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2024-2025学年八年级下册数学同步讲练【浙教版】
专题突破一：平行四边形综合证明（基础版）（20道）
1．（24-25八年级下·安徽芜湖·期中）如图，已知△ABC是边长为3的等边三角形，点是边上的一点，且，以为边作等边△ADE，过点作，交于点，连接．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)比较与的大小．并说明理由．
2．（24-25八年级下·福建福州·阶段练习）如图，在中，对角线相交于O点，E，F在对角线上，且，求证：四边形是平行四边形．
3．（2025·浙江舟山·一模）已知：在△ABC中，，，，点D，E分别是，的中点，，交的延长线于．
(1)求证：四边形为平行四边形；
(2)求四边形的周长和面积．
4．（24-25八年级下·河南安阳·期中）如图，在中，平分交对角线于点E，平分交对角线于点F，连接、．
(1)若，求的度数；
(2)求证：四边形为平行四边形．
5．（2025·江苏无锡·一模）如图，点A、B、C、D在一条直线上，且，．求证：
(1)；
(2)四边形是平行四边形．
6．（24-25八年级下·河南濮阳·期中）如图，在中，F是的中点，延长到点E，使，连结．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，，，求的长．
7．（24-25九年级下·山西·阶段练习）如图，在平行四边形中，为对角线，，分别三等分，，（即，）交于点，，连接，，求证：四边形是平行四边形．
8．（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，在四边形中，，且交于点，平分．
(1)求证：．
(2)若，，求四边形的周长．
9．（24-25八年级下·浙江·期中）如图，在平行四边形中，点E，F分别在，上，且．连结，交于点O．
(1)求证：四边形是平行四边形．
(2)若，△CBF的周长是12，求平行四边形的周长．
10．（24-25八年级下·浙江·期中）如图，在四边形中，，．
(1)求证：四边形是平行四边形．
(2)若，，，求四边形的面积．
11．（24-25八年级下·湖南长沙·期中）如图，在四边形中，，，对角线，相交于点．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，，，求的长和的长．
12．（24-25八年级下·河南周口·期中）如图，中，，，，是中点，，动点以每秒个单位长的速度从点出发向点移动，连接并延长在交于点，点移动时间为秒．
(1)求与间的距离；
(2)为何值时，四边形为平行四边形；
(3)直接写出为何值时，．
13．（23-24八年级下·辽宁锦州·期末）如图，在中，E，F是对角线上的两点，且．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若．求线段长．
14．（24-25八年级下·重庆·期中）如图，在四边形中，，，，，O是的中点，连接并延长，交于点E，连接．
(1)求证：四边形是平行四边形．
(2)若平分，求的长．
15．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在四边形中，，对角线、相交于点，且．
(1)如图1，求证：四边形是平行四边形；
(2)如图2，若，，，为的中点，连接，则长度等于的线段有 ．
16．（24-25八年级上·山东淄博·期末）如图，在中，为对角线上的两点（点在点的上方），．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)当时，且，求两点之间的距离．
17．（24-25八年级下·重庆渝北·期中）如图，在△ABC中，点H是边上一点．延长到点E，使．过点E作交的延长线于点F，连接，．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，，，，求的长．
18．（24-25八年级下·重庆·期中）四边形中，，且．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，求四边形的周长．
19．（2025·云南玉溪·一模）如图，在△ABC中，，，点D在上，过点D作交于点E，延长到点F，使，连接，．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，，求的长．
20．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）如图，在中，点E是边的中点，连接并延长与的延长线交于F．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若平分，，，求的面积．
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2024-2025学年八年级下册数学同步讲练【浙教版】
专题突破一：平行四边形综合证明（基础版）（20道）
1．（24-25八年级下·安徽芜湖·期中）如图，已知△ABC是边长为3的等边三角形，点是边上的一点，且，以为边作等边△ADE，过点作，交于点，连接．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)比较与的大小．并说明理由．
【答案】(1)见解析(2)，理由见解析
【分析】（1）连接证明，得到，证明是等边三角形．则．即可得到结论；
（2）作于．求出和，即可得到结论．
【详解】（1）证明：连接
∵都是等边三角形，
．
．
∴
．
∵，
．
是等边三角形．
．
四边形是平行四边形．
（2）作于．
∴，
在Rt中，，
四边形是平行四边形
，
又，
又是等边三角形，各边上的高相等都是
．
．
2．（24-25八年级下·福建福州·阶段练习）如图，在中，对角线相交于O点，E，F在对角线上，且，求证：四边形是平行四边形．
【答案】证明见解析
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，先由平行四边形对角线互相平分得到，再证明，即可根据对角线互相平分的四边形是平行四边形证明结论．
