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2024-2025学年八年级下册数学同步讲练【浙教版】
专题突破八：特殊平行四边形中动点问题（解答题压轴）（20道）
1．（24-25八年级下·吉林·期中）如图，在四边形中，，，，，．点从点出发，以的速度向点运动；点从点同时出发，以的速度向点运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设点的运动时间为（单位：s），解答下列问题．
(1)______________．（用含的代数式表示）
(2)当点停止运动时，的长度为______________．
(3)当四边形为矩形时，求此时的值．
(4)当时，直接写出此时的值．
【答案】(1)(2)(3)(4)或
【分析】本题考查四边形上动点问题，矩形的判定与性质及平行四边形的判定与性质，解题的关键是根据性质列方程求解．
（1）根据时间乘以速度即可解答；
（2）求点停止运动时的时间，即可解答；
（3）当四边形为矩形时，，列方程即可解答；
（4）分类讨论，当四边形为平行四边形或等腰梯形，分别计算即可．
【详解】（1）解：根据题意，，
故答案为：；
（2）解：，
则，
故答案为：；
（3）解：，
当四边形为矩形时，，
可得，
解得；
（4）解：如图，当四边形为平行四边形时，此时，
，
则，
可得方程，
解得；
如图，当四边形为等腰梯形时，此时，过点作交于点，
，
则四边形都为矩形，
，，
，
，，
，
，
根据，可列方程，
解得，
综上所述，或．
2．（24-25八年级下·吉林长春·开学考试）如图，在中，，，边上的高为12．点从点出发，沿以每秒5个单位长度的速度运动．点从点出发沿以每秒10个单位长度的速度运动．、两点同时出发，当其中一点到达终点时，、两点同时停止运动．设运动的时间为（秒），连接．
(1)当点与点重合时，的值为________．
(2)直接写出的长（用含的代数式表示）；
(3)当平分面积时，求的值；
(4)当时，直接写出的值．
【答案】(1)(2)(3)12或(4)2或或
【分析】（1）由题意可得，即可；
（2）分点点出发沿运动和点出发沿运动两种情况讨论即可；
（3）分两种情况，结合梯形的面积公式分别求出t的值即可．
（4）分两种情况，结合矩形的性质、平行四边形的性质分别求出t的值即可．
【详解】（1）解：点Q与点C重合时，
由题意得：，
解得：，
即点Q与点C重合时，t的值为6；
（2）解：当点Q沿运动时，；
由题意得：；
当点Q沿运动时，，
∴，
即；
（3）解：∵面积为，
∴梯形的面积为
分两种情况：
当点Q沿运动时，如图，
∴，
解得：；
当点Q沿运动时，如图，
同理：，
解得：，
此时，两点重合，两点重合；
综上所述，当平分面积时，t的值为12或；
（4）解：分两种情况：
点Q沿运动时，
如图，过A作于点G，于点H，则四边形是矩形，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
解得：；
当点Q沿运动时，
如图，过A作于点G，于点H，则四边形是矩形，当点Q在点H右侧时，
同理，
∵，
∴，
解得：；
当点Q在点H左侧时，如图，则四边形是矩形，即，
∴，
解得：；
综上所述，当时，t的值为2或或．
3．（24-25八年级下·四川达州·阶段练习）如图，菱形中， 交于点 O， ，动点 M 从 A 点出发沿方向以匀速直线运动到 C 点，动点 N 从 B 点出发沿方向以匀速直线运动到 D 点．若 M，N 同时出发，设运动时间为 t 秒：
(1)当时， ， ．（用 t 表示）
(2)当秒时， 的面积为多少？
(3)点 M 到达点 C 后立即原路返回，速度保持不变，直到点 N 到达 D 后同时停止运动，那么在整个移 动过程中，是否存在某一时刻，使得的面积为？若存在，求出运动时间；若不存在，请说 明理由．
【答案】(1)(2)8(3)或或
【分析】本题主要考查了菱形的性质，动点问题，一元二次方程的应用，
对于（1），先根据菱形的性质求出，可确定时，两个点的位置，即可得出答案；
对于（2），先分别求出，再根据面积公式求出答案；
对于（3），分，，，四种情况，分别表示，再根据面积等于列出方程，求出解即可．
【详解】（1）∵四边形时菱形，
∴．
根据题意可知，
当时，
点M在上，点N在上，
∴，．
故答案为：，；
（2）当时，，
∴，
∴；
（3）存在，理由如下：
当时，
根据题意得，
∴，
∴，
解得或（舍）；
当时，
根据题意得，
∴，
∴，
无解；
当时，
根据题意得，
∴，
∴，
解得或（舍）；
当时，
根据题意得，
∴，
∴，
解得或（舍）．
所以或或．
