2024-2025学年浙教版数学八年级下学期期末复习知识串讲（优等生培优版）
第1章 二次根式
（思维导图+知识梳理+易错点拨+17大考点讲练+优选真题难度分层练 共71题）
讲义简介 2
思维导图指引 2
章节知识回顾梳理 2
易错考点点拨汇总 5
易错知识点01：二次根式定义条件 5
易错知识点02：混淆“最简二次根式”标准 5
易错知识点03：误判“同类二次根式” 5
易错知识点04：加减法未先化简（运算法则混淆） 5
易错知识点05：乘除法规则错用（运算法则混淆） 5
易错知识点06：分配律滥用（运算法则混淆） 6
易错知识点07：隐含条件忽视 6
易错知识点08：符号与变形错误 6
易错知识点09：应用场景误区 6
期末真题考点汇编讲练 6
期末考向一：二次根式 6
重点考点讲练01：求二次根式的值 6
重点考点讲练02：求二次根式中的参 7
重点考点讲练03：二次根式有意义的条件 8
期末考向二：二次根式的性质 11
重点考点讲练04：利用二次根式的性质化简 11
重点考点讲练05：复合二次根式的化简 13
期末考向三：二次根式的运算 17
重点考点讲练06：二次根式的乘除混合运算 17
重点考点讲练07：最简二次根式的判断 19
重点考点讲练08：化为最简二次根式 21
重点考点讲练09：已知最简二次根式求参数 26
重点考点讲练10：同类二次根式 27
重点考点讲练11：二次根式的加减运算 28
重点考点讲练12：二次根式的混合运算 31
重点考点讲练13：分母有理化 35
重点考点讲练14：已知字母的值，化简求值 36
重点考点讲练15：已知条件式，化简求值 38
重点考点讲练16：比较二次根式的大小 40
重点考点讲练17：二次根式的应用 43
优选真题难度分层练 46
中档题—夯实基础能力 46
压轴题—强化解题技能 50
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知识点梳理01：二次根式的相关概念和性质
1. 二次根式
形如的式子叫做二次根式，如等式子，都叫做二次根式.
【易错点剖析】二次根式有意义的条件是，即只有被开方数时，式子才是二次根式，才有意义.
2.二次根式的性质
（1）；
（2）；
（3）.
【易错点剖析】（1） 一个非负数可以写成它的算术平方根的平方的形式，即（），如（）.
（2） 中的取值范围可以是任意实数，即不论取何值，一定有意义.
（3）化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简.
（4）与的异同
不同点：中可以取任何实数，而中的必须取非负数；
=，=（）.
相同点：被开方数都是非负数，当取非负数时，=.
3. 最简二次根式
1）被开方数是整数或整式；
2)被开方数中不含能开方的因数或因式.
满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.如等都是最简二次根式.
【易错点剖析】最简二次根式有两个要求：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中每个因式的指数都小于根指数2.
4.同类二次根式
几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式.
【易错点剖析】判断是否是同类二次根式，一定要化简到最简二次根式后，看被开方数是否相同，再判断.如与，由于=，与显然是同类二次根式.
知识点梳理02：二次根式的运算
1. 乘除法
（1）乘除法法则：
类型
法则
逆用法则
二次根式的乘法
积的算术平方根化简公式：
二次根式的除法
商的算术平方根化简公式：
【易错点剖析】
（1）当二次根式的前面有系数时，可类比单项式与单项式相乘（或相除）的法则，如.
（2）被开方数a、b一定是非负数（在分母上时只能为正数）.如.
2.加减法
将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数不变，即合并同类二次根式.
【易错点剖析】二次根式相加减时，要先将各个二次根式化成最简二次根式，再找出同类二次根式，最后合并同类二次根式.如.
易错知识点01：二次根式定义条件
学生容易忽略被开方数必须是非负数这一核心条件。例如，题目中出现类似“”的式子时，未意识到隐含条件“x≥3”；或在分式形式的二次根式中（如），忽略分母不能为0且被开方数需非负的双重限制
易错知识点02：混淆“最简二次根式”标准
最简二次根式需满足三个条件：
被开方数不含分母；
被开方数不含能开方的因数；
分母中不含根号。
常见错误如未将化简为，或未对分母进行有理化处理。
易错知识点03：误判“同类二次根式”
同类二次根式需先化简为最简形式后，再看被开方数是否相同。例如，和化简为和才可合并，但学生可能因未化简而误以为不能合并
易错知识点04：加减法未先化简（运算法则混淆）
二次根式加减必须先将所有项化为最简形式，再合并同类项。典型错误如直接合并为，或未发现与是同类项
易错知识点05：乘除法规则错用（运算法则混淆）
乘法时未正确应用（需a,b≥0）；
除法中未注意分母有理化，或误将拆分为但忽略分母限制
易错知识点06：分配律滥用（运算法则混淆）
错误将根号与加减法结合，如，或，此类错误常因对根号性质理解不透导致
易错知识点07：隐含条件忽视
1. 双重非负性忽略
二次根式的结果和被开方数均非负，但学生可能在涉及代数式时未考虑符号。例如，=∣a∣，而非直接等于a；或未注意题目中隐含的变量取值范围
2. 分母有理化不彻底
有理化时需找到正确的有理化因式，如对 ，应乘以而非仅处理分母中的单项根式。学生可能仅处理部分项，导致分母仍含根号
易错知识点08：符号与变形错误
1. 变形时符号处理不当
例如，将直接写成a-2，而忽略a可能小于2的情况，正确结果应为∣a 2∣
2. 综合运算顺序混乱
混合运算时未遵循先乘除后加减、先括号内后外的规则，或因跳步过多导致符号错误。例如，在计算“”时，可能漏乘括号内的第二项
易错知识点09：应用场景误区
1. 实际问题建模错误
例如，用勾股定理求斜边时，若已知两直角边为和，学生可能直接相加而非平方后求和再开方
2. 与数轴结合时符号误判
当二次根式与数轴上的点结合时，未根据点的位置判断被开方数的正负性，导致结果错误
期末考向一：二次根式
重点考点讲练01：求二次根式的值
【母题精讲】（22-23八年级下·四川绵阳·期末）将一次函数的图象向上平移9个单位得到直线，则的值为（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】A
【思路点拨】先根据平移的性质和规律求出k、b，然后把k、b的值代入所求式子计算即可．
【规范解答】解：∵将一次函数的图象向上平移9个单位得到直线，
∴，，
∴．
故选：A．
【训练1】（21-22八年级下·湖北咸宁·期末）代数式的最小值为 ．
【答案】2
【思路点拨】根据二次根式成立的条件即可解答．
【规范解答】解：根据题意可得，
∴
，
∴的最小值为2，
故答案为：．
【训练2】（19-20八年级下·北京·期末）下列式子中，是二次根式的是( )
A． B． C． D．
【答案】A
【思路点拨】一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式，据此可得结论．
【规范解答】解：A、是二次根式，符合题意；
B、是三次根式，不合题意；
C、当x＜0时，无意义，不合题意；
D、x属于整式，不合题意；
故选：A．
重点考点讲练02：求二次根式中的参
【母题精讲】（21-22八年级上·河南开封·期末）＝2，则a＝ ．
【答案】
【思路点拨】首先根据二次根式有意义的条件得到，再根据算术平方根的定义求解即可得出结果．
【规范解答】解： ，
，解得，
故答案为：．
【训练1】（19-20八年级下·山西·期末）已知是正整数，是整数，则的最小值为 ．
【答案】2
【思路点拨】先分解质因式，再根据二次根式的性质判断即可．
【规范解答】解：∵98=72×2，
又∵n是正整数，是整数，
∴符合n的最小值是2，
故答案为：2．
【训练2】（22-23八年级上·北京平谷·期末）已知是正偶数，则实数的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【思路点拨】如果实数n取最大值，那么12－n有最小值，又知是正偶数，而最小的正偶数是2，则＝2，从而得出结果．
【规范解答】解：当等于最小的正偶数2时，
n取最大值,则n＝8，
故选：C
重点考点讲练03：二次根式有意义的条件
【母题精讲】（21-22八年级下·四川凉山·期末）已知，则的值为 ．
【答案】/
【思路点拨】本题考查二次根式有意义的条件，分式的求值，根据二次根式有意义的条件，得到，进而求出分式的值即可．
【规范解答】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：．
【训练1】（24-25八年级上·四川眉山·期末）当 时，分式有意义．
【答案】
【思路点拨】本题主要考查了分式有意义的条件、二次根式有意义的条件等知识点，掌握分式的有意义的条件为分母不等于零、二次根式的被开方数大于等于零是解题的关键．
根据分式和二次根式有意义的条件求解即可．
【规范解答】解：∵分式有意义，
∴，解得：．
故答案为：．