【详解】证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，即，
∴四边形是平行四边形．
3．（2025·浙江舟山·一模）已知：在△ABC中，，，，点D，E分别是，的中点，，交的延长线于．
(1)求证：四边形为平行四边形；
(2)求四边形的周长和面积．
【答案】(1)见解析(2)四边形的周长和面积分别为20和
【分析】由于，从而易证，所以，从而可证四边形是平行四边形；
由平行四边形的性质得，，四边形的周长，又因为，所以，所以，再根据勾股定理及直角三角形的性质求出平行四边形的周长．
本题考查平行四边形的性质与判定，涉及全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理等知识，综合程度较高．
【详解】（1）证明：，
，
点E是的中点，
，
在与中，
，
故
，
点D是的中点，
，
，
四边形是平行四边形；
（2）解：四边形是平行四边形，
，四边形的周长，
又，
，
，
，，，
，，
，
，点D是的中点，
，
四边形的周长
4．（24-25八年级下·河南安阳·期中）如图，在中，平分交对角线于点E，平分交对角线于点F，连接、．
(1)若，求的度数；
(2)求证：四边形为平行四边形．
【答案】(1)80°(2)详见解析
【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，掌握平行四边形的性质是解题关键．
（1）根据角平分线的定义，再根据平行四边形的性质求解即可；
（2）根据平行四边形的性质证明，即可得到结论．
【详解】（1）解：∵平分，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形．
5．（2025·江苏无锡·一模）如图，点A、B、C、D在一条直线上，且，．求证：
(1)；
(2)四边形是平行四边形．
【答案】(1)见解析(2)见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，解题关键是掌握全等三角形的判定与性质及平行四边形的判定方法．
（1）根据平行线的性质“两直线平行，内错角相等”得，再结合已知条件并根据全等三角形判定（边角边），得；
（2）根据（1）得，由全等三角形的性质得，，进一步根据平行线的判定“内错角相等，两直线平行”得，再根据平行四边形的判定“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，即可证得结论．
【详解】（1）证明：∵，
，
在和中，
，
，
（2）证明：由（1）得，
，，
∴
即
，
四边形是平行四边形．
6．（24-25八年级下·河南濮阳·期中）如图，在中，F是的中点，延长到点E，使，连结．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，，，求的长．
【答案】(1)详见解析(2)
【分析】本题主要考查了平行四边形的判定以及性质，平行线的性质以及勾股定理解三角形等知识点．熟练掌握平行四边形的判定和性质是解题的关键．
（1）由“平行四边形的对边平行且相等”的性质推知，且；再证，然后根据平行四边形的判定定理即可得出结论；
（2）如图，过点C作于点H．解直角三角形得到，再根据勾股定理即可得出结论；
【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，
，且，
是的中点，
．
又，
，
，
四边形是平行四边形
（2）如图，过点C作于点H．
在中，，
，
在中，
，
由（1）可知，四边形是平行四边形，
，
则
在中，根据勾股定理得：
7．（24-25九年级下·山西·阶段练习）如图，在平行四边形中，为对角线，，分别三等分，，（即，）交于点，，连接，，求证：四边形是平行四边形．
【答案】证明见解析
【分析】此题主要考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，熟练掌握平行四边形的性质和判定是解题的关键．
由平行四边形的性质可得，，根据题意可得，即可判定，进而得到，判定四边形是平行四边形．
【详解】证明：四边形是平行四边形，
，，，
，即，
，，
，
在和中，
，
，，
，
，
四边形是平行四边形．
8．（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，在四边形中，，且交于点，平分．
(1)求证：．
(2)若，，求四边形的周长．
【答案】(1)证明见详解(2)30
【分析】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，角平分线的性质，等边三角形的判定和性质等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质．
（1）根据条件得出四边形是平行四边形，利用平行四边形的性质和角平分线的性质得出，利用等角对等边即可得出答案；
（2）根据给出条件得出是等边三角形，利用等边三角形和平行四边形的性质求出各边长即可求出四边形的周长．
【详解】（1）证明：∵，
∴四边形是平行四边形，
,
∵平分，
∴,
∵，
，
，
．
（2）解：∵
是等边三角形
由（1）得四边形是平行四边形，且，
,
∴四边形的周长为．
9．（24-25八年级下·浙江·期中）如图，在平行四边形中，点E，F分别在，上，且．连结，交于点O．
(1)求证：四边形是平行四边形．
(2)若，△CBF的周长是12，求平行四边形的周长．
【答案】(1)详见解析(2)
【分析】本题考查了平行四边形的性质及判定，线段垂直平分线的性质，正确运用平行四边形的性质及判定定理是解题的关键。
（1）根据平行四边形的性质可得，,再结合已知利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可以证明四边形是平行四边形即可；
（2）根据平行四边形的性质得，由可证明是的垂直平分线，可得，根据的周长是12及平行四边形的对边相等这一性质即可求出平行四边形的周长．
【详解】（1）证明：∵平行四边形，
，，
，
， ，
∴四边形是平行四边形，
（2）解：由（1）得，平行四边形，
，
，
，
的周长是12，
，
∴平行四边形的周长.
