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专题4.5&4.6 三角形中位线和反证法八大题型
（内容：三角形的中位线和反证法及应用）
【浙教版】
题型一：利用三角形的中位线求线段
【经典例题1】（24-25八年级下·江苏苏州·期中）如图，在△ABC中，点D、E分别是的中点，点F是上一点．已知，连接，若，则的长度为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】C
【分析】本题考查的是直角三角形的性质、三角形中位线定理．根据直角三角形的性质求出，进而求出 ，根据三角形中位线定理“三角形的中位线等于第三边的一半”计算，得到答案．
【详解】解：，点是的中点，，
，
，
，
点分别是的中点，
．
故选：C．
【变式训练1-1】（2025·辽宁抚顺·一模）如图，中，对角线，相交于点，点是的中点，若，则的长为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】C
【分析】本题考查平行四边形的性质，三角形中位线定理，关键是由三角形中位线定理得到．由平行四边形的性质推出，得到是的中位线，推出，即可求解 ．
【详解】解：∵，对角线，相交于点，
∴，
∵E是中点，
∴是的中位线，
∴．
故选：C．
【变式训练1-2】（2025·山东泰安·一模）在平行四边形中，点E为边上的中点，过点D作于点G，若点F为的中点，，，则的长为（ ）
A．6 B． C．8 D．
【答案】B
【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，勾股定理等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．取的中点，连接，则，而，所以，因为为的中点，所以，则，求得，即可得解；
【详解】解：取的中点，连接，则，
∵点为的中点，，
，
，
∵为的中点，为的中点，
，
，
，
，
，
故选：B．
【变式训练1-3】（2025·山东聊城·一模）如图，是△ABC的中线，是的中点，延长与交于点，若，则的长为（ ）
A．3 B．2 C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了中位线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，掌握以上知识得到是关键．
如图所示，取线段的中点，连接，得到，可证，得，则，由此即可求解．
【详解】解：如图所示，取线段的中点，连接，
∵是△ABC的中线，即点是中点，
∴，
∴，
∵是的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：A ．
【变式训练1-4】（24-25八年级下·全国·课后作业）如图，在△ABC中，分别是的中点，，则 ， ．
【答案】 4
【分析】该题考查了三角形中位线定理，直角三角形的性质和勾股定理，根据题意可得是△ABC的中位线，即可得出，在△ABC中，勾股定理求出，根据直角三角形的性质得出，根据是的中位线，即可得出．
【详解】解：∵在△ABC中，分别是的中点，
∴是△ABC的中位线，
∴，
∵在△ABC中，，，
∴，
∵点是的中点，
∴
∵分别是的中点，
∴是的中位线，
∴，
故答案为：4；．
【变式训练1-5】（2025·江苏无锡·一模）如图，中，，是边上的中线，是△ABC的中位线，若，则的长 ．
【答案】6
【分析】本题主要考查三角形中位线及直角三角形斜边中线定理，熟练掌握三角形中位线及直角三角形斜边中线定理是解题的关键；由题意易得，然后根据三角形中位线的性质可进行求解．
【详解】解：∵，是边上的中线，且，
∴，
∵是△ABC的中位线，
∴；
故答案为6．
【变式训练1-6】（24-25八年级下·江苏盐城·期中）如图，在四边形中中，，点E、F、G分别是、、的中点，连接、．若，则 ．
【答案】7
【分析】此题主要考查三角形的中位线，直角三角形斜边上的中线性质，熟知相关性质是正确解答此题的关键．
直接利用三角形中位线与直角三角形斜边上的中线性质解答即可．
【详解】证明：点E、F分别是、的中点，
是的中位线，
，
，
，
是的中点，，
．
故答案为：7．
题型二：利用三角形的中位线求周长
【经典例题2】（2025·四川雅安·一模）如果一个三角形的两边长分别是方程的两个根，那么连接这个三角形三边的中点，得到的三角形的周长可能是（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】B
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，构成三角形的条件，三角形中位线定理，先利用因式分解法解方程得到这个三角形的两边长分别为2，9，再由构成三角形的条件得到这个三角形的周长，由三角形中位线定理推出新得到的三角形的周长，据此可得答案．
【详解】解：解方程得或，
∴这个三角形的两边长分别为2，9，
∴这个三角形第三边的长，
∴这个三角形的周长，
由三角形中位线可得，连接这个三角形三边的中点，得到的三角形的每一边都等于与原三角形平行的边的长的一半，即所得三角形的周长为原三角形周长的一半，
∴新得到的三角形的周长，
故选：B．
【变式训练2-1】（24-25八年级下·福建福州·期中）如图，在中，点是的中点，对角线，相交于点，连接，若△ABC的周长是，则的周长为（ ）
A．5 B．10 C．15 D．20
【答案】B
【分析】本题考查了平行四边形的性质和三角形中位线定理．先根据平行四边形的性质得出，，再根据点是的中点，三角形中位线定理得出，，继而求解即可．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∵点是的中点，
∴，，
∵△ABC的周长是，即，
∴的周长
，
故选：B．
【变式训练2-2】（2025九年级下·云南楚雄·学业考试）如图在△ABC中，、分别为、的中点，，，，，则的周长为（ ）
A．12 B．13 C．14 D．15
【答案】C
【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，直角三角形的性质及三角形周长公式，解题的关键是熟练掌握三角形中位线定理，三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半．根据三角形中位线定理得出，根据直角三角形的性质可得，即可得出答案．
【详解】解：，
，
，分别是，的中点，
，，
，
即的周长为14．
故选：C．
【变式训练2-3】（24-25八年级下·江苏扬州·期中）如图，M是△ABC的边的中点，平分，且，垂足为N，且，，，则△ABC的周长是（ ）
A．12 B．11.8 C．12.4 D．13
【答案】B
【分析】本题主要考查了中位线定理和全等三角形的判定．解决本题的关键是作出辅助线，利用全等三角形来得出线段相等，进而应用中位线定理解决问题．
延长线段交于，证明，得，，进而证明是中位线，从而求出的长．
【详解】解：延长线段交于．
平分，
，
∵
∴，
又∵，
，
，，
又是的边的中点，
∴是的中位线，
，
的周长是，
故选：B．
【变式训练2-4】（24-25八年级下·全国·课后作业）如图，分别是和的平分线，．若，则△ABC的周长为 ．
【答案】30
【分析】由分别是和的角平分线推出即和都是等腰三角形，根据三角形中位线定理可得，即可解题．
此题考查了三角形的中位线定理、全等三角形的判定与性质及等腰三角形的判定与性质，属于基础题．
【详解】解：∵是的角平分线，
∴，，
∵，
∴，
∴．
同理：．
又∵，
∴E、D分别是和的中点，
∴是的中位线，
∴，
则△ABC的周长为：
，
由，得△ABC的周长为30，
故答案为：30．
【变式训练2-5】（24-25八年级下·河南商丘·期中）如图，是△ABC的边的中点，平分，于点，延长交于点，已知，，，则△ABC的周长为 ．
【答案】41
【分析】本题考查的是三角形的中位线定理、全等三角形的判定和性质，证明，得到，，根据三角形中位线定理求出，计算即可，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
【详解】解：平分，，
，
在和中，
，
，
，，
是的边的中点，
是的中位线，
，
的周长，
故答案为：41．