4．（24-25八年级下·辽宁锦州·期中）如图，在矩形中，，，点从点出发向点运动，运动到点停止，同时，点从点出发向点运动，运动到点即停止，点、的速度都是，连接、、，设点、运动的时间为．
(1)当为何值时，四边形是矩形；
(2)当为何值时，四边形是菱形；
(3)分别求出（2）中菱形的周长和面积．
【答案】(1)(2)(3)周长为，面积为
【分析】（1）由矩形的性质可得，据此可建立一元一次方程，解方程即可求出答案；
（2）由菱形的性质可得，据此可建立一元一次方程，解方程即可求出答案；
（3）先利用的值求出的长，然后根据和即可求出菱形的周长和面积．
【详解】（1）解：四边形是矩形，
，
即：，
解得：，
答：当时，四边形是矩形；
（2）解：∵，，
∴四边形是平行四边形；
四边形是菱形，
，
即：，
解得：，
答：当时，四边形是菱形；
（3）解：当时，，
菱形的周长为：，
菱形的面积为：．
5．（24-25八年级下·吉林·期中）如图，在直角梯形中，，动点分别从点同时出发，点以的速度向沿运动，点以的速度向点运动，当一点运动到终点时另一点也随之停止运动．设运动时间为．
(1)__________；
(2)设以点为顶点组成的三角形的面积为，求与之间的函数关系式；
(3)当点在线段上运动，且点之间的距离为时，直接写出此时的值．
【答案】(1)3．(2)当时，；当时，．(3)．
【分析】（1）过点A作，垂足为，可得四边形是矩形，先求出，再在中求出即可求解；
（2）分点在、上两种情况由三角形面积公式即可求解；
（3）过点P作，垂足为，可得四边形是矩形，再在中，，由此列方程求解即可.
【详解】（1）解：如解图1，过点A作，垂足为，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴平行四边形是矩形，
∴，，
∴，
∵在中，，
∴，
∴；
故答案为：3．
（2）解：如解图2，当时，，，
∵，即，
∴点P在上，此时，
当时，如解图3，
点P在上，，，
此时，
综上所述：；
（3）解：如解图4．过点P作，垂足为，
同理（1）可得：四边形是矩形，
，，，，
∴，
∵在中，，
∴，
∴，（不合题意舍去）．
∴当点在线段上运动，且点之间的距离为时，此时．
6．（24-25八年级下·全国·阶段练习）如图，在矩形中，，，点P从点A出发，以的速度沿向终点D运动，同时，点Q从点C出发，以的速度沿向终点B运动，设运动时间为．
(1)当时，判断四边形的形状，并说明理由；
(2)当时，求四边形的面积与运动时间的函数关系；
(3)四边形可能为菱形吗？若可能，请求出t的值；若不可能，请说明理由．
【答案】(1)四边形是平行四边形，见解析；(2)(3)可能，．
【分析】（1）由矩形的性质可得出，再得出，即可得出四边形是平行四边形．
（2）得出，再根据四边形的面积代入求解即可．
（3）由菱形的性质得出，利用勾股定理求出，再根据代入求出t值即可．
【详解】（1）解：四边形是矩形，
∴，
∵点P从点A出发，以的速度沿向终点D运动，同时，点Q从点C出发，以的速度沿向终点B运动，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形．
（2）解：∵，
∴；
（3）解：四边形可能为菱形．
∵一组邻边相等的平行四边形是菱形，
∴，
∵，，
∴
∴，
解得：．
7．（24-25八年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，在矩形中，cm，cm，动点从点出发，以3cm/s的速度向点运动，同时另一动点从点出发，以2cm/s的速度向点运动，当点停止运动时，点也停止运动，设运动时间为s．
(1)__________cm，__________cm；（用含的代数式表示）
(2)当为何值时，、两点间的距离为13cm？
(3)是否存在某一时刻，使得四边形为矩形？若存在，求出满足条件的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；；
(2)出发秒时，间的距离是
(3)时，四边形的形状可能为矩形
【分析】本题考查了矩形的性质与判定，勾股定理，解一元二次方程，根据题意表示出是解题的关键．
（1）依题意得：，，根据，即可得出答案；
（2）作于，则根据两点间的距离是，根据勾股定理建立方程，解方程即可求解；
（3）当四边形为矩形，则，建立方程，解方程即可求解．
【详解】（1）解：依题意得：，，
∵矩形中，，
∴，，
故答案为：；；
（2）解：设出发t秒后P、Q两点间的距离是．
依题意，
如图，作于，则 四边形是矩形，
∴，
则，
在中，
即：，
解得或，
∵t的最大值是（秒），
∴,
答：出发秒时，间的距离是；
（3）当时，四边形的形状为矩形；
理由：若四边形为矩形，则，
即，解得：．