【训练2】（23-24八年级下·山东菏泽·期末）任意一个无理数介于两个整数之间，我们定义，若无理数，（其中为连续的整数），则称无理数的“臻美区间”为，如，所以的“臻美区间”为．
(1)无理数的“臻美区间”是______．
(2)若一个无理数的“臻美区间”为，且满足，其中是关于的二元一次方程的一组正整数解，求的值．
(3)实数满足如下关系式：，求的算术平方根的“臻美区间”．
【答案】(1)
(2)37
(3)
【思路点拨】（1）先估算的大小，然后再估算的大小，然后根据无理数的“臻美区间”进行解答即可；
（2）先根据已知条件，求出满足题意的，的值，从而求出，，然后根据二元一次方程解的定义，把、、和的值分别代入，求出即可；
（3）先根据二次根式的非负性，求出，从而得到，再根据偶次方的非负性，列出关于，的两个含有字母参数的二元一次方程，从而求出的值，然后估算的算术平方根的大小，求出的“臻美区间”即可．
【规范解答】（1）解： ，
，
，
无理数的“臻美区间”是，
故答案为：；
（2）解：、为连续的整数，是关于，的二元一次方程的一组正整数解，
是正整数，，
一个无理数的“臻美区间”为，
，
，
当，即时，不存在，舍去；
当，即时，不满足不等式，舍去；
当，即时，满足不等式，则；
当，即时，不存在，舍去；
满足题意的，的值为，
，则；
（3）解：，，，
，
，
，
，
，，
①，②，
①②得，则，即，解得，
，即，
的算术平方根的“臻美区间”为．
期末考向二：二次根式的性质
重点考点讲练04：利用二次根式的性质化简
【母题精讲】（24-25八年级上·江苏盐城·期末）如图1，中，，是边上的动点．设、两点之间的距离为，、两点之间的距离为，表示与的函数关系的图象如图2所示，则线段的长为 ．
【答案】
【思路点拨】本题考查了从函数图象中获取信息、等腰三角形的三线合一、勾股定理、二次根式的应用，从函数图象中正确获取信息是解题关键．先根据函数图象可得，，当时，，再当，时，过点作于点，根据等腰三角形的三线合一可得，然后根据线段和差、勾股定理可得，，最后在中，利用勾股定理求解即可得．
【规范解答】解：由函数图象可知，当时，，
∴，，
由函数图象可知，当时，，
∴当时，，
如图，当，时，过点作于点，
∵，，
∴，
∴，，
∴在中，，
故答案为：．
【训练1】（24-25八年级上·浙江温州·期末）设，则与最接近的整数是 ．
【答案】2025
【思路点拨】此题是数字规律题，主要考查了二次根式的加减法，解答此类题目要探寻数列规律：认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法．
由可化为，即可求解．
【规范解答】解：∵n为任意正整数，
∴
．
．
∴与S最接近的数是2025．
故答案为：2025．
【训练2】（23-24八年级上·湖南邵阳·期末）阅读下列解题过程
例：若代数式的值是2，求的取值范围
解：原式，
当时，原式，解得（舍去）；
当时，原式，符合条件；
当时，原式，解得（舍去）．
∴的取值范围是．
上述解题过程主要运用了分类讨论的方法，请你根据上述理解，解答下列问题：
(1)当时，化简：______．
(2)解方程：．
【答案】(1)2
(2)的值为或7
【思路点拨】本题考查二次根式的性质，化简绝对值，解绝对值方程．掌握二次根式的性质，绝对值的性质是解题的关键．
（1）根据题意可确定，，从而化简二次根式的性质即可；
（2）由阅读材料可知，再分类讨论，结合绝对值的性质，化简即可．
【规范解答】（1）解：当时，，，
∴．
（2）解：原式，
当时，原式，解得，符合条件；
当时，原式，舍去；
当时，原式，解得，符合条件．
∴的值为或7．
重点考点讲练05：复合二次根式的化简
【母题精讲】（23-24八年级上·湖南娄底·期末）阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数．形如，如果你能找到两个数、，使，且，则可变形为．从而达到化去一层根号的目的．例如化简，且，
．
(1)填上适当的数：______；
(2)当时，化简．
【答案】(1)，，
(2)
【思路点拨】本题主要考查了二次根式的性质与化简，正确应用完全平方公式，掌握完全平方公式的特征是解题的关键．
（1）将8写成，将写成，然后将被开方数变形成完全平方公式的形式，即可得出答案．
（2）将x写成，然后将被开方数变形成完全平方公式的形式，即可得出答案．
【规范解答】（1）解：
，
故答案为：，，；
（2），
，
，
，
，
．
【训练1】（20-21八年级下·山东聊城·期末）像这样的根式叫做复合二次根式有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简．
例1：
；
例2：
请用上述方法探索并解决下列问题：
(1)化简：；
(2)化简：；
(3)若，且为正整数，求a的值．
【答案】(1)
(2)
(3)a的值为或
【思路点拨】（1）根据题目提供的方法将，化简为，进而得到答案；
（2）根据题目提供的方法将，化简为，进而得到答案；
（3）将化简为，继而得到，， 再根据为正整数，即可求出其值，代入即可．
【规范解答】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
，，
又 为正整数，
，或者，
当时，；
当，，
综上所述，a的值为或．
【训练2】（22-23八年级上·湖南永州·期末）观察下列各式及其化简过程：
，
．
(1)按照上述两个根式的化简过程的基本思路，将化简；
(2)化简；
(3)针对上述各式反映的规律，请你写出中，m，n与a，b之间的关系．
【答案】(1)；
(2)；
(3)，．
【思路点拨】（1）将31分解成，再利用完全平方公式即可求出答案；
（2）先将7分解成，计算第二层根式，再将35分解成，利用完全平方公式即可求出答案；
（3）将等式两边同时平方即可求出答案．
【规范解答】（1）
（2）
（3）
两边平方可得：
∴，
期末考向三：二次根式的运算
重点考点讲练06：二次根式的乘除混合运算
【母题精讲】（23-24八年级上·陕西咸阳·期末）计算：．
【答案】
【思路点拨】本题考查了平方差公式，二次根式的乘除，算术平方根等知识．熟练掌握平方差公式，二次根式的乘除，算术平方根是解题的关键．
利用平方差公式计算二次根式的乘法，根据二次根式的除法计算，求算术平方根，最后合并同类项即可．
【规范解答】解：
．
【训练1】（22-23八年级下·山东潍坊·期末）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形①沿x轴正半轴滚动并且按一定规律变换，每次变换后得到的图形仍是等腰直角三角形．第一次滚动后点变换到点，得到等腰直角三角形②；第二次滚动后点变换到点，得到等腰直角三角形③；第三次滚动后点变换到点，得到等腰直角三角形④；第四次滚动后点变换到点，得到等腰直角三角形⑤…依此规律，则第2023个等腰直角三角形的面积是 ．
【答案】
【思路点拨】根据确定第1个等腰直角三角形（即等腰直角三角形①）的面积，根据确定第2个等腰直角三角形（即等腰直角三角形②）的面积，…，同理，确定规律可得结论．
【规范解答】解：∵点，
∴第1个等腰直角三角形的两腰长为2，
∴第1个等腰直角三角形的面积，
∵，
∴第2个等腰直角三角形的腰长为，
∴第2个等腰直角三角形的面积，
∵，
∴第3个等腰直角三角形的边长为，
∴第3个等腰直角三角形的面积，
…
第n个等腰直角三角形的面积
则第2023个等腰直角三角形的面积是；
故答案为：．
【训练2】（2023·山东潍坊·中考真题）从、，中任意选择两个数，分别填在算式里面的“□”与“○”中，计算该算式的结果是 ．（只需写出一种结果）
【答案】（或或，写出一种结果即可）
【思路点拨】先利用完全平方公式计算二次根式的乘法，再计算二次根式的除法即可得．
【规范解答】解：①选择和，
则
．
②选择和，
则
．
③选择和，
则
．
故答案为：（或或，写出一种结果即可）．
重点考点讲练07：最简二次根式的判断
【母题精讲】（23-24八年级下·安徽合肥·期末）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【思路点拨】本题考查的知识点是最简二次根式，满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式：（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，解题关键是正确理解最简二次根式的概念．
【规范解答】解：A、，故选项不符合题意；
B、，故选项不符合题意；
C、是最简根式，故选项符合题意；
D、，故选项不符合题意；
故选：C．
【训练1】（23-24八年级下·陕西安康·期末）定义：若两个二次根式m、n满足，且p是有理数，则称m与n是关于p的和谐二次根式．已知最简二次根式与可以合并，请问的算术平方根与是关于4的和谐二次根式吗？并说明理由．
【答案】的算术平方根与是关于4的和谐二次根式，理由见解析
【思路点拨】本题主要考查了最简二次根式、算术平方根、二次根式的乘法运算等知识点，理解和谐二次根式的定义是解题的关键．
先根据最简二次根式的定义求得a的值，然后求得a的算术平方根，最后根据和谐二次根式的定义判断即可．
【规范解答】解：的算术平方根与是关于4的和谐二次根式，理由如下：
