2024-2025学年浙教版数学八年级下学期期末复习知识串讲（优等生培优版）
第4章 平行四边形
（思维导图+知识梳理+易错点拨+27大考点讲练+优选真题难度分层练 共101题）
讲义简介 2
思维导图指引 3
章节知识回顾梳理 3
知识点梳理01：平行四边形的定义 3
知识点梳理02：平行四边形的性质定理 3
知识点梳理03：平行四边形的判定定理 4
知识点梳理04：平行线间的距离 4
知识点梳理05：三角形的中位线 5
知识点梳理06：多边形内角和、外角和 5
易错考点点拨汇总 5
易错知识点01：平行四边形的定义与性质 5
易错知识点02：行四边形的判定 6
易错知识点03：特殊平行四边形（矩形、菱形、正方形） 6
易错知识点04：三角形的中位线定理 7
易错知识点05：综合应用与几何变换 7
易错知识点06：典型错误题型示例 7
期末真题汇编考点讲练 7
期末考向一：多边形 7
重点考点讲练01：多边形截角后的边数问题 7
重点考点讲练02：多边形对角线的条数问题 9
重点考点讲练03：对角线分成的三角形个数问题 11
重点考点讲练04：多边形内角和问题 12
重点考点讲练05：正多边形的内角问题 15
重点考点讲练06：多(少)算一个角问题 17
重点考点讲练07：多边形截角后的内角和问题 18
重点考点讲练08：复杂图形的内角和 20
重点考点讲练09：正多边形的外角问题 22
重点考点讲练10：多边形外角和的实际应用 24
重点考点讲练11：多边形内角和与外角和综合 26
重点考点讲练12：平面镶嵌 28
期末考向二：中心对称 30
重点考点讲练13：根据中心对称的性质求面积、长度、角度 30
重点考点讲练14：在方格纸中补画图形使之成为中心对称图形 33
重点考点讲练15：中心对称图形规律问题 36
重点考点讲练16：已知两点关于原点对称求参数 39
重点考点讲练17：按图形的变换要求画出另一个图形 40
期末考向三：平行四边形的判定定理 45
重点考点讲练18：求与已知三点组成平行四边形的点的个数 45
重点考点讲练19：全等三角形拼平行四边形问题 54
重点考点讲练20：利用平行四边形的判定与性质求解 56
重点考点讲练21：利用平行四边形性质和判定证明 63
重点考点讲练22：平行四边形性质和判定的应用 68
期末考向四：三角形的中位线 74
重点考点讲练23：与三角形中位线有关的求解问题 74
重点考点讲练24：与三角形中位线有关的证明 77
重点考点讲练25：三角形中位线的实际应用 82
期末考向五：反证法 90
重点考点讲练26：反证法证明中的假设 90
重点考点讲练27：用反证法证明命题 91
优选真题难度分层练 95
中档题—夯实基础能力 95
压轴题—强化解题技能 100
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知识点梳理01：平行四边形的定义
平行四边形：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 平行四边形ABCD记作“口ABCD”，读作“平行四边形ABCD”.
【细节剖析】平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是它的对称中心.
知识点梳理02：平行四边形的性质定理
【高频考点精讲】
平行四边形的对角相等；
平行四边形的对边相等；
平行四边形的对角线互相平分；
【细节剖析】（1）平行四边形的性质定理中边的性质可以证明两边平行或两边相等；角的性质可以证明两角相等或两角互补；对角线的性质可以证明线段的相等关系或倍半关系.
（2）由于平行四边形的性质内容较多，在使用时根据需要进行选择.
（3）利用对角线互相平分可解决对角线或边的取值范围的问题，在解答时应联系三角形三边的不等关系来解决.
知识点梳理03：平行四边形的判定定理
1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
2.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
3.两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
4.两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
5.对角线互相平分的四边形是平行四边形.
【细节剖析】这些判定方法是学习本章的基础，必须牢固掌握，当几种方法都能判定同一个
行四边形时，应选择较简单的方法.
（2）这些判定方法既可作为判定平行四边形的依据，也可作为“画平行四边形”的依据.
知识点梳理04：平行线间的距离
1.两条平行线间的距离：
（1）定义：两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线间的距离.注：距离是指垂线段的长度，是正值.
2．平行线性质定理及其推论
夹在两条平行线间的平行线段相等.
平行线性质定理的推论：
夹在两条平行线间的垂线段相等.
知识点梳理05：三角形的中位线
三角形的中位线
1．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.
2．定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.
【细节剖析】（1）三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系.
（2）三角形的三条中位线把原三角形分成可全等的4个小三角形.因而每个小三角形的周长为原三角形周长的，每个小三角形的面积为原三角形面积的.
（3）三角形的中位线不同于三角形的中线.
知识点梳理06：多边形内角和、外角和
边形的内角和为(－2)·180°(≥3)．
【细节剖析】(1)内角和定理的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和求其边数；
(2)正多边形的每个内角都相等，都等于；
多边形的外角和为360°．边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关.
易错知识点01：平行四边形的定义与性质
定义混淆
易错点：误认为“一组对边平行且相等”或“两组对角相等”可以直接作为平行四边形的定义。
纠正：平行四边形的定义是两组对边分别平行，其他性质（如对边相等、对角相等）均是由定义推导出的性质，不能直接作为定义使用。
性质应用错误
边与角的性质：解题时忽略“对边相等”“对角相等”的隐含条件。
示例：若已知平行四边形一个角为60°，误认为邻角也为60°（正确：邻角互补，应为120°）。
对角线性质：对角线互相平分，但误认为对角线相等（仅矩形、正方形对角线相等）。
示例：在非矩形的平行四边形中，直接使用对角线相等解题导致错误。
易错知识点02：行四边形的判定
判定条件混淆
易错点：将性质当作判定条件使用。例如，用“对角相等”直接判定平行四边形（需结合其他条件）。
正确判定方法：
两组对边分别平行；
一组对边平行且相等；
两组对边分别相等；
对角线互相平分；
两组对角分别相等（需结合其他条件）。
逻辑不严谨
示例：证明四边形是平行四边形时，仅说明“一组对边平行”而忽略“另一组对边也平行”或“这组对边相等”，导致判定不完整。
易错知识点03：特殊平行四边形（矩形、菱形、正方形）
矩形与菱形的混淆
易错点：误将矩形的性质（如对角线相等）套用到菱形上，或反之。
关键区别：
矩形：四个角均为直角，对角线相等且平分。
菱形：四条边相等，对角线垂直且平分对角。
正方形：同时具有矩形和菱形的所有性质。
正方形判定错误
易错点：直接认为“既是矩形又是菱形的四边形是正方形”，但需注意前提条件（如邻边相等或对角线垂直）。
正确判定：
先证明是矩形，再证明邻边相等；
先证明是菱形，再证明有一个角是直角。
对角线性质应用错误
示例：在菱形中，已知边长为5，对角线长为6，误用勾股定理计算另一条对角线时未除以2（正确：对角线互相平分，半长分别为3和未知，由勾股定理得另一对角线为8）。
易错知识点04：三角形的中位线定理
中位线与中线的混淆
易错点：误将中位线（连接两边中点的线段）与中线（连接顶点与对边中点的线段）混淆。
关键结论：
三角形中位线平行于第三边且等于第三边的一半；
中位线定理的逆定理需谨慎使用（需附加平行条件）。
多中点问题遗漏条件
示例：在多边形中，已知多个中点但未构造完整中位线，导致无法找到平行或比例关系。
易错知识点05：综合应用与几何变换
动态问题分析不足
易错点：在涉及平移、旋转的题目中，忽略平行四边形对称性和不变性（如旋转后对边仍平行）。
应对：画图辅助分析，标出旋转角或平移距离。
辅助线缺失
常见场景：
连接对角线将平行四边形转化为三角形；
作高将问题转化为直角三角形；
平移线段构造中位线或全等三角形。
易错知识点06：典型错误题型示例
条件遗漏
题目：“已知四边形ABCD的对角线AC与BD互相平分，添加一个条件使其成为矩形。”
易错：直接填“AC=BD”而忽略需先证明四边形是平行四边形（需补充“四边形ABCD是平行四边形”）。
坐标系中的计算错误
示例：在坐标系中求平行四边形第四个顶点坐标时，未利用对边平行或对角线中点公式，导致坐标错误。
期末考向一：多边形
重点考点讲练01：多边形截角后的边数问题
【母题精讲】（22-23八年级上·黑龙江牡丹江·期末）一个多边形的外角和是内角和的，若这个多边形截去一个角后，则所形成的多边形是 边形．
【答案】六或七或八
【思路点拨】首先求得多边形的边数，再分三种情况讨论即可。
【规范解答】解：设多边形的边数为，依题意，得：
，
解得：，
如图，剪切有下列三种情况：
①不经过顶点剪，则所形成的多边形是八边形；
②只过一个顶点剪，则所形成的多边形是七边形；
③过两个相邻顶点剪，则所形成的多边形是六边形。
故答案为：六或七或八。
【训练1】（20-21八年级上·河北唐山·期末）一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是，则原来多边形的边数是（ ）
A． B． C．或 D．或或
【答案】D
【思路点拨】首先求出截角后的多边形边数，然后再求原来的多边形边数．
【规范解答】解：设截角后的多边形边数为n，则有：（n-2）×180°=1620°，解得：n=11，
∴由下面的图可得原来的边数为10或11或12：
故选D．
【训练2】（22-23八年级上·四川自贡·期末）将一个四边形截去一个角后，它不可能是（ ）
A．六边形 B．五边形 C．四边形 D．三角形
【答案】A
【规范解答】试题解析：当截线为经过四边形对角2个顶点的直线时，剩余图形为三角形；
当截线为经过四边形一组对边的直线时，剩余图形是四边形；
当截线为只经过四边形一组邻边的一条直线时，剩余图形是五边形；
∴剩余图形不可能是六边形，
故选A.
重点考点讲练02：多边形对角线的条数问题
【母题精讲】（22-23八年级下·湖南株洲·期末）如图，边形，从边形的一个顶点出发可以作 条对角线．若过边形的一个顶点有7条对角线，边形没有对角线，边形对角线的总条数等于边数，则 ．
【答案】 12
【思路点拨】从边形的一个顶点出发连对角线，不可以连自身和相邻的两个点，所以可以连的是个点，边形有n个顶点，一共可以连条线，但是每条线都重复了一次，所以还要除以2，据此求解即可．
【规范解答】解：边形，从边形的一个顶点出发可以作条对角线，
过边形的一个顶点有7条对角线，则这个n边形是十边形，，
边形没有对角线，则它是三角形，，
边形对角线的总条数等于边数，则，
解得：（舍去）或，
∴，
故答案为：，12．
【训练1】（22-23八年级下·安徽淮北·期末）一个多边形的每一个内角都比相邻的外角的3倍还多20°，则这个多边形对角线的条数是（ ）
A．27 B．20 C．9 D．14
【答案】A
【思路点拨】设相邻外角的度数为，则内角为；再根据相邻内角和外角的关系列方程可得该多边形为9边形，然后再根据多边形的对角线公式求解是解答本题的关键．
【规范解答】解：设相邻外角的度数为，则内角为，
由题意可得：，解得：；
所以该多边形的边数为
∴这个多边形对角线的条数是．
故选A．
【训练2】（22-23八年级下·浙江绍兴·期末）在学习多边形的相关知识时，小张同学和小王同学对老师布置“探究多边形的对角线条数”的作业很感兴趣，小张同学探究得到了边形的对角线条数的公式，并通过上网查证自己探究的结论是正确的．下图是两位同学进行交流的情景．小王同学把哪个多边形对角线的条数数错了？请你通过计算或者画图来说明．
【答案】对角线为10条的数错了，见解析
【思路点拨】方法一：用公式做，已知边形的对角线条数为，若边形的对角线条数为10，则，，不是完全平方数，因为为正整数，所以方程的解不符合题意，所以多边形的对角线条数为10条是错误的．
方法二：画图说明，边形的对角线条数随的增大而增大，画出六边形、七边形的对角线条数分别9条、14条（如下图），10个于9与14之间，所以10条是错误的．
【规范解答】解：对角线为10条的数错了．
方法一：用公式做，
已知边形的对角线条数为，
若边形的对角线条数为10，则，
化简得，
，不是完全平方数，因为为正整数，所以方程的解不符合题意，
所以多边形的对角线条数为10条是错误的．
（直接解得，，两个解均不符合题意，由此得到这个多边形的对角线条数为10条是错误的）
或：若边形的对角线条数为14，则，解得（舍去），．
所以对角线是14条是正确的，10条是错误的．
方法二：画图说明
边形的对角线条数随的增大而增大，画出六边形、七边形的对角线条数分别9条、14条（如下图），
10个于9与14之间，所以10条是错误的．
六边形： 七边形：
重点考点讲练03：对角线分成的三角形个数问题
【母题精讲】（22-23七年级上·重庆沙坪坝·期末）过多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成4个三角形，那么这个多边形是（ ）
A．六边形 B．七边形 C．八边形 D．九边形
【答案】A
【思路点拨】根据n边形从一个顶点出发可引出条对角线，可组成个三角形，依此可得n的值．
【规范解答】解：设这个多边形是n边形，
由题意得，，
解得：，
即这个多边形是六边形，
故选：A
【训练1】（22-23八年级上·湖北恩施·期末）我们知道，三角形的稳定性在日常生活中被广泛运用.要使不同的木架不变形，四边形木架至少要再钉1根木条；五边形木架至少要再钉2根木条；…按这个规律，要使边形木架不变形至少要再钉 根木条.（用表示，为大于3的整数）
【答案】n-3
【思路点拨】根据三角形具有稳定性，需要的木条数等于过多边形的一个顶点的对角线的条数．
【规范解答】过n边形的一个顶点可以作（n-3）条对角线，把多边形分成（n-2）个三角形，
所以，要使一个n边形木架不变形，至少需要（n-3）根木条固定．
故答案为：（n-3）．
【训练2】（22-23七年级下·四川巴中·期末）从一个边形的同一个顶点出发，分别连结这个顶点与其余各顶点，若把这个多边形分割为个三角形，则的值是 ．
【答案】8
【思路点拨】根据从一个n边形的某个顶点出发，可以引（n-3）条对角线，把n边形分为（n-2）的三角形作答．
【规范解答】设多边形有n条边，
则n 2=6，
解得n=8.
故答案为8.
