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第4章 平行四边形单元测试卷【培优卷】
姓名：___________班级：___________考号：___________
考试时间：120分钟 满分：120分 考试范围：平行四边形
注意事项：
1.考生先将自己的班级、学号、姓名填写清楚。
2.选择题部分必须使用2B铅笔填涂；非选择题部分必须使用0.5mm黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4.保持卷面清洁，不折叠、不破损。
5.正确填涂
第Ⅰ卷（选择题共30分）
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定,把答案用2B铅笔填涂在答题卡相应的位置.）
1．如图，在中，对角线，交于点，过点作直线分别交，于点，．若，，，则图中的阴影部分面积为（ ）
A．6 B．8 C． D．12
【答案】D
【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的逆定理等知识，先证明，可得出没然后根据三角形中线的性质可得出，根据勾股定理的逆定理可得出，即可求解．
【详解】解：∵在中，对角线，交于点，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
2．在2024年10月的广交会现场，某商家的展台是一个不完整的正多边形图案，如图，小李量得展台中一边与对角线的夹角，则这个正多边形的边数是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】D
【分析】本题考查了等腰三角形的性质、正多边形的内角和，熟练掌握正多边形的内角和是解题关键．先根据等腰三角形的性质可得，从而可得，设这个正多边形的边数是，再根据正多边形的内角和建立方程，解方程即可得．
【详解】解：由题意可知，，，
∴，
∴，
设这个正多边形的边数是，
则，
解得，
即这个正多边形的边数是12，
故选：D．
3．如图，在中，平分，交于点，，，．则的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据平行四边形的性质和角平分线的定义可得，根据勾股定理的逆定理可得，再根据平行四边形的性质可得，，根据勾股定理可求的长．
【详解】解：∵平分，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
在中，，即，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：B．
4．如图，在中，为对角线，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，作直线交于点，交于点．若，，，则的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【分析】本题考查了平行四边形的性质、垂直平分线的性质、勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键．连接，利用平行四边形的性质得到，由作图可得是的垂直平分线，得到，设，在中利用勾股定理建立方程，解出的值即可得出答案．
【详解】解：如图，连接，
，
，
，
，
由作图可得，是的垂直平分线，
，
设，则，
在中，，
，
解得：，
的长为5．
故选：C．
5．在平行四边形中，E，F是对角线上的两点，下列条件中，不能推出的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】题目主要考查平行四边形的性质及全等三角形的判定和性质、平行线的性质，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键根据平行四边形的性质和全等三角形的判定和性质依次判断各个选项即可．
【详解】解：A、如图，∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，故不符合题意；
B、过点E作，过点F作，如图所示：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，故不符合题意；
C、在上截取，连接，如图所示：
同理得，
∴，，
∴，，
∵，
∴，即点M与E重合，
∴，故不符合题意；
D、无条件可得出，故符合题意；
故选：D
6．如果一个三角形的两边长分别是方程的两个根，那么连接这个三角形三边的中点，得到的三角形的周长可能是（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】B
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，构成三角形的条件，三角形中位线定理，先利用因式分解法解方程得到这个三角形的两边长分别为2，9，再由构成三角形的条件得到这个三角形的周长，由三角形中位线定理推出新得到的三角形的周长，据此可得答案．
【详解】解：解方程得或，
∴这个三角形的两边长分别为2，9，
∴这个三角形第三边的长，
∴这个三角形的周长，
由三角形中位线可得，连接这个三角形三边的中点，得到的三角形的每一边都等于与原三角形平行的边的长的一半，即所得三角形的周长为原三角形周长的一半，
∴新得到的三角形的周长，
故选：B．
7．如图，将一张纸片沿着折叠，点的对应点恰好落在上，连接，若，，则图中阴影部分（）的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质，三角形面积，由平行四边形的性质可得，，，再由折叠性质可得，，即有，从而可证明是等边三角形，过作于点，然后由勾股定理和面积公式即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∴，
∴，
由折叠性质可知：，，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，
