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2024-2025学年八年级下册数学同步讲练【浙教版】
专题突破三：特殊四边形中多结论问题（培优）（20道）
1．如图，在矩形中，，连结，分别以点和点为圆心，大于一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点和点，直线分别交于点，连结，．给出下面四个结论：①；②四边形是菱形；③；④．上述结论中，所有正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2025·北京平谷·一模）如图，正方形，对角线相交于点，以为顶点作与正方形同样大小的正方形与交于点与交于点，连接．给出下面四个结论：
①；
②；
③四边形的面积等于正方形面积的四分之一；
④当时，．
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④
3．如图，在正方形中，，点E在边上，且，将沿所在直线翻折得到，延长交边于点G，连接，，则下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确结论的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
4．（2025·安徽淮北·二模）如图，在正方形中，点E，F分别是，的中点，，交于点G，连接，，，则下列说法正确的个数为（ ）
①；
②；
③依次连接，，，的中点P，Q，M，N，则四边形为等腰梯形；
④．
A．1 B．2 C．3 D．4
5．（2025·浙江舟山·一模）如图，矩形周长为8，且．连接，作点C关于的对称点E，连接，连接交于点P，作交于点G，下列说法中正确的有（ ）个．
①；②三角形的周长为定值4
③当变大时，四边形的面积先变大后变小；④当变大时，反而变小
A．1 B．2 C．3 D．4
6．（24-25八年级下·广西贵港·期中）如图，、分别是正方形的边、上的点，且，、相交于点，下列结论：①；②；③；④，其中正确的有（ ）
A．①②④ B．②③④ C．①③④ D．①②③
7．（24-25八年级下·北京海淀·期中）如图，四边形是正方形，点是射线上的动点（不与点重合），点是射线上的动点（不与点重合），，连接，，设，，．给出下面三个结论：①；②；③．上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
8．（24-25八年级下·江苏扬州·期中）如图，正方形的边长为4，点E在边上，且，连接，点F在边上，连接，把沿翻折，点A恰好落在上的点G处，下列结论：①；②；③；④，其中正确的有（ ）
A．①② B．①③ C．①③④ D．①②③
9．（2025·安徽池州·二模）如图1，在矩形中，是上一个动点，将沿折叠得到，记和矩形重叠部分的面积为，的长度为，与之间的函数关系如图2所示，则下列结论：
①矩形的周长为12；
②矩形的面积为8；
③；④．
其中结论正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
10．（24-25八年级下·广东珠海·期中）如图，，点D在边上（与B，O不重合），四边形为正方形，过点F作，交的延长线于点C，连接交于点H，以O为原点建立如图所示的平面直角坐标系，点D坐标为，点A坐标为，给出以下结论：①四边形为矩形；②；③；④点H的坐标；⑤．其中正确的答案是（ ）
A．①③④⑤ B．①②③⑤ C．②③④⑤ D．①②③④
11．（24-25八年级下·山东淄博·期中）如图，正方形中，在的延长线上取点E，F，使，，连接分别交于H，G下列结论，下列结论：①；②；③；④图中有8个等腰三角形．其中正确的是（ ）
A．①③ B．②④ C．①④ D．②③
12．（24-25八年级下·湖北·期中）如图，在正方形中，对角线，交于点O，平分交于E，点M为的中点，连接并延长分别交，于点N，R下列结论：①是等腰三角形；②；③平分；④是等边三角形，正确的是（ ）
A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②④
13．（24-25八年级下·山东日照·期中）如图，正方形外取一点，连接．过点作的垂线交于点，若，．下列结论：①；②到直线的距离为；③；④．其中正确结论是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
14．（24-25八年级下·黑龙江绥化·阶段练习）如图，在正方形中，点分别在上，是等边三角形，连接交于点，下列结论：；；；，其中正确的是（ ）
A． B． C． D．
15．（2025·黑龙江佳木斯·一模）如图，正方形中，点在边上，过点作交的延长线于点，连接，平分，分别交、于点G、H，连接EG、DH．则下列结论中：①；②；③若，则；④．其中正确的结论有（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③ D．②③④
16．（24-25八年级下·黑龙江·期中）如图，已知正方形的边长为4，为的中点，连接，，，交于点，连接交于点，为上靠近点的三等分点，连接，．下列结论：①；②；③；④为等腰直角三角形；⑤．其中结论正确的有（ ）
A．①②④⑤ B．③④ C．①③④⑤ D．①④⑤