重点考点讲练04：多边形内角和问题
【母题精讲】（24-25八年级上·河南新乡·期末）如图， 度．
【答案】360
【思路点拨】本题考查了三角形外角性质和四边形内角和定理，解题关键是利用三角形外角性质将所求的六个角转化为四边形的四个内角．
首先根据三角形外角的性质可知，这几个角是一个四边形的四个内角，再根据四边形的内角和即可求解．
【规范解答】解：设与交点为，与交点为，
在中，；
在中，．
∵，
∴．
故答案为：360．
【训练1】（21-22八年级上·河南信阳·期末）如图，在四边形中，，，E，F分别是，上的点，当的周长最小时，的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【思路点拨】本题考查了轴对称—最短路径问题，四边形内角和定理，三角形外角的性质．首先作点A关于的对称点M，N，延长到点G，根据轴对称的性质可得，，，，由“两点之间线段最短”可知当M，F，E，N四点共线时，的周长最小，由四边形内角和为可得，再由三角形的外角等于不相邻的两个内角之和，进行角的和差计算，即可得到答案．
【规范解答】解：如图，作点A关于的对称点M，N，延长到点G，
∴，，
∴，，
∴的周长，
∴当M，F，E，N四点共线时，的周长最小，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴
．
故选：A．
【训练2】（22-23七年级下·河南周口·期末）阅读小明和小红的对话，解决下列问题．
(1)这个“多加的锐角”是__________度．
(2)小明求的是几边形内角和？
(3)若这是个正多边形，则这个正多边形的一个内角是多少度？
【答案】(1)
(2)小明求的是边形内角和
(3)这个正多边形的一个内角是
【思路点拨】本题考查了多边形的内角和，一元一次方程的应用．熟练掌握多边形的内角和，一元一次方程的应用是解题的关键．
（1）由题意知，多边形的内角和为，是的整数倍，根据，计算求解即可；
（2）由题意知，，计算求解即可；
（3）根据这个正多边形的一个内角是，计算求解即可．
【规范解答】（1）解：由题意知，多边形的内角和为，是的整数倍，
∴这个“多加的锐角”是 ，
故答案为：；
（2）解：由题意知，，
解得，，
∴小明求的是边形内角和；
（3）解：由题意知，这个正多边形的一个内角是，
∴这个正多边形的一个内角是．
重点考点讲练05：正多边形的内角问题
【母题精讲】（23-24七年级下·河南南阳·阶段练习）用一条宽相等的足够长的纸条，打一个结，如图1所示，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图2所示的正五边形，则的度数为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【思路点拨】本题主要考查了三角形的内角和外角之间的关系以及等腰三角形的性质．根据多边形的内角和公式，求出五边形内角的度数，再根据等腰三角形的性质求出和的度数，最后根据三角形外角的性质解答即可．
【规范解答】解：因为正五边形的每个内角都相等，边长相等，
所以，
∵正五边形的每条边相等，
∴和是等腰三角形，
∴，
∴．
∴．
故选：B．
【训练1】（22-23八年级上·浙江台州·期末）在平面内有个点，其中每三个点都能构成等腰三角形，我们把具有这样性质的个点构成的点集称为爱尔特希点集．如图，四边形的四个顶点构成爱尔特希点集，且，则 ，若平面内存在一个点与也构成爱尔特希点集，则 ．
【答案】 /度 或
【思路点拨】本题考查了等腰三角形的性质，正多边形的内角，三角形内角和定理；由题意知为某正五边形的任意四个顶点时，即满足题意．
【规范解答】解：依题意由题意知为某正五边形的任意四个顶点时，
∴．
当为正五边形的中心点时即满足题意，
当为正五边形的顶点时，．
故答案为：，或．
【训练2】（22-23八年级下·四川成都·期末）足球有12个正五边形，20个正六边形，一共32个面．通常由黑白两种颜色组成．之所以如此设计，是因为用正六边形的两个内角和正工边形的一个内角加起来略微小于，这样由平面折叠而成的多面体充气后最终就呈现为球形．如图，在折叠前的平面上，拼接点处的缝隙的大小为 ．
【答案】/12度
【思路点拨】本题考查正多边形的性质，求出正六边形，正五边形的每个内角度数，即可求出的度数，关键是掌握正多边形的每个内角相等．
【规范解答】解：∵正六边形的每个内角，
正五边形的每个内角，
∴，
故答案为：．
重点考点讲练06：多(少)算一个角问题
【母题精讲】（20-21八年级下·四川达州·期末）已知一个多边形多算了一个内角得到内角和是1960°，则这个多边形是（ ）
A．十一边形 B．十二边形 C．十三边形 D．十五边形
【答案】B
【思路点拨】设这个多边形的边数为n，多算的一个内角为x°，利用多边形的内角和定理和已知条件列出等式，根据多边形的内角的性质列出不等式，利用不等式的整数解即可求得结论．
【规范解答】解：设这个多边形的边数为n，多算的一个内角为x°，
则：（n-2） 180+x=1960，
∴x=2320-180n．
∵0°＜x＜180°，
∴0＜2320-180n＜180，
解得
∵n为正整数，
∴n=12．
故选：B．
【训练1】（22-23八年级上·浙江宁波·期末）下列说法正确的是（ ）．
①若 ，则一元二次方程 必有一根为 -2．
②已知关于x 的方程 有两实根，则k 的取值范围是 ﹒
③一个多边形对角线的条数等于它的边数的 4倍，则这个多边形的内角和为1620度 ．
④一个多边形剪去一个角后，内角和为1800度 ，则原多边形的边数是 11或 12．
A．①③ B．①②③ C．②④ D．②③④
【答案】A
【思路点拨】①由可得4a-2b+c=0，当x=-2时，4a-2b+c=0成立，即可判定；②运用一元二次方程根的判别式求出k的范围进行比较即可判定；③设这个多边形的边数为n，根据多边形内角和定理求得n即可判定；④分剪刀所剪的直线过多边形一个顶点、两个顶点和不过顶点三种剪法进行判定即可．
【规范解答】解：①b=2a+c，则4a-2b+c=0，
一元二次方程必有一个根为-2．故①说法正确；
②：有两实数根，
:原方程是一元二次方程．
，故②说法错误；
③设这个多边形的边数为n，
则
解得n=11或0(舍去）
:这个多边形是11边形．
:这个多边形的内角和为：
(11-2)×180°=9×180°=1620°．
故③说法正确；
一个多边形剪去一个角的剪法有过多边形一个顶点、两个顶点和不过顶点三种剪法，会有三个结果，故④错．
故选：A．
【训练2】（22-23八年级下·甘肃张掖·期末）小明在计算内角和时，不小心漏掉了一个内角，其和为1160，则漏掉的那个内角的度数是 ．
【答案】100°
【思路点拨】根据n边形的内角和是（n-2） 180°，少计算了一个内角，结果得1160，可以解方程（n-2） 180°≥1160，由于每一个内角应大于0°而小于180度，则多边形的边数n一定是最小的整数值，从而求出多边形的边数，内角和，进而求出少计算的内角．
【规范解答】解：设多边形的边数是n．
依题意有（n-2） 180°≥1160°，
解得：
则多边形的边数n=9；
九边形的内角和是（9-2） 180=1260度；
则未计算的内角的大小为1260-1160°=100°．
故答案为：100°
重点考点讲练07：多边形截角后的内角和问题
【母题精讲】（24-25八年级上·湖北荆州·期末）一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是，则原来多边形的边数是（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或或
【答案】D
【思路点拨】先根据多边形的内角和公式求出截出一个角后的多边形的边数，再根据截出一个角后边数增加，不变，减少讨论得解．
【规范解答】解：设多边形截去一个角的边数为，
则，
解得，
多边形截去一个角后边数有增加，不变，减少，
原来多边形的边数是或或．
故选：．
【训练1】（20-21八年级下·河北保定·期末）在一个凸n边形的纸板上切下一个三角形后，剩下一个内角和为1080°的多边形，则n的值为 ．
【答案】7或8或9
【思路点拨】根据多边形的内角和公式列方程求出切下一个三角形后多边形的边数，再分新多边形的边数比原多边形的边数增加1，减少1，不变三种情况求解．
【规范解答】解：设切下一个三角形后多边形的边数x，
由题意得，（x﹣2）×180°＝1080°，
解得x＝8，
所以，n＝8﹣1＝7，
n＝8+1＝9，
或n＝x＝8．
故答案为：7或8或9．
【训练2】（20-21八年级下·河北石家庄·期末）如图，沿着虚线将四边形纸片剪成两部分，如果所得两个图形的内角和相等，则符合条件的剪法是（ ）
A．①② B．①③ C．②④ D．③④
【答案】B
【思路点拨】根据多边形内角和定理逐一判断即可得答案．
【规范解答】三角形内角和为180°，四边形内角和为360°，五边形内角和为（5-2）×180°=540°，
①剪开后的两个图形是四边形，它们的内角和都是360°，符合条件，
②剪开后的两个图形是五边形和三角形，它们的内角和分别是540°和180°，不符合条件，
③剪开后的两个图形都是三角形，它们的内角和是180°，符合条件，
④剪开后的两个图形是三角形和四边形，它们的内角和分别是180°和360°，不符合条件，
∴符合条件的剪法是①③，
故选：B．
重点考点讲练08：复杂图形的内角和
【母题精讲】（24-25八年级上·海南三亚·期末）如图，顺次连接图中六个点，得到以下图形，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【思路点拨】本题考查了复杂图形的内角和，熟练掌握三角形内角和为，四边形内角和为是解题的关键．连接，记与交于点，利用三角形内角和定理推出，再将转化为四边形的内角和，即可解答．
【规范解答】解：如图，连接，记与交于点，
，，
，
又，
，
，
，
，
．
故选：C．
【训练1】（19-20七年级下·江苏扬州·期末）如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G＝ ．
【答案】540°
【思路点拨】连接ED，由三角形内角和可得∠A+∠B=∠BED+∠ADE，再由五边形的内角和定理得出结论．
【规范解答】连接ED，
∵∠A+∠B=180°-∠AOB，∠BED+∠ADE=180°-∠DOE，∠AOB=∠DOE，
∴∠A+∠B=∠BED+∠ADE，
∵∠CDE+∠DEF+∠C+∠F+∠G=(5-2) ×180°=540°，
即∠CDO+∠ADE+BED+∠BEF+∠C+∠F+∠G=540°，
∴∠A+∠B+∠C+∠CDO+∠BEF+∠F+∠G=540°．
故答案为：540°．
【训练2】（22-23七年级下·江苏扬州·期中）如图，六边形ABCDEF内部有一点G，连结BG、DG. 若，则∠BGD的大小为 度.
【答案】80
【思路点拨】由多边形的内角和公式，即可求得六边形ABCDEF的内角和，又由∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=440°，即可求得∠GBC+∠C+∠CDG的度数，继而求得答案．
【规范解答】∵六边形ABCDEF的内角和为：180°×（6-2）=720°，且∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=440°，
∴∠GBC+∠C+∠CDG=720°-440°=280°，
∴∠BGD=360°-（∠GBC+∠C+∠CDG）=80°．
故答案是：80°．
重点考点讲练09：正多边形的外角问题
【母题精讲】（22-23八年级上·山西吕梁·期末）若一个正多边形的外角与其相邻的内角之比为，则该正多边形的内角和的度数为 ．
【答案】/1800度
【思路点拨】设正多边形的每个外角度数为x，则与它相邻的内角的度数为，根据邻补角的性质列出方程得到，再根据多边形的外角和为，得到出多边形的边数为12，最后利用多边形的内角和公式即可计算该正多边形的内角和的度数．
【规范解答】解：设正多边形的每个外角度数为x，则与它相邻的内角的度数为，
，
，
这个多边形的每个外角是，
该正多边形的边数为，
该正多边形的内角和的度数为，
故答案为：．
【训练1】（20-21七年级下·云南昆明·期末）如图是一块正多边形的碎瓷片，经测得且，则这个正多边形的边数是 ．
【答案】12
【思路点拨】根据瓷片为正多边形及，可知正多边形的外角为，进而可求得正多边形的边数．
【规范解答】解：如图，延长DC，可知∠ECB为正多边形的外角，
∵BC//AD，
∴∠ECB=∠ACD=30°，
∵正多边形的外角和为360°，∠ECB为正多边形的一个外角
∴正多边形的边数为：，
故答案为：12．
【训练2】（20-21七年级下·河南南阳·期末）如图，五边形中，，则的度数是 ．
【答案】
【思路点拨】根据补角的性质，得；再根据多边形外角和的性质计算，即可得到答案．
【规范解答】如图，延长，
∴
故答案为：．
重点考点讲练10：多边形外角和的实际应用
【母题精讲】（22-23八年级下·四川达州·期末）如图，的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【思路点拨】题目主要考查三角形外角的性质及多边形的外角和，根据题意，利用三角形外角得出，然后利用多边形外角和求解即可．
【规范解答】解：如图所示：
∵，
∴，
∵，
∴，
故选：D．
【训练1】（22-23八年级上·贵州遵义·期末）一个正多边形，它的一个内角恰好是一个外角的倍，则这个正多边形的边数是（ ）
A．八 B．九 C．十 D．十二
【答案】C
【思路点拨】可设正多边形一个外角为x，则一个内角为4x，根据一个内角和一个外角互补列方程解答即可求出一个外角的度数，再根据多边形的外角和为360°解答即可．
【规范解答】设正多边形一个外角为x，则一个内角为4x，根据题意得：
x+4x=180°
x=36°
360°÷36°=10
故这个正多边形为十边形．
故选：C
【训练2】（22-23八年级上·全国·单元测试）如图，小明从点A出发，前进10m后向右转20°，再前进10m后又向右转20°，这样一直下去，直到他第一次回到出发点A为止，他所走的路径构成了一个多边形．
（1）小明一共走了多少米？
（2）这个多边形的内角和是多少度？
【答案】（1）小明一共走了180米；（2）这个多边形的内角和是2880度．
【思路点拨】（1）根据题意易得小明第一次回到出发点A需要向右转：360°÷20°=18（次），继而求得答案；
（2）根据多边形内角和公式进行求解即可得.