∵最简二次根式与可以合并，
∴，即，
∴的算术平方根为，
∵，
∴的算术平方根与是关于4的和谐二次根式．
【训练2】（23-24八年级下·河南三门峡·期末）下面是小美同学进行二次根式运算的过程，请认真阅读，完成相应的任务．
………第一步
………第二步
………第三步
任务：
(1)原式中的二次根式、、、、中，是最简二次根式的是______；
(2)第______步开始出错，错误的原因是______；
(3)第一步中，去括号的依据是______；
(4)请写出正确的计算过程．
【答案】(1)、
(2)一，去括号时，括号前是负号，没有改变括号内符号；
(3)乘法分配律
(4)见解析
【思路点拨】本题考查了最简二次根式的定义、去括号法则，二次根式的混合运算，掌握相关运算法则是解题关键．
（1）根据最简二次根式的定义逐一判断即可；
（2）根据去括号法则分析即可；
（3）根据去括号的依据解答即可；
（4）先计算二次根式乘法、去括号，再合并同类项即可．
【规范解答】（1）解：，不是最简二次根式；
，不是最简二次根式；
，不是最简二次根式；
、是最简二次根式，
故答案为：、
（2）解：第一步开始出错，错误的原因是：去括号时，括号前是负号，没有改变括号内符号；
故答案为：一，去括号时，括号前是负号，没有改变括号内符号；
（3）解：第一步中，去括号的依据是乘法分配律，
故答案为：乘法分配律；
（4）解：
．
重点考点讲练08：化为最简二次根式
【母题精讲】．（24-25八年级上·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边长为6，两边、在坐标轴上，为线段上一点，且，连接、．
(1)点D的坐标为 ；
(2)若点从点出发以每秒2个单位的速度沿折线的方向运动，当与点重合时运动停止设点的运动时间为秒，连接，将的面积记为，请用含的式子表示；
(3)在（2）的条件下，当为等腰三角形时，请直接写出点M的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)，，，
【思路点拨】（1）根据正方形的边长为6，得到，结合，得到，结合点在y轴的正半轴，计算坐标即可．
（2）根据题意，得，分点M在上运动和在上运动，两种情况解答即可．
（3）根据题意，分，，三种情况解答即可．
【规范解答】（1）解：∵正方形的边长为6，
∴，
∵，
∴，
∵点在y轴的正半轴，
∴．
（2）解：根据题意，得，
当点M在上运动时，
；
当点M在上运动时，
；
故．
（3）解：∵正方形的边长为6，
∴，，
∵，
∴，，
∴．
∵，
∴，
当时，点M一定在上，此时点M记作，
此时，
根据勾股定理，得，
∴，
故；
当时，点M一定在上，此时点M记作，
设，则，
根据勾股定理，得，
∴，
∴，
∴，
解得，
此时；
当时，点M可能在上，也可能在上，当点M在上记作，当点M在上记作，
过点D作于点G，
则，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
此时；
根据题意，得，
此时；
综上所述，符合题意的M的坐标为，，，．
【训练1】（23-24八年级下·广西贵港·期末）如图，在中，，，以点为圆心、任意长为半径画圆弧分别交边，于点，，再分别以点，为圆心，以大于的长为半径画圆弧，两弧相交于点，连接并延长交于点．
(1)求证：平分；
(2)若，求的周长．
【答案】(1)见解析
(2)的周长
【思路点拨】（1）连接，，根据全等三角形的判定和性质定理以及角平分线的定义即可得到结论；
（2）根据三角形的内角和定理得到，根据角平分线的定义得到，根据勾股定理得到，根据三角形的周长公式即可得到结论．
【规范解答】（1）证明：连接，，
由作图知，，，
在与中，
，
，
，
平分；
（2）解：，，
，
平分；
，
，
，
，
，
的周长．
【训练2】（23-24八年级下·山东菏泽·期末）如图，在中，于点D，E是的中点，，，求的长．
【答案】
【思路点拨】本题主要考查了勾股定理，直角三角形的性质，先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，则由勾股定理可得，据此利用勾股定理求出的长即可．
【规范解答】解：在中，∵E是的中点，
∴，
∴．
在中，。
重点考点讲练09：已知最简二次根式求参数
【母题精讲】（21-22八年级下·江苏泰州·期末）当a = 时，最简二次根式与是同类二次根式．
【答案】2
【思路点拨】根据同类二次根式的定义列方程求解．
【规范解答】解：最简二次根式与是同类二次根式，
∴，
∴
∴
故答案为： 2
【训练1】（20-21八年级下·河南信阳·期末）已知最简二次根式与2可以合并成一项，则a，b的值分别为（ ）
A．a＝1，b＝2 B．a＝﹣1，b＝0 C．a＝1，b＝0 D．a＝﹣1，b＝2
【答案】C
【思路点拨】根据最简二次根式和合并同类二次根式的法则得出方程组，求出方程组的解即可．
【规范解答】∵最简二次根式与2可以合并成一项，
∴，
解得：a＝1，b＝0，
故选：C．
【训练2】（20-21八年级上·山东滨州·期末）若最简二次根式和可以合并，则 ．
【答案】
【思路点拨】由最简二次根式的定义，以及同类二次根式的定义，先求出a、b的值，然后进行计算，即可得到答案．
【规范解答】解：∵最简二次根式和可以合并，
∴和是同类二次根式，
∴，
∴，
∴；
故答案为：．
重点考点讲练10：同类二次根式
【母题精讲】（20-21八年级上·四川成都·期末）下列二次根式能与合并的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【思路点拨】本题考查了同类二次根式、二次根式的化简，熟练掌握二次根式的化简方法是解题关键．先化简二次根式，再找出同类二次根式即可得．
【规范解答】解：A、，与是同类二次根式，可以合并，则此项符合题意；
B、，与不是同类二次根式，不可以合并，则此项不符合题意；
C、，与不是同类二次根式，不可以合并，则此项不符合题意；
D、，与不是同类二次根式，不可以合并，则此项不符合题意；
故选：A．
【训练1】（23-24八年级下·黑龙江绥化·期末）如果两个最简二次根式与是同类二次根式，那么使有意义的x的取值范围是 ．
【答案】
【思路点拨】本题主要考查了同类二次根式的概念、二次根式的性质等知识点，掌握二次根式的性质成为解题的关键．
先根据同类二次根式的定义列方程求出a的值，代入，再根据二次根式的定义列出不等式求解即可．
【规范解答】解：∵最简根式与是同类二次根式，
∴，解得：，
∵有意义，
∴，即，解得：．
故答案为：．
【训练2】（22-23八年级下·江苏扬州·期末）已知二次根式．
(1)求使得该二次根式有意义的的取值范围；
(2)已知是最简二次根式，且与可以合并，
求的值；
求与的乘积．
【答案】(1)；
(2)；．
【思路点拨】（1）根据二次根式有意义的条件是被开方数大于等于进行求解即可；
（2）根据最简根式和同类二次根式的定义可得，解方程即可得到答案；
根据所求利用二次根式的乘法计算法则求解即可；
本题主要考查了二次根式有意义的条件，最简二次根式和同类二次根式的定义，二次根式的乘法等等，熟知二次根式的相关知识是解题的关键．
【规范解答】（1）∵二次根式有意义，
∴，
解得：；
（2） ，
∵与可以合并，
∴，
解得：；
由得：，
，
．
重点考点讲练11：二次根式的加减运算
【母题精讲】（24-25八年级上·广东佛山·期末）（1）计算：
（2）解方程组：
【答案】（1）；（2）
【思路点拨】本题考查二次根式的减法运算，解二元一次方程组：
（1）先化简，再合并同类二次根式即可；
（2）加减消元法解方程组即可．
【规范解答】解：（1）原式
（2）
②，得③
得，，解得：
把代入②，得：
所以方程组的解是．
【训练1】（22-23八年级下·安徽铜陵·期末）若的整数部分为x，小数部分为y，则的值是（ ）
A． B． C．1 D．3
【答案】C
【思路点拨】本题考查了无理数的估算，二次根式的运算．先估算得出，，，再利用二次根式的运算法则计算即可求解．
【规范解答】解：∵，
∴，
∴的整数部分为1，小数部分为，
即，，
∴．
故选：C．
【训练2】（24-25八年级上·湖南长沙·期末）我们约定：关于x的代数式A，B，若不论x为何值，都有（m为常数），则称代数式A，B互为“差值代数式”，m为“差值”例如：，因为，所以A，B互为“差值代数式”，“差值”为2．根据该约定，解答下列问题．
(1)判断下列各式是否互为“差值代数式”．若是，则在括号中的划“√”，若不是，则划“×”．
①与（ ） ②与（ ） ③与（ ）
(2)已知关于x的整式，若M，N互为“差值代数式”，且“差值”为4，求a的值；
(3)已知关于x的整式，若S，T互为“差值代数式”，且满足．
①求b，c，d的值；
②求代数式的最小值．
【答案】(1)①√ ②× ③√
(2)或
(3)① ；②的最小值为
【思路点拨】根据定义解答即可得解；
先由定义得出或，解方程即可得解；
①恒等变形得出，然后由新定义即可得解，②先将代数式变形成，然后通过配方利用非负数的性质得出，最后代入即可得解．
【规范解答】（1）∵，
∴①与互为“差值代数式”，
∵，
∴②与不互为“差值代数式”，
∵，
∴③与互为“差值代数式”，
故答案为：①√ ②× ③√；
（2）由题可知，
