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第5章 特殊平行四边形单元测试卷【基础卷】
姓名：___________班级：___________考号：___________
考试时间：120分钟 满分：120分 考试范围：特殊平行四边形
注意事项：
1.考生先将自己的班级、学号、姓名填写清楚。
2.选择题部分必须使用2B铅笔填涂；非选择题部分必须使用0.5mm黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4.保持卷面清洁，不折叠、不破损。
5.正确填涂
第Ⅰ卷（选择题共30分）
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定,把答案用2B铅笔填涂在答题卡相应的位置.）
1．下列性质中，矩形具有，而平行四边形不具有的是（ ）
A．对角相等 B．对边平行且相等 C．对角线互相平分 D．对角线相等
【答案】D
【分析】本题主要考查了矩形和平行四边形的性质，根据矩形和平行四边形的性质逐一判断即可．
【详解】解：A、矩形和平行四边形的对角都相等，不符合题意；
B、矩形和平行四边形的对边都平行且相等，不符合题意；
C．矩形和平行四边形的对角线都互相平分，不符合题意；
D、矩形的对角线相等，但是平行四边形的对角线不一定相等，符合题意；
故选：D．
2．如图，菱形的对角线、相交于点O，，则菱形的边长为（ ）
A．26 B．20 C．15 D．13
【答案】D
【分析】由菱形的性质得，，，再由勾股定理求出的长即可．
本题考查了菱形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质和勾股定理是解题的关键．
【详解】解：∵四边形是菱形，，
∴，，，
∴，
∴，
即菱形的边长为13，
故选：D．
3．工人师傅在做门窗或矩形零件时，不仅要测量两组对边的长度是否相等，常常还要测量它们的两条对角线是否相等，以确保图形是矩形，其中的道理是（ ）
A．两点之间，线段最短 B．两点确定一条直线
C．对角线相等的四边形是矩形 D．对角线相等的平行四边形是矩形
【答案】D
【分析】本题考查矩形的判定，根据对角线相等的平行四边形为矩形，进行判断即可．
【详解】解：由题意，其中的道理是对角线相等的平行四边形为矩形．
故选：D．
4．如图，矩形的对角线相交于点， ，，若，则四边形的周长为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．16
【答案】C
【分析】本题主要考查了矩形的性质，菱形的判定及性质定理等知识点，解题的关键是熟练掌握相关性质．
利用矩形的性质得出和它们的长度，根据条件判定四边形为菱形，即可求出四边形的周长．
【详解】解：∵四边形是矩形，且
，
又，，
∴四边形是菱形，
∴四边形的周长为8．
故选：C．
5．如图，四边形和四边形都是矩形，点B在边上，若矩形和矩形的面积分别为和，则和的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了矩形的性质及面积的计算，能够熟练运用矩形的性质进行一些面积的计算问题．由于矩形的面积与矩形的面积都等于2个的面积，即可得两个矩形的面积关系．
【详解】∵，，
∴．
故选：B．
6．如图，在矩形中，对角线，相交于点，，且，则为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查矩形，等边三角形的知识，解题的关键是掌握矩形的性质，则，，根据，求出，根据题意，则，求出，得到是等边三角形，即可求出．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴．
故选：C．
7．如图，将长方形纸片折叠，使点D落在上的点处，折痕为．若，，则的长为（ ）
A．4 B．4.5 C．5 D．6
【答案】B
【分析】本题考查了翻折变换的性质、矩形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握翻折变换的性质和矩形的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键．由矩形可得，，，，由折叠得到，设，则，，在中，由勾股定理列方程求解即可．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，，，
∴，
由折叠的性质得：，
∴，，，
∴，，
设，则，，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：，
故选：B．
8．如图，将矩形两次对折：第一次沿对折，使边与重合，展开后又沿对折，使边与重合，再次展开后连接得到四边形．若，则四边形的面积为（ ）