【规范解答】（1）∵所经过的路线正好构成一个外角是20度的正多边形，
∴360÷20=18，18×10=180（米），
答：小明一共走了180米；
（2）根据题意得：
（18﹣2）×180°=2880°，
答：这个多边形的内角和是2880度．
重点考点讲练11：多边形内角和与外角和综合
【母题精讲】（23-24八年级上·河南商丘·期末）已知一个边形的每一个外角都等于．
(1)该边形是否一定是正边形？______；（填“一定是”或“不一定是”）
(2)求这个边形的内角和；
(3)从这个边形的一个顶点出发，可以画出______条对角线．
【答案】(1)不一定是
(2)
(3)
【思路点拨】本题考查正多边形的定义，多边形的内角与外角，多边形的对角线，
（1）根据各边都相等，各角都相等的多边形是正多边形判断即可；
（2）先求出这个多边形的边数，再根据多边形的内角和公式计算即可；
（3）根据从边形的一个顶点出发，可以画出条对角线，据此列式解答即可；
熟记多边形的内角和、外角和以及对角线的条数的求法是解题的关键．
【规范解答】（1）解：∵一个边形的每一个外角都等于，
∴该边形的每一个内角都等于：，
但该n边形的各边不一定都相等，
故该边形不一定是正边形，
故答案为：不一定是；
（2）∵多边形的外角和是，
∴，
∴内角和是：，
∴这个边形的内角和为；
（3）从边形的一个顶点出发，可以画出条对角线，
∵，
∴，
∴从这个边形的一个顶点出发，可以画出条对角线．
故答案为：．
【训练1】（23-24八年级上·湖北黄石·期末）一个正多边形的内角和是，则它的一个外角是 度．
【答案】
【思路点拨】本题主要考查了多边形内角和及外角和定理，任何多边形的外角和是，首先根据多边形的内角和定理求得多边形的边数，然后求出每个外角的度数，进而求出答案，熟练掌握多边形的外角和与内角和公式是解题的关键．
【规范解答】解：设正多边形的边数为，
由题意得：，解得：，
∴正十四边形的每个外角为：，
故答案为：．
【训练2】（22-23八年级下·河北保定·期末）某数学兴趣小组在学习了“多边形内角和与外角和”后深入思考，继续探究多边形的一个外角与它不相邻的内角之和具有的数量关系．
(1)如图1，与，之间的数量关系为______．若，，则______．
(2)如图2，是四边形ABCD的外角，求证：．
(3)若n边形的一个外角为，与其不相邻的内角之和为，则x，y与n的数量关系是______．
【答案】(1)，；
(2)见解析；
(3)．
【思路点拨】本题考查了多边形内角与外角，解题的关键是掌握n边形的内角和公式：（且n为整数）．
（1）根据三角形的内角和和邻补角的性质即可得出答案；
（2）根据四边形的内角和和邻补角的性质即可得出结论；
（3）根据n边形的内角和和邻补角的性质即可得出答案．
【规范解答】（1）解：∵，，
∴；
∵，，
∴
故答案为：，；
（2）证明：∵，，
∴，
∴．
（3）解：∵n边形的某一个外角的度数是，
∴与这个外角相邻的内角是，
∵与这个外角不相邻的所有内角的和是，
∴，
整理得：，
故答案为：．
重点考点讲练12：平面镶嵌
【母题精讲】（23-24八年级下·河南周口·期末）用一些全等的正五边形按如图的方式可以拼成一个环状，使相邻的两个正五边形有公共顶点，图中所示的是前三个正五边形拼接的情况（每两个正五边形所夹的锐角都相等，即），拼接一圈后，若中间形成一个正六边形，则每两个正五边形所夹的锐角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【思路点拨】本题考查了正多边形，多边形的内角和等知识，求出正五边形和正六边形的每个内角，即可求解，掌握多边形的内角和公式是解题的关键．
【规范解答】解：正五边形的每个内角为：
，
正六边形的每个内角为：
，
∴每两个正五边形所夹的锐角为：
，
故选：C．
【训练1】（23-24八年级下·河南郑州·期末）用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间没有空隙、也不重叠地铺成一片，就是平面图形的镶嵌．下列形状的瓷砖，不可以镶嵌平面的是（ ）
A．正方形 B．长方形 C．正六边形 D．正八边形
【答案】D
【思路点拨】此题考查镶嵌问题，正确掌握各正多边形的每个内角的度数及镶嵌的计算方法是解题的关键．进行平面镶嵌就是在同一顶点处的几个多边形的内角和应是，因此我们只需要验证是不是上面所给的几个正多边形的一个内角度数的整数倍即可．
【规范解答】A、正方形每个内角的度数为，，所以正方形可以镶嵌平面,故该选项不符合题意；
B、长方形每个内角的度数为，，所以长方形可以镶嵌平面,故该选项不符合题意；
C、正六边形的每个内角的度数为，，所以正六边形可以镶嵌平面,故该选项不符合题意；
D、正八边形的每个内角的度数为，，所以正六边形不可以镶嵌平面,故该选项符合题意．
故选：D．
【训练2】（23-24八年级上·山东烟台·期末）小颖家买了新楼，她想在边长相同的①正三角形、②正方形、③正五边形、④正六边形四种瓷砖中，选择一些瓷砖进行地面的镶嵌（彼此之间不留空隙、不重叠）．
(1)她想选用两种瓷砖，若已选用正三角形瓷砖，则可以再选择的是______瓷砖（填写序号）；
(2)她发现仅用正五边形瓷砖不能镶嵌地面，若将三块相同的正五边形瓷砖按如图所示放置，求的度数．
【答案】(1)②或④，
(2)．
【思路点拨】此题考查镶嵌问题，正确掌握各正多边形的每个内角的度数及镶嵌的计算方法是解题的关键．
（1）进行平面镶嵌就是在同一顶点处的几个多边形的内角和应是，因此我们只需要验证是不是上面所给的几个正多边形的一个内角度数的整数倍即可；
（2）求出正五边形的三个内角和，再用减掉即可．
【规范解答】（1）解：正三角形一个内角是，
正方形的一个内角是，
正五边形的一个内角是，
正六边形的一个内角是，
∴可以进行地面的镶嵌是②或④．
（2）解：正五边形的每个内角度数为．
所以，．
期末考向二：中心对称
重点考点讲练13：根据中心对称的性质求面积、长度、角度
【母题精讲】（23-24八年级下·江西宜春·期末）（1）解方程：；
（2）如图，与关于C点成中心对称，若，，，求的长．
【答案】（1）；（2）
【思路点拨】本题考查了解一元二次方程-因式分解法，中心对称图形的性质，全等的性质，勾股定理等知识．
（1）利用因式分解的方法解出方程即可；
（2）根据与关于C点成中心对称，可得，即可得，，，进而有，在中，利用勾股定理即可求解．
【规范解答】（1）解：∵，
∴，
则或，
解得；
（2）解：∵与关于C点成中心对称，
∴，
∴，，，
∵，，，
∴，，，
∴，
∴在中，有：．
即．
【训练1】（22-23八年级下·福建宁德·期末）如图，直线：与y轴交于点A，与直线：交于点B，直线与y轴交于点C，点在射线上，过点P作直线轴，垂足为E，直线交直线于点Q．
(1)求点B的坐标及线段的长；
(2)当点P在线段的延长线上，且线段与关于点B成中心对称时，求点P 的坐标；
(3)当时，求m的取值范围．
【答案】(1)，
(2)
(3)或
【思路点拨】（1）根据直线上点的坐标特征求得A、C的坐标，即可求得，解析式联立，解方程组即可求得B点的坐标；
（2）根据题意得出，即可得到，解得m的值，即可求得P的坐标；
（3）根据，借助图象即可得到当时，则，解得；当时，则，解得．
【规范解答】（1）在直线中，令，则，
∴，
在直线中，令，则，
∴，
∴，
解得，，
∴；
（2）设，则，
∵线段与关于点B成中心对称
∴，
∴，
解得，
∴；
（3）设，则，
由题意可知，，
当时，则，
解得；
当时，则，
解得，
综上，m的取值范围是或．
【训练2】（22-23八年级下·辽宁朝阳·期末）如图，与关于点成中心对称，，，，则 ．
【答案】1
【思路点拨】根据中心对称的性质，得出，，再根据勾股定理求出，即可求解．
【规范解答】解：∵与关于点成中心对称，，
∴，，
∵，，
∴根据勾股定理可得：，
∴，
故答案为：1．
重点考点讲练14：在方格纸中补画图形使之成为中心对称图形
【母题精讲】（23-24八年级下·浙江宁波·期末）如图，在的方格中，每个小正方形的边长为1，请按下列要求画出格点四边形（顶点均为小正方形的顶点）．
(1)在图1中画一个以为边的四边形，且该四边形为中心对称图形；
(2)在图2中画一个以为边，面积为8的菱形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【思路点拨】本题考查了中心对称图形、菱形、勾股定理与网格问题，熟练掌握中心对称图形和菱形是解题关键．
（1）结合网格和勾股定理，画出正方形即可得；
（2）结合网格和勾股定理，画出菱形即可得．
【规范解答】（1）解：如图，四边形即为所作．
（2）解：如图，菱形即为所作．
【训练1】（23-24八年级下·河北保定·期末）请按下列要求画图（每小问各画出一种即可）．
(1)在图1中添加1个正方形，使它成轴对称图形但不是中心对称图形．
(2)在图2中添加1个正方形，使它成中心对称图形但不是轴对称图形．
(3)在图3中改变1个正方形的位置，从而得到一个新图形，并使它既成中心对称图形，又成轴对称图形，在图4中画出符合条件的图形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【思路点拨】本题综合考查了中心对称图形及轴对称图形的性质，及其作图的方法，找对称轴及对称点是关键．
（1）根据轴对称图形的性质，先找出对称轴，再思考如何画图；
（2）先找一个中心，再根据中心对称的性质，画图即可；
（3）根据中心对称和轴对称的性质画一个图形．
【规范解答】（1）解：如图，
（2）解：如图，
（3）解：如图，
【训练2】（23-24八年级下·重庆南岸·期末）如图所示，在平面直角坐标系内，三个顶点坐标分别为，，．
(1)在图中，画出向右平移7个单位得到的；
(2)在图中，画出以点为对称中心，与成中心对称图形，并写出点，，的坐标；
(3)在轴上存在点，使得最短，直接写出点的坐标．
【答案】(1)作图见解析
(2)作图见解析，
(3)
【思路点拨】本题主要考查了平移作图、中心对称作图、最短路径问题等知识点，正确作出图形是解题的关键．
（1）先将三点向右平移7个单位得到，然后顺次连接即可；
（2）先根据中心对称作出的对应点，然后顺次连接即可完成作图，再读出，，即可；
（3）如图：作关于y轴的对称点,连接,与y轴的交点即为P点，然后根据图像确定点P的坐标即可．
【规范解答】（1）解：如图：即为所求．
（2）解：如图：即为所求；
．
（3）解：如图：作关于y轴的对称点,连接,与y轴的交点即为P点，由图像可得．
重点考点讲练15：中心对称图形规律问题
【母题精讲】（22-23八年级上·山东济南·期末）在平面直角坐标系中，点，的对称中心是点A，另取两点，．有一电子青蛙从点处开始依次作关于点A，B，C的循环对称跳动，即第一次跳到点关于点A的对称点处，接着跳到点关于点B的对称点处，第三次再跳到点关于点C的对称点处，第四次再跳到点关于点A的对称点处，…，则点的坐标为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【思路点拨】本题考查了坐标规律探究，中心对称，坐标与图形变化对称，利用中心对称找出坐标规律是解题的关键．
首先利用题目所给公式一次求出前几个点的坐标，→→→→→→→…由此得到的坐标和的坐标相同，的坐标和的坐标相同，即坐标以6为周期循环，利用这个规律即可求出点的坐标．
【规范解答】解：∵点关于点的对称点，
∴，
∴，，
∴，
同理可得点，，，，，…
∴点P每6次一循环，
∵
∴点与点坐标相同，即．
故选：D．
【训练1】（22-23八年级上·河北保定·期末）已知点，点，点是线段的中点，则，．在平面直角坐标系中有三个点，，，点关于点的对称点（即，，三点共线，且），关于点的对称点，关于点的对称点，…按此规律继续以，，三点为对称点重复前面的操作．依次得到点，，…，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【思路点拨】先利用定义依次求出各点，再总结规律即可求解．
【规范解答】解：由题意，，，，，，，， ……
可得每6次为一个循环，
∵，
∴点的坐标是，
故选：A．
【训练2】（22-23八年级下·江西抚州·期中）如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标为，，，各顶点的坐标为，，．
(1)在图中作出关于轴对称的图形；
(2)若与关于点成中心对称，则点的坐标是______；
(3)在轴上找一点，使得最小，并写出点的坐标．（不写解答过程，直接写出结果）
【答案】(1)作图见解析
(2)
(3)作图见解析，
【思路点拨】（1）由题意确定点，，的位置，再连线即可；
（2）根据中心对称的性质求解即可；
（3）作点关于轴的对称点，连接，交轴的交点即为所求的点．
【规范解答】（1）解：如图所示：
即为所求；
（2）解： 由与关于点成中心对称，如图所示，则与是对称点，
，，
点的横坐标为，纵坐标为，即点的坐标为，
故答案为：；
（3）解：如图所示：
点即为所求，．
重点考点讲练16：已知两点关于原点对称求参数
【母题精讲】（22-23八年级上·贵州毕节·期末）在平面直角坐标系中，若点与点关于原点对称，则点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【思路点拨】根据关于原点对称的两个点，横坐标、纵坐标分别互为相反数，求得的值，即可求解．
【规范解答】解：∵点与点关于原点对称，
∴,
∴,
∴在第三象限，
故选：C．
【训练1】（21-22八年级下·广东深圳·期末）若点P（a－1，5）与点Q（5，1－b）关于原点成中心对称，则a＋b＝ ．
【答案】2
【思路点拨】根据关于原点对称的性质得到a-1+5=0，5+1-b=0，求出a、b，问题得解．
【规范解答】解：∵点P（a－1，5）与点Q（5，1－b）关于原点成中心对称，
∴a-1+5=0，5+1-b=0，
∴a=-4，b=6，
∴a+b=2．
故答案为：2
【训练2】（20-21九年级上·河南·期末）已知点M（2+m，m﹣1）关于原点的对称点在第二象限，则m的取值范围是 ．
【答案】
【思路点拨】直接利用关于原点对称点的性质得出对应点，进而利用第二象限点的坐标特点得出答案．
【规范解答】解：点M（2+m，m﹣1）关于原点的对称点为：（﹣2﹣m，1﹣m），
∵（﹣2﹣m，1﹣m）在第二象限，
∴﹣2﹣m＜0，1﹣m＞0，
解得：﹣2＜m＜1．
故答案为：﹣2＜m＜1．
重点考点讲练17：按图形的变换要求画出另一个图形
【母题精讲】（19-20八年级下·山东济南·期末）在由边长为个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的位置如图所示，先作与关于原点中心对称的，再把向上平移个单位长度得到．
(1)作出和；
(2)与关于某点成中心对称，则对称中心的坐标是______．
【答案】(1)见解析
(2)
【思路点拨】（1）根据中心对称与平移的性质，画出和；
（2）连接则的中点即为所求．
【规范解答】（1）如图所示．如图所示．
（2）连接则的中点即为所求，
∵，
∴，
∴对称中心为；
【训练1】（22-23八年级下·北京昌平·期末）对于点和图形，若点关于图形上任意的一点的对称点为点，所有点组成的图形为，则称图形为点关于图形的“对称图形”．在平面直角坐标系中，已知点，，，．
(1)①在点，，中，是点关于线段的“对称图形”上的点有 ．
②画出点关于四边形的“对称图形”；
(2)点是轴上的一动点．
①若点关于四边形的“对称图形”与关于四边形的“对称图形”有公共点，求的取值范围；
②直线与轴交于点，与轴交于点，线段上存在点，使得点是点关于四边形的“对称图形”上的点，直接写出的取值范围
【答案】(1)①点E，点F，②图见解析．
(2)①，②或
【思路点拨】根据点关于图形的“对称图形”的定义，可以在图形上找几个特殊点（线段的端点），作出点关于这些特殊点的对称点，大体描绘图形的形状．
（1）①作出点关于点、的对称点、，得到点关于线段的“对称图形”是一条线段；
②先画出点关于四边形的四个顶点中心对称的对应点，再顺次连接可以得到点关于四边形的“对称图形”是一个正方形；
（2）①点关于四边形的“对称图形”也是一个正方形，与关于四边形的“对称图形”大小一样，只是随的变化左右移动，可以用数形结合求解；
②是动线段与动正方形的交点问题，沿用数形结合求解．
【规范解答】（1）解：①根据点关于图形的“对称图形”的定义，点关于线段的“对称图形”是线段，如图所示其中点，．故点，在线段上．
故答案为：点，点；