8．（24-25八年级下·山东青岛·阶段练习）如图，在矩形中，，点从点出发沿向终点运动，点从点出发沿向终点运动．两点同时出发，它们的速度都是．连接．设点运动的时间为．
(1)当为何值时，四边形是矩形？
(2)当为何值时，四边形是菱形？
【答案】(1)当时，四边形是矩形(2)当时，四边形是菱形
【分析】本题主要考查矩形的判定和性质，菱形的判定和性质，勾股定理的运用，
（1）根据题意可得，，当时，四边形是矩形，由此列式求解即可；
（2）根据题意可证四边形是平行四边形，当时，四边形是菱形，在中，由勾股定理得，由此列式求解即可．
【详解】（1）解：∵四边形是矩形，
∴，
已知点从点运动，点从点运动．两点同时出发，速度都是，设点运动的时间为，
∴，
∴，
已知，，则当时，四边形是矩形，
∴，
解得，，
∴当时，四边形是矩形；
（2）解：∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，即，
∴四边形是平行四边形，
∴当时，四边形是菱形，
∵，
∴，
在中，，
∴，整理得，，
解得，，
∴当时，四边形是菱形．
9．（24-25八年级下·四川绵阳·阶段练习）如图，在矩形中，，，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以的速度向点B移动，一直到点B为止，点Q以的速度向点D移动（点P停止移动时，点Q也停止移动）．设移动时间为，连接．
(1)当t为何值时，P，Q两点间的距离为？
(2)当t为何值时，．
(3)在运动过程中，是否存在一个时刻，使得？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)为时，间的距离是(2)(3)不存在一个时刻，使得
【分析】（1）过作于，根据路程速度时间，用表示出的值，然后在直角三角形中，根据勾股定理求出的值；
（2）根据勾股定理得，然后根据当时，列出方程求出的值即可；
（3）当时，有，列出方程，由，说明方程无实数解，进而可得不存在一个时刻，使得．
【详解】（1）解：如图，过点作于，
∵点以的速度向点移动，点以的速度向点移动，移动时间为，
，
，
，
，
解得：或，
，
，
，
∴不符合题意舍去，
∴为时，间的距离是；
（2）解：∵，
在中，根据勾股定理得：，
当时，，
整理得，，
解得或（舍去）；
故当的值为时，；
（3）解：不存在一个时刻，使得，
理由如下：
如图，过点作于点，得矩形，矩形，
，
，，
当时，有，
，
化简得，，
，
∴此方程无实数解，
所以不存在一个时刻，使得．
10．（24-25八年级下·云南红河·阶段练习）如图，在四边形中，，，，，．点P从点A出发，以的速度向点D运动；点Q从点C出发，以的速度向点B运动．点P与点Q同时出发．设运动时间为．
(1)用含t的代数式表示：______；______；______；______；
(2)从点P，Q运动开始，经过多长时间以点P，Q，C，D为顶点的四边形是平行四边形？
(3)从点P，Q运动开始，经过多长时间以点A，B，Q，P为顶点的四边形是矩形？
【答案】(1)；；；
(2)经过，四边形是平行四边形
(3)经过，四边形是矩形
【分析】本题考查平行四边形的判定，矩形的判定等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
（1）根据运动时间乘以速度等于运动路径求解即可；
（2）根据，构建方程求解即可；
（3）根据，构建方程求解即可．
【详解】（1）解：由题意得：，，
∵，，
∴，，
故答案为：；；；；
（2）解：当时，四边形是平行四边形，
∴，
解得．
∴时，四边形是平行四边形．
（3）解：当时，四边形是矩形，
∴
解得，
∴时，四边形是矩形．
11．（24-25八年级下·湖南邵阳·开学考试）如图，在中，，，，点D从点C出发沿方向以的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿方向以的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒．过点D作于点F，连接、．
备用图
(1)四边形能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由；
(2)四边形能够成为正方形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由．
【答案】(1)能，(2)不能，理由见解析
【分析】（1）由已知条件可得中，即可知，然后问题可求证；
（2）由（1）知且，即四边形是平行四边形，若构成菱形，则邻边相等即，可得关于的方程，求解即可知；
（3）四边形不为正方形，若该四边形是正方形即，即，此时，根据求得的值，继而可得，可得答案．
