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第4章 平行四边形单元测试卷【基础卷】
姓名：___________班级：___________考号：___________
考试时间：120分钟 满分：120分 考试范围：平行四边形
注意事项：
1.考生先将自己的班级、学号、姓名填写清楚。
2.选择题部分必须使用2B铅笔填涂；非选择题部分必须使用0.5mm黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4.保持卷面清洁，不折叠、不破损。
5.正确填涂
第Ⅰ卷（选择题共30分）
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定,把答案用2B铅笔填涂在答题卡相应的位置.）
1．中国航天取得了举世瞩目的成就，为人类和平贡献了中国智慧和中国力量．下面有关我国航天领域的图标，其图标是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查中心对称图形的识别，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形完全重合，那么这个图形叫做中心对称图形，据此进行判断即可．
【详解】解：A、不是中心对称图形，不符合题意；
B、不是中心对称图形，不符合题意；
C、是中心对称图形，符合题意；
D、不是中心对称图形，不符合题意；
故选C．
2．如图，数学兴趣小组想测量湖面的宽度，在湖面外任意取点，先连接和，接着分别取和的中点，，测得的长为，则的宽度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】主要考查了三角形中位线定理中的数量关系：三角形的中位线等于第三边的一半，掌握三角形中位线定理是解题的关键．先确定是的中位线，则．
【详解】解：取和的中点，，
是的中位线，
，
故选：B．
3．如图，在中，将沿折叠后，点恰好落在的延长线上的点处．若，则为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查折叠的性质，平行四边形的性质和直角三角形的性质，解题的关键是得到．
根据折叠的性质得到，根据平行四边形的性质得到，即可求出．
【详解】解：由折叠可得，，
在中，．
又 ∵．
，
，
故选：A．
4．四边形中，对角线与交于点，下列条件中不一定能判定这个四边形是平行四边形的是（ ）
A． ， B．，
C．， D．，
【答案】B
【分析】此题考查了平行四边形的判定定理，四边形内角和，熟记平行四边形的判定定理是解题的关键．根据平行四边形的判定定理依次判断即可．
【详解】解：如图，
A中，∵，，，
∴，，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
故选项A不符合题意；
B中，，无法判定，故错误，故选项B符合题意；
C中，，，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，
故正确，故选项C不符合题意；
D中，，，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，
故正确，故选项D不符合题意；
故选：B．
5．如图，在中，以为圆心，长为半径画弧交于点，再分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点，若，则的长为（ ）
A．8 B．12 C．16 D．20
【答案】B
【分析】本题考查平行四边形的性质和角平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．根据作图可知，结合平行四边形的性质可得，则，可得．
【详解】解：由题中作图可知：平分，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
6．如图，在中，对角线，相交于点，过点，交于点，交于点．若，，，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．5
【答案】B
【分析】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的逆定理等，解题的关键是通过证明进行面积转换．先证明，可得，再根据勾股定理的逆定理证明是直角三角形，据此即可解决问题．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴是直角三角形，
∴，
故选：B．
7．八角窗棂是中国传统建筑中一种极具特色的装饰元素，象征着天地间的和谐，寓意四面八方的吉祥．如图1是某景区的一个正八边形窗棂，其独特的几何美感为景区增添了艺术魅力，图2是该正八边形窗棂的平面示意图，连接、交于点，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了正多边形的内角，等腰三角形的性质等知识，利用多边形的内角和及正多边形的性质求得，的度数，再根据等腰三角形的性质求得，的度数，然后利用三角形的内角和求得的度数，继而得出答案．
【详解】解：多边形是正八边形，
，，
，
，
故选：A．
8．如图，的对角线、相交于O，过点O与、分别相交于，若，那么四边形的周长为（ ）
A．13 B．12 C．11 D．10
【答案】D
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，先由平行四边形的性质得到，再证明得到，据此根据四边形周长计算公式和线段的和差关系求解即可．
【详解】解：∵的对角线、相交于O，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形的周长
，
故选：D．
9．如图，是的角平分线，平分交于点，是的外角平分线，交的延长线于点，且，连接．下列结论错误的是（ ）
A． B．
C．若，则 D．若，则
【答案】C