∴或，
∴或，
综上所述或；
（3）①，
，
，
，
，
互为“差整值代数式”，
，
②，
，
，
的最小值为．
重点考点讲练12：二次根式的混合运算
【母题精讲】（24-25八年级上·山东滨州·期末）如图，在中，，分别垂直平分，交线段于M，N；的延长线交于点F，设O为中点，连接．
(1)求的度数；
(2)证明：；
(3)若的周长为12，连接，当取最小值时，求的周长．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
【思路点拨】（1）根据线段垂直平分线的性质得出，从而得出角相等，再结合三角形内角和定理得出，即可求解；
（2）连接，根据线段垂直平分线的性质得出，证出，再根据点O是的中点，即可求解；
（3）在四边形中，根据四边形内角和算出，从而证明，同理，．即可算出，求出，根据直角三角形性质和勾股定理得出的长，从而得出的长，根据（1）可知，再利用垂直平分线性质可以求出的长，从而求出结果．
【规范解答】（1）解：分别垂直平分，
，
，
，
．
．
又，
；
（2）证明：连接．
分别垂直平分，
．
．
在线段的垂直平分线上．
又∵点O是的中点，
；
（3）如图，连接，
在四边形中，，
，
．
即．
，
．
同理，．
则
，
是中点，且，
．
，
．
，
当A在延长线上时，上式等号成立，为最小值，
则
，
，
，
，
，
的周长为，
由（1）知，．
，
点A在延长线上，是中点，且，
为的垂直平分线，
，
，
，即
，
的周长为．
【训练1】（24-25八年级上·甘肃张掖·期末）【新考向】
如图，在中，，点表示的数是，，以点为圆心、长为半径画弧交数轴负半轴于点C，C点表示的数为．
(1)求的值；
(2)先化简，再求值：，其中是（1）中求出的实数．
【答案】(1)的值为
(2)，
【思路点拨】本题考查了勾股定理的应用，实数与数轴，分式的化简求值．
（1）利用实数与数轴的关系及直角三角形三边的关系（勾股定理）进行解答即可求得a的值；
（2）括号内先通分进行分式的加减运算，然后再进行分式的乘除法运算进行化简，然后把（1）中a的值代入进行计算即可得．
【规范解答】（1）解：在中，点表示的数为1，，，
，，
，
以点为圆心，以长为半径画弧，交数轴的负半轴于点，
，
点表示的实数是，
即的值为；
（2）解：
；
当时，原式．
【训练2】（24-25八年级上·重庆·期末）估算的值应在（ ）
A．和之间 B．和之间
C．和之间 D．和之间
【答案】B
【思路点拨】本题考查无理数的估算，先将原式化简，再进行估算求值．解题的关键是能准确理解并运用算术平方根知识进行求解．也考查了不等式的性质．
【规范解答】解：，
∵，即，
∴，
∴，
即的值应在和之间．
故选：B．
重点考点讲练13：分母有理化
【母题精讲】（2022九年级·全国·专题练习）先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【思路点拨】本题主要考查分式的化简求值及分母有理化，熟练掌握分式的化简求值及分母有理化是解题的关键．先对分式进行化简，然后代值求解即可．
【规范解答】解：
．
；
当时，原式．
【训练1】（24-25八年级上·湖南怀化·期末）先化简，再求值：，其中
【答案】，
【思路点拨】本题考查了分式化简求值；先对括号内进行通分运算，同时对分子、分母进行因式分解，再将除转化为乘，进行约分，结果化为最简分式或整式，然后代值计算，即可求解；掌握分式化简的步骤是解题的关键．
【规范解答】解：原式
；
当时，
原式
．
【训练2】（24-25九年级上·福建厦门·阶段练习）先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【思路点拨】本题考查了分式的化简求值，利用分式的性质和运算法则先对分式进行化简，再把的值代入计算即可求解，掌握分式的性质和运算法则是解题的关键．
【规范解答】解：原式
，
当时，
原式
．
重点考点讲练14：已知字母的值，化简求值
【母题精讲】（24-25八年级上·四川成都·期末）已知，则代数式的值为 ．
【答案】
【思路点拨】本题考查了完全平方公式，二次根式的化简求值，掌握以上知识点是解答本题的关键．
先根据题意求出，再利用完全平方公式把代数式变形为，代入求值即可解答．
【规范解答】解：，
，
，
，
，
故答案为：．
【训练1】（23-24八年级上·河南漯河·期末）化简求值
(1)先化简，再从0，1，2中选取一个合适的x的值代入求值；
(2)先化简，再求值，已知，求的值．
【答案】(1)，当x取1时，原式的值为
(2)，
【思路点拨】本题主要考查了分式的化简求值，二次根式有意义的条件，分母有理化；
（1）先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再选取使分式有意义的x的值代入计算可得．
（2）先得出，则；进而根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将的x的值代入计算可得．
【规范解答】（1）解：
，
且，，
，
当时，原式 ．
（2）解：∵
∴
当时，原式
【训练2】（24-25八年级下·全国·期末）设，求下列各式的值：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【思路点拨】本题主要考查了代数式求值，二次根式的运算，完全平方公式的应用，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
（1）将的值代入，分母有理化即可得出答案；
（2）先计算出，把变形为，然后整体代入求值即可．
【规范解答】（1）解：，
；
（2）解： ，
．
重点考点讲练15：已知条件式，化简求值
【母题精讲】（22-23八年级下·江苏·期末）已知，求．
【答案】．
【思路点拨】根据得，则，，将原式化为，再整体代入即可求解．
【规范解答】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴原式
．
【训练1】（21-22八年级上·河南商丘·期末）计算：
(1)已知，求的值；
(2)已知实数满足，求的值．
【答案】(1)；
(2)．
【思路点拨】（1）先求出的值，再利用完全平方和与完全平方差的关系求出的值，即可求解；
（2）利用完全平方公式将原式变形为，求出和的值，代入求解即可．
【规范解答】（1）解：∵，
∴，
∴，
即，
解得，
∴的值为；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴ ，
∴的值为．
【训练2】（21-22八年级下·山东临沂·期末）已知，，y＞0，求y的值．
【答案】
【思路点拨】将代入计算即可．
【规范解答】解：∵，
∴
,
∴,
∵y＞0，
∴
重点考点讲练16：比较二次根式的大小
【母题精讲】（23-24八年级上·四川成都·期末）比较大小： ．
【答案】
【思路点拨】本题考查了无理数的估算、二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解题关键．将化成，根据无理数的估算、二次根式的化简可得，由此即可得．
【规范解答】解：，
∵，
，即，
故答案为：．
【训练1】（23-24八年级上·四川达州·期末）阅读下列解题过程∶
请回答下列问题∶
(1)仿照上面的解题过程化简∶ ____________________．
(2)请直接写出的化简结果∶____________．
(3)利用上面所提供的想法，求的值．
(4)利用上面的结论，不计算近似值，试比较与的大小，并说明理由．
【答案】(1)，，
(2)
(3)
(4)，理由见解析
【思路点拨】本题主要考查了分母有理化，二次根式比较大小：
（1）仿照题意进行分母有理化即可；
（2）仿照题意进行分母有理化即可；
（3）根据，把所求式子的每一项进行分母有理化，然后合并化简即可得到答案；
（4）根据，且，即可得到答案．
【规范解答】（1）解：
；
故答案为：，，；
（2）解：
；
故答案为：；
（3）解：
；
（4）解：，理由如下：
与
，
∵，
∴，
∴
∴．
【训练2】（22-23八年级上·山东青岛·期末）观察下列一组等式，然后解答问题：
，
，
，
……
(1)观察以上规律，请写出第个等式：___________（为正整数）；
(2)利用上面的规律，计算：；
(3)请利用上面的规律，比较与的大小．
【答案】(1)
(2)
(3)
【思路点拨】（1）根据题干，观察规律，即可得到第个等式；
（2）先将各项分母有理化，在进行有理数计算即可得到答案；
（3）根据平方差公式，可化成分子相同的数，根据相同的分子，分母越大的数越小进行比较，即可得到答案．
【规范解答】（1）解：通过观察可知，，
故答案为：；
（2）解：原式
，
；
（3）解：，，
，
．
重点考点讲练17：二次根式的应用
【母题精讲】（24-25八年级上·广西来宾·期末）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为，，，则该三角形的面积为现在已知的三边长分别是，，，则三角形的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【思路点拨】本题考查二次根式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用题目中的面积公式解答．