【变式训练2-6】（2025·四川广安·二模）如图，在△ABC中，，，D是边的中点，E是边上一点，若平分△ABC的周长，则的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质、三角形中位线定理，延长至点，使得，连接，证明为等边三角形，得出，证明得出为的中位线，由三角形中位线的性质求解即可．
【详解】解：如图，延长至点，使得，连接，
，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
∵D是边的中点，
∴，
∵平分△ABC的周长，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴为的中位线，
∴，
故答案为：．
【变式训练2-7】（24-25八年级下·河南许昌·期中）如图，中，，，，点、、分别是边、、的中点；点、、分别是边、、的中点；；以此类推，则第2025个三角形的周长是 ．
【答案】
【分析】本题考查了三角形中位线的性质，图形的变化规律，根据三角形的中位线性质可得后一个三角形的周长是前一个三角形周长的，据此得到第n个三角形的周长为，把代入计算即可求解．
【详解】解：由题可得的周长为，
∵点、、分别是边、、的中点，
∴、、是的三条中位线，
∴的周长是，
同理，的周长是，
，
以此类推，的周长是，
∴第2025个三角形的周长是，
故答案为：．
题型三：利用三角形的中位线求面积
【经典例题3】（2025·贵州遵义·一模）如图，在△ABC中，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，直线分别与边相交于点D，E．若D为的中点，，则△ABC的面积为（ ）
A．40 B．36 C．24 D．20
【答案】C
【分析】本题主要考查了作图﹣基本作图、线段的垂直平分线的定义、勾股定理、三角形中位线等知识点，熟练掌握三角形中位线的定义是解题的关键．
如图：连接，由题意可得垂直平分线段可得，，即；再运用勾股定理可得；然后说明是的中位线可得、，即；最后根据三角形的面积公式求解即可．
【详解】解：由题意可得垂直平分线段，
∴，，即
∵，
∴，
∵D为的中点，
∴是△ABC的中位线，
∴，，
∴，
∴△ABC的面积为．
故选C．
【变式训练3-1】（24-25九年级下·陕西汉中·阶段练习）如图，在△ABC中，点D，E，F，G分别为边，，，的中点，已知△ABC的面积为8，则四边形的面积为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【分析】本题考查了三角形中线的性质，三角形中位线的性质，以及平行四边形的性质，熟练掌握三角形中位线的性质是解题的关键．
根据三角形的中位线得，再根据平行四边形的性质即可求解．
【详解】解：∵点D为边的中点，
∴，
∵点E，F分别为边，的中点，
∴，，
∴，
∵点D，G分别为边，的中点，
∴，，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
故选：A．
【变式训练3-2】（24-25八年级下·福建福州·阶段练习）如图，C是线段上一点，分别以为边向上作等边三角形，连结，顺次连接中点F、G、H、M得四边形，若，则四边形面积 ．
【答案】
【分析】本题考查了等边三角形的面积，三角形中位线定理，勾股定理等知识，连接，过点作交于点，交于，过点作交于点，过点作于点，过点作于点，先求出四边形的面积，再根据三角形中位线定理求出，从而得到，即可求解，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：如图，连接，过点作交于点，交于，过点作交于点，过点作于点，过点作于点，
∵为等边三角形，，，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵为等边三角形，，，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵点是的中点，
∴，且，
∴，
同理：，
∴，
同理：，
∴，
∴∴，
故答案为：．
【变式训练3-3】（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，在△ABC中，点分别是的中点，连接．过点作于点，连接．若的面积为1，则四边形的面积为 ．
【答案】3
【分析】本题考查了三角形中位线定理；由三角形中位线定理得，由的面积为1，得，再由梯形的面积公式即可求解．
【详解】解：∵点分别是的中点，
∴是的中位线，
∴；
∵的面积为1，
即，
∴，
∴四边形的面积为；
故答案为：3．
【变式训练3-4】（24-25八年级下·全国·课后作业）如图，在△ABC中，D、E、F分别是的中点．
（1）若，则的周长为 ．
（2）若△ABC的周长为，则的周长为 ；若△ABC的面积为，则的面积为 ．
【答案】 11 5 1
【分析】本题主要查了三角形中位线定理，平行四边形的判定和性质，熟练掌握三角形中位线定理，平行四边形的判定和性质是解题的关键．
（1）根据三角形中位线定理，可得，即可求解；
（2）根据三角形中位线定理，可得，即可求出的周长；再证明四边形均为平行四边形，可得，可求出的面积．
【详解】解：（1）∵D、E、F分别是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴的周长为；
故答案为：11
（2）∵D、E、F分别是的中点，
∴，
∵△ABC的周长为，
∴，
∴的周长为；
∵D、E、F分别是的中点，
∴，
∴四边形均为平行四边形，
∴，
∴，
∵△ABC的面积为，
∴．
故答案为：5；1
【变式训练3-5】（24-25八年级下·浙江绍兴·期中）如图，在平行四边形中，对角线相交于O点，，E是边的中点，G、F为上的点，连接和，若，，，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】120
【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，三角形的中线有关面积计算，不规则图形面积的计算，熟知上述图形的判定与性质是解题的基础，将不规则图形拆分成规则图形是解题的关键．
连接，先证明四边形是平行四边形，得到，根据，得到，从而得到，由此求解即可．
【详解】解：如图所示，连接，过点作，
∵平行四边形中，对角线相交于点，
∴是边的中点，
又∵是边的中点，
∴是△ABC的中位线，
，
又∵，
，
∴四边形是平行四边形．
∴，
又∵，
，
，
，
，
∴等腰△ABC中边上的高为，
，
∵是边的中点，
，
∴阴影部分的面积为120．
故答案为：120．
题型四：三角形的中位线中最值问题
【经典例题4】（2025八年级下·山东·专题练习）如图，在中，，，．分别是上的动点，连接，分别为的中点，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，直角三角形的性质，勾股定理，垂线段最短，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
连接，过点作于，由平行四边形的性质得到，得出求出，求出，由三角形中位线定理得到，当时，有最小值，即有最小值，当点与点重合时，的最小值为，得到
的最小值为，即可得到答案．
【详解】解：如图，连接，过点作于，
四边形是平行四边形，，
，
，
，
，
，
分别为的中点，
，
当时，有最小值，即有最小值，
当点与点重合时，的最小值为，
的最小值为，
故选：D．
【变式训练4-1】（24-25八年级上·山东烟台·期末）如图，在中，，，．、分别是、上的动点，连接、，、分别为、的中点，则的最小值是（ ）
A．4 B．5 C． D．
【答案】D
【分析】如图，连接，过点作于，由勾股定理得，由三角形中位线定理可得，当时，有最小值，即有最小值，由直角三角形的性质可求解．
【详解】解：如图，连接，过点作于，
四边形是平行四边形，，
，
，
，
，
∴由勾股定理得，
、分别为、的中点，
，
当时，有最小值，即有最小值，
当点与点重合时，的最小值为，
的最小值为，
故选：D．
【变式训练4-2】（24-25八年级上·山东威海·期末）如图，在中，∠B=90°，，，点为上的动点，点，分别为，的中点，则最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了勾股定理，垂线段最短问题，三角形的中位线定理，解题的关键是掌握相关知识．连接，先根据勾股定理求出，由题意可知，是的中位线，得到，当最小时，的值最小，当时，最小，利用等面积法求出，即可求解．
【详解】解：如图，连接，
在中，∠B=90°，，，