②点关于四边形的“对称图形”为四边形．
（2）①动点关于四边形的“对称图形”为四边形，如图所示．利用中点坐标公式可得到点，，，．四边形随的变化左右移动，当四边形与四边形有公共点时，应满足：
，
，
②要使得点是四边形上的点，需满足：
或，
或．
【训练2】（21-22八年级下·辽宁沈阳·期末）如图，平面直角坐标系中， 三个顶点的坐标分别为．
(1)平移到，其中点A的对应点的坐标为，请在图中画出；
(2)以点O为旋转中心，将按顺时针方向旋转得，请在图中画出；
(3)与关于某点成中心对称，请直接写出该点的坐标为____________．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)（－3，1）
【思路点拨】（1）利用点和点的坐标特征得到平移的方向和距离，然后利用此规律得到、的坐标，然后顺次连接即可；
（2）根据关于原点对称点的性质分别得到、、的坐标，然后顺次连接即可；
（3）如图，连接、、，则、、都经过点，故可知点为对称中心，再根据坐标系写出坐标即可．
【规范解答】（1）解：如图，即为所求；
（2）解：如图，即为所求；
（3）解：如图，可知与关于点成中心对称，
故答案为：（－3，1）．
期末考向三：平行四边形的判定定理
重点考点讲练18：求与已知三点组成平行四边形的点的个数
【母题精讲】（23-24八年级下·湖北武汉·期末）如图（1），在平面直角坐标系中，直线（k是常数，）与坐标轴分别交于点A，点B，且点B的坐标为．
(1)求点A的坐标；
(2)P是x轴上一点，已知，求点P的坐标；
(3)如图（2），已知AC平分，D为的中点．
①请直接写出直线的解析式；
②点M在直线上，在x轴上取点N，使以M、A、N、B为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点N的坐标．
【答案】(1)
(2)或
(3)①；②或或
【思路点拨】（1）把点代入，求出k值，从而得到一次函数解析式，再令，求出x值，即可求得点A坐标；
（2）分两种情况：①当点P在点A右侧时，②当点P在点A右侧时，分别求解艰险可；
（3）①过点C作于E，证明，得到，，从而求得点，再用待定系数法求得直线解析式为，然后令，求出x的值，即可得点P坐标；
②分两种情况：a)当为四边形对角线时，有平行四边形；b)当为四边形的边时，i)当点M、N在左侧时，则有平行四边形；ii)当点M、N在右侧时，则有平行四边形；分别 求解即可．
【规范解答】（1）解：把点代入，得
解得：，
∴
令，则，
解得：，
∴．
（2）解：由得，
由得，
分两种情况：①当点P在点A右侧时，过点A作于D，且，连接与x轴交于点P，过点D作轴于E，
则，
∴
∴
又∵
∴
∴，，
∴
∴，
设直线解析式为，
把，代入，得
，解得，
∴直线解析式为，
令，则
解得：，
∴；
②当点P在点A右侧时，过点A作，且，连接，则与x轴交于点p，
同理可得，
同样用待定系数法可求得直线解析式为；
令，则，
解得：，
∴，
综上，点P的坐标为或．
（3）解：①过点C作于E，如图，
∵，，
∴，
∵D为的中点，
∴，
∵AC平分，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
由勾股定理，得
即
解得：，
∴，
设直线解析式为：，
把，代入，得
，解得：，
∴直线解析式为；
②分两种情况：a)当为四边形对角线时，有平行四边形，如图，
∵
∴与互相平分，
∵D为的中点，
∴D为的中点，
∴此时，点N是直线与x轴的交点，
∵直线解析式为；
令，则，
∴；
b)当为四边形的边时，i)当点M、N在左侧时，则有平行四边形，
∴，
∴点M的纵坐标与点B纵坐标相等，为8，
把代入，解得：，
∴
∴
∴，
ii)当点M、N在右侧时，则有平行四边形，
∴，
则，，
∴，
∴
∴
∴
∴此时；
综上，以M、A、N、B为顶点的四边形是平行四边形，点N的坐标为或或．
【训练1】（22-23八年级下·陕西西安·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴，y轴于点A、B，直线交直线AB于点C，交轴于点D，点D的坐标为，点C的横坐标为4．
(1)求直线的函数解析式；
(2)在坐标平面内是否存在这样的点F，使以A、C、D、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，点F的坐标为或或
【思路点拨】（1）利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出点C的坐标，根据点C，D的坐标，利用待定系数法即可求出直线的函数解析式；
（2）存在，设点F的坐标为，分为对角线，为对角线及为对角线三种情况考虑，利用平行四边形的性质（对角线互相平分），即可得出关于m，n的二元一次方程组，解之即可得出点F的坐标．
【规范解答】（1）（1）当时，，
∴点C的坐标为；
设直线的函数解析式为，
将点，代入，
得：，
所以
则直线的函数解析式：
（2）解：存在，设点F的坐标为，
当时，，
解得：，
∴点A的坐标为．
若使以A、C、D、F为顶点的四边形为平行四边形，分三种情况讨论：
①当为对角线时，记为点，
∵四边形为平行四边形，
∴，
解得，
所以的坐标为；
②当为对角线时，记为点F2，
∵四边形为平行四边形，
∴，
解得：，
∴点的坐标为（11，4）；
③当为对角线时，记为点，
∵四边形为平行四边形，
∴，
解得：，
∴点的坐标为；
综上所述，存在点F，使以A、C、D、F为顶点的四边形为平行四边形，点F的坐标为或或．
【训练2】（22-23八年级下·广东中山·期末）定义“点对图形的可视度”：在平面直角坐标系中，对于点P和图形，若图形上所有的点都在的内部或的边上，则的最小值称为点对图形的可视度．如图1，点对线段的可视度为的度数．
(1)如图2，已知点，，，．连接，，则的度数为点对的可视度．求证：；
(2)如图3，已知四边形为正方形，其中点，．直线与轴交于点，与轴交于点，其中点对正方形的可视度为．求点的坐标；
(3)在（2）的条件下，在平面直角坐标系内是否存在点，使以点，，，为顶点的四边形为平行四边形 若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)点的坐标为
(3)存在，点的坐标为或或
【思路点拨】（1）如图，过点作于点，构成直角三角形和直角三角形，利用，，的坐标先求出，，，的值，再由勾股定理求出和的值，证得，即可得出结论；
（2）如图，连接，，令与轴的交点为，由题意得，先求出点坐标为，证得轴垂直平分，再证明是等边三角形，由勾股定理求出的值，进而求出的值，即可得出的坐标，再用待定系数法求出直线的函数解析式，令，即可求得出的坐标；
（3）根据平行四边形的判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的平行四边形是平行四边形，可判断在平面直角坐标系内存在点M，使以点A，B，E，M为顶点的四边形为平行四边形，并根据已知点，，的坐标求出的坐标即可．
【规范解答】（1）证明：过点作于点，
∵，，，
∴轴，，，，，
∴，，
，
∴，
∴．
（2）解：如图，连接，，令与轴的交点为，则的度数为点对正方形的可视度，即，
∵，，四边形为正方形，
∴，∴，
∴点，关于轴对称，
∴轴垂直平分，
∴，，
∵，∴为等边三角形.，
∴，∴，
∴，
∴点的坐标为，
将点坐标代入中，得，
∴直线的解析式为，
令，得，
∴点的坐标为．
（3）解：存在，如图，
过点作的平行线，在平行线上可取得两点分别为，，使得，，可以得平行四边形和平行四边形，
得， ，
令与轴交点为，则，在轴上取，则，与 互相平分，连接，，，，即得到平行四边形，
点的坐标为或或．
重点考点讲练19：全等三角形拼平行四边形问题
【母题精讲】（22-23八年级下·河南南阳·期末）将两个边长分别为2、3、4的全等三角形拼成四边形，可以拼得不同形状的平行四边形的个数是 个．
【答案】3
【思路点拨】利用两全等三角形拼接，根据平行四边形的性质进行判断即可．
【规范解答】解：如图所示，
将两个边长分别为2、3、4的全等三角形拼成四边形，
可以拼得不同形状的平行四边形的有：，，，共3个．
故答案为：3．
【训练1】（2021·青海·中考真题）如图，在中，对角线，，垂足为，且，，则与之间的距离为 ．
【答案】．
【思路点拨】设与之间的距离为，由条件可知的面积是的面积的2倍，可求得的面积，，因此可求得的长．
【规范解答】解：∵四边形为平行四边形，
∴，，
，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
设与之间的距离为，
∵，
∴，
∴，
解得，
故答案为：．
【训练2】（22-23八年级下·安徽阜阳·期末）如图，由六个全等的正三角形拼成的图中，平行四边形的个数为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【思路点拨】本题主要考查了正多边形的判定，以及平行四边形的判定，由是由六个全等的正三角形拼成的，可得出是正六边形，进而可得出，则四边形是平行四边形，同理可得出四边形，四边形，四边形，四边形，四边形都是平行四边形．
【规范解答】解：∵是由六个全等的正三角形拼成的，
∴是正六边形，
∴，，是正六边形的对角线，
可得，
∴四边形是平行四边形，
同理：四边形，四边形，四边形，四边形，四边形都是平行四边形，共6个，
故选C．
重点考点讲练20：利用平行四边形的判定与性质求解
【母题精讲】（23-24八年级下·云南昭通·期末）如图在平面直角坐标系中，点的坐标分、．且满足，现将线段向上平移3个单位，再向右平移2个单位得到，连接．
(1)求的值．
(2)点P是线段上的一个动点（不与重合），请找出之间的关系，并证明．
(3)点Q是线段上的动点，是否存在使四边形面积最大，如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．
【答案】(1)，；
(2)，证明见解析
(3)存在，
【思路点拨】此题考查了平行四边形的判定和性质、平移的性质、坐标与图形等知识．
（1）根据绝对值的性质和二次根式的性质进行计算即可得；
（2）过点P作，利用平行线的性质得到，则，即可得到答案；
（3）求出点的坐标分、，则，，得到点R的坐标为，点S的坐标为，，四边形是平行四边形，则，作于点H，则，当点运动到点R时，取得最大值，即最大值为的长度，即，进一步即可求出答案．
【规范解答】（1）解：∵，
∴，，
∴，；
（2），理由如下：
如图所示，过点P作，
∵
则，
∴，
∴，
∴；
（3）存在，点Q的坐标为，理由如下：
由（1）可知，点的坐标分、．
∴，
∵线段向上平移3个单位，再向右平移2个单位得到，
∴点R的坐标为，点S的坐标为，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
作于点H，则
∵点Q是线段上的动点，
∴当点运动到点R时，取得最大值，即最大值为的长度，即，
此时，即的最大值为，
∵四边形的面积，
∴四边形的面积最大值为，
此时点Q的坐标为；
【训练1】（23-24八年级下·广东深圳·期末）如图，在平行四边形中，是的中点，连接．下列结论：①；②；③平分；④若，则平行四边形的面积为24．其中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【思路点拨】根据平行四边形性质得出，，，，根据，得出，即可判断②正确；取的中点N，连接，证明四边形为平行四边形，得出，证明，根据等腰三角形的性质得出，，求出，即可判断①正确；根据平行线的性质得出，根据，得出，证明，即可判断③正确；求出，根据平行四边形的性质得出，判断④错误．
【规范解答】解：∵四边形为平行四边形，
∴，，，，
∵，
∴，故②正确；
取的中点N，连接，如图所示：
则，
∵为的中点，
∴，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，故①正确；
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴平分，故③正确；
∵，，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴，故④错误；
综上分析可知：正确的有3个，故C正确．
故选：C．
【训练2】（23-24八年级下·四川成都·期末）如图1，在四边形中，，点E在上，平分，平分，．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)如图2，四边形对角线交于点O，连接，
①探究之间的等量关系，并说明理由；
②若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)①；理由见解析；②
【思路点拨】（1）根据角平分线的定义得出，，根据，得出，根据平行线的判定得出，根据，即可证明结论；
（2）①延长交于点F，证明，得出，，证明，，得出，根据直角三角形的性质得出，，证明，即可证明结论；
②过点E作于点M，过点O作于点N，根据中位线性质得出，，证明，得出，求出，证明四边形为平行四边形，得出，证明，得出，求出，根据勾股定理得出，，根据，求出，最后求出结果即可．
【规范解答】（1）证明：∵平分，平分，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形；
（2）解：①；理由如下：
延长交于点F，如图所示：
∵四边形，
∴，，，
∴，，
∴，
∴，，
∵平分，平分，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
同理得：，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴点F为的中点，
∵为直角三角形，
∴，，
∴，
∴；
②过点E作于点M，过点O作于点N，如图所示：
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴在中，根据勾股定理得：，
∴在中，根据勾股定理得：，
∵，
∴，
∴，负值舍去．
重点考点讲练21：利用平行四边形性质和判定证明
【母题精讲】（21-22八年级下·广东清远·期末）如图所示，在四边形中，对角线相交于点O，于点 E，于点F， 连接， 若， 则下列结论：①；②③；④四 边 形是平行四边形． 其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【思路点拨】本题考查全等三角形的判定性质，平行四边形的判定和性质．解题的关键是证明
．
证明，得到，进而得到，推出四边形是平行四边形；得到，进一步推出是平行四边形，逐一进行判断即可．
【规范解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，即：，
又，
∴，
∴；故①正确；
∴，
∴四边形是平行四边形；故④正确；
∴，
∴即：；故②正确；
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，故③正确；
综上，正确的有4个；
故选：D
【训练1】（21-22八年级下·广东清远·期末）在一次数学课上，老师出示了这样一道题目：如图，是平行四边形的对角 线，， 将沿折叠，使A 点落在上的点G 处，将边沿折 叠，使点C 落在上的点H 处，求证：四边形是平行四边形．小丽选择了先证明，再证明， 进而得到四边形是平行四边形，小明向老师提出 了另一种证明方法．
(1)小丽证明四边形是平行四边形的依据是______；
(2)按小明的想法写出证明过程；
(3)当学生们完成了证明后，老师又提出如下问题，连接，，若，，试求四边形的周长．
【答案】(1)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
(2)见解析
(3)
【思路点拨】本题考查了平行四边形的判定与性质，勾股定理等知识，解题的关键是：
（1）根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定即可；
（2）根据平行四边形的性质、折叠的性质可得出，根据平行线的判定得出，然后根据平行四边形的定义即可得证；
（3）根据勾股定理求出，结合折叠可求出，在中，根据勾股定理可求出，在中，根据勾股定理可求出，同理求出，，即可求解．
【规范解答】（1）解：由题意知：在平行四边形中，，，
∴，