根据题目中的面积公式可以求得的三边长分别是，，的面积，从而可以解答本题．
【规范解答】解：，
的三边长分别是，，的面积为：，
故选：B．
【训练1】（24-25八年级上·江西抚州·期末）细心观察下图，认真分析各式，然后解答下列问题：
，（是的面积）；
，（是的面积）；
，（是的面积）；
…
(1)请用含有n（n为正整数）的式子填空：______，______；
(2)在线段，，，…，中，长度为正整数的线段共有______条
(3)求的值；
【答案】(1)n，
(2)45
(3)18
【思路点拨】考查了新定义的理解，二次根式的化简，关键是理解新定义和有关二次根式的化简运算．
（1）认真阅读新定义，根据已知内容归纳总结即可；
（2）通过分析数据不难发现当边长正好是根号下一个正整数的平方时，出现的就是正整数．分析2025最接近哪个正整数的平方．
（3）代入化简整理求值即可；
【规范解答】（1）观察所给式子：，，，以此类推，可得．
对于，，，所以（n为正整数）．
故答案为：n，．
（2）解：∵，
∴
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
…
当（k为正整数）时，，
∵，，
∴1到2025有45个完全平方数，
∴线段，，，…，中，长度为正整数的线段共有45条．
故答案为：45．
（3）解：∵，，，
∴原式
．
【训练2】（24-25八年级上·湖南株洲·期末）某居民小区有块形状为长方形的绿地，长方形绿地的长为，宽为，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛即图中阴影部分，长方形花坛的长为，宽为．
(1)长方形的周长是多少？（结果化为最简二次根式）
(2)除修建花坛的地方，其它地方全修建成通道，通道上要铺上造价为的地砖（假设地砖没有损耗），要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？
【答案】(1)
(2)元
【思路点拨】本题考查二次根式的应用；
（1）根据长方形的周长列出算式，再利用二次根式的混合运算顺序和运算法则计算即可；
（2）先计算出空白部分的面积，然后再用空白部分的面积乘以单价即可得出结论．
【规范解答】（1）解：长方形的周长
答：长方形的周长是．
（2）铺地砖的面积
故购买地砖的花费为(元)
答：购买地砖需要花费元．
中档题—夯实基础能力
1．（24-25八年级上·浙江金华·期末）下列式子正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【思路点拨】本题考查了二次根式的性质，二次根式的减法、乘法运算，据此相关性质内容进行逐项分析，即可作答．
【规范解答】解：A、，故该选项不符合题意；
B、，故该选项不符合题意；
C、，故该选项符合题意；
D、，故该选项不符合题意；
故选：C．
2．（24-25八年级上·上海浦东新·期末）下列代数式中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【思路点拨】根据最简二次根式的定义判断即可．
本题考查了最简二次根式，熟练掌握定义是解题的关键．
【规范解答】A. ，不符合题意；
B. ，不是二次根式，不符合题意；
C. ，符合题意；
D. ，不符合题意；
故选：C．
3．（24-25八年级下·全国·期末）化简的结果是（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】C
【思路点拨】本题考查二次根式的性质，根据二次根式的性质：，即可得出结果．
【规范解答】解：；
故选C．
4．（24-25八年级上·湖南邵阳·期末）二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围为 ．
【答案】
【思路点拨】本题主要考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式的被开方数为非负数，列出不等式，解不等式即可．
【规范解答】解：∵二次根式在实数范围内有意义，
∴，
解得：．
故答案为：．
5．（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）在二次根式中，字母x的取值范围是 ．
【答案】
【思路点拨】本题考查的是二次根式有意义的条件．根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．
【规范解答】解：∵二次根式有意义，
∴，解得，
故答案为：．
6．（24-25八年级上·湖南怀化·期末）化简的结果为 ．
【答案】/
【思路点拨】此题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键．先把二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式加减运算．
【规范解答】解：
．
故答案为：．
7．（24-25八年级上·湖南怀化·期末）计算：．（结果保留根号）
【答案】
【思路点拨】本题主要考查绝对值，零指数幂，负整数指数幂，二次根式乘除计算．根据绝对值，零指数幂，负整数指数幂，二次根式乘除计算法则求解即可．
【规范解答】解：
．
8．（24-25八年级上·河北石家庄·期末）定义：已知，都是实数，若，则称与是关于3的“实验数”．
(1)4与_____是关于3的“实验数”，与是关于3的“实验数”，则是_____，表示的值的点落在数轴上的位置位于_____．
(2)若，判断与是否是关于3的“实验数”，并说明理由．
【答案】(1)；；④
(2)是；理由见解析
【思路点拨】本题主要考查二次根式的混合运算，二次根式的乘除运算和加减运算．掌握本题的关键是：①能理解题述1 的“实验数”的定义，并据此作出计算；②掌握二次根式的化简及同类二次根式的合并．
（1）根据所给的例子，可得出实验数的求法，由此即可计算4与是关于3的“实验数”；
（2）根据进行计算，计算与的和，根据所求得结果即可判断．
【规范解答】（1）解：∵，
∴与是关于的“实验数”；
∵，
∴与是关于的“实验数”，即；
∵，
∴，
∴表示的值的点落在数轴上的位置位于1和2之间，即位置④；
（2）解：与是关于的“实验数”．理由如下：
∵，
∴
，
∴与是关于的“实验数”．
9．（24-25八年级上·甘肃兰州·期末）计算：．
【答案】
【思路点拨】本题考查二次根式的混合运算，零指数幂，先化简二次根式，化简绝对值，进行零指数幂的运算，再进行加减运算即可．
【规范解答】解：原式．
10．（23-24八年级下·云南普洱·期末）阅读理解:
爱思考的张华在做题时遇到这样一个问题：已知，求的值．
他是这样分析与解答的：
，即
请你根据张华的分析过程，解决如下问题：
(1)计算：；
(2)若，求的值．
【答案】(1)
(2)1
【思路点拨】本题主要考查了分母有理化、完全平方公式以及代数式的变形，变形各式后利用整体代入的思想是解决本题的关键．
（1）将原式分母有理化后，得到规律，利用规律求解；
（2）将m分母有理化得，移项并平方得到，变形后代入求值．
【规范解答】（1）解：原式；
（2）解：，
，
，即，
，
．
压轴题—强化解题技能
11．（24-25八年级上·江苏南京·期末）如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．连接、、、．若正方形的面积为，阴影部分的面积为．则的长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【思路点拨】本题考查了勾股定理的证明，整式的混合运算．由阴影部分的面积为，得到，得到，根据三角形的面积公式列方程得到，求得，于是得到．
【规范解答】解：由题意得，
∵正方形的面积为，
∴，
∵阴影部分的面积为，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴(负值已舍)，
∴，
故选：C．
12．（23-24八年级上·甘肃兰州·期末）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【思路点拨】本题主要考查了二次根式的性质、立方根等知识点，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．
根据次根式的性质以及立方根的定义逐项判断即可．
【规范解答】解：A、，则运算错误，故A选项不符合题意；
B、，则运算错误，故B选项不符合题意；
C、，则运算错误，故C选项不符合题意；
D、，则运算正确，故D选项符合题意．
故选：D．
13．（23-24八年级上·四川眉山·期末）化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【思路点拨】本题主要考查了二次根式的混合计算，积的乘方的逆运算，同底数幂乘法的逆运算，先把原式变形为，进一步变形得到，据此计算求解即可．
【规范解答】解：
，
故选：A．
14．（24-25八年级上·福建三明·期末）计算结果是 ．
【答案】5
【思路点拨】本题考查了二次根式的乘除法，熟练掌握二次根式的乘除运算法则是解题关键．先计算二次根式的乘法，再计算二次根式的除法即可得．