17．（24-25八年级下·福建福州·阶段练习）如图，已知一个矩形纸片，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点P为边上的动点，将沿折叠得到，连接、．则下列结论中：
①当时，四边形为正方形；
②当时，的面积为15；
③当P在运动过程中，的最小值为；
④当时，．
其中结论正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
18．（24-25八年级下·四川达州·期末）如图，在正方形中，G为对角线上一点，连接、，E是边上一点，连接交的延长线上于点F，且满足．下列结论：①；②；③；④；其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
19．（24-25八年级下·山西晋中·期中）如图，已知四边形为正方形，，为对角线上一点，连接，过点作，交的延长线于点，以为邻边作矩形，连接．下列结论：①矩形是正方形；②；③平分；④．其中结论正确的序号有（ ）
A．①③④ B．①②④ C．①②③ D．①②③④
20．（24-25八年级下·山西太原·阶段练习）如图，在菱形纸片中，，E是边的中点，将菱形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在直线上的点G处，折痕为与交于点H，有如下结论：①；②；③；④，上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页中小学教育资源及组卷应用平台
2024-2025学年八年级下册数学同步讲练【浙教版】
专题突破三：特殊四边形中多结论问题（培优）（20道）
1．如图，在矩形中，，连结，分别以点和点为圆心，大于一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点和点，直线分别交于点，连结，．给出下面四个结论：①；②四边形是菱形；③；④．上述结论中，所有正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】本题主要考查了菱形的判定和性质，矩形的性质，尺规作图．根据矩形的性质，可得，由作法可得垂直平分，从而得到，进而得到四边形是菱形，可判断②；再由菱形的对角相等可判定①，再由菱形的面积公式可判定③；再由三角形外角的性质，可判断④．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，
，
由作法得：垂直平分，
，
，
，
同理：，
∵，
∴，
，
，
∴四边形平行四边形，
，
∴四边形是菱形，故②正确；
∵四边形是菱形，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，故①正确；
∵四边形是菱形，
∴，故③错误；
∵四边形是菱形，
，
，
∴，故④正确；
故正确的有①②④，共3个，
故选：C．
2．（2025·北京平谷·一模）如图，正方形，对角线相交于点，以为顶点作与正方形同样大小的正方形与交于点与交于点，连接．给出下面四个结论：
①；
②；
③四边形的面积等于正方形面积的四分之一；
④当时，．
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④
【答案】D
【分析】①先证明，进而可依据“ASA”判定和全等，则，再根据可得出，由此可对结论①进行判断；②设与相交于点T，根据，得是等腰直角三角形，则，再根据，利用三角形内角和定理得，由此可对结论②进行判断；③根据和全等得进而得，由此可对结论③进行判断；④过点O作于点H，由勾股定理得，依题意得，则，证明是等腰直角三角形，再由勾股定理得则由此可对结论④进行判断，综上所述即可得出答案．
【详解】解：①∵四边形是正方形
∴，，，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴
∴，
∴，
故结论①正确；
②设与相交于点T，如图1所示：
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴在中，，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
故结论②正确；
③∵，
∴，
∴，
∵，
∴
故结论③正确；
④过点O作于点H，如图2所示：
∵是等腰直角三角形，
∴由勾股定理得：
∵，，，
∴，
∴
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
在中，由勾股定理得：
∴
即，
故结论④正确，
综上所述：正确结论的序号是①②③④．
故选：D．
3．如图，在正方形中，，点E在边上，且，将沿所在直线翻折得到，延长交边于点G，连接，，则下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确结论的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】A
【分析】本题考查了正方形与折叠，三角形全等判定和性质，勾股定理．根据沿对折至，得到，可判定；设，则，根据勾股定理，得到，，得到；根据，，得到即，可判定；计算，由折叠和三角形全等，可判定，利用直角三角形的性质计算即可．