【详解】（1）四边形能够成为菱形，理由如下：
∵中，，，
．
在中，，，
，
，，
四边形是平行四边形，
当时，四边形是菱形，
即，解得：，
即当时，四边形是菱形；
（2）四边形不能为正方形，理由如下：
当时，．
，
，
，
，
时，
但，
四边形不可能为正方形．
12．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，在梯形中，，，，，．动点P从点D出发，沿线段的方向以每秒2个单位长度的速度运动，动点Q从点C出发，在线段上以每秒1个单位长度的速度向点B运动．点P，Q分别从点D，C同时出发，当点P运动到点A时，点Q随之停止运动．设运动时间为t（s），当t为何值时，以B，P，Q三点为顶点的三角形为等腰三角形？
【答案】t＝或时，以B，P，Q三点为顶点的三角形为等腰三角形
【分析】以B，P，Q为顶点的三角形为等腰三角形有三种情况：当时，当时，当时，由等腰三角形的性质就可以得出结论．
【详解】解：如图1，当时，作于E，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
∴．
解得：．
如图2，当时，作于E，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，．
在中，由勾股定理，得
．
，
解得：；
如图3，当时，作于E，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，
，
，
，
故方程无解．
综上所述，t＝或时，以B，P，Q三点为顶点的三角形为等腰三角形．
13．（24-25八年级下·四川绵阳·开学考试）如图1，在矩形中，，，的垂直平分线分别交，于点，，垂足为，连接，．
(1)求证：四边形为菱形；
(2)求的长；
(3)如图2，动点P，Q分别从A、C两点同时出发，即点P自停止，点Q自停止，点P的速度为每秒，点Q的速度为每秒，以A，C，P，Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值．
【答案】(1)见解析；(2)；(3)秒．
【分析】（1）结合矩形性质及垂直平分线定义证明后，根据全等三角形性质即可证明四边形为菱形；
（2）根据矩形性质、菱形性质推得、，设，利用勾股定理即可求得；
（3）分情况讨论可知，P点在上，Q点在上时，才能构成平行四边形，根据平行四边形的性质列出方程求解即可．
【详解】（1）证明：四边形是矩形，
，
，，
垂直平分，
，
在和中，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形．
（2）解：四边形是矩形，，，
，，
四边形是菱形，
，
设，则，
中，，
，
解得：，
即．
（3）解：显然当点在上时，点在上，此时、、、四点不可能构成平行四边形；
同理点在上时，点在或上或者在，在时不构成平行四边形，
只有当点在上，点在上时，以、、、四点为顶点的四边形才是平行四边形，此时，
，即，
由（2）得，
，，
，
解得：，
故当以、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时，．
14．（23-24八年级下·湖南衡阳·期末）如图．在四边形中，，，，，，点从点出发，沿射线以每秒个单位长度的速度运动．点从点出发，沿方向以每秒个单位长度的速度向终点运动．、两点同时出发，当点到达点时，点也随之停止运动．设点运动时间为秒．
(1)求线段的长 （用含的代数式表示）．
(2)当以、、、为顶点的四边形为平行四边形时，求的值．
(3)如图，若点为边上一点，且，当是以为腰的等腰三角形时，直接写出的值．
【答案】(1)(2)或
(3)当是以为腰的等腰三角形时，的值为或或
【分析】（1）点运动到点时，共用了，总共运动了，分两种情况讨论：当时，当时，进行计算即可求解；
（2）若四边形为平行四边形，则，根据题意得，分两种情况讨论：当时，当时，进行计算即可求解；
（3）过点作于点，根据矩形的判定与性质以及勾股定理求出，根据等腰三角形的性质得，当，则，进行计算即可；当，过点作，则，，在中，根据勾股定理得进行计算即可．
【详解】（1）解：点运动到点时，共用了，总共运动了，
当时，，
当时，，
综上，；
（2）若四边形为平行四边形，则，
由（2）得，，
根据题意得，，
当时，解得：，
当时，解得：，
综上，当以、、、为顶点的四边形为平行四边形时，或．
（3）过点作于点，
，
，，
，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
，
当时，
则，
，
解得：，
当，如图所示，过点作，
则四边形是矩形，
，，
，