过作于点，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：．
8．如图，在中，，，点为边上一点，且，点是的中点，点以每秒的速度从点出发，沿向点运动；同时，点以每秒的速度从点出发，沿向点运动，点运动到点时停止运动，点也同时停止运动，当以为顶点的四边形是平行四边形时，运动的时间为（ ）
A． B． C．或 D．
【答案】C
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、一元一次方程的应用等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解决问题的关键．根据题意求出点P运动到F点的时间为，点Q运动到点E的时间为，然后分两种情况讨论：当时，当时，根据列方程即可求解．
【详解】解：点E是的中点，
，
，
点P运动到F点的时间为，点Q运动到点E的时间为，
当时，，则，
当以P、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，，
即，
解得：，
当时，，则，
当以P、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，，
即，
解得：，
综上所述，当以P、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，运动的时间为或．
故选：C．
9．如图，在平行四边形中，，，平分交于点，则的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题考查了平行四边形的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定定理、勾股定理以及角的直角三角形的性质熟练掌握以上知识是解题的关键．
由四边形是平行四边形，可得，，，得，又由平分，可得，根据等角对等边，可得，根据角的直角三角形的性质求得，然后根据勾股定理求得，进而得出，所以求得的周长为．
【详解】解：作，交的延长线于，
∵四边形是平行四边形，
，，，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
的周长为．
故选：B
10．如图，平行四边形的对角线相交于点平分，分别交，于点，连接，下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】根据平行四边形的性质即可得，又平分则可得，即三角形为等边三角形，则可判断①；根据勾股定理求得，则，即可判断②，根据，可判定③；根据，，则为三角形的中位线，利用中位线的性质即可判断④．
【详解】解：四边形是平行四边形，
，，，
，
又平分，
，
为等边三角形，
，
又，
∴，
，
∴，
∵，
∴，
，
，故①正确，
∵，，，
∴
，
∴，
，故②正确，
∵，
，故③错误，
，，
为三角形的中位线，
，，
，
又，
，故④正确．
故正确的有①②④共3个．
故选：C．
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题（共8小题，满分24分，每小题3分，请把正确的答案填写在答题卡相应的位置。）
11．如图，在中，，于点，若，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了平行四边形的性质，等边对等角，直角三角形两个锐角互余，根据平行四边形的性质得出，进而根据等边对等角可得，根据直角三角形两个锐角互余，得出，进而根据，即可求解．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
12．如图，是正边形纸片的一部分，其中，是正边形两条边的一部分，若，所在的直线相交形成的锐角为，则的值是
【答案】6
【分析】本题考查了多边形的外角和，正多边形的内角，熟练掌握以上知识点是解题的关键．求出正多边形的每个外角度数，再用外角和除以外角度数即可求解．
【详解】解：如图，设，所在的直线相交于点，
，所在的直线相交形成的锐角为，
，
正多边形的每个内角相等，
正多边形的每个外角也相等，
，
．
故答案为：6．
13．已知：如图，△ABC沿射线平移后得，，若△ABC的面积为S，则四边形的面积为 ．（用含S的代数式表示）
【答案】
【分析】该题考查了平移的性质，平行四边形的性质和判定，设，则，的高为，表示出，即，根据平移的性质说明四边形是平行四边形，根据求解即可．
【详解】解：设，则，的高为，
则，即，
根据平移的性质得，和的高都为，
∴四边形是平行四边形，
∴，
故答案为：．
14．如图，中，，延长到点，在内作射线，使得，过点作，垂足为．若，则的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了平行四边形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
根据平行四边形的性质得到，得出，求出，得到，得出，得到，得到．
【详解】解∶ ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
15．如图，在△ABC中，点D在的延长线上，且，点F在线段上，以，为邻边作，连接、、，若与的面积和为5，则△ABC的面积为 ．
【答案】20
【分析】此题考查了平行四边形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定和性质是关键．
连接，过C作交的延长线于点M，可证四边形是平行四边形，由边上的高和边上的高相同知，所以，设的边上的高为h，则，又，即可求得的面积．
【详解】解：如图，连接，过C作交的延长线于点M，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴四边形是平行四边形，
由边上的高和边上的高相同知，
，
∴，
设的边上的高为h，则，
又∵，
∴
∴
的面积为．
故答案为：