10．（24-25八年级下·浙江·期中）如图，在四边形中，，．
(1)求证：四边形是平行四边形．
(2)若，，，求四边形的面积．
【答案】(1)证明见解析；(2)四边形的面积为．
【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，勾股定理，全等三角形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键．
（）由平行线的性质可得，然后证明，则有，再结合即可求证；
（）由平行四边形性质得，，，然后由勾股定理求出，则，最后通过平行四边形面积计算公式求解即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵
∴四边形是平行四边形；
（2）∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形的面积为．
11．（24-25八年级下·湖南长沙·期中）如图，在四边形中，，，对角线，相交于点．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，，，求的长和的长．
【答案】(1)见解析(2)；
【分析】本题主要查了平行四边形的判定和性质，勾股定理：
（1）根据，可得，再由，可得，从而得到，即可求证；
（2）根据勾股定理可得，从而得到，然后根据勾股定理可得，即可求解．
【详解】（1）证明：，
，
，
，
，
四边形是平形四边形；
（2）解：∵四边形是平形四边形，
∴，，
，
，
，
，
，
，
．
12．（24-25八年级下·河南周口·期中）如图，中，，，，是中点，，动点以每秒个单位长的速度从点出发向点移动，连接并延长在交于点，点移动时间为秒．
(1)求与间的距离；
(2)为何值时，四边形为平行四边形；
(3)直接写出为何值时，．
【答案】(1)(2)(3)或
【分析】此题考查平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
（1）根据勾股定理，可得的长，根据面积的不同表示方法，可得答案；
（2）证明，得出，结合，可知只需时，四边形便是平行四边形，即，可得答案；
（3）分情况讨论：当第一次等于时，过点作于点，过点作于点，先证明，再证明四边形是平行四边形，即可求解；当第二次等于时，过点作交于点，过点作于点，证明四边形是平行四边形，推出，利用等腰三角形性质得出，并求解，再求，即可求解．
【详解】（1）解：在中，，，，
∴,
如图，过作于，
则由，
得，
∵，
∴与间的距离为；
（2）解：∵，
∴，，
∵是中点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴只需时，四边形便是平行四边形，
∴，
∴，
∴时，四边形为平行四边形；
（3）解：如图，当第一次等于时，过点作于点，过点作于点，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
又∵，
∴，
∴；
如图，当第二次等于时，过点作交于点，过点作于点，
∵，
∴，四边形是平行四边形，
∴，，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴；
综上，的值为或．
13．（23-24八年级下·辽宁锦州·期末）如图，在中，E，F是对角线上的两点，且．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若．求线段长．
【答案】(1)见解析(2)4
【分析】本题考查平行四边形的判定和性质、勾股定理，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定和性质，灵活运用勾股定理解决问题，属于中考常考题型．
（1）连接，根据平行四边形的性质可得，根据已知证得，从而证得结论；
（2）根据勾股定理求出，然后求得，进而求出．
【详解】（1）证明：连接交于O，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：∵，
∴在中，，
∵，
∴，
∵，
∴．
14．（24-25八年级下·重庆·期中）如图，在四边形中，，，，，O是的中点，连接并延长，交于点E，连接．
(1)求证：四边形是平行四边形．
(2)若平分，求的长．
【答案】(1)见解析(2)
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键．
（1）利用平行线的性质和中点定义得到，，进而证明得到，再利用平行四边形的判定可得结论；
（2）过点E作于F，先利用勾股定理求得，再利用角平分线的性质得到，设，则，中，由勾股定理求得，再在中，由勾股定理求得，再利用平行四边形的性质求解即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵O是的中点，
∴，
在与中，
∴，
∴，又，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：过点E作于F，
在中，，，，
由勾股定理得：，
∵平分，，，
∴，设，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得：
∴
解得：， (也可以用等面积法)
在中，由勾股定理得：
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴．
15．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在四边形中，，对角线、相交于点，且．
(1)如图1，求证：四边形是平行四边形；