在中，根据勾股定理得，即，
解得：或；
综上，当是以为腰的等腰三角形时，的值为或或．
15．（23-24八年级下·吉林长春·期末）如图，在四边形ABCD中，，，，，，动点P从A点开始沿边以的速度向点D运动，动点Q从点C开始沿边以的速度向点B运动，P，Q分别从A，C同时出发，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为．
(1)当t为何值时，四边形是矩形；
(2)当t为何值时，四边形是平行四边形；
(3)问：四边形是否可以为菱形？若能，求出此时的t值；若不能，请说明理由．
【答案】(1)(2)(3)不能，见解析
【分析】此题考查了菱形的性质、勾股定理、平行四边形的判定与性质以及矩形的判定与性质，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用是解答本题的关键．
（1）在四边形中，，，可得当时，四边形是矩形，即可得到方程，解此方程即可得到最后答案；
（2）在四边形中，，当时，四边形是平行四边形，列方程解方程即可；
（3）由四边形是菱形，则四边形是平行四边形，根据（2）中求解的答案，分析看此时能否为菱形，求出，即可得到不可能为菱形．
【详解】（1）解：根据题意得：，，
∵，，
∴，
∵在四边形中，，
∴当时，四边形是矩形，
∴解得
∴当时，四边形是矩形；
（2）当时，四边形是平行四边形，
∴解得：，
∴当时，四边形是平行四边形；
（3）若四边形是菱形，则四边形是平行四边形，根据（2）得，
∴．
过点D作于点R，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，，，
∴四边形P不可能是菱形．
16．（23-24八年级下·山东青岛·期末）如图，在中，，，，．过点D作，垂足为E，动点P从点D出发沿方向以的速度向点A运动，动点Q同时从点B出发，以的速度沿射线运动，当点P到达点A时，点Q也随之停止运动，设点P，Q运动的时间为．
(1)当时，求t的值；
(2)连接，设四边形的面积为，求S与t之间的函数关系式；
(3)当点P关于直线的对称点恰好在直线上时，请直接写出t的值．
【答案】(1)(2)(3)2或6
【分析】（1）根据平行四边形的性质和判定可知：，列方程可解答；
（2）根据梯形面积公式可解答；
（3）分两种情况讨论，由轴对称的性质和等边三角形的性质可求解．
【详解】（1）解：四边形是平行四边形，
，
当时，四边形是平行四边形，
，
，
；
（2）解：四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：四边形是平行四边形，
，
，
，
如图2，当点的对称点在线段上时，
，
，
是等边三角形，
，
，
；
如图3，当点的对称点在线段的延长线上时，
，
，
点的对称点在线段的延长线上，
，
，
，
，
，
，
，
综上，的值是2或6．
17．（23-24八年级下·河北邯郸·期末）如图，在四边形中，，，，动点P从A点开始沿边以的速度向点D运动，动点Q从C点开始沿边以的速度向点B运动，P、Q分别从A、C同时出发，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为．
(1)当t为何值时，四边形是矩形；
(2)当t为何值时，四边形是平行四边形；
(3)问：四边形是否能成菱形？若能，求出运动时间，若不能，请说明理由．
【答案】(1)当时，四边形是矩形；
(2)当时，四边形是平行四边形；
(3)四边形不能成菱形，理由见解析
【分析】（1）由题意可知，，，则，根据矩形的性质列方程，求出t的值即可；
（2）由题意可知，，，则，根据平行四边形的性质列方程，求出t的值即可；
（3）过点作于点，则四边形是矩形，由勾股定理求得，若四边形是菱形，则四边形是平行四边形，结合（2）的结果可知，，即四边形不能成菱形．
【详解】（1）解：设运动的时间为
由题意可知，，，
，
，
四边形是矩形，
，
，
解得：，
即当时，四边形是矩形；
（2）解：由题意可知，，，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
解得：，
即当时，四边形是平行四边形；
（3）解：四边形不能成菱形，理由如下：
如图，过点作于点，
则四边形是矩形，
，，
，
在中，，
若四边形是菱形，则四边形是平行四边形，
由（2）可知，当时，四边形是平行四边形；
此时，
，
四边形不能成菱形．
18．（23-24八年级下·广东揭阳·期末）已知，中，一动点P在边上，以每秒的速度从点A向点D运动．
(1)如图①，运动过程中，若平分，且满足，求的度数；
(2)如图②，在（1）问的条件下，连接并延长，与的延长线交于点F，连接，若，求的面积；