A．2 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、菱形的判定等知识点，根据矩形的性质，得出，．根据折叠可知，，，推出，则，推出四边形是菱形．由题意得，，则四边形的面积，熟练掌握其性质是解决此题的关键．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，，
由折叠可知，，，
∴，
∴，
∴四边形是菱形．
由题意，得，，
∴四边形的面积．
故选：B．
9．如图，将沿折叠，使点与点A重合．如果，，那么的边上的高为（ ）
A． B． C．6 D．8
【答案】A
【分析】本题主要考查了勾股定理、菱形的判定与性质、平行四边形的性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键．
如图：连接、，设的边上的高为h，与于点O，先证明得出，则可证明四边形是菱形得出，，，根据勾股定理求出，然后根据等面积法求解即可．
【详解】解：如图：连接、，设的边上的高为h，与于点O，
∵将沿折叠，使点与点A重合，
∴，，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴平行四边形是菱形，
∴，，，
∴，
∴，解得：，即的边上的高是．
故选：A．
10．如图，在四边形中，，，，，．动点从点出发，沿边以的速度向点匀速运动，同时动点从点出发，沿边以的速度向点匀速运动，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为，下列说法错误的是（ ）
A．当时，四边形ABQP是矩形
B．当时，四边形PQCD是平行四边形
C．
D．当时，四边形PQCD是菱形
【答案】D
【分析】此题考查了平行四边形的判定与性质以及矩形的判定与性质，勾股定理．根据的值，分别计算出相关线段的长度，进而根据平行四边形，矩形，以及菱形的性质进行判断A,B,D，C选项，过点作于点，先求得，再根据勾股定理计算即可求解．
【详解】根据题意得：，，
，，，
，，
在四边形中，，，
A. 当时，,
∴
∴四边形是平行四边形
∵
∴四边形是矩形，故A正确，不符合题意；
B. 当时，，
∴
又，则
∴四边形是平行四边形，故B正确，不符合题意；
C. 如图，过点作于点
∵，
∴
∴四边形是矩形，
∴，
∴
在中，，故C正确，不符合题意
D. 当时，,,
∴则四边形不是菱形，故D选项错误，符合题意，
故选：D．
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题（共8小题，满分24分，每小题3分，请把正确的答案填写在答题卡相应的位置。）
11．如图，在四边形中，，于点O．请添加一个条件： ，使四边形为菱形．
【答案】（答案不唯一）
【分析】本题主要考查了菱形的判定定理，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，因此只需要添加条件使得四边形是平行四边形即可．
【详解】解：添加条件，证明如下：
∵，，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴平行四边形是菱形，
故答案为：（答案不唯一）．
12．矩形的面积为，一条边长为，则矩形的对角线的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，解题的关键是掌握相关知识．根据题意求出矩形的另一条边长，再根据勾股定理求解即可．
【详解】解：如图，根据题意画出示意图，假设，
矩形的面积为，
矩形的另一条边长为，
，
矩形的对角线，
故答案为：．
13．如图，菱形的对角线交于坐标原点．已知点，，则点的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查了菱形的性质，两点的中点坐标，根据菱形的性质可得A、C关于原点对称，从而可得答案．
【详解】解：菱形的对角线交于坐标原点，点，
∴，
故答案为：．
14．如图，在矩形中，，，为边上一点，将沿直线折叠，点的对应点恰好落在对角线上，则的长为 ．
【答案】3
【分析】本题考查折叠问题，勾股定理，先根据矩形的性质得出，，根据勾股定理得出，根据折叠得出，，，再利用勾股定理得出，求解即可得出答案．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∵将沿直线折叠，点的对应点恰好落在对角线上，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：3
15．工人师傅做铝合金窗框分下面三个步骤进行：先截出两对符合规格的铝合金窗料（如图①），使、；然后摆放成如图②四边形；将直角尺紧靠窗框的一个角（如图③）调整窗框的边框，当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时（如图④），说明窗框合格，这时窗框是 形，根据的数学原理是： ．
【答案】 矩 有一个角是直角的平行四边形是矩形
【分析】本题考查的是平行四边形和矩形的判定，根据两组对边相等的四边形是平行四边形和有一个角是直角的平行四边形是矩形，作答即可．