，
点，分别为，的中点，
是的中位线，
，
当最小时，的值最小，
当时，最小，
此时，，
即，
，
，
故选：C．
【变式训练4-3】（2025·河南周口·一模）如图，直角三角形中，，点 P 为平面内一动点，，连接，点Q 是线段的中点，则线段的最小值为 ，最大值为 ．
【答案】 2 3
【分析】本题考查了中位线的应用，直角三角形斜边上中线等于斜边的一半，三角形边长关系，取的中点，连接，利用三角形边长关系即可求解，作出正确的辅助线是解题的关键．
【详解】解：如图，取的中点，连接，
点Q 是线段的中点，
是的中位线，
，
根据勾股定理可得，
，
根据三角形边长关系可得，
点在线段上时，线段的最小，最小值为，
点在线段的延长线上时，线段的最大，最大值为，
故答案为：2；3．
【变式训练4-4】（24-25八年级下·江苏扬州·期中）如图，在四边形中，，，E，F分别为边，的中点．连接，线段的最大值为 ．
【答案】5
【分析】此题主要考查三角形中位线定理，解题的关键是利用三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．取的中点G，连接，，根据三角形中位线性质得出，，根据三角形三边关系可知：，从而得出答案即可．
【详解】解：取的中点G，连接，，如图所示：
∵E，F分别为边，的中点，
∴，，
根据三角形三边关系可知：，
∴当、G、F三点共线时，最大，且最大值为．
故答案为：5．
【变式训练4-5】（24-25八年级下·天津滨海新·期中）如图，在△ABC中，，，，、分别是边、上的动点，、分别是、的中点，则的最小值是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查三角形中位线定理，勾股定理解三角形．连接，根据三角形中位线的性质定理得出，由勾股定理求出，再根据三角形等面积法求出，即可得出结果．
【详解】解：连接，
∵F、G分别是、的中点，
∴是的中位线，
∴，
当最小时，最小，
当时，最小，
在中，，，，
则，
当时，
，
∴，
解得：，
∴的最小值为，
故答案为：．
【变式训练4-6】（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在四边形中，，，．点、分别为线段、上的动点（含端点，但点不与点重合），点、分别为、的中点，则长度的最大值是 ．
【答案】6.5
【分析】本题考查了三角形中位线定理，勾股定理的应用，根据三角形的中位线定理得出，从而可知最大时，最大，因为N与B重合时最大，从而求得的最大值为6.5．
【详解】解：连接，
∵点、分别为、的中点，
∴，
∴是三角形的中位线
∴，
∴最大时，最大，
∵N与B重合时最大，
此时，
∴的最大值为．
故答案为：6.5
题型五：反证法证明中的假设
【经典例题5】（24-25八年级下·甘肃天水·阶段练习）在△ABC中，．求证：．（用反证法证明）
【答案】见解析
【分析】本题考查的是反证法．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．先假设，由等边对等角求得，推出，与三角形内角和定理等于相矛盾，即可证明假设不成立，推出结论成立．
【详解】解：假设，
∵，
∴，
∴，
∴，与三角形内角和定理等于相矛盾，
∴假设不成立，
∴．
【变式训练5-1】（24-25九年级上·陕西渭南·期中）如图，在△ABC中，点D、E分别在、上，连接、，、相交于点O．用反证法证明：和不可能互相平分．
【答案】证明见解析
【分析】本题主要考查反证法的证明方法，反证法的步骤：首先假设反论题正确，然后依据规则进行推理，若出现与已知条件不符或与公理定理相矛盾的情形，即可证明反论题不成立，原命题正确．
第一步先假设和互相平分，根据平行四边形的判定和性质得到，即，与已知矛盾，从而证明原命题正确．
【详解】证明：连接．假设和互相平分．
和互相平分，
∴四边形是平行四边形，
∴．
∵在△ABC中，点D、E分别在、上，
与不可能平行，与已知矛盾，
故假设不成立，和不可能互相平分．
【变式训练5-2】（20-21九年级·江苏南京·自主招生）求证：对于任意连续的三个正整数，都存在一个质数p，使得三个数中有且只有一个数是p的整数倍．
【答案】见详解
【分析】本题考查的是反证法，反证法的一般步骤是：（1）假设命题的结论不成立；（2）从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；（3）由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．
根据反证法的一般步骤解答即可．
【详解】证明：假设对于任意连续的三个正整数，都存在一个质数，使得三个数中没有一个数是的整数倍或有两个或三个的整数倍，
取，显然，任意连续的三个正整数，有且只有一个数是3的整数倍，
所以假设不成立，
所以对于任意连续的三个正整数，都存在一个质数，使得三个数中有且只有一个数是的整数倍．
【变式训练5-3】（23-24九年级下·江苏南京·自主招生）对一个正整数n，我们进行如下操作：若它是奇数，则乘以3再加1；若是偶数，则除以2．
(1)对于，进行若干次上述操作后，是否有一数是4的倍数．
(2)求证对任意正整数n，进行有限次上述操作后，必有一数是4的倍数．
【答案】(1)和，进行一次上述操作后，都有一数是4的倍数；(2)证明见解析
【分析】本题主要考查了反证法和有理数的四则运算：
（1）根据定义进行判断即可；
（2）奇数经过一次操作后一定会变为偶数，因此只需要证明偶数经过操作后有一数是4的倍数即可；若偶数为4的倍数，则问题得证，若偶数不是4的倍数时，则该偶数可以表示为（m为整数），当（k为整数），则，经过操作后可变为，问题得证；当（k为整数），则经过操作后可得，对于，要使不是4的倍数，那么k一定要是奇数，则可推出要一直成立，即对于任意的k的结果都是整数，显然这是不可能的，据此问题得证．
【详解】（1）解：∵，且52是4的倍数，
∴进行一次上述操作后，有一数是4的倍数；
∵，且112是4的倍数，
∴进行一次上述操作后，有一数是4的倍数；
（2）解：∵奇数乘以3再加1后一定会变为偶数，而偶数除以一定数量的2之后一定会变为奇数，
∴经过有限步后奇数一定会变为偶数，
若偶数为4的倍数，则问题得证，
若偶数不是4的倍数时，则该偶数可以表示为（m为整数），
当（k为整数），则，
，，
∴一定是4的倍数，故当m为偶数时，满足题意；
当（k为整数），则，
，，，
，，
对于，要使不是4的倍数，那么k一定要是奇数，
设（p为整数），则，
，，，
同理要使不是4的倍数，则p一定是奇数，
如此反复，在此过程中，若有一个环节中出现了偶数，那么环节中必有4的倍数，
∴假设不存在4的倍数，那么要一直成立，即对于任意的k的结果都是整数，显然这是不可能的，
∴假设不成立，
∴原结论正确．
【变式训练5-4】（23-24八年级下·浙江绍兴·阶段练习）如图，在△ABC中，点D、E分别在上，相交于点O．求证：和不可能互相平分．
【答案】见解析
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，反证法．熟练掌握平行四边形的判定与性质，反证法是解题的关键．
如图，连接，假设和互相平分，则四边形是平行四边形，，由不可能平行于，与已知出现矛盾，故假设不成立，原命题正确，进而结论得证．
【详解】证明：如图，连接，
假设和互相平分，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵在中，点D、E分别在上，
∴不可能平行于，与已知出现矛盾，故假设不成立，原命题正确，
∴和不可能互相平分．
【变式训练5-5】（23-24八年级下·陕西西安·期中）用反证法证明：一个三角形中，至少有一个角不小于．
【答案】证明见解析
【分析】本题考查了反证法的知识，根据反证法的步骤，先假设都小于，可得，与三角形的内角和定理矛盾，即假设错误，进而得到三角形中至少有一个角不小于，掌握反证法的步骤：（）假设结论不成立；（）从假设出发推出矛盾；（）假设不成立，则结论成立；是解题的关键．
【详解】证明：假设都小于，则，
即，这与三角形的内角和定理矛盾，
故都小于不成立，
所以三角形中至少有一个角不小于．
【变式训练5-6】（2023八年级下·浙江·专题练习）用反证法证明：
(1)已知：，求证：a必为负数．
(2)求证：形如的整数k（n为整数）不能化为两个整数的平方和．
【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析