【详解】解：∵沿对折至，四边形是正方形，
∴，
∴，∴①正确；
∵，，
∴，
设，则，
根据勾股定理，
得到，，得到，∴②正确；
∵，，
∴即，
∴；∴③正确；
∵，
∴，
∵，
∴，∴④正确；
由折叠和三角形全等，
∴，
∴，
∴⑤错误．
故选：A．
4．（2025·安徽淮北·二模）如图，在正方形中，点E，F分别是，的中点，，交于点G，连接，，，则下列说法正确的个数为（ ）
①；
②；
③依次连接，，，的中点P，Q，M，N，则四边形为等腰梯形；
④．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】根据四边形是正方形，得出，，结合，F分别是，的中点，得出，，即可证明，故①正确；根据全等三角形的性质证明，设正方形的边长为，则，勾股定理求出，等面积法求出，勾股定理求出，即可得出，故②正确；根据题意得出为的中位线，为的中位线，是的中位线，是的中位线，证出四边形是平行四边形，由①②可知，，，即可证明平行四边形是正方形，故③错误；如图，延长交的延长线于点H，证明，得出，根据直角三角形的性质得出，等腰三角形性质和三角形内角和定理得出，结合，即可得出故④正确．
【详解】解：四边形是正方形，
，．
，F分别是，的中点，
，，
在和中，，
，故①正确；
，
，
，
，
．
设正方形的边长为，则，
，
，
，
，故②正确；
，Q，M，N分别是，，，的中点，
为的中位线，为的中位线，是的中位线，是的中位线，
，，，，
，，
四边形是平行四边形，
由①②可知，，，
，，
平行四边形是正方形，故③错误；
如图，延长交的延长线于点H，
，
，
在和中，，
，
，
点C是的中点，
，
，
，
，
，
，故④正确．
综上①②④正确，正确的个数为3．
故选：C．
5．（2025·浙江舟山·一模）如图，矩形周长为8，且．连接，作点C关于的对称点E，连接，连接交于点P，作交于点G，下列说法中正确的有（ ）个．
①；②三角形的周长为定值4
③当变大时，四边形的面积先变大后变小；④当变大时，反而变小
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】根据矩形的性质可得，再结合，可得，进而判断①正确，连接，令与交于点，再证，可证得则的周长，进而判断②正确，再证四边形是菱形，则，，，得，可知四边形的面积，进而可知当时，四边形的面积随着增大而增大，进而判断③错误；由题意得，，则在中，，整理得，进而判断④错误．
【详解】解：在矩形中，，，，
∵矩形周长为8，
∴，则，，
∵，
∴，则，
∴，故①正确；
连接，令与交于点，
由折叠可知，，
∵
∴，则
∴，
则的周长，故②正确；
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，则
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴四边形是菱形，则，
∴，
∴，
∴四边形的面积，
当时，四边形的面积随着增大而增大，故③错误；
∵，，
则在中，，
整理得：，
∴当变大时，也变大，故④错误，
综上，正确的有①②，共2个，
故选：B．
6．（24-25八年级下·广西贵港·期中）如图，、分别是正方形的边、上的点，且，、相交于点，下列结论：①；②；③；④，其中正确的有（ ）
A．①②④ B．②③④ C．①③④ D．①②③
【答案】A
【分析】本题考查了正方形的四条边都相等，每一个角都是直角的性质，全等三角形的判定与性质，求出全等是解题的关键，也是本题的突破口．根据正方形的性质可得，，然后求出，再利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，从而判定出①正确；再根据全等三角形对应角相等可得，然后证明，再得到，从而得出，判断②正确；假设，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质可得，再根据直角三角形斜边大于直角边可得，即，从而得出假设错误，判断③错误；根据全等三角形的面积相等可得，然后都减去的面积，即可得解，从而判断④正确．
【详解】解：在正方形中，，，
∵，
∴，
即，
在和中，
，
∴，
∴，，故①正确；
∵，
∴，
∴，
∴，故②正确；
如图，连接，假设，
∵，
∴垂直平分，
∴，
∵在中，，
∴，这与正方形的边长相矛盾，
所以，假设不成立，，故③错误；
∵，
∴，
∴，
即，故④正确；
综上所述，正确的结论是①②④．
故选：A．
7．（24-25八年级下·北京海淀·期中）如图，四边形是正方形，点是射线上的动点（不与点重合），点是射线上的动点（不与点重合），，连接，，设，，．给出下面三个结论：①；②；③．上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】D
【分析】本题考查正方形的性质，三角形三边关系，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握它们的性质是解题的关键；
利用证明，结合三角形的三边关系判断①；根据完全平方公式结合勾股定理判定②和③．
【详解】解：如图：
∵正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，故④正确；
∴，
∵，
∴；故①正确；
∵，即：，
∴，
∴；故②正确；