【规范解答】解：
，
故答案为：5．
15．（24-25八年级上·江西抚州·期末）若，求的值是 ．
【答案】2
【思路点拨】本题考查了二次根式有意义的条件，解一元一次不等式组，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键；根据二次根式有意义的条件得出一元一次不等式组，解不等式组，在求出y，代入中即可解答．
【规范解答】解：根据题意得：，
解得：，
则，
∴，
故答案为：2．
16．（24-25八年级上·福建泉州·期末）我国古代数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理，而且对勾股定理进行理论证明．三国时期，赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用形数结合的方法对勾股定理进行详细证明，这幅．“勾股圆方图”就是著名的“赵爽弦图”．如图，小明利用正方形纸张画出内接的“赵爽弦图”，正方形的各顶点均在正方形的边上．记正方形、正方形、正方形的面积分别为．若正方形的边长为，则 ．
【答案】21
【思路点拨】本题考查勾股定理，完全平方公式，正确理解题意是解题关键．设8个全等的直角三角形的两条直角边分别为，根据题意，得到，由勾股定理得到，进行求解即可．
【规范解答】解：设8个全等的直角三角形的两条直角边分别为，
则：，，
∴；
故答案为：．
17．（24-25八年级上·上海徐汇·期末）已知，如图：是等腰直角三角形，动点P在斜边所在的直线上，以为直角边作等腰直角三角形，其中，探究并解决下列问题：
(1)如图①，若点P在线段上，且，，则：
①线段__________，__________；
②猜想：，，三者之间的数量关系为__________；
(2)如图②，若点P在的延长线上，在（1）中所猜想的结论仍然成立，请你给出证明过程；
(3)若动点满足，求的值．
【答案】(1)①；②
(2)见解析
(3)的值为或
【思路点拨】（1）①在中，利用勾股定理可求得，由可求得的长；②过作于点，则可求得，把和都用和表示出来，在中，由勾股定理得到和的关系，从而可得到三者之间的数量关系；
（2）过作于点，把和都用和表示出来，在中，由勾股定理得到和的关系，从而可证得结论；
（3）分点在线段上和线段的延长线上，分别利用得到和的关系，从而可得到和的关系，在和中，利用勾股定理可分别得到和的关系，从而可求得的值．
【规范解答】（1）解：①∵是等腰直角三角形，，
，
，
；
②，
证明：如图1，过作于点，
∵为等腰直角三角形，，
，
，
，
，
在 中，由勾股定理可得，
，
∵为等腰直角三角形，且，
，
，
故答案为：；
（2）证明：如图 2，过作于点，
∵为等腰直角三角形，，
，
，
，
，
在中，由勾股定理可得，
，
∵为等腰直角三角形，且，
，
．
（3）解：过点作于点，
，
∴点只能在线段上或在线段的延长线上，
如图3，当点在线段上时，
，
，
在 中，由勾股定理可得，
在 中，由勾股定理可得，
；
如图4，当点 P 在线段 的延长线上时，
，
，
在 中，由勾股定理可得，
在 中，由勾股定理可得，
，
综上，的值为或．
18．（24-25八年级上·四川绵阳·期末）已知，在等边中，点是射线上一点，连接．
(1)如图1，，请求解线段的长；
(2)如图2，点在线段上，若点为延长线上一点，满足，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，，用等式表示线段、之间的数量关系，并证明；
(3)在（2）条件下，点是线段延长线上一点，若为等腰三角形时，请直接写出的值．
【答案】(1)
(2)，理由见解析
(3)
【思路点拨】（1）过点B作于点E，根据等边三角形的性质得到，然后利用勾股定理依次计算即可解题；
（2）过点作平行线交于点，连接，得到为等边三角形，进而得到，即可得到，然后过点N作于点M，利用勾股定理解题即可；
（3）过点D作交于点N，连，设，，由（2）可得为等边三角形，，即可得到，，过点P作于点H，利用角的直角三角形计算，长，然后在中利用勾股定理解题即可．
【规范解答】（1）解：过点B作于点E，
∵，
∴，
∴，
又∵是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：，理由如下：
过点作平行线交于点，连接，
由题意得，
∵，
，
∴，
又∵，
为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
，
，
∴
过点N作于点M，
则，，
∴，
∴；
（3）解：由题可知，，
过点D作交于点N，连，设，，
则，
又∵为等腰三角形，
∴，
由（2）可得：为等边三角形，，
∴，，，
∴，
过点P作于点H，
∴，
∴，，
∴，
在中，，
即，
解得：或（舍去），
∴．
19．（24-25八年级上·湖南邵阳·期末）阅读下列解题过程： ，请解答下列问题：
(1)观察上面解题过程，计算
(2)请直接写出的结果．
(3)利用上面的解法，请化简：
【答案】(1)
(2)
(3)9
【思路点拨】本题考查分母有理化，熟练掌握分母有理化，是解题的关键：
（1）利用分母有理化进行求解即可；
（2）利用分母有理化进行求解即可；
（3）先进行分母有理化，再进行求解即可．
【规范解答】（1）解：原式；
（2）；
（3）原式．
20．（24-25八年级上·河南平顶山·期末）计算
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【思路点拨】本题考查了二次根式的混合运算．
（1）先将二次根式化简，然后相加减即可得到结果；
（2）分子分母同乘，同时运用完全平方公式计算即可求解．
【规范解答】（1）解：
；
（2）解：
．2024-2025学年浙教版数学八年级下学期期末复习知识串讲（优等生培优版）
第1章 二次根式
（思维导图+知识梳理+易错点拨+17大考点讲练+优选真题难度分层练 共71题）
讲义简介 2
思维导图指引 2
章节知识回顾梳理 2
易错考点点拨汇总 5
易错知识点01：二次根式定义条件 5
易错知识点02：混淆“最简二次根式”标准 5
易错知识点03：误判“同类二次根式” 5
易错知识点04：加减法未先化简（运算法则混淆） 5
易错知识点05：乘除法规则错用（运算法则混淆） 5
易错知识点06：分配律滥用（运算法则混淆） 6
易错知识点07：隐含条件忽视 6
易错知识点08：符号与变形错误 6
易错知识点09：应用场景误区 6
期末真题考点汇编讲练 6
期末考向一：二次根式 6
重点考点讲练01：求二次根式的值 6
重点考点讲练02：求二次根式中的参 7
重点考点讲练03：二次根式有意义的条件 7
期末考向二：二次根式的性质 8
重点考点讲练04：利用二次根式的性质化简 8
重点考点讲练05：复合二次根式的化简 9
期末考向三：二次根式的运算 10
重点考点讲练06：二次根式的乘除混合运算 10
重点考点讲练07：最简二次根式的判断 11
重点考点讲练08：化为最简二次根式 12
重点考点讲练09：已知最简二次根式求参数 13
重点考点讲练10：同类二次根式 13
重点考点讲练11：二次根式的加减运算 14
重点考点讲练12：二次根式的混合运算 15
重点考点讲练13：分母有理化 16
重点考点讲练14：已知字母的值，化简求值 16
重点考点讲练15：已知条件式，化简求值 17
重点考点讲练16：比较二次根式的大小 18
重点考点讲练17：二次根式的应用 19
优选真题难度分层练 20
中档题—夯实基础能力 20
压轴题—强化解题技能 22
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知识点梳理01：二次根式的相关概念和性质
1. 二次根式
形如的式子叫做二次根式，如等式子，都叫做二次根式.
【易错点剖析】二次根式有意义的条件是，即只有被开方数时，式子才是二次根式，才有意义.
2.二次根式的性质
（1）；
（2）；
（3）.
【易错点剖析】（1） 一个非负数可以写成它的算术平方根的平方的形式，即（），如（）.
（2） 中的取值范围可以是任意实数，即不论取何值，一定有意义.
（3）化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简.
（4）与的异同
不同点：中可以取任何实数，而中的必须取非负数；
=，=（）.
相同点：被开方数都是非负数，当取非负数时，=.
3. 最简二次根式
1）被开方数是整数或整式；
2)被开方数中不含能开方的因数或因式.
满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.如等都是最简二次根式.
【易错点剖析】最简二次根式有两个要求：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中每个因式的指数都小于根指数2.
4.同类二次根式
几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式.
【易错点剖析】判断是否是同类二次根式，一定要化简到最简二次根式后，看被开方数是否相同，再判断.如与，由于=，与显然是同类二次根式.