【详解】因为、，
所以窗框是平行四边形，
当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时，即有一个角是直角的平行四边形是矩形．
故答案为：矩，有一个角是直角的平行四边形是矩形．
16．七巧板是我国一种传统的益智玩具，小亮用七巧板（如图①）拼出了秦岭四宝之一的“羚牛”如图②所示．若图①中的大正方形边长为，则该“羚牛”头部（阴影部分）的面积为 ．
【答案】
【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，七巧板，熟练掌握以上知识是解题的关键．根据正方形的性质，以及七巧板的特点，求得正方形的边长，根据，即可求解．
【详解】解：图①中的大正方形边长为，
，
，
，
，
，
故答案为：．
17．如图，已知点E在正方形的边上，以为边向正方形外部作正方形，连接，M，N分别是，的中点，连接．若，，则
【答案】
【分析】连接，根据正方形的性质可得，，进而可得，在中，根据勾股定理可得．在中，据三角形中位线的性质可得．
本题主要考查了正方形的性质、勾股定理以及三角形中位线的性质．熟练掌握以上知识，正确的做出辅助线是解题的关键．
【详解】解：连接，如图所示，
∵四边形是正方形，
∴，，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
在中，
，
∵M、N分别是、的中点，
∴是的中位线，
∴．
18．如图，正方形的边长为4，动点，分别从点，同时出发，以相同的速度分别沿向移动，当点到达点时，运动停止，过点作的垂线，垂足为，连接，则长的最小值为 ．
【答案】
【分析】如图，连接交于点，由，点是正方形中心，连接，取的中点，连接．由正方形的边长为4，可求得，故，勾股定理求出．在中，，得出当三点共线时，最小，最小值为．
【详解】解：如图，连接交于点，
根据题意可得，
四边形是正方形，
，
，
，
，
，
即点是正方形中心，
连接，取的中点，连接．
∴，
∵，，
∴，
∴，
．
在中，，
当三点共线时，最小，最小值为．
故答案为：．
三、解答题（本大题共6个小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．已知：如图，在中，，分别是和的中点．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)连接，当与满足怎样关系时，四边形为矩形，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)当时，四边形为矩形，理由见解析
【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定、矩形的判定，熟练掌握平行四边形的性质与判定，矩形的判定是解题的关键．
（1）利用平行四边形的判定即可得证；
（2）补充条件为，结合点为的中点，利用三线合一性质可得，由（1）得四边形为平行四边形，利用矩形的判定即可得证．
【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，
，．
，分别是和的中点，
，，
，
又，
四边形为平行四边形．
（2）解：当时，四边形为矩形，理由如下：
如图，
，点为的中点，
，
，
由（1）得，四边形为平行四边形，
四边形为矩形．
20．今年我县提倡六城建设，某社区有一个正方形空地，准备把此正方形空地分成面积相等的四部分，分别种植四种不同的花草，请你运用所学的知识，设计三种不同的方案．（画出即可）
【答案】见解析
【分析】本题考查正方形的性质，解题的关键是掌握正方形对边平行且相等，四个角都是直角，对角线互相垂直平分．根据正方形的性质，即可解答．
【详解】解：如图①，连接该正方形的两条对角线，则正方形被分为4个全等的等腰直角三角形；
如图②，连接该正方形对边中点，则正方形被分为4个全等小正方形；
如图③，连接该正方形一组对边的4等分点，则正方形被分为4个全等矩形．
21．下面是小乐设计的“利用已知矩形作一个内角为45°角的菱形”的尺规作图过程．
已知：矩形．
求作：菱形，使．
作法：
①作的角平分线；
②以点为圆心，以长为半径作弧，交射线于点E；
③分别以点、为圆心，以长为半径作弧，两弧交于点，连结、．
则四边形即为所求作的菱形．
(1)请你用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
(2)填空：
①四边形是菱形的依据__________________；
②连结、，四边形的形状是______，依据是__________________．
【答案】(1)见解析
(2)①四条边都相等的四边形是菱形；②平行四边形，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
【分析】（1）根据作法可知：，由此即可得出四边形是菱形
（2）根据菱形和矩形性质可证明，，继而判定四边形是平行四边形.
