3．
18．（24-25八年级下·河南驻马店·期中）如图，在长方形中，，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动，规定其中一个动点停止运动时，另一个动点也随之停止运动．当点的运动速度是 时，与全等．
【答案】或/3或2
【分析】根据题意设运动时间为，点的速度为，根据全等三角形的判定方法，分类讨论：①当时，，；②当时，，；根据全等三角形的性质即可求解．
【详解】解：长方形中，，，点在线段上以的速度由点向点运动，设运动时间为，点的速度为，
∴点从点到点的时间为，
∴，，，
①当时，，，
∴，解得，，
∴，
∴，即点的速度为；
②当时，，，
∴，解得，，
∴，
∴，即点的速度为；
综上所述，当点的运动速度是为或时，与全等，
故答案为：或．
19．（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在中，，动点P以每秒的速度从点A向点D运动．另一动点Q以每秒的速度从点C出发，在间往返运动，P，Q两点同时出发，当点P到达点D时停止运动（同时Q点也停止），若P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形时，则运动时间为 秒．
【答案】0或4
【分析】根据平行四边形的性质可得当时，以点、、、为顶点组成平行四边形，然后分情况讨论，再列出方程，求出方程的解即可．
【详解】解：设经过秒，以点、、、为顶点组成平行四边形，
以点、、、为顶点组成平行四边形，
，
∵点P以每秒的速度，点Q以每秒的速度运动，
∴点P运动时间为秒，此时点Q从点C运动到点B，又从点B运动到点C，
①点的运动路线是，可得，
解得：；
②点的运动路线是，可得，
解得：；
综上所述，秒或4秒时，以、、、四点组成的四边形为平行四边形，
故答案为：0或4．
20．（2023·湖北黄冈·二模）如图甲，在梯形中，，，动点P从点C出发沿线段向点D运动，到达点D即停止，若E、F分别是、的中点，设，的面积为y，则y与x的函数关系的图象如图乙所示，则梯形的面积为 ．
【答案】20
【分析】先证明是的中位线，从而得出，再分两种情况计算面积：当时，点P与点C重合；当时，点P与点D重合；然后求和即可．
【详解】∵E、F分别是、的中点，
∴是的中位线，
∴，
∵当时，点P与点C重合，
，
∵当时，点P与点D重合，
，
，
，
故答案为：20．
试卷第1页，共3页
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