(3)如图③，另一动点Q在边上，以每秒的速度从点C出发，在间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止运动（同时Q点也停止），若，则时间为何值时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形．
【答案】(1)；(2)；(3)或或或．
【分析】本题考查四边形综合题、平行四边形的性质、等边三角形的判定和性质、平行线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，第二个问题的关键是灵活应用同底等高的两个三角形面积相等，学会用分类讨论的思想思考问题．
（1）证明是等边三角形即可；
（2）根据平行四边形的性质可得，，从而得到，由此即可解决问题；
（3）分四种情形列出方程解方程即可．
【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
；
（2）解：∵四边形是平行四边形，
，，，
，
，
，
，
如图，过点C作于点K，则，
∴，
；
（3）解：如图③所示：
，
当时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形．
①当时，，，
，解得：；
②当时，，，
，解得：；
③当时，，，
，解得：；
④当时，，，
，解得：；
或或或时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形．
19．（23-24八年级下·湖南郴州·阶段练习）如图，在四边形中，，，，点P自点A向D以的速度运动，到D点即停止．点Q自点C向B以的速度运动，到B点即停止，点P，Q同时出发，设运动时间为．
(1)用含t的代数式表示：________；________；
(2)当t为何值时，四边形是平行四边形？
(3)当t为何值时，四边形是平行四边形？
【答案】(1)，(2)当时，四边形是平行四边形
(3)当时，四边形是平行四边形
【分析】本题主要考查动点，平行四边形的综合，理解动点的运算，掌握平行四边形的判定是解题的关键．
（1）根据路程速度时间，即可用含的式子表示，；
（2）根据四边形是平行四边形可得，由此即可求解；
（3）根据题意用含的式子表示，根据四边形是平行四边形可得，由此即可求解．
【详解】（1）解：，，
， ；
（2）解：，，，
∴，
∵，
∴当时，四边形是平行四边形，
∴，
解得，
∴当时，四边形是平行四边形．
（3）解：∵，
∴当时，四边形是平行四边形，
∴，
解得，
∴当时，四边形是平行四边形．
20．（23-24八年级下·河南南阳·阶段练习）如图，在四边形中，，，，，，动点P从点A出发沿边以的速度向点D匀速运动，同时动点Q从点C出发沿CB边以的速度向点B匀速运动，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为．
(1)当 时，四边形是矩形．
(2)当t为何值时，四边形是平行四边形？
(3)当时，直接写出的长为 ．
【答案】(1)6(2)(3)
【分析】此题考查了平行四边形的判定与性质以及矩形的判定与性质，勾股定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．
（1）由在四边形中，，，可得当时，四边形是矩形，即可得方程：，解此方程即可求得答案．
（2）由在四边形中，，可得当时，四边形是平行四边形，即可得方程：，解此方程即可求得答案；
（3）过点P作，首先证明出四边形是矩形，得到，，求出，然后利用勾股定理求解即可．
【详解】（1）根据题意得：，，
，，，
，，
在四边形中，，，
当时，四边形是矩形，
，
解得：，
当时，四边形是矩形；
（2）在四边形中，，
当时，四边形是平行四边形，
根据（1）得：，
解得：，
当时，四边形是平行四边形；
（3）如图所示，过点P作
当时，，
∵
∴四边形是矩形
∴，
∴
∴．
试卷第1页，共3页
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2024-2025学年八年级下册数学同步讲练【浙教版】
专题突破八：特殊平行四边形中动点问题（解答题压轴）（20道）
1．（24-25八年级下·吉林·期中）如图，在四边形中，，，，，．点从点出发，以的速度向点运动；点从点同时出发，以的速度向点运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设点的运动时间为（单位：s），解答下列问题．
(1)______________．（用含的代数式表示）
(2)当点停止运动时，的长度为______________．