【详解】（1）解：如图所示，
，
（2）①由作法可知：，
∴四边形是菱形，
依据是：四条边都相等的四边形是菱形；
②连结、，
∵四边形是菱形，
∴，，
∵在矩形中，，，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
依据是：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
故答案为：①四条边都相等的四边形是菱形；②平行四边形，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
22．如图，在等腰梯形中，，、分别是、边的中点，与相交于点．
(1)求证：；
(2)连接、，当时，求证：四边形是菱形．
【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析
【分析】（1）连接，如图所示，由等腰梯形的性质得到，进而由全等三角形的判定定理得到，进而得到，再由三角形中位线的判定与性质得到，等量代换得到，再由等角对等边即可得证；
（2）由题意，等量代换得到，由中垂线的判定得到，从而由得到，再由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，结合题中条件确定，从而由平行四边形的判定得到四边形是平行四边形，进而得证四边形是菱形．
【详解】（1）证明：连接，如图所示：
四边形是等腰梯形
．
又，
．
．
是中点，
，
，
，
；
（2）证明：连接，如图所示：
，
，
又是中点，
，
是中点，
，
，
是边中点，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形．
23．如图，在四边形中，，，，，．点从点出发，以的速度向点运动；点从点同时出发，以的速度向点运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设点的运动时间为（单位：s），解答下列问题．
(1)______________．（用含的代数式表示）
(2)当点停止运动时，的长度为______________．
(3)当四边形为矩形时，求此时的值．
(4)当时，直接写出此时的值．
【答案】(1)(2)(3)(4)或
【分析】本题考查四边形上动点问题，矩形的判定与性质及平行四边形的判定与性质，解题的关键是根据性质列方程求解．
（1）根据时间乘以速度即可解答；
（2）求点停止运动时的时间，即可解答；
（3）当四边形为矩形时，，列方程即可解答；
（4）分类讨论，当四边形为平行四边形或等腰梯形，分别计算即可．
【详解】（1）解：根据题意，，
故答案为：；
（2）解：，
则，
故答案为：；
（3）解：，
当四边形为矩形时，，
可得，
解得；
（4）解：如图，当四边形为平行四边形时，此时，
，
则，
可得方程，
解得；
如图，当四边形为等腰梯形时，此时，过点作交于点，
，
则四边形都为矩形，
，，
，
，，
，
，
根据，可列方程，
解得，
综上所述，或．
24．如图1，四边形中，对角线，互相垂直平分，过A作于H交于K，延长至M，作的平分线，交于E，交于F．
(1)判断四边形的形状并证明；
(2)如图2，连接，判断与的数量关系，并说明理由；
(3)补全图形：延长，交延长线于G，延长，交延长线于I，探究当时，比较和的大小关系，并说明理由．
【答案】(1)四边形是菱形，证明见解析(2)，理由见解析
(3)当时，；当时，；当时，
【分析】本题考查菱形的判定与性质、直角三角形的性质、角平分线的定义、等腰直角三角形的判定与性质、
（1）利用菱形的判定可得结论；
（2）先利用菱形的性质，，根据直角三角形斜边中线性质得到，利用垂直定义和等腰三角形的性质推导出，根据角平分线的定义和角的运算得到，进而得到是等腰直角三角形即可得出结论；
【详解】（1）解：四边形是菱形，证明如下：
四边形中，对角线，互相垂直平分，
四边形是菱形；
（2）解：．
理由：由（1）知四边形的形状是菱形，
∴，，
∴，
∵，
∴，，
∴，即，
∴，
∵的平分线，交于E，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴；
（3）解：当时，；当时，；当时，
如图
设，由（2）可得
∵四边形是菱形；
∴
∴
∵
∴
当时，即，是等腰直角三角形，则
∴
即当时，；
当时，则
∴
∵，则
∵，
∴，即
∴；
当时，同理可得，．
综上所述，当时，；当时，；当时，．
试卷第1页，共3页
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第5章 特殊平行四边形单元测试卷【基础卷】
姓名：___________班级：___________考号：___________
考试时间：120分钟 满分：120分 考试范围：特殊平行四边形
注意事项：
1.考生先将自己的班级、学号、姓名填写清楚。
2.选择题部分必须使用2B铅笔填涂；非选择题部分必须使用0.5mm黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4.保持卷面清洁，不折叠、不破损。
5.正确填涂
第Ⅰ卷（选择题共30分）
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定,把答案用2B铅笔填涂在答题卡相应的位置.）
1．下列性质中，矩形具有，而平行四边形不具有的是（ ）
A．对角相等 B．对边平行且相等 C．对角线互相平分 D．对角线相等
2．如图，菱形的对角线、相交于点O，，则菱形的边长为（ ）