∵，，
∴．
∵，
∴．
∵、、均为正数，
∴，结论③正确．
综上，①②③都正确，
故选：D．
8．（24-25八年级下·江苏扬州·期中）如图，正方形的边长为4，点E在边上，且，连接，点F在边上，连接，把沿翻折，点A恰好落在上的点G处，下列结论：①；②；③；④，其中正确的有（ ）
A．①② B．①③ C．①③④ D．①②③
【答案】C
【分析】本题考查翻折的性质，勾股定理，全等三角形的判定及性质，正方形的性质．根据翻折的性质证，得出，，即可判断①正确；根据 ，即可判断②错误；在中，，由，得到，推出，，则，判定③正确；根据，推出，即可判断④正确，进而得出答案．
【详解】解：四边形为正方形，
，，
，
，
由折叠的性质可得，垂直平分，
，，
，
，
，
，
，，故①正确；
，
，故②错误；
∵在中，，
又，
，
，
，
，
，故③正确；
，
，故④正确；
综上所述：正确的是①③④．
故选：C．
9．（2025·安徽池州·二模）如图1，在矩形中，是上一个动点，将沿折叠得到，记和矩形重叠部分的面积为，的长度为，与之间的函数关系如图2所示，则下列结论：
①矩形的周长为12；
②矩形的面积为8；
③；④．
其中结论正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】A
【分析】当时，如图示中的位置，根据，可求出的值，当最大时，与重合，即如图示位置，此时，，即，可求出周长和面积，证明，得到，设，则，根据勾股定理求出，得到，再求出，即可求解，
【详解】解：如图：
当时，如图示中的位置，
由题意和矩形及折叠的性质可得，四边形是正方形，
∴，
∴，
解得：，（舍去），故③符合题意，
∴，
当最大时，与重合，即如图示位置，
此时，，
∴，
∴矩形的周长，故①符合题意，
矩形的面积，故②符合题意，
由折叠可知，，，
在和中，
，
∴，
∴，
设，则，
在中，，
∴，
整理得：，
解得：，
∴，
∴，
∴，故④符合题意，
综上，符合题意的有①②③④，共个，
故选：A．
10．（24-25八年级下·广东珠海·期中）如图，，点D在边上（与B，O不重合），四边形为正方形，过点F作，交的延长线于点C，连接交于点H，以O为原点建立如图所示的平面直角坐标系，点D坐标为，点A坐标为，给出以下结论：①四边形为矩形；②；③；④点H的坐标；⑤．其中正确的答案是（ ）
A．①③④⑤ B．①②③⑤ C．②③④⑤ D．①②③④
【答案】D
【分析】由正方形的性质得到，，证明，得到，，再证明，即可证明四边形是矩形，故①正确；则，再由，可得，故②正确；在中，由勾股定理得，则，在中，由勾股定理得，，故③正确；如图所示，过点E作轴于T，同理可证明，可得；求出直线解析式为，可得，故④正确；则，故⑤错误．
【详解】解：∵点坐标为，点坐标为，
∴；
四边形为正方形，
，，
，
，
，
，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴四边形是矩形，故①正确；
∴，
∴，
∵，
∴，故②正确；
在中，由勾股定理得，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴，故③正确；
如图所示，过点E作轴于T，
同理可证明，
∴，
∴，
∴；
设直线解析式为，
∴，
∴，
∴直线解析式为，
在中，当时，，
∴，故④正确；
∴，故⑤错误；
∴正确的是①②③④，
故选D．
11．（24-25八年级下·山东淄博·期中）如图，正方形中，在的延长线上取点E，F，使，，连接分别交于H，G下列结论，下列结论：①；②；③；④图中有8个等腰三角形．其中正确的是（ ）
A．①③ B．②④ C．①④ D．②③
【答案】D
【分析】本题主要考查对三角形的内角和定理，等腰三角形的性质和判定，正方形的性质，平行四边形的性质和判定等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行推理是解此题的关键．
根据正方形的性质和已知推出四边形是平行四边形，得到，无法证出G为的中点；，推出，求出，得到，求出即可；根据三角形的面积公式推出和四边形的面积相等；可得有9个等腰三角形．
【详解】解：∵正方形，，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
要使，只要G为的中点即可，
但，
∴，
即和不全等，
∴G不是中点，
∴①错误；
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴②正确；
∵，
，
∴，
∴，
要使和四边形的面积相等，只要和的面积相等即可，根据已知条件，
∴③；正确，
等腰三角形有；
∴④错误；
故选：D．
12．（24-25八年级下·湖北·期中）如图，在正方形中，对角线，交于点O，平分交于E，点M为的中点，连接并延长分别交，于点N，R下列结论：①是等腰三角形；②；③平分；④是等边三角形，正确的是（ ）
A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②④
【答案】B
【分析】本题考查正方形的性质，等腰三角形的判定与性质，角平分线的判定，由正方形性质结合平分得到，然后得到，即可证明①正确；结合点M为的中点和等腰三角形得到，，即可证明②正确；过作于，于，证明，得到得到③正确；由可得不可能是等边三角形，④错误．