【分析】（1）首先假设，则，与已知矛盾，因此a必为负数．
（2）假设的整数部分k能化成两个整数的平方和，设这两个整数为，则有，因为，可得前后矛盾，因此假设结论不成立，进而得出答案．
【详解】（1）证明：假设，则，这与已知相矛盾，
∴假设不成立，
∴a必为负数；
（2）证明：假设的整数部分k能化成两个整数的平方和，不妨设这两个整数为，
则，
∵，
∴假设不成立，
∴的整数k不能化为两个整数的平方和．
题型六：三角形中位线中尺规作图问题
【经典例题6】（2025·山东淄博·一模）如图，在中，以为圆心，的长为半径画弧交于点，连接，分别以，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线，交于点，过点作交于点，若，，则的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】本题考查平行四边形背景下求线段长问题，涉及尺规作图、三角形中位线的判定与性质、平行四边形的性质等知识，熟练掌握三角形中位线的判定与性质是解决问题的关键．
由作图可知，，则垂直平分，则，取的中点，连接，即，可证得四边形是平行四边形，，由，可知，进而求得，则．
【详解】解：由作图可知，，
∴垂直平分，则，
取的中点，连接，即，
∴，，
，
四边形是平行四边形，，
，
又∵，即，
∴，
而，
∴，则
故选：C．
【变式训练6-1】（2025·辽宁丹东·模拟预测）如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于，两点，作直线和交于点；②以点A为圆心，长为半径画弧，交于点：③分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，连接，和交于点，连接．若，，则的长为（ ）
A．2 B． C．4 D．
【答案】B
【分析】根据基本作图可知，，可证明，同时由作图可知，即可根据三角形中位线定理求得答案．
【详解】解：由作图步骤①可知，是边的垂直平分线，
，
由作图步骤②可知，，，
，
．
故选：B．
【变式训练6-2】（2025·山东潍坊·一模）如图，在△ABC中，按下列步骤作图：（1）分别以点B，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于E，F两点，和交于点O；（2）以点A为圆心，长为半径画弧，交于点D；（3）分别以点D，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，连接，交与点P，且和交于点N，连接．下列说法正确的是（ ）
A．D为的中点 B．
C．垂直平分 D．
【答案】BCD
【分析】本题考查三角形中位线，垂直平分线和角平分线的尺规作图，角平分线的性质，根据作图步骤可得：垂直平分，平分，，据此逐个分析即可．
【详解】解：根据作图步骤可得：垂直平分，平分，，是中点，
当时，D为的中点，没有条件证明，故A选项错误，不合题意；
∵平分，，
∴垂直平分，是中点，故选项C正确，
∵是中点，是中点，
∴是的中位线，
∴，故选项B正确，
∵平分，
∴点到、距离相等，
∴，故选项D正确，
故选：BCD．
【变式训练6-3】（2025·辽宁沈阳·一模）如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于两点，和交于点；②以点为圆心，长为半径画弧，交于点；③分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，连接和交于点，连接．若，则的长为（ ）
A．2 B． C．4 D．
【答案】C
【分析】本题考查作图-基本作图、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形中位线，由作图可知，直线为线段的垂直平分线，为的平分线，可知为等腰三角形，则为的中线，即点为的中点，则为的中位线，根据三角形中位线定理可得答案，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
【详解】解：由作图可知，直线为线段的垂直平分线，为的平分线，
∴点为的中点， ，为等腰三角形，
∴为的中线，
∴点为的中点，
∴为的中位线，
，
∵，
∴，
∴，
故选：C．
【变式训练6-4】（24-25九年级上·山西大同·期末）如图，点，分别是△ABC的边，的中点，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，，作直线，交于点，连接，，经测量得，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的作法，三角形中位线定理和直角三角形斜边中线的性质，解题的关键是熟悉掌握尺规作图和相关性质定理．
根据题干描述得知为线段的垂直平分线，即是斜边上的中线，，是△ABC的中位线，．
【详解】解：根据题意可知：
为线段的垂直平分线，点是线段的中点，
，
是直角三角形，
∴是斜边上的中线，
，
∵点，分别是的边，的中点，
∴是△ABC的中位线，
．
故答案为：．
【变式训练6-5】（2024·云南昆明·二模）如图，是△ABC的中位线，按以下步骤作图：①以点B为圆心，小于的长为半径画弧，分别交于点M，N；②分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点P；③作射线交于点D．若，则的长为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】A
【分析】本题考查三角形中位线的性质，角平分线的作法，三角形中等角对等边，由作图步骤可知平分，由中位线的性质可得，，，进而可得，由等角对等边可得，进而计算出，即可求解．
【详解】解：由作图步骤可知平分，
，
是△ABC的中位线，，
，，，
，
，
，
，
，
故选A．
【变式训练6-6】（2024九年级下·云南·学业考试）如图，在△ABC中，作边的垂直平分线交于点，交于点，若，，则的长为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
【答案】C
【分析】本题考查了作图基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了线段垂直平分线的性质及三角形中位线的性质．利用基本作图可判断垂直平分，所以，，再根据可得，最后根据三角形中位线的性质可求出的长．
【详解】解：由作法得垂直平分，
，，
，
，
，
故选：C
题型七：与中位线有关的证明
【经典例题7】（24-25八年级下·全国·课后作业）如图，在△ABC中，分别是边和上的中线，且相交于点，分别是的中点．求证：四边形是平行四边形．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了三角形的中位线定理，平行四边形的判定和性质，熟练掌握三角形的中位线定理，平行四边形的判定和性质是解题的关键．根据三角形的中位线定理可得，且，，且，从而得到，且，进而得到四边形是平行四边形，即可求证．
【详解】证明：分别是边和上的中线，
∴点，分别是边，的中点，
∵点，分别是线段，的中点．
是△ABC的中位线，是的中位线，
∴，且，，且，
∴，且，
四边形是平行四边形，
【变式训练7-1】（24-25八年级下·江苏南京·期中）如图，在△ABC中，是外角的平分线，、分别是、中点，连接并延长交于点，连接，求证：．
【答案】见详解
【分析】本题主要考查角平分线的定义、等腰三角形的性质与判定及三角形中位线，熟练掌握角平分线的定义、等腰三角形的性质与判定及三角形中位线是解题的关键；由题意易得，，则有，然后可得，进而可得，最后问题可求证．
【详解】证明：∵、分别是、中点，
∴，
∴，
∵是外角的平分线，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴．
【变式训练7-2】（24-25八年级下·北京·期中）如图，在中，点、分别是、的中点，连接，点是的中点，连接，．若，，，求证：．
【答案】见解析
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，中位线的性质；先证明是直角三角形，可得，根据已知可得，则，进而根据中位线的性质可得，即可得证．
【详解】证明：∵，，，
∴
∴是直角三角形，
又∵是的中点
∴
∵是的中点，
∴
∴
∵点、分别是、的中点，
∴
∴．
【变式训练7-3】（24-25八年级下·甘肃定西·阶段练习）如图，在平行四边形中，点，分别在，上，，连接与对角线相交于点．