【分析】根据角平分线得到角度关系结合平角即可判断A，根据平行及角平分线得到相应的角度关系得到即可判断B，再证明是平行四边形即可判断C，最后证明垂直平分即可判断D，即可得到答案．
【详解】解平分，平分，
，，，选项A正确，不符合题意；
，平分，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
，选项B正确，不符合题意；
，，
四边形是平行四边形．
，，
由上面知：，
，均为等边三角形，
由三线合一易知，，
在中，由角平分线定义知，，
，
易知，
，选项C错误，符合题意；
，平分，
结合易证全等于，
易知垂直平分，
，
又，
，选项D正确，不符合题意；
综上，故选C．
10．如图，在平面直角坐标系中，点，，，，，，……都是平行四边形的顶点，点，，……在轴正半轴上，，，，，，，……，平行四边形按照此规律依次排列，则第6个平行四边形的对称中心的坐标是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查的是点的坐标变化规律，中心对称和平行四边形的性质，熟练掌握上述知识点是解题的关键．根据题意，先求出前几个点的坐标，即可找出规律：第个平行四边形的对称中心坐标为，即可求解．
【详解】解：如图所示，作轴于点，
，，
，
，
，重合，
，
则的中点即为第1个平行四边形的对称中点，其坐标为；
同理可得：，，，
则的中点即为第2个平行四边形的对称中点，其坐标为；
同理可得：第3个平行四边形的对称中心的坐标是；
同理可得：第个平行四边形的对称中心的坐标是；
第6个平行四边形的对称中心的坐标是，即，，，
故选：D．
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题（共8小题，满分24分，每小题3分，请把正确的答案填写在答题卡相应的位置。）
11．杭州八卦田遗址曾是南宋皇家籍田的遗址，遗址的外圈可以看成是一个八边形，则这个八边形的外角和为 ．
【答案】/360度
【分析】本题考查多边形的外角和，根据n边形的外角和为即可求解．
【详解】解：八边形的外角和为．
故答案为：
12．在平行四边形中，，的度数是 ．
【答案】
【分析】本题考查平行四边形的性质，解答本题的关键是掌握平行四边形的性质．由平行四边形的对角相等可得，结合，即可得出的度数．
【详解】解：四边形是平行四边形，
，
，
，
故答案为：．
13．如图，在中，的平分线交于点，，，则的长为 ．
【答案】4
【分析】本题考查平行四边形的性质、等腰三角形的判定和性质、角平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．根据角平分线与平分线的定义得出，即可解决问题．
【详解】解：四边形是平行四边形，
，，，
，
平分，
，
，
，
．
．
故答案为：．
14．如图，已知的对角线与相交于点，将△AOB沿着直线翻折，得到△AOB'，连接．若，则的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查平行四边形的性质，折叠的性质，等边三角形的判定与性质．根据平行四边形的性质得，再根据折叠的性质求得，然后证明是等边三角形，即可求解．
【详解】解： 四边形是平行四边形，，
．
根据折叠的性质知，，．
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴是等边三角形，
∴ ．
故答案为：．
15．如图，已知正八边形，分别连接，其中交于点，交于点，交于点，交于点，则关于正八边形中心的对称三角形是 ．
【答案】
【分析】本题考查了中心对称图形，正多边形的性质，连接，，，根据正多边形和中心对称图形的性质即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：如图，连接，，，
∵正八边形是正多边形，
∴正八边形是中心对称图形，
∴关于正八边形中心的对称三角形是，
故答案为：．
16．在中，与相交于点O，若，，．则的面积为 ．
【答案】
【分析】本题考查了平行四边形的性质以及勾股定理，含角直角三角形的性质，解题关键是掌握数形结合思想与方程思想的应用．
过点A作于E，设，则，，在直角三角形中，利用勾股定理可得，进而可求出a的值，由平行四边形的性质可知：的面积，即可求解．
【详解】解：过点A作于E，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
设，则，，
∴，
在直角三角形中，由勾股定理可得，
∴，
解得：（负数已舍），
，
∴的面积．
故答案为：．
17．如图，在中，是锐角，，，，，连结．若，则的长为 ．
【答案】4
【分析】设，通过作辅助线构造平行四边形，可用x表示出，最后分别在和中利用勾股定理得到用x表示的式子，建立方程后，求出x，进而即可求出的长．
【详解】解：设，则在中有，
如图，延长至点G使，连接，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
又∵平行四边形中，
∴三点共线，
∴．
∵，
∴垂直平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得：（舍），
∴，
∴，负值舍去．
故答案为：4．
18．如图，将四边形纸片沿过点的直线折叠，使得点落在上的点处，折痕为；再将，分别沿，折叠，此时点，落在上的同一点处，则的大小为 ；当四边形是平行四边形时，的值为 ．
【答案】 90 1
【分析】本题考查了翻折变换，平行四边形的性质，直角三角形的性质，熟练运用这些性质解决问题是本题的关键．由折叠的性质可得，，，，，，由平角的性质可得，，可证，由平行线的性质可得，由平行四边形和折叠的性质可得，由直角三角形的性质可得，即可求解．
【详解】解：由折叠的性质可得：，，，，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴∠，
∴，
由折叠的性质可得：，，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：90，1．