(3)当四边形为矩形时，求此时的值．
(4)当时，直接写出此时的值．
2．（24-25八年级下·吉林长春·开学考试）如图，在中，，，边上的高为12．点从点出发，沿以每秒5个单位长度的速度运动．点从点出发沿以每秒10个单位长度的速度运动．、两点同时出发，当其中一点到达终点时，、两点同时停止运动．设运动的时间为（秒），连接．
(1)当点与点重合时，的值为________．
(2)直接写出的长（用含的代数式表示）；
(3)当平分面积时，求的值；
(4)当时，直接写出的值．
3．（24-25八年级下·四川达州·阶段练习）如图，菱形中， 交于点 O， ，动点 M 从 A 点出发沿方向以匀速直线运动到 C 点，动点 N 从 B 点出发沿方向以匀速直线运动到 D 点．若 M，N 同时出发，设运动时间为 t 秒：
(1)当时， ， ．（用 t 表示）
(2)当秒时， 的面积为多少？
(3)点 M 到达点 C 后立即原路返回，速度保持不变，直到点 N 到达 D 后同时停止运动，那么在整个移 动过程中，是否存在某一时刻，使得的面积为？若存在，求出运动时间；若不存在，请说 明理由．
4．（24-25八年级下·辽宁锦州·期中）如图，在矩形中，，，点从点出发向点运动，运动到点停止，同时，点从点出发向点运动，运动到点即停止，点、的速度都是，连接、、，设点、运动的时间为．
(1)当为何值时，四边形是矩形；
(2)当为何值时，四边形是菱形；
(3)分别求出（2）中菱形的周长和面积．
5．（24-25八年级下·吉林·期中）如图，在直角梯形中，，动点分别从点同时出发，点以的速度向沿运动，点以的速度向点运动，当一点运动到终点时另一点也随之停止运动．设运动时间为．
(1)__________；
(2)设以点为顶点组成的三角形的面积为，求与之间的函数关系式；
(3)当点在线段上运动，且点之间的距离为时，直接写出此时的值．
6．（24-25八年级下·全国·阶段练习）如图，在矩形中，，，点P从点A出发，以的速度沿向终点D运动，同时，点Q从点C出发，以的速度沿向终点B运动，设运动时间为．
(1)当时，判断四边形的形状，并说明理由；
(2)当时，求四边形的面积与运动时间的函数关系；
(3)四边形可能为菱形吗？若可能，请求出t的值；若不可能，请说明理由．
7．（24-25八年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，在矩形中，cm，cm，动点从点出发，以3cm/s的速度向点运动，同时另一动点从点出发，以2cm/s的速度向点运动，当点停止运动时，点也停止运动，设运动时间为s．
(1)__________cm，__________cm；（用含的代数式表示）
(2)当为何值时，、两点间的距离为13cm？
(3)是否存在某一时刻，使得四边形为矩形？若存在，求出满足条件的值；若不存在，请说明理由．
8．（24-25八年级下·山东青岛·阶段练习）如图，在矩形中，，点从点出发沿向终点运动，点从点出发沿向终点运动．两点同时出发，它们的速度都是．连接．设点运动的时间为．
(1)当为何值时，四边形是矩形？
(2)当为何值时，四边形是菱形？
9．（24-25八年级下·四川绵阳·阶段练习）如图，在矩形中，，，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以的速度向点B移动，一直到点B为止，点Q以的速度向点D移动（点P停止移动时，点Q也停止移动）．设移动时间为，连接．
(1)当t为何值时，P，Q两点间的距离为？
(2)当t为何值时，．
(3)在运动过程中，是否存在一个时刻，使得？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
10．（24-25八年级下·云南红河·阶段练习）如图，在四边形中，，，，，．点P从点A出发，以的速度向点D运动；点Q从点C出发，以的速度向点B运动．点P与点Q同时出发．设运动时间为．
(1)用含t的代数式表示：______；______；______；______；
(2)从点P，Q运动开始，经过多长时间以点P，Q，C，D为顶点的四边形是平行四边形？
(3)从点P，Q运动开始，经过多长时间以点A，B，Q，P为顶点的四边形是矩形？
11．（24-25八年级下·湖南邵阳·开学考试）如图，在中，，，，点D从点C出发沿方向以的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿方向以的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒．过点D作于点F，连接、．
备用图
(1)四边形能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由；