(1)求证：；
(2)连接，为的中点，连接．若，求的长．
【答案】(1)见解析(2)4
【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，三角形中位线，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键；
（1）根据四边形是平行四边形，得到，从而证明，进而得证；
（2）根据三角形的中位线，即可求解；
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
，，
∴，
，
，
在和中，
，，，
，
；
（2）解：∵点为的中点，，
是的中位线，
，
，．
【变式训练7-4】（24-25八年级下·天津滨海新·期中）如图， △ABC中，点，分别是边，的中点，过点作 交的延长线于点， 连接．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)当时， 若 ，求的长．
【答案】(1)证明见详解(2)12
【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，三角形中位线的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，解题的关键是熟练掌握各项性质并灵活应用．
（1）利用平行线的性质和中点的性质得出，再根据全等三角形的性质得出，进而利用平行四边形的判定定理即可得出答案；
（2）利用相等的线段和中点，依据等腰三角形的三线合一得出，再利用勾股定理即可求解．
【详解】（1）证明：∵，
，
∵点是边的中点，
，
在和中，
，
，
，
∵点，分别是边，的中点，
是△ABC的中位线，
，
，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：∵点是边的中点，，
，
∵，点是边的中点，
，
在中，由勾股定理得，，
．
【变式训练7-5】（24-25八年级下·广西南宁·期中）如图，△ABC中，，D、E分别为、的中点，连接，过E作交的延长线于F．
(1)求证：四边形为平行四边形；
(2)若，求的长．
【答案】(1)见解析(2)
【分析】本题主要考查了平行四边形的判定以及性质，三角形中位线的判定以及性质，等边三角形的判定以及性质，含30度直角三角形的性质，勾股定理等知识，掌握这些知识是解题的关键．
（1）由已知条件得出为△ABC的中位线，由三角形中位线的性质得出，结合已知条件可得出四边形为平行四边形．
（2）先证明△ABC为等边三角形，再由三线合一的性质得出，进而可得出，再由含30度的直角三角形的性质得出，再利用勾股定理得出，最后根据平行四边形的性质求解即可．
【详解】（1）证明：∵D、E分别为、的中点
∴为△ABC的中位线，
，即
又，
四边形为平行四边形．
（2）解：，，
为等边三角形，
D为中点，
，
．
在中，，
，
，
四边形为平行四边形，
．
【变式训练7-6】（24-25八年级下·浙江湖州·期中）在中，分别是边的中点，延长到点D，使，连结．
(1)求证：四边形是平行四边形．
(2)连结，交于点O，若，求的长．
【答案】(1)见解析(2)
【分析】本题考查了三角形中位线的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，掌握三角形中位线的性质和平行四边形的性质是解题的关键．
（1）利用三角形中位线的性质得，进而可得，，即可求证；
（2）由可得，，利用勾股定理得，再根据平行四边形的性质得，，利用勾股定理求出即可求解；
【详解】（1）证明：分别为的中点，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形；
（2）解：，
，
在中，，
在平行四边形中，，
在中，，
．
题型八：三角形中位线综合（压轴题）
【经典例题8】（24-25八年级下·重庆·期中）在中，，，点是直线上一点．
(1)如图1，点是线段上一点，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接，，若，，求线段的长；
(2)如图2，点是线段延长线上一点，将绕点顺时针旋转，交线段于点，点为线段上一点，过点作的垂线，垂足为点，过点作交延长线于点，连接．若平分，求证：；
(3)如图3，在（1）问的条件下，在线段下方作，使得．点，分别为线段，上的动点，且，连接，当最小时，直接写出四边形的面积．
【答案】(1)(2)证明见解析(3)
【分析】（1）过点N作于E，设，则可得，从而由建立方程求得，即的长；
（2）过点作延长线于点，过点作延长线于点，先证明，得出，，利用，求出， 再证，再证，得出，再证为等腰直角三角形，得出，即可证明；
（3）先利用，求出，，，再结合，得出，得出，利用胡不归，过点在下方作，过点作于点，得出，则，由点到直线的距离可得当，，依次共线，且时，取得最小值，即取得最小值，此时， 利用证明是的中位线，得出，证明和是直角三角形，再进行计算即可．
【详解】（1）解：如图，过点N作于E，设，
由旋转知，，
∴是等边三角形，
∴，，
由勾股定理得，
∵，，
∴；
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
则，
∴，
∴；
（2）证明：如图，过点作延长线于点，过点作延长线于点，
由旋转得，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴四边形是矩形，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴；
（3）解：∵，，
∴，
∴，，，
∵，
∴，
∴
∴，
如图，过点在下方作，过点作于点，
∴，
∴，
由点到直线的距离可得当，，依次共线，且时，取得最小值，即取得最小值，此时如图，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵是等边三角形，
∴，，
∴垂直平分，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【变式训练8-1】（24-25八年级下·江苏苏州·期中）【提出问题】
（1）如图，四边形中，对角线，交于点，点，，，，分别是边，，，的中点，顺次连接，若，求四边形的周长．
【解决问题】
（2）如图，在等边△ABC与等边△ADE中，点在的延长线上，点在的同侧，连接，点，分别是，的中点，连接，若，，求的长．
（3）如图，在等腰△ABC与等腰△ADE中，，，，，点在的上方，连接，，点，，分别是，，的中点，连接，则的面积为___________．
【答案】（）四边形的周长为；（）；（）．
【分析】（）根据中位线定理即可求解；
（）连接，取中点，连接，过作，交延长线于点，由等边三角形的性质可得，，，再根据中位线定理可得，，，，然后求出，则，根据所对直角边是斜边的一半得到，最后由勾股定理即可求解；
（）连接，与交于点，交于点，交于点，过作交延长线于点，由中位线定理可得，，，，则四边形是平行四边形，故有，再证明，得，，则有是等腰三角形，在根据三角形内角和定理，通过勾股定理得出，，然后过作于点，则，根据直角三角形的性质和面积公式即可求解．
【详解】解：（）∵点，，，，分别是边，，，的中点，
∴，，
∴四边形的周长为；
（）如图，连接，取中点，连接，过作，交延长线于点，
∵，是等边三角形，
∴，，，
∵点，分别是，的中点，
∴，，，，
∴，，
∵，，
∴，
即，
∴，
∴，
∴，
∴，
由勾股定理得：，
∴；
（）如图，连接，与交于点，交于点，交于点，过作交延长线于点，
∵点，，分别是，，的中点，
∴，，，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，，，
∴，，
∴，是等腰三角形，
在中，，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
如图，过作于点，则，
∵，
∴，
∴的面积为，
故答案为：．
【变式训练8-2】（23-24八年级下·浙江宁波·期中）【三角形中位线定理】：如图1，是的中位线，则，
【活动一】：证明定理：添加辅助线：如图1，在△ABC中，延长（、分别是、的中点）到点，使得，连接，请你补充完整证明过程．
【活动二】：应用定理：如图2，在四边形中，，是对角线的中点，是的中点，是的中点，求证：．
【活动三】深入定理：如图3，在四边形中，，，为的中点，、别为边上的点，若，，，求的长．