知识点梳理02：二次根式的运算
1. 乘除法
（1）乘除法法则：
类型
法则
逆用法则
二次根式的乘法
积的算术平方根化简公式：
二次根式的除法
商的算术平方根化简公式：
【易错点剖析】
（1）当二次根式的前面有系数时，可类比单项式与单项式相乘（或相除）的法则，如.
（2）被开方数a、b一定是非负数（在分母上时只能为正数）.如.
2.加减法
将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数不变，即合并同类二次根式.
【易错点剖析】二次根式相加减时，要先将各个二次根式化成最简二次根式，再找出同类二次根式，最后合并同类二次根式.如.
易错知识点01：二次根式定义条件
学生容易忽略被开方数必须是非负数这一核心条件。例如，题目中出现类似“”的式子时，未意识到隐含条件“x≥3”；或在分式形式的二次根式中（如），忽略分母不能为0且被开方数需非负的双重限制
易错知识点02：混淆“最简二次根式”标准
最简二次根式需满足三个条件：
被开方数不含分母；
被开方数不含能开方的因数；
分母中不含根号。
常见错误如未将化简为，或未对分母进行有理化处理。
易错知识点03：误判“同类二次根式”
同类二次根式需先化简为最简形式后，再看被开方数是否相同。例如，和化简为和才可合并，但学生可能因未化简而误以为不能合并
易错知识点04：加减法未先化简（运算法则混淆）
二次根式加减必须先将所有项化为最简形式，再合并同类项。典型错误如直接合并为，或未发现与是同类项
易错知识点05：乘除法规则错用（运算法则混淆）
乘法时未正确应用（需a,b≥0）；
除法中未注意分母有理化，或误将拆分为但忽略分母限制
易错知识点06：分配律滥用（运算法则混淆）
错误将根号与加减法结合，如，或，此类错误常因对根号性质理解不透导致
易错知识点07：隐含条件忽视
1. 双重非负性忽略
二次根式的结果和被开方数均非负，但学生可能在涉及代数式时未考虑符号。例如，=∣a∣，而非直接等于a；或未注意题目中隐含的变量取值范围
2. 分母有理化不彻底
有理化时需找到正确的有理化因式，如对 ，应乘以而非仅处理分母中的单项根式。学生可能仅处理部分项，导致分母仍含根号
易错知识点08：符号与变形错误
1. 变形时符号处理不当
例如，将直接写成a-2，而忽略a可能小于2的情况，正确结果应为∣a 2∣
2. 综合运算顺序混乱
混合运算时未遵循先乘除后加减、先括号内后外的规则，或因跳步过多导致符号错误。例如，在计算“”时，可能漏乘括号内的第二项
易错知识点09：应用场景误区
1. 实际问题建模错误
例如，用勾股定理求斜边时，若已知两直角边为和，学生可能直接相加而非平方后求和再开方
2. 与数轴结合时符号误判
当二次根式与数轴上的点结合时，未根据点的位置判断被开方数的正负性，导致结果错误
期末考向一：二次根式
重点考点讲练01：求二次根式的值
【母题精讲】（22-23八年级下·四川绵阳·期末）将一次函数的图象向上平移9个单位得到直线，则的值为（ ）
A．3 B． C． D．
【训练1】（21-22八年级下·湖北咸宁·期末）代数式的最小值为 ．
【训练2】（19-20八年级下·北京·期末）下列式子中，是二次根式的是( )
A． B． C． D．
重点考点讲练02：求二次根式中的参
【母题精讲】（21-22八年级上·河南开封·期末）＝2，则a＝ ．
【训练1】（19-20八年级下·山西·期末）已知是正整数，是整数，则的最小值为 ．
【训练2】（22-23八年级上·北京平谷·期末）已知是正偶数，则实数的最大值为（ ）
A． B． C． D．
重点考点讲练03：二次根式有意义的条件
【母题精讲】（21-22八年级下·四川凉山·期末）已知，则的值为 ．
【训练1】（24-25八年级上·四川眉山·期末）当 时，分式有意义．
【训练2】（23-24八年级下·山东菏泽·期末）任意一个无理数介于两个整数之间，我们定义，若无理数，（其中为连续的整数），则称无理数的“臻美区间”为，如，所以的“臻美区间”为．
(1)无理数的“臻美区间”是______．
(2)若一个无理数的“臻美区间”为，且满足，其中是关于的二元一次方程的一组正整数解，求的值．
(3)实数满足如下关系式：，求的算术平方根的“臻美区间”．
期末考向二：二次根式的性质
重点考点讲练04：利用二次根式的性质化简
【母题精讲】（24-25八年级上·江苏盐城·期末）如图1，中，，是边上的动点．设、两点之间的距离为，、两点之间的距离为，表示与的函数关系的图象如图2所示，则线段的长为 ．
【训练1】（24-25八年级上·浙江温州·期末）设，则与最接近的整数是 ．
【训练2】（23-24八年级上·湖南邵阳·期末）阅读下列解题过程
例：若代数式的值是2，求的取值范围
解：原式，
当时，原式，解得（舍去）；
当时，原式，符合条件；
当时，原式，解得（舍去）．
∴的取值范围是．
上述解题过程主要运用了分类讨论的方法，请你根据上述理解，解答下列问题：
(1)当时，化简：______．
(2)解方程：．
重点考点讲练05：复合二次根式的化简
【母题精讲】（23-24八年级上·湖南娄底·期末）阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数．形如，如果你能找到两个数、，使，且，则可变形为．从而达到化去一层根号的目的．例如化简，且，
．
(1)填上适当的数：______；
(2)当时，化简．
【训练1】（20-21八年级下·山东聊城·期末）像这样的根式叫做复合二次根式有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简．
例1：
；
例2：
请用上述方法探索并解决下列问题：
(1)化简：；
(2)化简：；
(3)若，且为正整数，求a的值．
【训练2】（22-23八年级上·湖南永州·期末）观察下列各式及其化简过程：
，
．
(1)按照上述两个根式的化简过程的基本思路，将化简；
(2)化简；
(3)针对上述各式反映的规律，请你写出中，m，n与a，b之间的关系．
期末考向三：二次根式的运算
重点考点讲练06：二次根式的乘除混合运算
【母题精讲】（23-24八年级上·陕西咸阳·期末）计算：．
【训练1】（22-23八年级下·山东潍坊·期末）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形①沿x轴正半轴滚动并且按一定规律变换，每次变换后得到的图形仍是等腰直角三角形．第一次滚动后点变换到点，得到等腰直角三角形②；第二次滚动后点变换到点，得到等腰直角三角形③；第三次滚动后点变换到点，得到等腰直角三角形④；第四次滚动后点变换到点，得到等腰直角三角形⑤…依此规律，则第2023个等腰直角三角形的面积是 ．
【训练2】（2023·山东潍坊·中考真题）从、，中任意选择两个数，分别填在算式里面的“□”与“○”中，计算该算式的结果是 ．（只需写出一种结果）
重点考点讲练07：最简二次根式的判断
【母题精讲】（23-24八年级下·安徽合肥·期末）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【训练1】（23-24八年级下·陕西安康·期末）定义：若两个二次根式m、n满足，且p是有理数，则称m与n是关于p的和谐二次根式．已知最简二次根式与可以合并，请问的算术平方根与是关于4的和谐二次根式吗？并说明理由．
【训练2】（23-24八年级下·河南三门峡·期末）下面是小美同学进行二次根式运算的过程，请认真阅读，完成相应的任务．
………第一步
………第二步
………第三步
任务：
(1)原式中的二次根式、、、、中，是最简二次根式的是______；
(2)第______步开始出错，错误的原因是______；
(3)第一步中，去括号的依据是______；
(4)请写出正确的计算过程．
重点考点讲练08：化为最简二次根式
【母题精讲】．（24-25八年级上·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边长为6，两边、在坐标轴上，为线段上一点，且，连接、．
(1)点D的坐标为 ；
(2)若点从点出发以每秒2个单位的速度沿折线的方向运动，当与点重合时运动停止设点的运动时间为秒，连接，将的面积记为，请用含的式子表示；
(3)在（2）的条件下，当为等腰三角形时，请直接写出点M的坐标．
【训练1】（23-24八年级下·广西贵港·期末）如图，在中，，，以点为圆心、任意长为半径画圆弧分别交边，于点，，再分别以点，为圆心，以大于的长为半径画圆弧，两弧相交于点，连接并延长交于点．
(1)求证：平分；
(2)若，求的周长．
【训练2】（23-24八年级下·山东菏泽·期末）如图，在中，于点D，E是的中点，，，求的长．
重点考点讲练09：已知最简二次根式求参数
【母题精讲】（21-22八年级下·江苏泰州·期末）当a = 时，最简二次根式与是同类二次根式．
【训练1】（20-21八年级下·河南信阳·期末）已知最简二次根式与2可以合并成一项，则a，b的值分别为（ ）
A．a＝1，b＝2 B．a＝﹣1，b＝0 C．a＝1，b＝0 D．a＝﹣1，b＝2
【训练2】（20-21八年级上·山东滨州·期末）若最简二次根式和可以合并，则 ．
重点考点讲练10：同类二次根式
【母题精讲】（20-21八年级上·四川成都·期末）下列二次根式能与合并的是（ ）
A． B． C． D．