∵折叠，
∴，，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
又，
∴四边形是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）
故答案为：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
（2）证明：在平行四边形中，，，
∴，
∵折叠，
∴，，
∴，
∴，
又，
∴四边形是平行四边形；
（3）解：如图，
∵，，，
∴，
∵折叠，
∴，，
∴，，
∴，即，
∴，
同理，
∵，，
∴，
∴，
同理，
∴四边形的周长为．
【训练2】（21-22八年级下·广东清远·期末）已知：如图，点O是平行四边形的对角线的中点，E，F 分别是和上的点， 且．
(1)求证：四边形 是平行四边形；
(2)求证：；
(3)求证：经过点O ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【思路点拨】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定，掌握平行四边形的判定和性质是解题的关键．
（）利用两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可求证；
（）利用即可证明；
（3）连接，由点O是平行四边形的对角线的中点，可得，再由四边形是平行四边形可证得结论．
【规范解答】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形；
（2）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∴，
即，
∴；
（3）证明：连接，
∵点O是平行四边形的对角线的中点，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴经过点O．
重点考点讲练22：平行四边形性质和判定的应用
【母题精讲】（22-23八年级下·陕西渭南·期末）问题背景：如图，在等边中，、两点分别在边、上，，以为边作等边，连接，，．
问题探究：
(1)求证：为等边三角形；
(2)求证：四边形为平行四边形；
(3)若，求四边形的面积．
【答案】(1)见解析；
(2)见解析；
(3)．
【思路点拨】（）证，得，， 再证，即可得出结论；
（）由等边三角形的性质得，， 再证， 然后证，即可得出结论；
（）过作于，由（）可知，再由等边三角形的性质得，然后用面积公式即可求解．
【规范解答】（1）证明：∵是等边三角形，
∴，，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴是等边三角形；
（2）证明：由（）可知，是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形；
（3）解：如图，过作于，则，
由（）可知，，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴，
∴．
【训练1】（22-23八年级下·安徽安庆·期末）如图，在平面直角坐标系中，对于点，给出如下定义：当点满足时，称点Q是点P的等积点．已知点．
（1）在，，中，点P的等积点是 ．
（2）点Q是点P的等积点，点C在x正半轴上，以O，P，Q，C为顶点的四边形是平行四边形，则点C的坐标为 ．
【答案】
【思路点拨】（1）根据定义通过计算可知，即可知道点P的等积点；
（2）设，则，即，可知点Q在直线上，且，当点Q在x轴上方时，则；当点Q在x轴上方时，则，分别求出x的值再求出点C的坐标即可．
【规范解答】（1）解：根据题意得，
因为，所以不是点P的等积点，
因为，所以是点P的等积点，
因为，所以不是点P的等积点，
故答案为：；
（2）解：如图1所示：
设，则，即，
可知点Q在直线上，且，
作轴于点D，轴于点F，则，，
∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∵，，
∴，
∴，，
若点Q在x轴上方，则，即，
所以；
当点Q在x轴上方时，则，即，
所以；
因为点C在x正半轴上，
所以点C的坐标为，
故答案为：．
【训练2】（21-22八年级下·湖南永州·期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与交于点A，两直线与x轴分别交于点B和点C，D是直线AC上的一动点，E是直线AB上的一动点．若以E，D，O，A为顶点的四边形恰好为平行四边形，则点E的坐标为 ．
【答案】或
【思路点拨】当OEAC时，由相互平行的两条直线的一次项系数相同，可得到直线OE的解析式，然后将OE和AB的解析式联立，组成方程组从而可求得点E的坐标；当DEOA时，ODAB时，先求得OD的解析式，然后联立OD、AC，求得点D的坐标，然后再求得DE的解析式，将DE和AB联立，组成方程组可解得点E的坐标．
【规范解答】解：①如图1：当OEAD时，
∵OEAC，
所以直线OE的解析式为y=-2x，
联立OE、AB，得
，解得，
即E1(-,)；
②如图2：当DEOA时，ODAB时，
∵ODAB，
∴直线OD的解析式为y=x，
联立OD、AC，得，
解得，
∴D(,)．
联立AB、AC得
，
解得，
A(1，2)．
OA的解析式为y=2x，
∵DEOA，
∴设直线DE的解析式为y=2x+b，
将点D的坐标代入直线的解析式得：y=2x-，
联立DE、AB得
，
解得，
E2(,)．
③当OA为对角线时，则OEAC，如图1，
E(-,)
综上所述：点E的坐标为(-,)或(,)．
故答案为：(-,)或(,)．
期末考向四：三角形的中位线
重点考点讲练23：与三角形中位线有关的求解问题
【母题精讲】（23-24八年级下·陕西咸阳·期末）如图，四边形中，为上一点，连接，点、分别是、的中点，连接，则的长等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【思路点拨】本题主要考查了三角形中位线的判定以及性质，平行四边形的判定和性质，先证明，且，再证明四边形是平行四边形，由平行四边形的性质即可得出．
【规范解答】解：∵点、分别是、的中点，
∴，且，
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
故选：B．
【训练1】（24-25九年级上·广东深圳·期中）如图，在中，，点D，点E分别是边上的动点，连结，点F，点M 分别是的中点，则的最小值为（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】A
【思路点拨】本题考查了等腰三角形三线合一的性质及三角形中位线定理，正确得出的最小值是解题的关键．过点B作于H，连接；当取最小值时，的值最小，由垂线段最短可知，当于点E时，的值最小，利用等腰三角形三线合一的性质求出的长，进而利用三角形等面积法求解即可．
【规范解答】解：如图，过点B作于H，连接；
∵F，M分别是的中点，
∴，
当取最小值时，的值最小，
由垂线段最短可知，当于点E时，的值最小，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
【训练2】（22-23八年级下·陕西咸阳·期末）【问题背景】如图，在中，，分别是边，上的中线，与相交于点．
【问题探究】
(1)如图1，连接，若平分，，求的长度；
(2)如图2，连接，延长交于点，若，，，求的长度．
【答案】(1)6
(2)
【思路点拨】本题主要考查了中位线的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键．
（1）根据三角形中位线定义以及角平分线的定义，等腰三角形的判定可得，再根据中点的定义即可解答；
（2）先证明可得，进而证明可得，即；根据等腰三角形三线合一的性质可得为等边三角形，且，，即；然后运用等边三角形三线合一的性质以及勾股定理求解即可．
【规范解答】（1）解：∵，分别是边，上的中线，
∴，
∴，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
（2）解：∵，分别是边，上的中线，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
∵，
∴为等边三角形，
∴，，；
∵是边上的中线，
∴；
∵，，
∴，
∴，
∴．
重点考点讲练24：与三角形中位线有关的证明
【母题精讲】（24-25八年级上·山东淄博·期末）知识回顾：已知，如图（1）中，点是边的中点，点是边的中点，连接．则与的关系为：_____（用符号语言表达）．
知识应用：已知，如图（2），四边形中，，点，分别为，的中点，连接．请猜想线段，，之间的关系，并说明理由．
【答案】知识回顾：，；知识应用：，理由见解析
【思路点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的中位线的性质，掌握以上知识是解题的关键．
知识回顾：根据三角形的中位线的性质可得结论；
知识应用：连接并延长交的延长线于点G，证明，可得，，再结合三角形的中位线的性质可得结论．
【规范解答】解：知识回顾：由题意可得：与的关系为：，；
知识应用：
，理由如下：
连接并延长交的延长线于点G，
∵，
∴，，
∵N是的中点，
∴，
∴，
∴，，
∵M是的中点，N是的中点，
∴，
∴．
【训练1】（24-25八年级上·山东东营·期末）（1）如图1，，分别是的外角平分线，过点作，，垂足分别为，，连接，延长，，与直线分别交于点，，那么线段与三边之间数量关系是__________（直接写出结果）．
（2）如图2，若，分别是的内角平分线，其他条件不变，那么线段与三边之间数量关系是__________．
（3）如图3，若为的内角平分线，为的外角平分线，其他条件不变，那么线段与三边之间数量关系是__________．
【答案】（1）；（2）（3）
【思路点拨】本题考查了三角形的中位线定理，全等三角形的性质和判定等知识点，解此题的关键是作辅助线构造全等三角形求解．
（1）根据证明，推出，，同理，，然后根据中位线的性质即可得出答案；
（2）延长，，与直线分别交于点，，与（1）类似可以证出答案；
（3）延长，，与直线分别交于点，，与（1）方法类同即可证出答案．
【规范解答】（1）解：∵，
∴．
∵平分，
∴．
在和中，
∴，
∴，．
同理，，，
∴是的中位线，
∴．
（2）解：．
证明：如图2，延长，，与直线分别交于点，．
∵，
∴．
∵平分，
∴．
在和中，
∵
∴，
∴，．
同理，，，
∴是的中位线，
∴．
（3）解：
如图3，延长，，与直线分别交于点，．
∵，
∴．
∵平分，
∴．
在和中，
∵
∴，
∴，．
同理，，，
∴是的中位线，
∴．
【训练2】（24-25八年级上·山东威海·期末）如图，在中，和的角平分线，交于边上的点．
(1)求证：E为的中点；
(2)若点F为的中点，连接交于点G．写出与间的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)详见解析
(2)，理由见解析
【思路点拨】（1）由平行四边形的性质得，，则，，而，，所以，，则，，所以，则为的中点；
（2）取的中点，连接，由三角形的中位线定理得，，即可证明，，推导出，则，得，由，，得，则．
【规范解答】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
，，
点在边上，且平分，平分，
，，
，，
，，
，
为的中点．
（2）解：，理由如下：
取的中点，连接，
点为的中点，
，，
∵，，且，
，，
，
在和，
，
，
，
，
∵，
，
，且，
．
重点考点讲练25：三角形中位线的实际应用
【母题精讲】（23-24八年级下·山东德州·期末）如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与轴交于点，直线交轴正半轴于点，，点是直线上的动点．
(1)求直线的解析式．
(2)如果三角形的面积等于三角形面积的三分之一，求点的坐标．
(3)已知点在线段上，连结、、．若，求线段的长．
【答案】(1)
(2)或
(3)
【思路点拨】（1）把点代入直线得，设直线解析式为，代入得，即可求出直线解析式．
（2）设，当在延长线上时，，在计算即可，当在线段上时，，再计算，即可点的坐标．
（3）当时，得为中位线，故，即可求解．
【规范解答】（1）解：∵点在直线上，
∴，
∴，
∵，
∴，
设直线解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为．
（2）解：设，
当在延长线上时，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴．
当在线段上时，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴．
答：点的坐标为或．
（3）当时，如图：
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
同理，
∴为中位线，
∴．
答：的长为．
【训练1】（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，在中，，，，，．
(1)求线段的长；
(2)如图2，连接，把线段绕点逆时针旋转90°到，连接，取线段的中点，连接，请判断线段与的数量关系，并说明理由；
(3)如图3，点是线段上一点，把线段绕点逆时针旋转45°得到，连接，请直接写出线段的最小值．
【答案】(1)
(2)，理由见详解
(3)
【思路点拨】（1）由，可得，根据，可得，，又是等腰直角三角形，即得；
（2）连接，证明，得，从而，根据G为的中点，有，证明，得，故；
（3）在上取一点H，使，连接，证明，可得，当最小时，最小，此时，故的最小值为．
【规范解答】（1）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴线段的长为；
（2），理由如下：
连接，如图：
∵把线段绕点E逆时针旋转到，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∵G为的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）在上取一点H，使，连接，如图：
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
∵把线段绕点B逆时针旋转得到，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴当最小时，最小，此时，如图：
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴的最小值为．
【训练2】（22-23八年级下·安徽·期末）如图，在中，，点D为形外一点，且，，M为的中点，请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图．（保留画图痕迹，不需要证明）
(1)在图1中，画出的边上的中线；
(2)在图2中，先画出边的中点E，再画出的边上的高．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【思路点拨】（1）连接，与交于点，连接，即为所求；
（2）分别连接，交于一点，并连接与交于点，连接，即为所求．
【规范解答】（1）如图所示；
作法：连接，与交于点，连接，即为所求；
证明：∵，M为的中点，
∴，
又∵，
∴四边形为平行四边形，
∴，
又∵，M为的中点，
∴为的中位线，
∴是的中点，
即为的边上的中线．
（2）如图所示；
作法：分别连接，交于一点，并连接与交于点，连接，即为所求；如图：
证明：∵四边形为平行四边形，
∴，是平行四边形的对角线，
∴点是，的中点，
又∵为的中位线，
∴，
∴ 的中位线，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∴，
即是的中点，
∵，
∴是的边上的高．
期末考向五：反证法
重点考点讲练26：反证法证明中的假设
【母题精讲】（24-25八年级上·河南南阳·期末）用反证法证明命题“如果，那么”的第一步应假设 ．
【答案】
【思路点拨】本题主要考查反证法，熟练掌握反证法是解题的关键．根据反证法得到第一步假设即可得到答案．