16．如图，已知△ABC的周长为，连接△ABC三边的中点构成第二个三角形，再连接第二个三角形三边的中点构成第三个三角形，以此类推，第个三角形的周长为 ．
【答案】
【分析】本题考查规律型：图形的变化类，三角形的中位线定理，掌握三角形的中位线定理是解题的关键．
根据中线的定义得到第个三角形是周长的一半，即可求出第个三角形的周长为，以此类推即可求出第个三角形的周长为．
【详解】解：连接三边中点构成第二个三角形，
∴第个三角形的三边与原三角形的三边的比值为，
∴第个三角形的周长为；
∴第个三角形周长为，
以此类推：第个三角形周长为；
……，
∴第个三角形的周长为．
故答案为：
17．如图，四边形是平行四边形，对角线、交于点，，于点，，，则的长为 ．
【答案】/
【分析】本题考查平行四边形的判定和性质以及勾股定理，掌握相关性质定理正确推理计算是解题关键．
根据勾股定理求得的长，结合平行四边形的性质求得的长，然后利用面积法求解即可．
【详解】解：∵，，
∴在中，
∴在中，
在中，
∵，
∴
∵，
∴，
故答案为：．
18．如图，在△ABC中，，，，点是边上一点，点为边上的动点，点，分别为，的中点，则 ，的最小值是 ．
【答案】
【分析】本题考查了三角形中位线的应用，勾股定理的逆定理，垂线段最短．熟练掌握以上知识是解题的关键．连接，先根据勾股定理的逆定理得出是直角三角形，取中点F，连接，证明是等边三角形，得出，则可求的度数；根据三角形中位线的性质得出，当时，的值最小，此时的值也最小，根据三角形的面积公式求出的值，即可求解．
【详解】解：∵，，，
∴，
∴是直角三角形，，
取中点F，连接，
，
则，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
连接，如图：
∵点，分别为，的中点，
∴，
当时，的值最小，此时的值最小．
若，
则，
∴，
∴．
故答案为：，．
三、解答题（本大题共6个小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．在由边长为1个单位的小正方形组成的网格中，每个小正方形的顶点称为格点，四边形都是平行四边形，其中点、均为格点．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留作图痕迹．
(1)在图1中，点、、为格点，请在边上找到一点，使得；
(2)在图2中，点、为格点，点是边上任意一点，连接，在上找到一点，使得；
(3)在图3中，点、均为格线上的点，点是边上任意一点，连接，在边上找到一点，使得．
【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析
【分析】本题考查了无刻度直尺作图，全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，三角形中位线的性质；
（1）取的格点连接交于点，点即为所求；
（2）取的中点，的中点，连接交于点，点即为所求；
（3）取的中点，的中点，连接交于点，连接交于点，连接即可．
【详解】（1）解：如图①中，线段即为所求；
（2）解：如图②中，点即为所求；
（3）解：如图③中，线段即为所求．
20．如图，在中，平分交于点．
(1)若，求的长；
(2)若是的中点，连结，求证：平分．
【答案】(1)(2)见解析
【分析】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定及性质，熟悉掌握平行四边形的性质是解题的关键．
（1）利用平行四边形的性质得到，即 ，由角平分线的定义可得，即可推出，从而求解；
（2）由中点的性质得到证出，利用平行四边形的性质得到，即，在通过角的等量代换求解即可．
【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴；
（2）由(1)可得，
∴，
∵为中点，
∴，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴平分．
21．如图，在四边形中，，且，点分别从点同时出发，点P以的速度由点A向点D运动，点Q以的速度由点C向点B运动．当点中有一点到达终点时，另一点也随之停止运动．
(1)几秒后四边形是平行四边形？
(2)几秒后四边形是平行四边形？
【答案】(1)秒(2)秒
【分析】此题考查了平行四边形的判定等知识；熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．
（1）当时，四边形是平行四边形，由此得出方程，解方程即可；
（2）当时，四边形是平行四边形，由此得出方程，解方程即可．
【详解】（1）解：设运动了秒．
根据题意有，，，，
，
当时，四边形是平行四边形，
，
解得：．
秒时四边形是平行四边形．
（2）解：，
当时，四边形是平行四边形，
，
解得：，
秒时，四边形是平行四边形．
22．已知平行四边形为边上的中点，为边上的一点．
(1)如图，连接并延长交的延长线于点，求证：；
(2)如图，若，求；
(3)如图，若为的中点，为的中点，，求线段的长．
【答案】(1)见解析(2)(3)
【分析】（1）根据平行四边形的性质得到，根据平行线的性质得到，根据全等三角形的判定和性质即可得到结论；
（2）根据平行四边形的性质得到，连接并延长交的延长线于点，由（1）可得推出，根据等腰三角形的性质得到，根据平行线的性质即可得到结论；
（3）连接并延长交的延长线于点，由（1）可得，根据等腰三角形的性质得到，求得，根据平行线的性质得到，得到为直角三角形，设，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，
，
，
为边上的中点，
，
，
；
（2）解：四边形是平行四边形，
，
连接并延长交的延长线于点，
由（1）可得，
，
，
，
，
，，
；
（3）解：连接并延长交的延长线于点，
由（1）可得，
，
，
，
，
，
，
，
，
为直角三角形，
为的中点，为的中点，
设，
，
，
，
，
，
．
23．已知.
(1)如图1，若，以为边作等边，且点恰好在边上，直接写出此时的面积_____；
(2)如图2，若以为斜边作等腰直角△BCF，且点恰好在边上，过作交于，连接.