【训练1】（23-24八年级下·黑龙江绥化·期末）如果两个最简二次根式与是同类二次根式，那么使有意义的x的取值范围是 ．
【训练2】（22-23八年级下·江苏扬州·期末）已知二次根式．
(1)求使得该二次根式有意义的的取值范围；
(2)已知是最简二次根式，且与可以合并，
求的值；
求与的乘积．
重点考点讲练11：二次根式的加减运算
【母题精讲】（24-25八年级上·广东佛山·期末）（1）计算：
解方程组：
【训练1】（22-23八年级下·安徽铜陵·期末）若的整数部分为x，小数部分为y，则的值是（ ）
A． B． C．1 D．3
【训练2】（24-25八年级上·湖南长沙·期末）我们约定：关于x的代数式A，B，若不论x为何值，都有（m为常数），则称代数式A，B互为“差值代数式”，m为“差值”例如：，因为，所以A，B互为“差值代数式”，“差值”为2．根据该约定，解答下列问题．
(1)判断下列各式是否互为“差值代数式”．若是，则在括号中的划“√”，若不是，则划“×”．
①与（ ） ②与（ ） ③与（ ）
(2)已知关于x的整式，若M，N互为“差值代数式”，且“差值”为4，求a的值；
(3)已知关于x的整式，若S，T互为“差值代数式”，且满足．
①求b，c，d的值；
②求代数式的最小值．
重点考点讲练12：二次根式的混合运算
【母题精讲】（24-25八年级上·山东滨州·期末）如图，在中，，分别垂直平分，交线段于M，N；的延长线交于点F，设O为中点，连接．
(1)求的度数；
(2)证明：；
(3)若的周长为12，连接，当取最小值时，求的周长．
【训练1】（24-25八年级上·甘肃张掖·期末）【新考向】
如图，在中，，点表示的数是，，以点为圆心、长为半径画弧交数轴负半轴于点C，C点表示的数为．
(1)求的值；
(2)先化简，再求值：，其中是（1）中求出的实数．
【训练2】（24-25八年级上·重庆·期末）估算的值应在（ ）
A．和之间 B．和之间
C．和之间 D．和之间
重点考点讲练13：分母有理化
【母题精讲】（2022九年级·全国·专题练习）先化简，再求值：，其中．
【训练1】（24-25八年级上·湖南怀化·期末）先化简，再求值：，其中
【训练2】（24-25九年级上·福建厦门·阶段练习）先化简，再求值：，其中．
重点考点讲练14：已知字母的值，化简求值
【母题精讲】（24-25八年级上·四川成都·期末）已知，则代数式的值为 ．
【训练1】（23-24八年级上·河南漯河·期末）化简求值
(1)先化简，再从0，1，2中选取一个合适的x的值代入求值；
(2)先化简，再求值，已知，求的值．
【训练2】（24-25八年级下·全国·期末）设，求下列各式的值：
(1)；
(2)．
重点考点讲练15：已知条件式，化简求值
【母题精讲】（22-23八年级下·江苏·期末）已知，求．
【训练1】（21-22八年级上·河南商丘·期末）计算：
(1)已知，求的值；
(2)已知实数满足，求的值．
【训练2】（21-22八年级下·山东临沂·期末）已知，，y＞0，求y的值．
重点考点讲练16：比较二次根式的大小
【母题精讲】（23-24八年级上·四川成都·期末）比较大小： ．
【训练1】（23-24八年级上·四川达州·期末）阅读下列解题过程∶
请回答下列问题∶
(1)仿照上面的解题过程化简∶ ____________________．
(2)请直接写出的化简结果∶____________．
(3)利用上面所提供的想法，求的值．
(4)利用上面的结论，不计算近似值，试比较与的大小，并说明理由．
【训练2】（22-23八年级上·山东青岛·期末）观察下列一组等式，然后解答问题：
，
，
，
……
(1)观察以上规律，请写出第个等式：___________（为正整数）；
(2)利用上面的规律，计算：；
(3)请利用上面的规律，比较与的大小．
重点考点讲练17：二次根式的应用
【母题精讲】（24-25八年级上·广西来宾·期末）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为，，，则该三角形的面积为现在已知的三边长分别是，，，则三角形的面积是（ ）
A． B． C． D．
【训练1】（24-25八年级上·江西抚州·期末）细心观察下图，认真分析各式，然后解答下列问题：
，（是的面积）；
，（是的面积）；
，（是的面积）；
…
(1)请用含有n（n为正整数）的式子填空：______，______；
(2)在线段，，，…，中，长度为正整数的线段共有______条
(3)求的值；
【训练2】（24-25八年级上·湖南株洲·期末）某居民小区有块形状为长方形的绿地，长方形绿地的长为，宽为，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛即图中阴影部分，长方形花坛的长为，宽为．
(1)长方形的周长是多少？（结果化为最简二次根式）
(2)除修建花坛的地方，其它地方全修建成通道，通道上要铺上造价为的地砖（假设地砖没有损耗），要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？
中档题—夯实基础能力
1．（24-25八年级上·浙江金华·期末）下列式子正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（24-25八年级上·上海浦东新·期末）下列代数式中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25八年级下·全国·期末）化简的结果是（ ）
A． B． C．3 D．
4．（24-25八年级上·湖南邵阳·期末）二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围为 ．
5．（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）在二次根式中，字母x的取值范围是 ．
6．（24-25八年级上·湖南怀化·期末）化简的结果为 ．
7．（24-25八年级上·湖南怀化·期末）计算：．（结果保留根号）
8．（24-25八年级上·河北石家庄·期末）定义：已知，都是实数，若，则称与是关于3的“实验数”．
(1)4与_____是关于3的“实验数”，与是关于3的“实验数”，则是_____，表示的值的点落在数轴上的位置位于_____．
(2)若，判断与是否是关于3的“实验数”，并说明理由．
9．（24-25八年级上·甘肃兰州·期末）计算：．
10．（23-24八年级下·云南普洱·期末）阅读理解:
爱思考的张华在做题时遇到这样一个问题：已知，求的值．
他是这样分析与解答的：
，即
请你根据张华的分析过程，解决如下问题：
(1)计算：；
(2)若，求的值．
压轴题—强化解题技能
11．（24-25八年级上·江苏南京·期末）如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．连接、、、．若正方形的面积为，阴影部分的面积为．则的长度为（ ）
A． B． C． D．
12．（23-24八年级上·甘肃兰州·期末）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
13．（23-24八年级上·四川眉山·期末）化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
14．（24-25八年级上·福建三明·期末）计算结果是 ．
15．（24-25八年级上·江西抚州·期末）若，求的值是 ．
16．（24-25八年级上·福建泉州·期末）我国古代数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理，而且对勾股定理进行理论证明．三国时期，赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用形数结合的方法对勾股定理进行详细证明，这幅．“勾股圆方图”就是著名的“赵爽弦图”．如图，小明利用正方形纸张画出内接的“赵爽弦图”，正方形的各顶点均在正方形的边上．记正方形、正方形、正方形的面积分别为．若正方形的边长为，则 ．
17．（24-25八年级上·上海徐汇·期末）已知，如图：是等腰直角三角形，动点P在斜边所在的直线上，以为直角边作等腰直角三角形，其中，探究并解决下列问题：
(1)如图①，若点P在线段上，且，，则：
①线段__________，__________；
②猜想：，，三者之间的数量关系为__________；
(2)如图②，若点P在的延长线上，在（1）中所猜想的结论仍然成立，请你给出证明过程；
(3)若动点满足，求的值．
18．（24-25八年级上·四川绵阳·期末）已知，在等边中，点是射线上一点，连接．
(1)如图1，，请求解线段的长；
(2)如图2，点在线段上，若点为延长线上一点，满足，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，，用等式表示线段、之间的数量关系，并证明；
(3)在（2）条件下，点是线段延长线上一点，若为等腰三角形时，请直接写出的值．
19．（24-25八年级上·湖南邵阳·期末）阅读下列解题过程： ，请解答下列问题：
(1)观察上面解题过程，计算
(2)请直接写出的结果．
(3)利用上面的解法，请化简：
20．（24-25八年级上·河南平顶山·期末）计算
(1) (2)