(2)如图2，若，，，为的中点，连接，则长度等于的线段有 ．
【答案】(1)见解析(2)，，，
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、直角三角形的性质，解题的关键是利用平行线的性质和全等三角形证明四边形是平行四边形，以及在直角三角形中运用相关性质求解线段长度．
第一问通过证明三角形全等得出对角线互相平分，从而证明四边形是平行四边形；
第二问先根据已知条件求出相关线段长度，再结合直角三角形性质找出与OA长度相等的线段．
【详解】（1）证明：，
．
在和中，
，
，
，
又，
四边形是平行四边形；
（2），四边形是平行四边形，
四边形ABCD是菱形，
在中，，
，
，
四边形是菱形，
，
，
长度等于的线段有，，，，
故答案为：，，，．
16．（24-25八年级上·山东淄博·期末）如图，在中，为对角线上的两点（点在点的上方），．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)当时，且，求两点之间的距离．
【答案】(1)证明见解析(2)
【分析】本题考查四边形综合，涉及平行四边形的判定与性质、勾股定理等知识，熟记平行四边形的判定与性质、勾股定理求线段长是解决问题的关键．
（1）连接交于点，如图所示，由平行四边形的性质及题中已知条件得到，从而结合对角线相互平分的四边形是平行四边形即可得证；
（2）在中，由勾股定理求出，再由平行四边形性质得到，最后由勾股定理即可得到两点之间的距离．
【详解】（1）证明：连接交于点，如图所示：
四边形是平行四边形，
，，
，
，
即，
又，
四边形是平行四边形；
（2）解：，，，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，两点之间的距离为．
17．（24-25八年级下·重庆渝北·期中）如图，在△ABC中，点H是边上一点．延长到点E，使．过点E作交的延长线于点F，连接，．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，，，，求的长．
【答案】(1)证明见解析(2)
【分析】该题考查了平行四边形的性质和判定，勾股定理，等腰三角形的性质等知识点，解题的关键是掌握以上知识点．
（1）证明，得出，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”即可证明；
（2）根据等腰三角形三线合一得出，，结合平行四边形性质得出，，勾股定理求出，即可．
【详解】（1）证明：，
，
在和中，
，
，
，
四边形是平行四边形；
（2）解：，，，
，，
，
，
，
，
即的长为．
18．（24-25八年级下·重庆·期中）四边形中，，且．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，求四边形的周长．
【答案】(1)见解析(2)
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
（1）先证，得，，再证，然后由平行四边形的判定即可得出结论；
（2）由勾股定理得，，再由平行四边形的性质求解即可．
【详解】（1）证明：，，
，
在和中，
，
，
，，
，
四边形是平行四边形；
（2）解：，，
，
，
，
由（1）可知，，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
平行四边形的周长．
19．（2025·云南玉溪·一模）如图，在△ABC中，，，点D在上，过点D作交于点E，延长到点F，使，连接，．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析(2)
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、平行线的性质、含30°角的直角三角形的性质以及勾股定理等知识．
（1）由等腰直角三角形的性质得，进而证明，得，再证明，然后由平行四边形的判定即可得出结论；
（2）由平行四边形的性质得，设，则，再由含角的直角三角形的性质得，然后由勾股定理得出方程，解方程即可．
【详解】（1）证明：∵，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：由（1）可知，四边形是平行四边形，
∴，
设，则，
由（1）可知，，
∴，
在中，，
∴，
由勾股定理得：，
即，
解得：，（不符合题意，舍去），
∴．
20．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）如图，在中，点E是边的中点，连接并延长与的延长线交于F．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若平分，，，求的面积．
【答案】(1)见详解(2)
【分析】本题考查平行四边形的性质与判定，等边三角形的性质，勾股定理；
（1）根据得到，即可得到，从而得到，即可得到，即可得到证明；
（2）根据得到，结合即可得到，从而得到为等边三角形，即可得到答案．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
，
，
点是边的中点，
，
在和中，
，
，
，
又，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：∵，
，
，
，
平分，
，
∴是等边三角形，
∵四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
，
∴的面积．
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