(2)四边形能够成为正方形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由．
12．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，在梯形中，，，，，．动点P从点D出发，沿线段的方向以每秒2个单位长度的速度运动，动点Q从点C出发，在线段上以每秒1个单位长度的速度向点B运动．点P，Q分别从点D，C同时出发，当点P运动到点A时，点Q随之停止运动．设运动时间为t（s），当t为何值时，以B，P，Q三点为顶点的三角形为等腰三角形？
13．（24-25八年级下·四川绵阳·开学考试）如图1，在矩形中，，，的垂直平分线分别交，于点，，垂足为，连接，．
(1)求证：四边形为菱形；
(2)求的长；
(3)如图2，动点P，Q分别从A、C两点同时出发，即点P自停止，点Q自停止，点P的速度为每秒，点Q的速度为每秒，以A，C，P，Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值．
14．（23-24八年级下·湖南衡阳·期末）如图．在四边形中，，，，，，点从点出发，沿射线以每秒个单位长度的速度运动．点从点出发，沿方向以每秒个单位长度的速度向终点运动．、两点同时出发，当点到达点时，点也随之停止运动．设点运动时间为秒．
(1)求线段的长 （用含的代数式表示）．
(2)当以、、、为顶点的四边形为平行四边形时，求的值．
(3)如图，若点为边上一点，且，当是以为腰的等腰三角形时，直接写出的值．
15．（23-24八年级下·吉林长春·期末）如图，在四边形ABCD中，，，，，，动点P从A点开始沿边以的速度向点D运动，动点Q从点C开始沿边以的速度向点B运动，P，Q分别从A，C同时出发，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为．
(1)当t为何值时，四边形是矩形；
(2)当t为何值时，四边形是平行四边形；
(3)问：四边形是否可以为菱形？若能，求出此时的t值；若不能，请说明理由．
16．（23-24八年级下·山东青岛·期末）如图，在中，，，，．过点D作，垂足为E，动点P从点D出发沿方向以的速度向点A运动，动点Q同时从点B出发，以的速度沿射线运动，当点P到达点A时，点Q也随之停止运动，设点P，Q运动的时间为．
(1)当时，求t的值；
(2)连接，设四边形的面积为，求S与t之间的函数关系式；
(3)当点P关于直线的对称点恰好在直线上时，请直接写出t的值．
17．（23-24八年级下·河北邯郸·期末）如图，在四边形中，，，，动点P从A点开始沿边以的速度向点D运动，动点Q从C点开始沿边以的速度向点B运动，P、Q分别从A、C同时出发，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为．
(1)当t为何值时，四边形是矩形；
(2)当t为何值时，四边形是平行四边形；
(3)问：四边形是否能成菱形？若能，求出运动时间，若不能，请说明理由．
18．（23-24八年级下·广东揭阳·期末）已知，中，一动点P在边上，以每秒的速度从点A向点D运动．
(1)如图①，运动过程中，若平分，且满足，求的度数；
(2)如图②，在（1）问的条件下，连接并延长，与的延长线交于点F，连接，若，求的面积；
(3)如图③，另一动点Q在边上，以每秒的速度从点C出发，在间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止运动（同时Q点也停止），若，则时间为何值时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形．
19．（23-24八年级下·湖南郴州·阶段练习）如图，在四边形中，，，，点P自点A向D以的速度运动，到D点即停止．点Q自点C向B以的速度运动，到B点即停止，点P，Q同时出发，设运动时间为．
(1)用含t的代数式表示：________；________；
(2)当t为何值时，四边形是平行四边形？
(3)当t为何值时，四边形是平行四边形？
20．（23-24八年级下·河南南阳·阶段练习）如图，在四边形中，，，，，，动点P从点A出发沿边以的速度向点D匀速运动，同时动点Q从点C出发沿CB边以的速度向点B匀速运动，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为．
(1)当 时，四边形是矩形．
(2)当t为何值时，四边形是平行四边形？
(3)当时，直接写出的长为 ．
试卷第1页，共3页
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