三、解答题（本大题共6个小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．由4个全等正方形组成L形图案①、②．请按要求画图：
(1)在图案①中添加1个正方形，使新图案是中心对称图形：
(2)改变图案②中1个正方形的位置，使新图案是中心对称图形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查中心对称图形的定义，熟练掌握中心对称图形的特征是解题的关键．
（1）在平面内，讲一个图形绕着某个点旋转，旋转后的图形与原图形重合即为中心对称图形，根据定义进行添加即可；
（2）根据中心对称图形的定义进行添加即可；
【详解】（1）解：如下图：
；
（2）解：如下图：
．
20．如图，在平行四边形中，连接，且．
(1)（尺规作图）作出的角平分线与交于点．连接交于点，交于点．
(2)猜想线段和线段的数量关系，并证明你的猜想．
【答案】(1)见解析
(2)，证明见解析
【分析】本题考查尺规作图—作角平分线，平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识是解题的关键；
（1）以点为圆心，任意长为半径画弧，交于两点，再以这两个点为圆心，大于这两个点所得线段的长为半径，画弧，作图即可；
（2）根据平行四边形的性质，推出，三线合一，得到，即可得出结论．
【详解】（1）如图，即为的平分线
（2）猜想：；
证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
是的平分线，
，
，
．
21．如图，在平行四边形中，对角线交于点，点分别为，的中点，连接，，，．
(1)求证：四边形是平行四边形．
(2)若△ABD=90°，，求线段的长．
【答案】(1)见解析(2)．
【分析】本题主要考查平行四边形的性质和判定，勾股定理，直角三角形的性质，掌握平行四边形的对角线互相平分是解题的关键．
（1）由平行四边形的性质可求得、，再结合E、F为中点，可求得，则可证得四边形为平行四边形；
（2）根据勾股定理求出，再根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”求解即可．
【详解】（1）证明：∵四边形为平行四边形，
∴，，
∵E、F分别为，的中点，
∴，
∴四边形为平行四边形；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵点E为的中点，
∴．
22．如图，在中，，，，过的中点作，垂足为点，与的延长线相交于点．
(1)求证；
(2)求的面积．
【答案】(1)见解析(2)
【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
（1）根据题意得到，可证明，即可得到结论；
（2）根据题意得到，，，求出，得到，，得到．
【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，，
∴，
在和中，
，
，
；
（2）解：四边形是平行四边形，
，，，
为中点，
，
，，
，
，
在中，由勾股定理得；
，
，
由（1）知，
，
，
，，
∴．
23．阅读小东和小兰的对话，解决下列问题．
(1)①这个“多加的锐角”是______度．②小东求的是几边形的内角和？
(2)若这是个正多边形，则这个正多边形的一个内角是多少度．
(3)小东将一个正五边形与一个正八边形按如右上图所示的位置摆放，顶点，，，四点在同一条直线上，为公共顶点，试求的度数．
【答案】(1)①20；②小东求的是8边形内角和；(2)这个正多边形的一个内角是；(3)
【分析】本题考查了多边形的内角和定理．
（1）①由题意知，多边形的内角和为，是的整数倍，用，得到的余数即为多加的锐角的度数；②由题意知，，计算求解即可；
（2）根据这个正多边形的一个内角是，计算求解即可；
（3）根据多边形的内角和，分别得出，，再根据三角形的内角和算出，据此计算即可求解．
【详解】（1）解：由题意知，多边形的内角和为，是的整数倍，
，
∴这个“多加的锐角”是，
故答案为：20；
由题意知，，
解得，，
∴小东求的是8边形内角和；
（2）解：由题意知，这个正多边形的一个内角是，
∴这个正多边形的一个内角是；
（3）解：由多边形的内角和可得，
，
，
，
，
由三角形的内角和得：
，
．
24．【追本溯源】：
题（1）来自于八年级数学上册课本中的习题，请你完成解答，提炼方法并完成题（2）．
（1）如图1，平分．求证：；
【方法应用】：
（2）如图2，在四边形中，，平分，交边于点E，过点A作交于点G，交的延长线于点F．
①图中一定是等腰三角形的有 ；
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
②已知，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）①B；②4
【分析】本题是四边形综合题，考查了等腰三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，角平分线的定义，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
（1）由角平分线的定义得出．由平行线的性质得出，证出，则可得出结论；
（2）①由等腰三角形的判定可得出结论；
②由（1）可知，，进一步则可得出答案．
【详解】（1）证明：∵平分．
∴．
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：①共有四个等腰三角形．分别是：，
理由如下：由（1）知：，
∴是等腰三角形；
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰三角形；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰三角形；
故答案为：B；
②∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
由（1）可知，，
∵，
∴．
∵，
∴∠EAG＝∠AGB，
∴，
∴，
∵.