【规范解答】解：“如果，那么”的第一步应假设，
故答案为：．
【训练1】（24-25八年级上·河南南阳·期末）下列说法错误的是（ ）
A．用反证法证明“”时，应假设
B．“同位角相等，两直线平行”的逆命题是真命题
C．带根号的数一定是无理数
D．多项式与的公因式为
【答案】C
【思路点拨】本题考查了逆命题和真命题，反证法，平行线的判定与性质，无理数，因式分解．根据反证法，平行线的判定与性质，无理数的定义，因式分解以及逆命题和真命题的定义求解即可．
【规范解答】解：A．用反证法证明“”时，应假设，原说法正确，不符合题意；
B．“同位角相等，两直线平行”的逆命题是：两直线平行，同位角相等，是真命题，原说法正确，不符合题意；
C．带根号的数不一定是无理数，如是有理数，原说法错误，符合题意；
D．多项式与的公因式为，原说法正确，不符合题意；
故选：C．
【训练2】（23-24八年级上·河南洛阳·期末）用反证法证明命题：“已知，求证：．”第一步应先假设 ．
【答案】
【思路点拨】本题考查了反证法，根据反证法的步骤，先假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立，进行作答即可，掌握反证法的步骤是解题的关键．
【规范解答】解：第一步应先假设，
故答案为：．
重点考点讲练27：用反证法证明命题
【母题精讲】（23-24八年级上·河北保定·期末）如图，在中，，是的平分线，是边上的中线．用反证法说明点与点不重合 ．
【答案】假设点M与点D重合，延长到N，使，连接，可证得，则有和，根据角平分线的性质得，可得到得出矛盾，假设不成立．
【思路点拨】本题主要考查反证法，涉及全等三角形的判定和性质、角平分线的性质以及等腰三角形的性质．假设点M与点D重合，延长到N，使，连接，可证得，有和，根据角平分线的性质得，可得到得出矛盾，假设不成立．
【规范解答】证明：假设点M与点D重合．延长到N，使，连接．
在和中，
∵是边上的中线．
∴，
∵，，
∴；
∴，；
∵（）是的平分线，
∴，
∴，
则，
即，与相矛盾．
因而M与点D重合是错误的．
所以点M与点D不重合．
【训练1】（23-24八年级上·湖南邵阳·期末）如图，在中，，平分交于点D，平分交于点E，，交于点F．则下列说法正确的有（ ）
①；②；③若，则；④．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【思路点拨】①根据三角形内角和定理可得可得，然后根据平分，平分B，可得，再根据三角形内角和定理即可进行判断；
②用反证法即可判断；
③延长至G，使，连接，根据，证明，得，然后根据等腰三角形的性质进而可以进行判断；
④作的平分线交于点G，证明，可得，进而可以判断；
【规范解答】解：①在中，，
∴，
∵平分，平分，
∴，
∴
，
故①正确，符合题意；
②若，
∴，
∴，
∴，
而由已知条件无法证明，
故②错误，不符合题意；
③如图，延长至G，使，连接，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵为角平分线，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故③正确，符合题意；
④如图，作的平分线交于点G，
由①得，
∴，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
故④正确，符合题意；
故选C．
【训练2】（23-24八年级上·山西临汾·期末）反证法是数学证明的一种重要方法．请将下面运用反证法进行证明的过程补全．
已知：在中，．求证：．
证明：假设_____________________．
∵，
∴，
∴，
这与_______________________．
∴_______________________不成立．
∴
【答案】；三角形内角和定理或三角形的内角和等于相矛盾；此假设
【思路点拨】根据反证法的证明步骤分析即可．
【规范解答】解：证明：假设
∵，
∴，
∴，
这与三角形内角和定理或三角形的内角和等于相矛盾．
∴此假设不成立．
∴，
故答案为：；三角形内角和定理或三角形的内角和等于相矛盾；此假设．
中档题—夯实基础能力
1．（24-25八年级上·福建泉州·期末）“证明：若，则”，用反证法证明这个结论时，应先假设（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【思路点拨】本题考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．根据反证法的步骤，直接得出答案即可．
【规范解答】用反证法证明若，则”时，应先假设．
故选B．
2．（24-25八年级上·辽宁盘锦·期末）若一个多边形的每个内角都是，则该多边形为（ ）
A．十边形 B．八边形 C．六边形 D．四边形
【答案】B
【思路点拨】本题主要考查了正多边形内角和问题，设这个多边形的边数为n，根据n边形内角和为列出方程求解即可．
【规范解答】解；设这个多边形的边数为n，
由题意得，，
解得：，
∴该多边形的边数为8，即该多边形为八边形，
故选：B．
3．（24-25八年级上·山西朔州·期末）石墨烯在材料学、微纳加工、能源、生物医学和药物传递等方面具有重要的应用前景．它的分子结构如图所示，六边形的外角和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【思路点拨】本题考查了多边形的外角定理，根据多边形的外角和为即可求解，掌握多边形的外角和为是解题的关键．
【规范解答】解：六边形的外角和为，
故选：．
4．（22-23八年级下·陕西西安·期末）如果点和点关于原点对称，则点的坐标为 ．
【答案】
【思路点拨】本题考查点的对称性，点关于原点对称的点的坐标特征是：横、纵坐标均互为相反数，熟记关于原点对称的点的坐标特征是解决问题的关键．
【规范解答】解：若点与点关于原点对称，则点的坐标为，
故答案为：．
5．（24-25八年级上·福建厦门·期末）如图，以正六边形的边向内作正方形，则的度数为 ．
【答案】/30度
【思路点拨】本题考查正多边形的性质，由正多边形的每个内角相等，求出，进而得由．解题的关键是掌握正多边形的每个内角相等．
【规范解答】解：∵正六边形，
∴，
又∵正方形，
∴，
∴，
故答案为：．
6．（24-25八年级上·山东威海·期末）一个平行四边形在平面直角坐标系中三个顶点的坐标为，，，则第四个顶点的坐标为
【答案】或或
【思路点拨】此题考查了平行四边形的性质，二元一次方程组的应用，解题的关键是正确分情况讨论．
设第四个顶点的坐标为，根据平行四边形的性质分三种情况，然后分别列出方程组求解即可．
【规范解答】解：∵一个平行四边形在平面直角坐标系中三个顶点的坐标为，，，
设第四个顶点的坐标为
当点和是对角顶点坐标时，
∴
∴第四个顶点的坐标为；
当点和是对角顶点坐标时，
∴
∴第四个顶点的坐标为；
当点和是对角顶点坐标时，
∴
∴第四个顶点的坐标为；
综上所述，第四个顶点的坐标为或或．
故答案为：或或．
7．（24-25八年级上·福建泉州·期末）如图，在中，E、F分别是、边上的一点（不与端点重合），．求证：．
【答案】见解析
【思路点拨】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定，平行线的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．由平行四边形得到，，，结合，根据平行线的性质得到，即可证明全等．
【规范解答】证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
8．（21-22八年级下·广东清远·期末）如图，在中 ，平分，交于点 F， 交的延长线于点E． 求证．
【答案】见解析
【思路点拨】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定等知识，熟练掌握平行四边形的性质，是解决问题的关键．
由平行四边形的性质得，，，从而，由角平分线得出，从而，进而可证结论成立．
【规范解答】证明：四边形是平行四边形，
，，，
，
是的平分线，
，
，
，
．
9．（21-22八年级下·广东清远·期末）如图，在平行四边形中，点O 是对角线的中点，过点O， 交于点E，交于点F．求证：．
【答案】证明见解析
【思路点拨】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定，先由平行四边形对边平行得到，则，再由线段中点的定义得到，据此可根据证明．
【规范解答】证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵点O 是对角线的中点，
∴，
∴．
10．（23-24八年级下·广东清远·期末）如图，在 中 ，D、E 分别是、的中点，F 是 延长线上的点，且．
(1)图中的平行四边形有哪几个 请选择其中一个进行证明；
(2)与的面积相等吗 请说明理由．
【答案】(1)平行四边形，平行四边形，证明见解析
(2)相等，理由见解析
【思路点拨】此题主要考查了平行四边形的判定和性质，关键是掌握平行四边形的判定定理，掌握平行四边形对角线分成的四个小三角形面积相等．
（1）根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可得四边形ADCF是平行四边形，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形是平行四边形；
（2）根据等底等高的三角形面积相等即可证明．
【规范解答】（1）（1）图中的平行四边形有：平行四边形，平行四边形，
理由是：∵E为的中点，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∵D为的中点，
∴，
∴，，
∴四边形是平行四边形．
（2）由（1）知四边形是平行四边形，
∴ ，
∴．
压轴题—强化解题技能
11．（23-24八年级下·黑龙江牡丹江·期末）一组数据，，，的平均数与中位数相同，则的值是（ ）
A．1或3或7 B．1或3或5 C．或3或7 D．或3或5
11．（24-25八年级下·全国·期末）如图，的周长是，对角线与交于点，，的周长2024-2025学年浙教版数学八年级下学期期末复习知识串讲（优等生培优版）
第4章 平行四边形
（思维导图+知识梳理+易错点拨+27大考点讲练+优选真题难度分层练 共101题）
讲义简介 2
思维导图指引 3
章节知识回顾梳理 3
知识点梳理01：平行四边形的定义 3
知识点梳理02：平行四边形的性质定理 3
知识点梳理03：平行四边形的判定定理 4
知识点梳理04：平行线间的距离 4
知识点梳理05：三角形的中位线 5
知识点梳理06：多边形内角和、外角和 5
易错考点点拨汇总 5
易错知识点01：平行四边形的定义与性质 5
易错知识点02：行四边形的判定 6
易错知识点03：特殊平行四边形（矩形、菱形、正方形） 6
易错知识点04：三角形的中位线定理 7
易错知识点05：综合应用与几何变换 7
易错知识点06：典型错误题型示例 7
期末真题汇编考点讲练 7
期末考向一：多边形 7
重点考点讲练01：多边形截角后的边数问题 7
重点考点讲练02：多边形对角线的条数问题 8
重点考点讲练03：对角线分成的三角形个数问题 8
重点考点讲练04：多边形内角和问题 9
重点考点讲练05：正多边形的内角问题 10
重点考点讲练06：多(少)算一个角问题 10
重点考点讲练07：多边形截角后的内角和问题 11
重点考点讲练08：复杂图形的内角和 11
重点考点讲练09：正多边形的外角问题 12
重点考点讲练10：多边形外角和的实际应用 13
重点考点讲练11：多边形内角和与外角和综合 13
重点考点讲练12：平面镶嵌 14
期末考向二：中心对称 15
重点考点讲练13：根据中心对称的性质求面积、长度、角度 15
重点考点讲练14：在方格纸中补画图形使之成为中心对称图形 16
重点考点讲练15：中心对称图形规律问题 18
重点考点讲练16：已知两点关于原点对称求参数 19
重点考点讲练17：按图形的变换要求画出另一个图形 20
期末考向三：平行四边形的判定定理 22
重点考点讲练18：求与已知三点组成平行四边形的点的个数 22
重点考点讲练19：全等三角形拼平行四边形问题 24
重点考点讲练20：利用平行四边形的判定与性质求解 25
重点考点讲练21：利用平行四边形性质和判定证明 27
重点考点讲练22：平行四边形性质和判定的应用 28
期末考向四：三角形的中位线 30
重点考点讲练23：与三角形中位线有关的求解问题 30
重点考点讲练24：与三角形中位线有关的证明 31
重点考点讲练25：三角形中位线的实际应用 32
期末考向五：反证法 34
重点考点讲练26：反证法证明中的假设 34
重点考点讲练27：用反证法证明命题 35
优选真题难度分层练 36
中档题—夯实基础能力 36
压轴题—强化解题技能 38
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知识点梳理01：平行四边形的定义
平行四边形：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 平行四边形ABCD记作“口ABCD”，读作“平行四边形ABCD”.
【细节剖析】平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是它的对称中心.
知识点梳理02：平行四边形的性质定理
【高频考点精讲】
平行四边形的对角相等；
平行四边形的对边相等；
平行四边形的对角线互相平分；
【细节剖析】（1）平行四边形的性质定理中边的性质可以证明两边平行或两边相等；角的性质可以证明两角相等或两角互补；对角线的性质可以证明线段的相等关系或倍半关系.
（2）由于平行四边形的性质内容较多，在使用时根据需要进行选择.
（3）利用对角线互相平分可解决对角线或边的取值范围的问题，在解答时应联系三角形三边的不等关系来解决.
知识点梳理03：平行四边形的判定定理
1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
2.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
3.两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
4.两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
5.对角线互相平分的四边形是平行四边形.
【细节剖析】这些判定方法是学习本章的基础，必须牢固掌握，当几种方法都能判定同一个
行四边形时，应选择较简单的方法.
（2）这些判定方法既可作为判定平行四边形的依据，也可作为“画平行四边形”的依据.
知识点梳理04：平行线间的距离
1.两条平行线间的距离：
（1）定义：两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线间的距离.注：距离是指垂线段的长度，是正值.
2．平行线性质定理及其推论
夹在两条平行线间的平行线段相等.
平行线性质定理的推论：
夹在两条平行线间的垂线段相等.
知识点梳理05：三角形的中位线
三角形的中位线
1．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.
2．定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.
【细节剖析】（1）三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系.
（2）三角形的三条中位线把原三角形分成可全等的4个小三角形.因而每个小三角形的周长为原三角形周长的，每个小三角形的面积为原三角形面积的.
（3）三角形的中位线不同于三角形的中线.
知识点梳理06：多边形内角和、外角和
边形的内角和为(－2)·180°(≥3)．
【细节剖析】(1)内角和定理的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和求其边数；
(2)正多边形的每个内角都相等，都等于；
多边形的外角和为360°．边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关.