【答案】活动一：见解析；活动二：详见解析活动三：
【分析】活动一：证明，得出，，结合题意得出，再证明四边形为平行四边形，即可得解；
活动二：由中位线定理可得，，，，
结合，得出，即可得证；
活动三：过点向上作的平行线，连接，延长，过作延长线的垂线，垂足为，连接，由题意可得，，，证明，得出，，证明是中垂线，得出，求出的长即可得解．
【详解】活动一 ：解：∵是的中点，
，
在△ADE和中，
，
∴，
∴，，
∵为的中点，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∴，；
活动二：解：∵是的中点，是的中点，
∴，，
∵是的中点，是的中点，
∴，，
，
，
活动三：解：过点向上作的平行线，连接，延长，过作延长线的垂线，垂足为，连接，
∵是的中点，，
∴，，，
∴，
∴，，
，
∴是中垂线，
，
，
∴，，
∵，，
∴，，
，
∴，．
【变式训练8-3】（24-25八年级上·山东泰安·期末）在四边形中，、分别是、的中点．
(1)如图1，在四边形中，若是的中点，，，，，求的长．
(2)如图2，连接并延长，分别与、的延长线交于点、，为中点，若，求证：．
(3)如图3，在△ABC中，，点在上，，、分别是、的中点，连接、并延长，与的延长线交于点，连接，若，判断的形状，并说明理由．
【答案】(1)(2)证明见解析(3)是直角三角形，理由见解析
【分析】（1）由、、分别是、、的中点可得，、分别是、的中位线，由三角形的中位线定理可得，，，，由两直线平行同位角相等可得，由两直线平行同旁内角互补可得，进而可得，在中，根据勾股定理可得，由此即可求出的长；
（2）由、、分别是、、的中点可得，、分别是、的中位线，由三角形的中位线定理可得，，，，再结合，可得，由等边对等角可得，由两直线平行内错角相等可得，由两直线平行同位角相等可得，于是结论得证；
（3）连接，取的中点，连接、，由、、分别是、、的中点可得，、分别是、的中位线，由三角形的中位线定理可得，，，，再结合，可得，由等边对等角可得，由两直线平行内错角相等可得，则，由两直线平行同位角相等可得，由对顶角相等可得，进而可证得是等边三角形，于是可得，再结合，进而可得，由等边对等角可得，由三角形外角的性质可得，于是可得，然后根据即可得出结论．
【详解】（1）解：、、分别是、、的中点，
、分别是△ABC、的中位线，
，，
，，
，，
，，
，，
，
在中，根据勾股定理可得：
；
（2）证明：、、分别是、、的中点，
、分别是、的中位线，
，，
，，
，
，
，
，，
，，
；
（3）解：是直角三角形，理由如下：
如图，连接，取的中点，连接、，
、、分别是、、的中点，
、分别是、的中位线，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
又，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
即：是直角三角形．
【变式训练8-4】（24-25八年级下·重庆·阶段练习）如图，在四边形中，对角线、相交于点，，．
(1)如图1，若，，，求四边形的面积．
(2)如图2，点、点分别是、上的点，，点、点分别为、的中点，连接，为上一点，为延长线上一点，连接、，若，，，证明：；
(3)如图3，过点作于点，是上一点，连接，作于点，交于点，，．当点在直线上运动时，将绕点顺时针旋转得，连接，，，若，当最小时，直接写出的面积．
【答案】(1)(2)证明见解析(3)
【分析】（1）先证明，再证四边形是平行四边形，结合得出，再在中利用勾股定理求出，再计算面积即可；
（2）连接，取中点，连接，，同（1）可得四边形是平行四边形，通过导角得出，再证明，由点、点分别为、的中点，为中点，利用中位线得出，，，，可得，再进行导角可得，是等腰直角三角形，得，再利用线段的和差即可证明；
（3）先证明，推导出、是等腰直角三角形，再求出，，，过点作于点，连接，通过证明推导出，推出点，，共线，可知点的轨迹为直线，过点作直线的对称点，连接，则，当且仅当，，依次共线时取最小值，证明四边形是平行四边形，可知，最后求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，，
∴，
∵，
∴在中，，
即，
解得：，
∴，
∴；
（2）解：如图，连接，取中点，连接，，
同（1）可得四边形是平行四边形，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵点、点分别为、的中点，为中点，
∴，，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
即，
∵， ，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
即；
（3）解：∵，，
∴，，，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
同（1）可得四边形是平行四边形，
∴，，，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，，
∴在中，，
即，
解得：，
∴，
∴，，
如图，过点作于点，连接，
由旋转知，，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点，，共线，
∴点的轨迹为直线，
如图，过点作直线的对称点，连接，
则，当且仅当，，依次共线时取最小值，
此时如图，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴．
【变式训练8-5】（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）【问题提出】
（1）如图1，在△ABC中，△ABC的面积为6，，，于点D，分别作，关于的对称图形和，连接．
①的长度 ；
②计算的长度．
【问题解决】
（2）如图2是一块建设规划用地，规划设计者想在△ABC的一块绿地边上修建一个直径为的圆形水池（为圆直径），在点A与D处开两个大门，便于参观者行走，点D为边的中点．沿圆的周长铺设圆形的小路，并沿和再铺设两条笔直的小路，铺设小路的费用为每米1000元．已知，，，则铺设小路的最少费用多少元？（门与路的宽度不计）
【答案】（1）①3；②（2）元
【分析】对于（1）①，根据面积公式计算即可；②根据对称图形的性质得，进而得出，，然后作，再根据直角三角形的性质和勾股定理求出，最后根据等腰三角形的性质得出答案；
对于（2），先根据勾股定理求出，再根据中点得，作点A关于直线的对称点，可得，作，使，连接，当点F在与的交点处时，线段最短可知的长最短，即最短长度为线段，此时，铺设小路的总长最小，费用最少，然后作，交的延长线于点N，接下来根据中位线的性质和判定可求，进而得出，，最后根据勾股定理得，即可求出答案．
【详解】解：（1）①在△ABC中，△ABC的面积等于6，，，
∴，
解得．
所以的长度是3；
故答案为：3；
②∵，分别是，的关于的对称图形，
∴，
∴，．
过点A作于点M，如图所示，
则，
∴，
在中，，
根据勾股定理，得，
∴，
则的长度为；
（2），在中，，
∴．
∵点D为边的中点，
∴．
作点A关于直线的对称点，则上任意一点到点A与点的距离相等，即，过点作，使，连接，则点F在与的交点处时，，根据两点之间，线段最短可知的长最短，从而的长最短，最短长度为线段，此时，铺设小路的总长最小，费用最少，过点D作于点H，交的延长线于点N，如图所示，
则四边形是矩形，
∴，．
取的中点I，连接，
∴是△ABC的中位线，
∴，
∴点H和点I重合，
∴
∴，
∴．
在中，根据勾股定理，得，
∴铺设小路的总长的最小值为，
∴铺设小路的最少费用为元．
【变式训练8-6】（24-25八年级上·辽宁葫芦岛·阶段练习）【思维导图】
丞丞同学通过全等三角形的学习，简要地绘制了关于三角形中线的思维导图．
【初步应用】
（1）如图①，在△ABC中，是的中点，连接，过点作于点，若△ABC的面积是，求的长．
【推导明理】
（2）如图②，是△ABC的中线，若．求的取值范围．
丞丞同学利用所学的数学知识及解题经验，先延长至点，使得，连接，从而得到，进而通过全等三角形的性质和三角形三边的关系得出的取值范围；在辅助线的做法上，霖霖同学经过思考，先过点作，交的延长线于点，从而得到，进而解决问题．
请你选择一名同学的解题思路，写出解答过程．
【拓展运用】
（3）如图③，在△ABC中，，分别是上一点，连接，是的中点，连接，若，求证：．