【详解】解：∵正方形，
∴，，，，，
∵平分，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴是等腰三角形，
故①正确；
∵点M为的中点，
∴，
∴，
∵，，
∴，
故②正确；
过作于，于，则，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴平分；
故③正确；
∵，
∴，
∴不可能是等边三角形，
故④错误，
综上所述，正确的是①②③，
故选：B．
13．（24-25八年级下·山东日照·期中）如图，正方形外取一点，连接．过点作的垂线交于点，若，．下列结论：①；②到直线的距离为；③；④．其中正确结论是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】证明，则，进一步即可得到，即可判断①；过B作，交的延长线于F，则，得，，由，可得，即可判断②；连接，由全等三角形的性质可得到，，根据，即可判断③；求出，则，得到，即可判断④．
【详解】解：∵正方形外取一点E，连接．过点A作的垂线交于点P，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴；
故①正确；
过B作，交的延长线于F，则，
∵，
∴，，
又∵，
∴，
即点B到直线的距离为1，
故②不正确；
如图，连接，
∵，
∴，，
∴，
故③正确；
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故④正确，
综上可知，①③④正确，
故选：C．
14．（24-25八年级下·黑龙江绥化·阶段练习）如图，在正方形中，点分别在上，是等边三角形，连接交于点，下列结论：；；；，其中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定及性质、勾股定理、等边三角形的性质、三角形的面积公式的运用，解决本题的关键是根据图形的性质找到边和角之间的关系．
【详解】解：四边形是正方形，
，，
又是等边三角形，
，，
，
在和中，，
，
，
故正确；
由可知：，
，，
四边形是正方形，
，
，
垂直平分，
，
在中，，，
，
即，
，
在中，点是的中点，，
，
，
故正确；
是等边三角形，，
，
又，，
，
同理可知，
，
故错误；
设，，
则有，
，，
在中，，
，
在中，，
，
，
，
整理得：，
，
，
故正确．
正确的有．
故选：C．
15．（2025·黑龙江佳木斯·一模）如图，正方形中，点在边上，过点作交的延长线于点，连接，平分，分别交、于点G、H，连接EG、DH．则下列结论中：①；②；③若，则；④．其中正确的结论有（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③ D．②③④
【答案】A
【分析】通过证明，即可判断①；通过证明，得出，进而得出，结合，即可判断②；当时，设，，则，，在中，根据勾股定理求出，则，，即可判断③；根据全等的性质得出，，则，证明，进而得出，即可判断④．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，故①正确；
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
∴，故②正确；
当时，设，，
则，，
在中，∵，
∴，
解得，
∴，，
∴，故③正确；
∵，
∴，
∵，，
∴是的垂直平分线，则，
∵，
∴，故④错误；
∴正确的有①②③．
故选：A．
16．（24-25八年级下·黑龙江·期中）如图，已知正方形的边长为4，为的中点，连接，，，交于点，连接交于点，为上靠近点的三等分点，连接，．下列结论：①；②；③；④为等腰直角三角形；⑤．其中结论正确的有（ ）
A．①②④⑤ B．③④ C．①③④⑤ D．①④⑤
【答案】C
【分析】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，直角三角形的性质定理与解直角三角形，勾股定理等知识点，解题的关键是对图形的认真观察和对以上知识点的灵活应用．
①根据矩形的性质和给出的条件得出和，再利用等量代换得出即可得出垂直；
②利用等腰直角三角形的性质得出，假设未知数，利用三角函数比列出方程，求得未知数的解，根据得出结果进而进行判断即可；
③由勾股定理得出的长，假设出的长，再利用三角函数比表示出的长，根据勾股定理列出方程，得出方程的解即可求得线段的数量关系；
④根据线段的和差和勾股定理分别求出和的值，得出两边相等，再根据垂直可得等腰直角三角形；
⑤利用直角三角形的性质得出，再利用等量代换即可得到．
【详解】解：
①，
，，
，
，
边长为4的正方形，为的中点，
，，，
，
，
，
，
，
，故①正确；
②如图，作 ，
，
又，
，
假设，则，
，
即，
解得，
，
；
，故②错误；
在中，由勾股定理得，
由①得，
是直角三角形，假设，
由勾股定理得，
即
解得
故③正确；
由以上可知，，，
又∵点为上靠近点的三等分点
，，在中，由勾股定理得，
又
∴为等腰直角三角形，故④正确；
由以上可知，与为直角三角形，且为公共角，
又
，故⑤正确；
综上分析可知正确的有①③④⑤．
故选：C．