①依题意将图2补全；
②用等式表示此时线段，，之间的数量关系，并证明；
(3)如图3，若，以为边作，且，.若，用等式表示此时与的数量关系.
【答案】(1)(2)①作图见解析；②；理由见解析(3)
【分析】（1）作于点I，利用等边三角形的性质求得的长，再利用勾股定理求得的长，最后利用平行四边形的面积公式求解即可；
（2）①依照题意补全图形即可；
②延长交的延长线于点H，延长交的延长线于点J，利用证明，推出，，再证明，推出，即可证明；
（3）连接，作并交的延长线于点K，推出四边形是平行四边形，得到是直角三角形，，求得即可解决问题．
【详解】（1）解：解：作于点I，
由题意得，是边长为4的等边三角形，
∴，
∴，
∴此时的面积为，
故答案为：；
（2）解：①补全图形如图，
②；理由如下，
延长交的延长线于点H，延长交于点J，
∵是以为斜边的等腰直角三角形，
∴，，，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
又∵，，
∴，
∴，
∴；
（3）解：．
连接，作并交的延长线于点K，
∵，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，即是直角三角形，
∵四边形是平行四边形，且，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，即．
24．如图，在平面直角坐标系中，直线l的解析式为，与x轴交于点C，直线l上有一点B的横坐标为，点A是的中点．
(1)求直线的函数表达式；
(2)在射线上有两动点P，Q（P点在Q点下方），且，当四边形的周长最小时，求四边形周长的最小值；
(3)直线与y轴交于点H．将沿翻折得到，M为直线上一动点，N为平面内一点，是否存在这样的点M、N，使得以H、M、N、G为顶点的四边形是菱形，若存在，直接写出N点的坐标，若不存在，说明理由．
【答案】(1)(2)
(3)存在这样的点M，且坐标分别为，，，
【分析】（1）根据直线的解析式为，与x轴交于点C．直线上有一点B的横坐标为，点A是的中点，得到，运用待定系数法解答即可．
（2）过点A作点A关于直线的对称点，将点沿方向平移4个单位得到点，连接交于点Q，将点Q沿方向平移4个单位得到，再连接，此时四边形的周长最小，先证明为等边三角形，则，找出，，证明四边形为平行四边形，故此时四边形的周长为最小，再运用勾股定理算出，即可作答．
（3）分三种情形，结合菱形的性质，两点间的距离公式，解方程求解即可．
【详解】（1）解：∵直线的解析式为，与x轴交于点C．
令，则，解得，
∴
∴
∵点A是的中点，
∴，
∵直线上有一点B的横坐标为，
把代入，得
∴，
设直线的函数表达式，
故，
解得，
故直线的函数表达式．
（2）解：过点A作点A关于直线的对称点，将点沿方向平移4个单位得到点，连接交于点Q，将点Q沿方向平移4个单位得到，再连接，此时四边形的周长最小，如图所示：
∵，
∴，
∴，
故为等边三角形，
∵，
∴令时，，则
即，
∵，
∴ ，
在直角中，
即，
∵
则，
故，
∵轴对称性质，
∴，
故为等边三角形，
则，
∵，
∴轴，
故点；
将点沿方向平移4个单位，相当于沿x轴负半轴方向平移个单位，向上平移2个单位，故点，
由点A的平移知，且，
∴四边形为平行四边形，故
此时，四边形的周长为最小，
∵
∴
即．
（3）解：如图所示，∵直线的解析式为，与x轴交于点C．直线上有一点B的横坐标为，点A是的中点，
∴，
∴，
∵ 直线的函数表达式与y轴交于点H，
∴,
∴．，
∴
∴
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∵沿翻折得到，
∴，，，
∴，
∴轴，
∴，
设，
∵ 以H、M、N、G为顶点的四边形是菱形，
∴菱形的四边相等，对角线互相垂直平分，
当时，根据题意，得
解得或，
故，；
当时，根据题意，得
解得或（舍去），
故；
当时，
∵，
∴一定经过点B，
故M与点B一定重合，
故．
综上所述，存在这样的点M，且坐标分别为，，，．
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第4章 平行四边形单元测试卷【培优卷】
姓名：___________班级：___________考号：___________
考试时间：120分钟 满分：120分 考试范围：平行四边形
注意事项：
1.考生先将自己的班级、学号、姓名填写清楚。
2.选择题部分必须使用2B铅笔填涂；非选择题部分必须使用0.5mm黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4.保持卷面清洁，不折叠、不破损。
5.正确填涂
第Ⅰ卷（选择题共30分）
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定,把答案用2B铅笔填涂在答题卡相应的位置.）
1．如图，在中，对角线，交于点，过点作直线分别交，于点，．若，，，则图中的阴影部分面积为（ ）
A．6 B．8 C． D．12