易错知识点01：平行四边形的定义与性质
定义混淆
易错点：误认为“一组对边平行且相等”或“两组对角相等”可以直接作为平行四边形的定义。
纠正：平行四边形的定义是两组对边分别平行，其他性质（如对边相等、对角相等）均是由定义推导出的性质，不能直接作为定义使用。
性质应用错误
边与角的性质：解题时忽略“对边相等”“对角相等”的隐含条件。
示例：若已知平行四边形一个角为60°，误认为邻角也为60°（正确：邻角互补，应为120°）。
对角线性质：对角线互相平分，但误认为对角线相等（仅矩形、正方形对角线相等）。
示例：在非矩形的平行四边形中，直接使用对角线相等解题导致错误。
易错知识点02：行四边形的判定
判定条件混淆
易错点：将性质当作判定条件使用。例如，用“对角相等”直接判定平行四边形（需结合其他条件）。
正确判定方法：
两组对边分别平行；
一组对边平行且相等；
两组对边分别相等；
对角线互相平分；
两组对角分别相等（需结合其他条件）。
逻辑不严谨
示例：证明四边形是平行四边形时，仅说明“一组对边平行”而忽略“另一组对边也平行”或“这组对边相等”，导致判定不完整。
易错知识点03：特殊平行四边形（矩形、菱形、正方形）
矩形与菱形的混淆
易错点：误将矩形的性质（如对角线相等）套用到菱形上，或反之。
关键区别：
矩形：四个角均为直角，对角线相等且平分。
菱形：四条边相等，对角线垂直且平分对角。
正方形：同时具有矩形和菱形的所有性质。
正方形判定错误
易错点：直接认为“既是矩形又是菱形的四边形是正方形”，但需注意前提条件（如邻边相等或对角线垂直）。
正确判定：
先证明是矩形，再证明邻边相等；
先证明是菱形，再证明有一个角是直角。
对角线性质应用错误
示例：在菱形中，已知边长为5，对角线长为6，误用勾股定理计算另一条对角线时未除以2（正确：对角线互相平分，半长分别为3和未知，由勾股定理得另一对角线为8）。
易错知识点04：三角形的中位线定理
中位线与中线的混淆
易错点：误将中位线（连接两边中点的线段）与中线（连接顶点与对边中点的线段）混淆。
关键结论：
三角形中位线平行于第三边且等于第三边的一半；
中位线定理的逆定理需谨慎使用（需附加平行条件）。
多中点问题遗漏条件
示例：在多边形中，已知多个中点但未构造完整中位线，导致无法找到平行或比例关系。
易错知识点05：综合应用与几何变换
动态问题分析不足
易错点：在涉及平移、旋转的题目中，忽略平行四边形对称性和不变性（如旋转后对边仍平行）。
应对：画图辅助分析，标出旋转角或平移距离。
辅助线缺失
常见场景：
连接对角线将平行四边形转化为三角形；
作高将问题转化为直角三角形；
平移线段构造中位线或全等三角形。
易错知识点06：典型错误题型示例
条件遗漏
题目：“已知四边形ABCD的对角线AC与BD互相平分，添加一个条件使其成为矩形。”
易错：直接填“AC=BD”而忽略需先证明四边形是平行四边形（需补充“四边形ABCD是平行四边形”）。
坐标系中的计算错误
示例：在坐标系中求平行四边形第四个顶点坐标时，未利用对边平行或对角线中点公式，导致坐标错误。
期末考向一：多边形
重点考点讲练01：多边形截角后的边数问题
【母题精讲】（22-23八年级上·黑龙江牡丹江·期末）一个多边形的外角和是内角和的，若这个多边形截去一个角后，则所形成的多边形是 边形．
【训练1】（20-21八年级上·河北唐山·期末）一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是，则原来多边形的边数是（ ）
A． B． C．或 D．或或
【训练2】（22-23八年级上·四川自贡·期末）将一个四边形截去一个角后，它不可能是（ ）
A．六边形 B．五边形 C．四边形 D．三角形
重点考点讲练02：多边形对角线的条数问题
【母题精讲】（22-23八年级下·湖南株洲·期末）如图，边形，从边形的一个顶点出发可以作 条对角线．若过边形的一个顶点有7条对角线，边形没有对角线，边形对角线的总条数等于边数，则 ．
【训练1】（22-23八年级下·安徽淮北·期末）一个多边形的每一个内角都比相邻的外角的3倍还多20°，则这个多边形对角线的条数是（ ）
A．27 B．20 C．9 D．14
【训练2】（22-23八年级下·浙江绍兴·期末）在学习多边形的相关知识时，小张同学和小王同学对老师布置“探究多边形的对角线条数”的作业很感兴趣，小张同学探究得到了边形的对角线条数的公式，并通过上网查证自己探究的结论是正确的．下图是两位同学进行交流的情景．小王同学把哪个多边形对角线的条数数错了？请你通过计算或者画图来说明．
重点考点讲练03：对角线分成的三角形个数问题
【母题精讲】（22-23七年级上·重庆沙坪坝·期末）过多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成4个三角形，那么这个多边形是（ ）
A．六边形 B．七边形 C．八边形 D．九边形
【训练1】（22-23八年级上·湖北恩施·期末）我们知道，三角形的稳定性在日常生活中被广泛运用.要使不同的木架不变形，四边形木架至少要再钉1根木条；五边形木架至少要再钉2根木条；…按这个规律，要使边形木架不变形至少要再钉 根木条.（用表示，为大于3的整数）
【训练2】（22-23七年级下·四川巴中·期末）从一个边形的同一个顶点出发，分别连结这个顶点与其余各顶点，若把这个多边形分割为个三角形，则的值是 ．
重点考点讲练04：多边形内角和问题
【母题精讲】（24-25八年级上·河南新乡·期末）如图， 度．
【训练1】（21-22八年级上·河南信阳·期末）如图，在四边形中，，，E，F分别是，上的点，当的周长最小时，的度数为（ ）
A． B． C． D．
【训练2】（22-23七年级下·河南周口·期末）阅读小明和小红的对话，解决下列问题．
(1)这个“多加的锐角”是__________度．
(2)小明求的是几边形内角和？
(3)若这是个正多边形，则这个正多边形的一个内角是多少度？
重点考点讲练05：正多边形的内角问题
【母题精讲】（23-24七年级下·河南南阳·阶段练习）用一条宽相等的足够长的纸条，打一个结，如图1所示，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图2所示的正五边形，则的度数为（ ）．
A． B． C． D．
【训练1】（22-23八年级上·浙江台州·期末）在平面内有个点，其中每三个点都能构成等腰三角形，我们把具有这样性质的个点构成的点集称为爱尔特希点集．如图，四边形的四个顶点构成爱尔特希点集，且，则 ，若平面内存在一个点与也构成爱尔特希点集，则 ．
【训练2】（22-23八年级下·四川成都·期末）足球有12个正五边形，20个正六边形，一共32个面．通常由黑白两种颜色组成．之所以如此设计，是因为用正六边形的两个内角和正工边形的一个内角加起来略微小于，这样由平面折叠而成的多面体充气后最终就呈现为球形．如图，在折叠前的平面上，拼接点处的缝隙的大小为 ．
重点考点讲练06：多(少)算一个角问题
【母题精讲】（20-21八年级下·四川达州·期末）已知一个多边形多算了一个内角得到内角和是1960°，则这个多边形是（ ）
A．十一边形 B．十二边形 C．十三边形 D．十五边形
【训练1】（22-23八年级上·浙江宁波·期末）下列说法正确的是（ ）．
①若 ，则一元二次方程 必有一根为 -2．
②已知关于x 的方程 有两实根，则k 的取值范围是 ﹒
③一个多边形对角线的条数等于它的边数的 4倍，则这个多边形的内角和为1620度 ．
④一个多边形剪去一个角后，内角和为1800度 ，则原多边形的边数是 11或 12．
A．①③ B．①②③ C．②④ D．②③④
【训练2】（22-23八年级下·甘肃张掖·期末）小明在计算内角和时，不小心漏掉了一个内角，其和为1160，则漏掉的那个内角的度数是 ．
重点考点讲练07：多边形截角后的内角和问题
【母题精讲】（24-25八年级上·湖北荆州·期末）一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是，则原来多边形的边数是（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或或
【训练1】（20-21八年级下·河北保定·期末）在一个凸n边形的纸板上切下一个三角形后，剩下一个内角和为1080°的多边形，则n的值为 ．
【训练2】（20-21八年级下·河北石家庄·期末）如图，沿着虚线将四边形纸片剪成两部分，如果所得两个图形的内角和相等，则符合条件的剪法是（ ）
A．①② B．①③ C．②④ D．③④
重点考点讲练08：复杂图形的内角和
【母题精讲】（24-25八年级上·海南三亚·期末）如图，顺次连接图中六个点，得到以下图形，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【训练1】（19-20七年级下·江苏扬州·期末）如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G＝ ．
【训练2】（22-23七年级下·江苏扬州·期中）如图，六边形ABCDEF内部有一点G，连结BG、DG. 若，则∠BGD的大小为 度.
重点考点讲练09：正多边形的外角问题
【母题精讲】（22-23八年级上·山西吕梁·期末）若一个正多边形的外角与其相邻的内角之比为，则该正多边形的内角和的度数为 ．
【训练1】（20-21七年级下·云南昆明·期末）如图是一块正多边形的碎瓷片，经测得且，则这个正多边形的边数是 ．
【训练2】（20-21七年级下·河南南阳·期末）如图，五边形中，，则的度数是 ．
重点考点讲练10：多边形外角和的实际应用
【母题精讲】（22-23八年级下·四川达州·期末）如图，的度数为（ ）
A． B． C． D．
【训练1】（22-23八年级上·贵州遵义·期末）一个正多边形，它的一个内角恰好是一个外角的倍，则这个正多边形的边数是（ ）
A．八 B．九 C．十 D．十二
【训练2】（22-23八年级上·全国·单元测试）如图，小明从点A出发，前进10m后向右转20°，再前进10m后又向右转20°，这样一直下去，直到他第一次回到出发点A为止，他所走的路径构成了一个多边形．
（1）小明一共走了多少米？
（2）这个多边形的内角和是多少度？
重点考点讲练11：多边形内角和与外角和综合
【母题精讲】（23-24八年级上·河南商丘·期末）已知一个边形的每一个外角都等于．
(1)该边形是否一定是正边形？______；（填“一定是”或“不一定是”）
(2)求这个边形的内角和；
(3)从这个边形的一个顶点出发，可以画出______条对角线．
【训练1】（23-24八年级上·湖北黄石·期末）一个正多边形的内角和是，则它的一个外角是 度．
【训练2】（22-23八年级下·河北保定·期末）某数学兴趣小组在学习了“多边形内角和与外角和”后深入思考，继续探究多边形的一个外角与它不相邻的内角之和具有的数量关系．
(1)如图1，与，之间的数量关系为______．若，，则______．
(2)如图2，是四边形ABCD的外角，求证：．
(3)若n边形的一个外角为，与其不相邻的内角之和为，则x，y与n的数量关系是______．
重点考点讲练12：平面镶嵌
【母题精讲】（23-24八年级下·河南周口·期末）用一些全等的正五边形按如图的方式可以拼成一个环状，使相邻的两个正五边形有公共顶点，图中所示的是前三个正五边形拼接的情况（每两个正五边形所夹的锐角都相等，即），拼接一圈后，若中间形成一个正六边形，则每两个正五边形所夹的锐角为（ ）
A． B． C． D．
【训练1】（23-24八年级下·河南郑州·期末）用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间没有空隙、也不重叠地铺成一片，就是平面图形的镶嵌．下列形状的瓷砖，不可以镶嵌平面的是（ ）
A．正方形 B．长方形 C．正六边形 D．正八边形
【训练2】（23-24八年级上·山东烟台·期末）小颖家买了新楼，她想在边长相同的①正三角形、②正方形、③正五边形、④正六边形四种瓷砖中，选择一些瓷砖进行地面的镶嵌（彼此之间不留空隙、不重叠）．
(1)她想选用两种瓷砖，若已选用正三角形瓷砖，则可以再选择的是______瓷砖（填写序号）；
(2)她发现仅用正五边形瓷砖不能镶嵌地面，若将三块相同的正五边形瓷砖按如图所示放置，求的度数．
期末考向二：中心对称
重点考点讲练13：根据中心对称的性质求面积、长度、角度
【母题精讲】（23-24八年级下·江西宜春·期末）（1）解方程：；
（2）如图，与关于C点成中心对称，若，，，求的长．
【训练1】（22-23八年级下·福建宁德·期末）如图，直线：与y轴交于点A，与直线：交于点B，直线与y轴交于点C，点在射线上，过点P作直线轴，垂足为E，直线交直线于点Q．
(1)求点B的坐标及线段的长；
(2)当点P在线段的延长线上，且线段与关于点B成中心对称时，求点P 的坐标；
(3)当时，求m的取值范围．
【训练2】（22-23八年级下·辽宁朝阳·期末）如图，与关于点成中心对称，，，，则 ．
重点考点讲练14：在方格纸中补画图形使之成为中心对称图形
【母题精讲】（23-24八年级下·浙江宁波·期末）如图，在的方格中，每个小正方形的边长为1，请按下列要求画出格点四边形（顶点均为小正方形的顶点）．
(1)在图1中画一个以为边的四边形，且该四边形为中心对称图形；
(2)在图2中画一个以为边，面积为8的菱形．
【训练1】（23-24八年级下·河北保定·期末）请按下列要求画图（每小问各画出一种即可）．
(1)在图1中添加1个正方形，使它成轴对称图形但不是中心对称图形．
(2)在图2中添加1个正方形，使它成中心对称图形但不是轴对称图形．
(3)在图3中改变1个正方形的位置，从而得到一个新图形，并使它既成中心对称图形，又成轴对称图形，在图4中画出符合条件的图形．
【训练2】（23-24八年级下·重庆南岸·期末）如图所示，在平面直角坐标系内，三个顶点坐标分别为，，．
(1)在图中，画出向右平移7个单位得到的；
(2)在图中，画出以点为对称中心，与成中心对称图形，并写出点，，的坐标；
(3)在轴上存在点，使得最短，直接写出点的坐标．
重点考点讲练15：中心对称图形规律问题
【母题精讲】（22-23八年级上·山东济南·期末）在平面直角坐标系中，点，的对称中心是点A，另取两点，．有一电子青蛙从点处开始依次作关于点A，B，C的循环对称跳动，即第一次跳到点关于点A的对称点处，接着跳到点关于点B的对称点处，第三次再跳到点关于点C的对称点处，第四次再跳到点关于点A的对称点处，…，则点的坐标为（ ）．
A． B． C． D．
【训练1】（22-23八年级上·河北保定·期末）已知点，点，点是线段的中点，则，．在平面直角坐标系中有三个点，，，点关于点的对称点（即，，三点共线，且），关于点的对称点，关于点的对称点，…按此规律继续以，，三点为对称点重复前面的操作．依次得到点，，…，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【训练2】（22-23八年级下·江西抚州·期中）如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标为，，，各顶点的坐标为，，．
(1)在图中作出关于轴对称的图形；
(2)若与关于点成中心对称，则点的坐标是______；
(3)在轴上找一点，使得最小，并写出点的坐标．（不写解答过程，直接写出结果）
重点考点讲练16：已知两点关于原点对称求参数
【母题精讲】（22-23八年级上·贵州毕节·期末）在平面直角坐标系中，若点与点关于原点对称，则点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【训练1】（21-22八年级下·广东深圳·期末）若点P（a－1，5）与点Q（5，1－b）关于原点成中心对称，则a＋b＝ ．