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第4章 平行四边形单元测试卷【基础卷】
姓名：___________班级：___________考号：___________
考试时间：120分钟 满分：120分 考试范围：平行四边形
注意事项：
1.考生先将自己的班级、学号、姓名填写清楚。
2.选择题部分必须使用2B铅笔填涂；非选择题部分必须使用0.5mm黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4.保持卷面清洁，不折叠、不破损。
5.正确填涂
第Ⅰ卷（选择题共30分）
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定,把答案用2B铅笔填涂在答题卡相应的位置.）
1．中国航天取得了举世瞩目的成就，为人类和平贡献了中国智慧和中国力量．下面有关我国航天领域的图标，其图标是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，数学兴趣小组想测量湖面的宽度，在湖面外任意取点，先连接和，接着分别取和的中点，，测得的长为，则的宽度为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在中，将沿折叠后，点恰好落在的延长线上的点处．若，则为（ ）．
A． B． C． D．
4．四边形中，对角线与交于点，下列条件中不一定能判定这个四边形是平行四边形的是（ ）
A． ， B．，
C．， D．，
5．如图，在中，以为圆心，长为半径画弧交于点，再分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点，若，则的长为（ ）
A．8 B．12 C．16 D．20
6．如图，在中，对角线，相交于点，过点，交于点，交于点．若，，，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．5
7．八角窗棂是中国传统建筑中一种极具特色的装饰元素，象征着天地间的和谐，寓意四面八方的吉祥．如图1是某景区的一个正八边形窗棂，其独特的几何美感为景区增添了艺术魅力，图2是该正八边形窗棂的平面示意图，连接、交于点，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，的对角线、相交于O，过点O与、分别相交于，若，那么四边形的周长为（ ）
A．13 B．12 C．11 D．10
9．如图，是△ABC的角平分线，平分交于点，是△ABC的外角平分线，交的延长线于点，且，连接．下列结论错误的是（ ）
A． B．
C．若，则 D．若，则
10．如图，在平面直角坐标系中，点，，，，，，……都是平行四边形的顶点，点，，……在轴正半轴上，，，，，，，……，平行四边形按照此规律依次排列，则第6个平行四边形的对称中心的坐标是( )
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题（共8小题，满分24分，每小题3分，请把正确的答案填写在答题卡相应的位置。）
11．杭州八卦田遗址曾是南宋皇家籍田的遗址，遗址的外圈可以看成是一个八边形，则这个八边形的外角和为 ．
12．在平行四边形中，，的度数是 ．
13．如图，在中，的平分线交于点，，，则的长为 ．
14．如图，已知的对角线与相交于点，将△AOB沿着直线翻折，得到△AOB'，连接．若，则的长为 ．
15．如图，已知正八边形，分别连接，其中交于点，交于点，交于点，交于点，则关于正八边形中心的对称三角形是 ．
16．在中，与相交于点O，若，，．则的面积为 ．
17．如图，在中，是锐角，，，，，连结．若，则的长为 ．
18．如图，将四边形纸片沿过点的直线折叠，使得点落在上的点处，折痕为；再将，分别沿，折叠，此时点，落在上的同一点处，则的大小为 ；当四边形是平行四边形时，的值为 ．
三、解答题（本大题共6个小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．由4个全等正方形组成L形图案①、②．请按要求画图：
(1)在图案①中添加1个正方形，使新图案是中心对称图形：
(2)改变图案②中1个正方形的位置，使新图案是中心对称图形．
20．如图，在平行四边形中，连接，且．
(1)（尺规作图）作出的角平分线与交于点．连接交于点，交于点．
(2)猜想线段和线段的数量关系，并证明你的猜想．
21．如图，在平行四边形中，对角线交于点，点分别为，的中点，连接，，，．
(1)求证：四边形是平行四边形．
(2)若△ABD=90°，，求线段的长．
22．如图，在中，，，，过的中点作，垂足为点，与的延长线相交于点．
(1)求证；
(2)求的面积．
23．阅读小东和小兰的对话，解决下列问题．
(1)①这个“多加的锐角”是______度．②小东求的是几边形的内角和？
(2)若这是个正多边形，则这个正多边形的一个内角是多少度．
(3)小东将一个正五边形与一个正八边形按如右上图所示的位置摆放，顶点，，，四点在同一条直线上，为公共顶点，试求的度数．
24．【追本溯源】：
题（1）来自于八年级数学上册课本中的习题，请你完成解答，提炼方法并完成题（2）．
（1）如图1，平分．求证：；
【方法应用】：
（2）如图2，在四边形中，，平分，交边于点E，过点A作交于点G，交的延长线于点F．
①图中一定是等腰三角形的有 ；
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
②已知，求的长．
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