【答案】（1）；（2）；（3）见解析．
【分析】（1）由中点得，进而得的面积，再根据面积公式构造方程即可得解；
（2）延长至点，使得，连接，证明，得，再利用三角形的三边关系即可得解；
（3）延长到，使得，连接，证明（）得，，再证明，得，从而得．
【详解】（1）解：∵是的中点，
∴，
∵△ABC的面积是
∴的面积，
∵，，
∴即，
∴；
（2）解：延长至点，使得，连接，
∵是△ABC的中线，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴；
（3）证明：延长到，使得，连接，
∵是的中点，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
在和中，
∴（）
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，中点定义，等腰三角形的性质，三角形的三边关系，熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键．
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专题4.5&4.6 三角形中位线和反证法八大题型
（内容：三角形的中位线和反证法及应用）
【浙教版】
题型一：利用三角形的中位线求线段
【经典例题1】（24-25八年级下·江苏苏州·期中）如图，在△ABC中，点D、E分别是的中点，点F是上一点．已知，连接，若，则的长度为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【变式训练1-1】（2025·辽宁抚顺·一模）如图，中，对角线，相交于点，点是的中点，若，则的长为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【变式训练1-2】（2025·山东泰安·一模）在平行四边形中，点E为边上的中点，过点D作于点G，若点F为的中点，，，则的长为（ ）
A．6 B． C．8 D．
【变式训练1-3】（2025·山东聊城·一模）如图，是△ABC的中线，是的中点，延长与交于点，若，则的长为（ ）
A．3 B．2 C． D．
【变式训练1-4】（24-25八年级下·全国·课后作业）如图，在△ABC中，分别是的中点，，则 ， ．
【变式训练1-5】（2025·江苏无锡·一模）如图，中，，是边上的中线，是△ABC的中位线，若，则的长 ．
【变式训练1-6】（24-25八年级下·江苏盐城·期中）如图，在四边形中中，，点E、F、G分别是、、的中点，连接、．若，则 ．
题型二：利用三角形的中位线求周长
【经典例题2】（2025·四川雅安·一模）如果一个三角形的两边长分别是方程的两个根，那么连接这个三角形三边的中点，得到的三角形的周长可能是（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【变式训练2-1】（24-25八年级下·福建福州·期中）如图，在中，点是的中点，对角线，相交于点，连接，若△ABC的周长是，则的周长为（ ）
A．5 B．10 C．15 D．20
【变式训练2-2】（2025九年级下·云南楚雄·学业考试）如图在△ABC中，、分别为、的中点，，，，，则的周长为（ ）
A．12 B．13 C．14 D．15
【变式训练2-3】（24-25八年级下·江苏扬州·期中）如图，M是△ABC的边的中点，平分，且，垂足为N，且，，，则△ABC的周长是（ ）
A．12 B．11.8 C．12.4 D．13
【变式训练2-4】（24-25八年级下·全国·课后作业）如图，分别是和的平分线，．若，则△ABC的周长为 ．
【变式训练2-5】（24-25八年级下·河南商丘·期中）如图，是△ABC的边的中点，平分，于点，延长交于点，已知，，，则△ABC的周长为 ．
【变式训练2-6】（2025·四川广安·二模）如图，在△ABC中，，，D是边的中点，E是边上一点，若平分△ABC的周长，则的长为 ．
【变式训练2-7】（24-25八年级下·河南许昌·期中）如图，中，，，，点、、分别是边、、的中点；点、、分别是边、、的中点；；以此类推，则第2025个三角形的周长是 ．
题型三：利用三角形的中位线求面积
【经典例题3】（2025·贵州遵义·一模）如图，在△ABC中，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，直线分别与边相交于点D，E．若D为的中点，，则△ABC的面积为（ ）
A．40 B．36 C．24 D．20
【变式训练3-1】（24-25九年级下·陕西汉中·阶段练习）如图，在△ABC中，点D，E，F，G分别为边，，，的中点，已知△ABC的面积为8，则四边形的面积为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【变式训练3-2】（24-25八年级下·福建福州·阶段练习）如图，C是线段上一点，分别以为边向上作等边三角形，连结，顺次连接中点F、G、H、M得四边形，若，则四边形面积 ．
【变式训练3-3】（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，在△ABC中，点分别是的中点，连接．过点作于点，连接．若的面积为1，则四边形的面积为 ．
【变式训练3-4】（24-25八年级下·全国·课后作业）如图，在△ABC中，D、E、F分别是的中点．
（1）若，则的周长为 ．
（2）若△ABC的周长为，则的周长为 ；若△ABC的面积为，则的面积为 ．
【变式训练3-5】（24-25八年级下·浙江绍兴·期中）如图，在平行四边形中，对角线相交于O点，，E是边的中点，G、F为上的点，连接和，若，，，则图中阴影部分的面积为 ．
题型四：三角形的中位线中最值问题
【经典例题4】（2025八年级下·山东·专题练习）如图，在中，，，．分别是上的动点，连接，分别为的中点，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练4-1】（24-25八年级上·山东烟台·期末）如图，在中，，，．、分别是、上的动点，连接、，、分别为、的中点，则的最小值是（ ）
A．4 B．5 C． D．
【变式训练4-2】（24-25八年级上·山东威海·期末）如图，在中，∠B=90°，，，点为上的动点，点，分别为，的中点，则最小值为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练4-3】（2025·河南周口·一模）如图，直角三角形中，，点 P 为平面内一动点，，连接，点Q 是线段的中点，则线段的最小值为 ，最大值为 ．
【变式训练4-4】（24-25八年级下·江苏扬州·期中）如图，在四边形中，，，E，F分别为边，的中点．连接，线段的最大值为 ．
【变式训练4-5】（24-25八年级下·天津滨海新·期中）如图，在△ABC中，，，，、分别是边、上的动点，、分别是、的中点，则的最小值是 ．
【变式训练4-6】（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在四边形中，，，．点、分别为线段、上的动点（含端点，但点不与点重合），点、分别为、的中点，则长度的最大值是 ．
题型五：反证法证明中的假设
【经典例题5】（24-25八年级下·甘肃天水·阶段练习）在△ABC中，．求证：．（用反证法证明）
【变式训练5-1】（24-25九年级上·陕西渭南·期中）如图，在△ABC中，点D、E分别在、上，连接、，、相交于点O．用反证法证明：和不可能互相平分．
【变式训练5-2】（20-21九年级·江苏南京·自主招生）求证：对于任意连续的三个正整数，都存在一个质数p，使得三个数中有且只有一个数是p的整数倍．
【变式训练5-3】（23-24九年级下·江苏南京·自主招生）对一个正整数n，我们进行如下操作：若它是奇数，则乘以3再加1；若是偶数，则除以2．
(1)对于，进行若干次上述操作后，是否有一数是4的倍数．
(2)求证对任意正整数n，进行有限次上述操作后，必有一数是4的倍数．
【变式训练5-4】（23-24八年级下·浙江绍兴·阶段练习）如图，在△ABC中，点D、E分别在上，相交于点O．求证：和不可能互相平分．
【变式训练5-5】（23-24八年级下·陕西西安·期中）用反证法证明：一个三角形中，至少有一个角不小于．
【变式训练5-6】（2023八年级下·浙江·专题练习）用反证法证明：
(1)已知：，求证：a必为负数．
(2)求证：形如的整数k（n为整数）不能化为两个整数的平方和．