【训练2】（20-21九年级上·河南·期末）已知点M（2+m，m﹣1）关于原点的对称点在第二象限，则m的取值范围是 ．
重点考点讲练17：按图形的变换要求画出另一个图形
【母题精讲】（19-20八年级下·山东济南·期末）在由边长为个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的位置如图所示，先作与关于原点中心对称的，再把向上平移个单位长度得到．
(1)作出和；
(2)与关于某点成中心对称，则对称中心的坐标是______．
【训练1】（22-23八年级下·北京昌平·期末）对于点和图形，若点关于图形上任意的一点的对称点为点，所有点组成的图形为，则称图形为点关于图形的“对称图形”．在平面直角坐标系中，已知点，，，．
(1)①在点，，中，是点关于线段的“对称图形”上的点有 ．
②画出点关于四边形的“对称图形”；
(2)点是轴上的一动点．
①若点关于四边形的“对称图形”与关于四边形的“对称图形”有公共点，求的取值范围；
②直线与轴交于点，与轴交于点，线段上存在点，使得点是点关于四边形的“对称图形”上的点，直接写出的取值范围
【训练2】（21-22八年级下·辽宁沈阳·期末）如图，平面直角坐标系中， 三个顶点的坐标分别为．
(1)平移到，其中点A的对应点的坐标为，请在图中画出；
(2)以点O为旋转中心，将按顺时针方向旋转得，请在图中画出；
(3)与关于某点成中心对称，请直接写出该点的坐标为____________．
期末考向三：平行四边形的判定定理
重点考点讲练18：求与已知三点组成平行四边形的点的个数
【母题精讲】（23-24八年级下·湖北武汉·期末）如图（1），在平面直角坐标系中，直线（k是常数，）与坐标轴分别交于点A，点B，且点B的坐标为．
(1)求点A的坐标；
(2)P是x轴上一点，已知，求点P的坐标；
(3)如图（2），已知AC平分，D为的中点．
①请直接写出直线的解析式；
②点M在直线上，在x轴上取点N，使以M、A、N、B为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点N的坐标．
【训练1】（22-23八年级下·陕西西安·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴，y轴于点A、B，直线交直线AB于点C，交轴于点D，点D的坐标为，点C的横坐标为4．
(1)求直线的函数解析式；
(2)在坐标平面内是否存在这样的点F，使以A、C、D、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
【训练2】（22-23八年级下·广东中山·期末）定义“点对图形的可视度”：在平面直角坐标系中，对于点P和图形，若图形上所有的点都在的内部或的边上，则的最小值称为点对图形的可视度．如图1，点对线段的可视度为的度数．
(1)如图2，已知点，，，．连接，，则的度数为点对的可视度．求证：；
(2)如图3，已知四边形为正方形，其中点，．直线与轴交于点，与轴交于点，其中点对正方形的可视度为．求点的坐标；
(3)在（2）的条件下，在平面直角坐标系内是否存在点，使以点，，，为顶点的四边形为平行四边形 若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由．
重点考点讲练19：全等三角形拼平行四边形问题
【母题精讲】（22-23八年级下·河南南阳·期末）将两个边长分别为2、3、4的全等三角形拼成四边形，可以拼得不同形状的平行四边形的个数是 个．
【训练1】（2021·青海·中考真题）如图，在中，对角线，，垂足为，且，，则与之间的距离为 ．
【训练2】（22-23八年级下·安徽阜阳·期末）如图，由六个全等的正三角形拼成的图中，平行四边形的个数为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
重点考点讲练20：利用平行四边形的判定与性质求解
【母题精讲】（23-24八年级下·云南昭通·期末）如图在平面直角坐标系中，点的坐标分、．且满足，现将线段向上平移3个单位，再向右平移2个单位得到，连接．
(1)求的值．
(2)点P是线段上的一个动点（不与重合），请找出之间的关系，并证明．
(3)点Q是线段上的动点，是否存在使四边形面积最大，如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．
【训练1】（23-24八年级下·广东深圳·期末）如图，在平行四边形中，是的中点，连接．下列结论：①；②；③平分；④若，则平行四边形的面积为24．其中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【训练2】（23-24八年级下·四川成都·期末）如图1，在四边形中，，点E在上，平分，平分，．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)如图2，四边形对角线交于点O，连接，
①探究之间的等量关系，并说明理由；
②若，，求的长．
重点考点讲练21：利用平行四边形性质和判定证明
【母题精讲】（21-22八年级下·广东清远·期末）如图所示，在四边形中，对角线相交于点O，于点 E，于点F， 连接， 若， 则下列结论：①；②③；④四 边 形是平行四边形． 其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【训练1】（21-22八年级下·广东清远·期末）在一次数学课上，老师出示了这样一道题目：如图，是平行四边形的对角 线，， 将沿折叠，使A 点落在上的点G 处，将边沿折 叠，使点C 落在上的点H 处，求证：四边形是平行四边形．小丽选择了先证明，再证明， 进而得到四边形是平行四边形，小明向老师提出 了另一种证明方法．
(1)小丽证明四边形是平行四边形的依据是______；
(2)按小明的想法写出证明过程；
(3)当学生们完成了证明后，老师又提出如下问题，连接，，若，，试求四边形的周长．
【训练2】（21-22八年级下·广东清远·期末）已知：如图，点O是平行四边形的对角线的中点，E，F 分别是和上的点， 且．
(1)求证：四边形 是平行四边形；
(2)求证：；
(3)求证：经过点O ．
重点考点讲练22：平行四边形性质和判定的应用
【母题精讲】（22-23八年级下·陕西渭南·期末）问题背景：如图，在等边中，、两点分别在边、上，，以为边作等边，连接，，．
问题探究：
(1)求证：为等边三角形；
(2)求证：四边形为平行四边形；
(3)若，求四边形的面积．
【训练1】（22-23八年级下·安徽安庆·期末）如图，在平面直角坐标系中，对于点，给出如下定义：当点满足时，称点Q是点P的等积点．已知点．
（1）在，，中，点P的等积点是 ．
（2）点Q是点P的等积点，点C在x正半轴上，以O，P，Q，C为顶点的四边形是平行四边形，则点C的坐标为 ．
【训练2】（21-22八年级下·湖南永州·期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与交于点A，两直线与x轴分别交于点B和点C，D是直线AC上的一动点，E是直线AB上的一动点．若以E，D，O，A为顶点的四边形恰好为平行四边形，则点E的坐标为 ．
期末考向四：三角形的中位线
重点考点讲练23：与三角形中位线有关的求解问题
【母题精讲】（23-24八年级下·陕西咸阳·期末）如图，四边形中，为上一点，连接，点、分别是、的中点，连接，则的长等于（ ）
A． B． C． D．
【训练1】（24-25九年级上·广东深圳·期中）如图，在中，，点D，点E分别是边上的动点，连结，点F，点M 分别是的中点，则的最小值为（ ）
A． B． C．3 D．
【训练2】（22-23八年级下·陕西咸阳·期末）【问题背景】如图，在中，，分别是边，上的中线，与相交于点．
【问题探究】
(1)如图1，连接，若平分，，求的长度；
(2)如图2，连接，延长交于点，若，，，求的长度．
重点考点讲练24：与三角形中位线有关的证明
【母题精讲】（24-25八年级上·山东淄博·期末）知识回顾：已知，如图（1）中，点是边的中点，点是边的中点，连接．则与的关系为：_____（用符号语言表达）．
知识应用：已知，如图（2），四边形中，，点，分别为，的中点，连接．请猜想线段，，之间的关系，并说明理由．
【训练1】（24-25八年级上·山东东营·期末）（1）如图1，，分别是的外角平分线，过点作，，垂足分别为，，连接，延长，，与直线分别交于点，，那么线段与三边之间数量关系是__________（直接写出结果）．
（2）如图2，若，分别是的内角平分线，其他条件不变，那么线段与三边之间数量关系是__________．
（3）如图3，若为的内角平分线，为的外角平分线，其他条件不变，那么线段与三边之间数量关系是__________．
【训练2】（24-25八年级上·山东威海·期末）如图，在中，和的角平分线，交于边上的点．
(1)求证：E为的中点；
(2)若点F为的中点，连接交于点G．写出与间的数量关系，并说明理由．
重点考点讲练25：三角形中位线的实际应用
【母题精讲】（23-24八年级下·山东德州·期末）如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与轴交于点，直线交轴正半轴于点，，点是直线上的动点．
(1)求直线的解析式．
(2)如果三角形的面积等于三角形面积的三分之一，求点的坐标．
(3)已知点在线段上，连结、、．若，求线段的长．
【训练1】（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，在中，，，，，．
(1)求线段的长；
(2)如图2，连接，把线段绕点逆时针旋转90°到，连接，取线段的中点，连接，请判断线段与的数量关系，并说明理由；
(3)如图3，点是线段上一点，把线段绕点逆时针旋转45°得到，连接，请直接写出线段的最小值．
【训练2】（22-23八年级下·安徽·期末）如图，在中，，点D为形外一点，且，，M为的中点，请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图．（保留画图痕迹，不需要证明）
(1)在图1中，画出的边上的中线；
(2)在图2中，先画出边的中点E，再画出的边上的高．
期末考向五：反证法
重点考点讲练26：反证法证明中的假设
【母题精讲】（24-25八年级上·河南南阳·期末）用反证法证明命题“如果，那么”的第一步应假设 ．
【训练1】（24-25八年级上·河南南阳·期末）下列说法错误的是（ ）
A．用反证法证明“”时，应假设
B．“同位角相等，两直线平行”的逆命题是真命题
C．带根号的数一定是无理数
D．多项式与的公因式为
【训练2】（23-24八年级上·河南洛阳·期末）用反证法证明命题：“已知，求证：．”第一步应先假设 ．
重点考点讲练27：用反证法证明命题
【母题精讲】（23-24八年级上·河北保定·期末）如图，在中，，是的平分线，是边上的中线．用反证法说明点与点不重合 ．
【训练1】（23-24八年级上·湖南邵阳·期末）如图，在中，，平分交于点D，平分交于点E，，交于点F．则下列说法正确的有（ ）
①；②；③若，则；④．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【训练2】（23-24八年级上·山西临汾·期末）反证法是数学证明的一种重要方法．请将下面运用反证法进行证明的过程补全．
已知：在中，．求证：．
证明：假设_____________________．
∵，
∴，
∴，
这与_______________________．
∴_______________________不成立．
∴
中档题—夯实基础能力
1．（24-25八年级上·福建泉州·期末）“证明：若，则”，用反证法证明这个结论时，应先假设（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25八年级上·辽宁盘锦·期末）若一个多边形的每个内角都是，则该多边形为（ ）
A．十边形 B．八边形 C．六边形 D．四边形
3．（24-25八年级上·山西朔州·期末）石墨烯在材料学、微纳加工、能源、生物医学和药物传递等方面具有重要的应用前景．它的分子结构如图所示，六边形的外角和为（ ）
A． B． C． D．
4．（22-23八年级下·陕西西安·期末）如果点和点关于原点对称，则点的坐标为 ．
5．（24-25八年级上·福建厦门·期末）如图，以正六边形的边向内作正方形，则的度数为 ．
6．（24-25八年级上·山东威海·期末）一个平行四边形在平面直角坐标系中三个顶点的坐标为，，，则第四个顶点的坐标为
7．（24-25八年级上·福建泉州·期末）如图，在中，E、F分别是、边上的一点（不与端点重合），．求证：．
8．（21-22八年级下·广东清远·期末）如图，在中 ，平分，交于点 F， 交的延长线于点E． 求证．
9．（21-22八年级下·广东清远·期末）如图，在平行四边形中，点O 是对角线的中点，过点O， 交于点E，交于点F．求证：．
10．（23-24八年级下·广东清远·期末）如图，在 中 ，D、E 分别是、的中点，F 是 延长线上的点，且．
(1)图中的平行四边形有哪几个 请选择其中一个进行证明；
(2)与的面积相等吗 请说明理由．
压轴题—强化解题技能
11．（23-24八年级下·黑龙江牡丹江·期末）一组数据，，，的平均数与中位数相同，则的值是（ ）
A．1或3或7 B．1或3或5 C．或3或7 D．或3或5
11．（24-25八年级下·全国·期末）如图，的周长是，对角线与交于点，，的周长比的周长多是的中点，则的长度为（ ）
A． B． C． D．
12．（24-25八年级上·山东威海·期末）如图，在中，，，，点为上的动点，点，分别为，的中点，则最小值为（ ）
A． B． C． D．
13．（24-25八年级上·山东淄博·期末）如图，平行四边形的对角线交于点平分交于点E，且，连．下列结论：①；②；③，④，成立的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
14．（24-25八年级上·重庆·期末）如图，在中，过上的点作，，、、、均在平行四边形的边上，且，，则四边形的面积为 ．
15．（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，在中，，，，点是边上两动点，连接，CE．若，则周长的最小值为 ．
16．（24-25八年级上·山东威海·期末）如图，的面积为12，将沿方向平移到处，使点与C重合，连结交于点D，则的面积为 ．
17．（24-25八年级上·山东济南·期末）如图，的对角线，相交于点，过点的直线分别交、的延长线于点，．求证：．
18．（24-25八年级上·山东威海·期末）综合实践课上，老师让同学们开展了的折纸活动，是边上的一动点，是边上的一动点，将沿直线折叠，使点落在边上的点处，点的对应点为点，连接．
(1)【观察发现】如图1，若，，，则___________，___________．
(2)【操作探究】如图2，当点落在的延长线上时，求证：四边形为平行四边形．
19．（24-25八年级上·山东烟台·期末）如图，的对角线，相交于点O，的平分线与边相交于点E，P是的中点，若，，求的长．
20．（24-25八年级上·重庆·期末）在四边形中，是的中点，连接，，是线段上一点，连接，，过作，交于点．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)如果，，，求的度数．