A．26 B．20 C．15 D．13
3．工人师傅在做门窗或矩形零件时，不仅要测量两组对边的长度是否相等，常常还要测量它们的两条对角线是否相等，以确保图形是矩形，其中的道理是（ ）
A．两点之间，线段最短 B．两点确定一条直线
C．对角线相等的四边形是矩形 D．对角线相等的平行四边形是矩形
4．如图，矩形的对角线相交于点， ，，若，则四边形的周长为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．16
5．如图，四边形和四边形都是矩形，点B在边上，若矩形和矩形的面积分别为和，则和的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，在矩形中，对角线，相交于点，，且，则为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，将长方形纸片折叠，使点D落在上的点处，折痕为．若，，则的长为（ ）
A．4 B．4.5 C．5 D．6
8．如图，将矩形两次对折：第一次沿对折，使边与重合，展开后又沿对折，使边与重合，再次展开后连接得到四边形．若，则四边形的面积为（ ）
A．2 B．4 C．5 D．6
9．如图，将沿折叠，使点与点A重合．如果，，那么的边上的高为（ ）
A． B． C．6 D．8
10．如图，在四边形中，，，，，．动点从点出发，沿边以的速度向点匀速运动，同时动点从点出发，沿边以的速度向点匀速运动，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为，下列说法错误的是（ ）
A．当时，四边形ABQP是矩形
B．当时，四边形PQCD是平行四边形
C．
D．当时，四边形PQCD是菱形
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题（共8小题，满分24分，每小题3分，请把正确的答案填写在答题卡相应的位置。）
11．如图，在四边形中，，于点O．请添加一个条件： ，使四边形为菱形．
12．矩形的面积为，一条边长为，则矩形的对角线的长为 ．
13．如图，菱形的对角线交于坐标原点．已知点，，则点的坐标为 ．
14．如图，在矩形中，，，为边上一点，将沿直线折叠，点的对应点恰好落在对角线上，则的长为 ．
15．工人师傅做铝合金窗框分下面三个步骤进行：先截出两对符合规格的铝合金窗料（如图①），使、；然后摆放成如图②四边形；将直角尺紧靠窗框的一个角（如图③）调整窗框的边框，当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时（如图④），说明窗框合格，这时窗框是 形，根据的数学原理是： ．
16．七巧板是我国一种传统的益智玩具，小亮用七巧板（如图①）拼出了秦岭四宝之一的“羚牛”如图②所示．若图①中的大正方形边长为，则该“羚牛”头部（阴影部分）的面积为 ．
17．如图，已知点E在正方形的边上，以为边向正方形外部作正方形，连接，M，N分别是，的中点，连接．若，，则
18．如图，正方形的边长为4，动点，分别从点，同时出发，以相同的速度分别沿向移动，当点到达点时，运动停止，过点作的垂线，垂足为，连接，则长的最小值为 ．
三、解答题（本大题共6个小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．已知：如图，在中，，分别是和的中点．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)连接，当与满足怎样关系时，四边形为矩形，并说明理由．
20．今年我县提倡六城建设，某社区有一个正方形空地，准备把此正方形空地分成面积相等的四部分，分别种植四种不同的花草，请你运用所学的知识，设计三种不同的方案．（画出即可）
21．下面是小乐设计的“利用已知矩形作一个内角为45°角的菱形”的尺规作图过程．
已知：矩形．
求作：菱形，使．
作法：
①作的角平分线；
②以点为圆心，以长为半径作弧，交射线于点E；
③分别以点、为圆心，以长为半径作弧，两弧交于点，连结、．
则四边形即为所求作的菱形．
(1)请你用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
(2)填空：
①四边形是菱形的依据__________________；
②连结、，四边形的形状是______，依据是__________________．
22．如图，在等腰梯形中，，、分别是、边的中点，与相交于点．
(1)求证：；
(2)连接、，当时，求证：四边形是菱形．
23．如图，在四边形中，，，，，．点从点出发，以的速度向点运动；点从点同时出发，以的速度向点运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设点的运动时间为（单位：s），解答下列问题．
(1)______________．（用含的代数式表示）
(2)当点停止运动时，的长度为______________．
(3)当四边形为矩形时，求此时的值．
(4)当时，直接写出此时的值．
24．如图1，四边形中，对角线，互相垂直平分，过A作于H交于K，延长至M，作的平分线，交于E，交于F．
(1)判断四边形的形状并证明；
(2)如图2，连接，判断与的数量关系，并说明理由；
(3)补全图形：延长，交延长线于G，延长，交延长线于I，探究当时，比较和的大小关系，并说明理由．
试卷第1页，共3页
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