2．在2024年10月的广交会现场，某商家的展台是一个不完整的正多边形图案，如图，小李量得展台中一边与对角线的夹角，则这个正多边形的边数是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
3．如图，在中，平分，交于点，，，．则的长是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在中，为对角线，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，作直线交于点，交于点．若，，，则的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
5．在平行四边形中，E，F是对角线上的两点，下列条件中，不能推出的是（ ）
A． B．
C． D．
6．如果一个三角形的两边长分别是方程的两个根，那么连接这个三角形三边的中点，得到的三角形的周长可能是（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
7．如图，将一张纸片沿着折叠，点的对应点恰好落在上，连接，若，，则图中阴影部分（）的面积是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在中，，，点为边上一点，且，点是的中点，点以每秒的速度从点出发，沿向点运动；同时，点以每秒的速度从点出发，沿向点运动，点运动到点时停止运动，点也同时停止运动，当以为顶点的四边形是平行四边形时，运动的时间为（ ）
A． B． C．或 D．
9．如图，在平行四边形中，，，平分交于点，则的周长为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，平行四边形的对角线相交于点平分，分别交，于点，连接，下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题（共8小题，满分24分，每小题3分，请把正确的答案填写在答题卡相应的位置。）
11．如图，在中，，于点，若，则 ．
12．如图，是正边形纸片的一部分，其中，是正边形两条边的一部分，若，所在的直线相交形成的锐角为，则的值是
13．已知：如图，△ABC沿射线平移后得，，若△ABC的面积为S，则四边形的面积为 ．（用含S的代数式表示）
14．如图，中，，延长到点，在内作射线，使得，过点作，垂足为．若，则的长为 ．
15．如图，在△ABC中，点D在的延长线上，且，点F在线段上，以，为邻边作，连接、、，若与的面积和为5，则△ABC的面积为 ．
16．如图，已知△ABC的周长为，连接△ABC三边的中点构成第二个三角形，再连接第二个三角形三边的中点构成第三个三角形，以此类推，第个三角形的周长为 ．
17．如图，四边形是平行四边形，对角线、交于点，，于点，，，则的长为 ．
18．如图，在△ABC中，，，，点是边上一点，点为边上的动点，点，分别为，的中点，则 ，的最小值是 ．
三、解答题（本大题共6个小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．在由边长为1个单位的小正方形组成的网格中，每个小正方形的顶点称为格点，四边形都是平行四边形，其中点、均为格点．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留作图痕迹．
(1)在图1中，点、、为格点，请在边上找到一点，使得；
(2)在图2中，点、为格点，点是边上任意一点，连接，在上找到一点，使得；
(3)在图3中，点、均为格线上的点，点是边上任意一点，连接，在边上找到一点，使得．
20．如图，在中，平分交于点．
(1)若，求的长；
(2)若是的中点，连结，求证：平分．
21．如图，在四边形中，，且，点分别从点同时出发，点P以的速度由点A向点D运动，点Q以的速度由点C向点B运动．当点中有一点到达终点时，另一点也随之停止运动．
(1)几秒后四边形是平行四边形？
(2)几秒后四边形是平行四边形？
22．已知平行四边形为边上的中点，为边上的一点．
(1)如图，连接并延长交的延长线于点，求证：；
(2)如图，若，求；
(3)如图，若为的中点，为的中点，，求线段的长．
23．已知.
(1)如图1，若，以为边作等边，且点恰好在边上，直接写出此时的面积_____；
(2)如图2，若以为斜边作等腰直角△BCF，且点恰好在边上，过作交于，连接.
①依题意将图2补全；
②用等式表示此时线段，，之间的数量关系，并证明；
(3)如图3，若，以为边作，且，.若，用等式表示此时与的数量关系.
24．如图，在平面直角坐标系中，直线l的解析式为，与x轴交于点C，直线l上有一点B的横坐标为，点A是的中点．
(1)求直线的函数表达式；
(2)在射线上有两动点P，Q（P点在Q点下方），且，当四边形的周长最小时，求四边形周长的最小值；
(3)直线与y轴交于点H．将沿翻折得到，M为直线上一动点，N为平面内一点，是否存在这样的点M、N，使得以H、M、N、G为顶点的四边形是菱形，若存在，直接写出N点的坐标，若不存在，说明理由．
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