17．（24-25八年级下·福建福州·阶段练习）如图，已知一个矩形纸片，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点P为边上的动点，将沿折叠得到，连接、．则下列结论中：
①当时，四边形为正方形；
②当时，的面积为15；
③当P在运动过程中，的最小值为；
④当时，．
其中结论正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】本题由矩形的性质得到，由折叠的性质得到，，，得到四边形为矩形，推出四边形为正方形，即可判断①；
过点作于点，根据题意得到，，根据折叠的性质和矩形性质推出，根据直角三角形性质得到，利用即可判断②；
连接，根据三角形三边关系得到，推出当时，取得最小值，利用勾股定理得到，根据，即可判断③；
根据已知条件推出、、三点共线，利用平行线性质和折叠的性质，结合等量代换得到，推出，根据勾股定理算出，推出即可判断④．
【详解】解：①四边形为矩形，
，
将沿折叠得到，
，，，
，
，
，
，
四边形为矩形，
，
四边形为正方形；
①正确；
②过点作于点，
点，点，，
，，
，，
，
，
，
的面积为，
②正确；
③连接，
，，当时，取得最小值，
，，
，
，
的最小值为，
③正确；
④，
，
，
，
、、三点共线，
，
，
，
，
，
，
，
．
④错误；
综上所述，结论正确的有3个，
故选：C．
18．（24-25八年级下·四川达州·期末）如图，在正方形中，G为对角线上一点，连接、，E是边上一点，连接交的延长线上于点F，且满足．下列结论：①；②；③；④；其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】对于①，过点E作，交于点H，根据正方形的性质可逐步推得，再根据全等三角形的判定，可证明，即得结论成立；
对于②，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可证明结论成立；
对于③，连结，，证明，可得，再根据等腰三角形三线合一性质，即得结论成立；
对于④，先证明，再证明，即可得出结论．
【详解】解：过点E作，交于点H，
四边形是正方形，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，，
，
，，
，
，
故①正确；
四边形是正方形，
，
，
，
故②正确；
连结，，
四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
，
故③正确；
在中，，
，
，
，
，
，
，
故④正确；
正确的结论有4个．
故选：D．
19．（24-25八年级下·山西晋中·期中）如图，已知四边形为正方形，，为对角线上一点，连接，过点作，交的延长线于点，以为邻边作矩形，连接．下列结论：①矩形是正方形；②；③平分；④．其中结论正确的序号有（ ）
A．①③④ B．①②④ C．①②③ D．①②③④
【答案】A
【分析】过作于，于，证明得到，即可判断①；当时，点与点重合，不一定等于，即可判断②；根据正方形性质得，，推出，得到，，即可判断④；进而得到，即可判断③，综上即可求解．
【详解】解：如图，过作于，于，则，
∵四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴四边形是正方形，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴矩形是正方形，故①正确；
当时，点与点重合，
∴不一定等于，故②错误；
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴，，故④正确；
∵，
∴，
∴，
∴平分，故③正确；
综上，结论正确的序号有①③④，
故选：．
20．（24-25八年级下·山西太原·阶段练习）如图，在菱形纸片中，，E是边的中点，将菱形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在直线上的点G处，折痕为与交于点H，有如下结论：①；②；③；④，上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④
【答案】B
【分析】如图：连接，得到是等边三角形，根据三线合一的性质得到，由折叠得，求出的度数即可判断①；利用30度角的性质求出，勾股定理求出，即可判断②；连接，由等边对等角求出，得到，即可判断③；过点F作于点M，先求出，由折叠得，，设，则，求出，再得到，根据求出四边形的面积，即可判断④．
【详解】解：如图：连接，
∵四边形是菱形，
∴，，
∴是等边三角形，
∵E是边的中点，
∴，
∴，
由折叠得，
∴，
∵，
∴，故①正确；
∵，
∴，
∴，
∴，即，故②正确；
如图：连接，由折叠得，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，故③正确；
如图：过点F作于点M，
∵，
∴，
由折叠得∶，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，则，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴四边形的面积，
∴，故④错误．
故选：B．
试卷第1页，共3页
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