题型六：三角形中位线中尺规作图问题
【经典例题6】（2025·山东淄博·一模）如图，在中，以为圆心，的长为半径画弧交于点，连接，分别以，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线，交于点，过点作交于点，若，，则的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【变式训练6-1】（2025·辽宁丹东·模拟预测）如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于，两点，作直线和交于点；②以点A为圆心，长为半径画弧，交于点：③分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，连接，和交于点，连接．若，，则的长为（ ）
A．2 B． C．4 D．
【变式训练6-2】（2025·山东潍坊·一模）如图，在△ABC中，按下列步骤作图：（1）分别以点B，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于E，F两点，和交于点O；（2）以点A为圆心，长为半径画弧，交于点D；（3）分别以点D，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，连接，交与点P，且和交于点N，连接．下列说法正确的是（ ）
A．D为的中点 B．
C．垂直平分 D．
【变式训练6-3】（2025·辽宁沈阳·一模）如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于两点，和交于点；②以点为圆心，长为半径画弧，交于点；③分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，连接和交于点，连接．若，则的长为（ ）
A．2 B． C．4 D．
【变式训练6-4】（24-25九年级上·山西大同·期末）如图，点，分别是△ABC的边，的中点，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，，作直线，交于点，连接，，经测量得，，则（ ）
A． B． C． D．
【变式训练6-5】（2024·云南昆明·二模）如图，是△ABC的中位线，按以下步骤作图：①以点B为圆心，小于的长为半径画弧，分别交于点M，N；②分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点P；③作射线交于点D．若，则的长为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【变式训练6-6】（2024九年级下·云南·学业考试）如图，在△ABC中，作边的垂直平分线交于点，交于点，若，，则的长为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
题型七：与中位线有关的证明
【经典例题7】（24-25八年级下·全国·课后作业）如图，在△ABC中，分别是边和上的中线，且相交于点，分别是的中点．求证：四边形是平行四边形．
【变式训练7-1】（24-25八年级下·江苏南京·期中）如图，在△ABC中，是外角的平分线，、分别是、中点，连接并延长交于点，连接，求证：．
【变式训练7-2】（24-25八年级下·北京·期中）如图，在中，点、分别是、的中点，连接，点是的中点，连接，．若，，，求证：．
【变式训练7-3】（24-25八年级下·甘肃定西·阶段练习）如图，在平行四边形中，点，分别在，上，，连接与对角线相交于点．
(1)求证：；
(2)连接，为的中点，连接．若，求的长．
【变式训练7-4】（24-25八年级下·天津滨海新·期中）如图， △ABC中，点，分别是边，的中点，过点作 交的延长线于点， 连接．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)当时， 若 ，求的长．
【变式训练7-5】（24-25八年级下·广西南宁·期中）如图，△ABC中，，D、E分别为、的中点，连接，过E作交的延长线于F．
(1)求证：四边形为平行四边形；
(2)若，求的长．
【变式训练7-6】（24-25八年级下·浙江湖州·期中）在中，分别是边的中点，延长到点D，使，连结．
(1)求证：四边形是平行四边形．
(2)连结，交于点O，若，求的长．
题型八：三角形中位线综合（压轴题）
【经典例题8】（24-25八年级下·重庆·期中）在中，，，点是直线上一点．
(1)如图1，点是线段上一点，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接，，若，，求线段的长；
(2)如图2，点是线段延长线上一点，将绕点顺时针旋转，交线段于点，点为线段上一点，过点作的垂线，垂足为点，过点作交延长线于点，连接．若平分，求证：；
(3)如图3，在（1）问的条件下，在线段下方作，使得．点，分别为线段，上的动点，且，连接，当最小时，直接写出四边形的面积．
【变式训练8-1】（24-25八年级下·江苏苏州·期中）【提出问题】
（1）如图，四边形中，对角线，交于点，点，，，，分别是边，，，的中点，顺次连接，若，求四边形的周长．
【解决问题】
（2）如图，在等边△ABC与等边△ADE中，点在的延长线上，点在的同侧，连接，点，分别是，的中点，连接，若，，求的长．
（3）如图，在等腰△ABC与等腰△ADE中，，，，，点在的上方，连接，，点，，分别是，，的中点，连接，则的面积为___________．
【变式训练8-2】（23-24八年级下·浙江宁波·期中）【三角形中位线定理】：如图1，是的中位线，则，
【活动一】：证明定理：添加辅助线：如图1，在△ABC中，延长（、分别是、的中点）到点，使得，连接，请你补充完整证明过程．
【活动二】：应用定理：如图2，在四边形中，，是对角线的中点，是的中点，是的中点，求证：．
【活动三】深入定理：如图3，在四边形中，，，为的中点，、别为边上的点，若，，，求的长．
【变式训练8-3】（24-25八年级上·山东泰安·期末）在四边形中，、分别是、的中点．
(1)如图1，在四边形中，若是的中点，，，，，求的长．
(2)如图2，连接并延长，分别与、的延长线交于点、，为中点，若，求证：．
(3)如图3，在△ABC中，，点在上，，、分别是、的中点，连接、并延长，与的延长线交于点，连接，若，判断的形状，并说明理由．
【变式训练8-4】（24-25八年级下·重庆·阶段练习）如图，在四边形中，对角线、相交于点，，．
(1)如图1，若，，，求四边形的面积．
(2)如图2，点、点分别是、上的点，，点、点分别为、的中点，连接，为上一点，为延长线上一点，连接、，若，，，证明：；
(3)如图3，过点作于点，是上一点，连接，作于点，交于点，，．当点在直线上运动时，将绕点顺时针旋转得，连接，，，若，当最小时，直接写出的面积．
【变式训练8-5】（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）【问题提出】
（1）如图1，在△ABC中，△ABC的面积为6，，，于点D，分别作，关于的对称图形和，连接．
①的长度 ；
②计算的长度．
【问题解决】
（2）如图2是一块建设规划用地，规划设计者想在△ABC的一块绿地边上修建一个直径为的圆形水池（为圆直径），在点A与D处开两个大门，便于参观者行走，点D为边的中点．沿圆的周长铺设圆形的小路，并沿和再铺设两条笔直的小路，铺设小路的费用为每米1000元．已知，，，则铺设小路的最少费用多少元？（门与路的宽度不计）
【变式训练8-6】（24-25八年级上·辽宁葫芦岛·阶段练习）【思维导图】
丞丞同学通过全等三角形的学习，简要地绘制了关于三角形中线的思维导图．
【初步应用】
（1）如图①，在△ABC中，是的中点，连接，过点作于点，若△ABC的面积是，求的长．
【推导明理】
（2）如图②，是△ABC的中线，若．求的取值范围．
丞丞同学利用所学的数学知识及解题经验，先延长至点，使得，连接，从而得到，进而通过全等三角形的性质和三角形三边的关系得出的取值范围；在辅助线的做法上，霖霖同学经过思考，先过点作，交的延长线于点，从而得到，进而解决问题．
请你选择一名同学的解题思路，写出解答过程．
【拓展运用】
（3）如图③，在△ABC中，，分别是上一点，连接，是的中点，连接，若，求证：．
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